9 应力状态及应变状态分析
应力及应变状态
19Βιβλιοθήκη 一、一点附近应力表示法4. 主应力和应力不变量 已知单元体的应力状态为：
és x t xy t xz ù és x t xy t xz ù ê ú ê ú s ij = êt yx s y t yz ú = ê s y t yz ú êt zx t zy s z ú ê sz ú û ë û ë
s 1 = s 0 × cos a
F
单向拉伸时轴向应力随截面方位变化
16
外载荷不变的情况下， 应力的数值取决于其所 作用平面的方位。
一、一点附近应力表示法
3. 直角坐标系下一点的应力状态
s ij =
és x t xy t xz ù êyx s y t yz ú t êt yx s y t yz ú êt zx t zy s z ú ë û
应力状态和应变状态分析
内容
l塑性加工应力分析 — 一点附近应力表示方法 l平衡微分方程 l塑性加工应变分析 --- 点的应变状态分析
2
F
预测金属变形？载荷？缺陷？ 应力和应变分析 变形区域内接触应力 变形力F
平衡方程 Forging F 塑性条件 物理方程 几何方程 边界条件
Extrusion
三维空间问题 （十三个未知数，十三个方程） 轴对称问题 （九个未知数，九个方程） 平面问题 3 （三个未知数，三个方程）
一、一点附近应力表示法
1.基本概念
外力： 外部施加作用在物体上的力。（接触力，摩擦力，重力等） 内力： 外力作用下，物体各点之间产生相互作用的力。 应力： 变形体中单位面积上的内力。
4
一、一点附近应力表示法 外力分析
正压力—工具与工件接触面上的垂直作用力
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
第七章应力状态及应变状态分析
第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。
应力又分正应力σ和剪应力τ两种。
前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。
同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。
同一点不同方向的应力也是不同的。
过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。
研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。
如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。
单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。
杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。
当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。
该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。
各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。
三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。
单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。
第7章(应力和应变状态分析)
一、应力状态的概念1.点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
单元体三对面的应力已知，单元体平衡单元体三对面的应力已知，单元体平衡单元体任意部分平衡单元体任意部分平衡截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
2.一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
y x zατασxy τx σz σy σxz τyxτyz τzx τzy τ二、应力状态的分类三个主应力不等于零。
三个主应力不等于零。
两个主应力不等于零。
两个主应力不等于零。
一个主应力不等于零。
一个主应力不等于零。
三向应力状态二向应力状态单向应力状态任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力σ1≥σ2≥σ3 。
任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力σ1≥σ2≥σ3 。
αταστxy x σy τyx yx αταστxy x σyστyx y x 一、任意斜截面上的正应力和切应力y x z αταστxyy στyx xστxy y στyx x σn t αn 0:F =∑d (d cos )sin (d cos )cos xy x A A A ασταασαα+−(d sin )cos (d sin )sin 0yx y A A ταασαα+−=0:F τ=∑d (d cos )cos (d cos )sin xy x A A A ατταασαα−−(d sin )cos (d sin )sin 0y yx A A σααταα++=y x αταστxy y στyx x στxy y στyx x σsin 2cos 22ασστατα−=+x yxy σx 、τxy 是法线与x 轴垂直的面上的正应力与切应力，即x 面上的正应力与切应力；σy 、τyx 是法线与y 轴垂直的面上的正应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
材料力学：第八章-应力应变状态分析
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态
第八章应力应变状态分析ppt课件
+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
工程塑性力学(第二章)应变分析、应力分析和屈服条件
或
σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
定义了一个量 Σ ，表征该点的应力状态，在坐标系 Oxyz 中。如果变换到另一个 坐标系 Ox ′y′z′
σ′ τ′ x xy τ ′ xz τ′ σ ′y τ ′yz yx τ′ τ′ σ′ zx zy z
仍然表征同一应力状态，仍为 Σ 。在数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换 式的 9 个数所定义的量叫做二阶张量。此二阶张量称为应力张量：
I1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 I 2 = −(σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) I 3 = σ 1σ 2σ 3
（2-11）
应力偏量 S ij 也是一种应力状态，同样也有不变量。进行类似的推导（或将
I1、I 2、I 3 式中的 σ x 、 σ y 和 σ z 分别用 s x 、 s y 和 sz 代替）即得应力偏量的三个不
2 J2 。 3
（2）等效应 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 2 1 2 2 2 = (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) （2-17） 2 = 3J 2
s xy = τ xy ， s yz = τ yz ， s zx = τ zx ，……
（2-4）
则应力偏张量：
⎡σ x − σ m τ xy τ xz ⎤ ⎡ s x s xy s xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ σ y −σm τ yz ⎥ = ⎢ s yx s y s yz ⎥ = S ij = σ ij − σ mδ ij （2-5） ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎢ ⎥ τ zy σz −σm⎥ ⎣ ⎦ ⎣ s zx s zy s z ⎦ 应力球张量表示各向均值应力状态，即静水压力情况。由于静水压力不影响 屈服，所以塑性变形只与应力偏量有关，因此在塑性力学中应力偏量的研究很重 要。
应力和应变状态
由应力圆可计算出： 1 5P， 2 P
例3 已知受力构件的A点处于平面应力状态，过A点两斜截面上 的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应 力。
解：
1 OA1 232.5MPa
3 OB1 107.5MPa
100
max 170MPa R
四、三向应力状态和最大剪应力
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力； 各方向的主应变为：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 2 3
2 1 2
3 3 1
各平面的剪应变为零
12 23 31 0.
例1、测得A点处的x=400×10-6，y=-120×10-6 （）。已知： E=200GPa，=0.3，求A点在x和y方向上的正应力。
3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对 应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。
3.应力圆的应用:
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力σα、 剪应力τα；
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
例1 σx=60MPa,τxy=20.6MPa ,σy= 0 , 用图解法求： 1）该点的主应力和主平面的方位； 2）求与轴线方向成-450的应力σ-450、τ -450 ？
100 (80) sin 600 40cos600 2
97.64(MPa)
4）计算σmax、σmin及主平面方位角
max
min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
10888.5.（5 MPa）
1 108 .5, 2 0, 3 88.5
t g20
2xy x y
《应力状态分析》课件
意义
揭示了物体在受力状态下 内部应力的分布规律，为 分析强度、刚度和稳定性 问题提供依据。
空间应力状态的分类
单向应力状态
物体只承受单向正应力作 用，即一维应力状态。
二向应力状态
物体承受两个正交方向的 正应力作用，即平面应力 状态。
三向应力状态
物体承受三个正交方向的 的正应力作用，即空间应 力状态。
02 平面应力状态分析
平面应力状态的概念
平面应力状态
在二维平面上，各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化的 应力状态。
平面应力状态的特点
各应力分量均平行于平面，且均沿z轴方向变化。
平面应力状态的应用
在工程中，许多问题可以简化为平面应力状态进行分析，如薄板、 薄壳等结构的应力分析。
平面应力状态的分类
数值法
通过有限元、有限差分等方法求解平面应力状态 的应力和应变。
3
实验法
通过实验测试和测量平面应力状态的应力和应变 。
03 空间应力状态分析
空间应力状态的概念
01
02
03
空间应状态
描述物体内部各点应力矢 量在空间位置和方向上的 分布情况。
定义
空间中任意一点处的应力 状态由三个正交的主应力 及相应的主方向组成。
将物体离散化为有限个小的单元，对 每个单元进行受力分析，再通过单元 的集合得到整体的平衡方程，求解得 到各点的应力分量。适用于复杂几何 形状和边界条件的物体。
通过实验测试得到物体的应力应变关 系，从而反推出物体的应力状态。适 用于无法通过理论分析求解的复杂问 题。
05 应变与应力的关系
应变的概念
复杂应力状态的分类
按主应力大小分类
分为三向主应力状态和二向主应力状态。
材料力学：第九章 应力状态分析
τx
C
F
Me
d
C
(a)
·
σx
(b)
C
T
F
解：C点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图b所示 点所在横截面上的正应力和切应力的分布规律如图 所示， 其值为
FN 500 × 103 N σx = = = 63.7 × 106 Pa=63.7MPa π 2 A 0.1m ) ( 4
经整理后得到 ）、（2） ）、（ （1） 由（1）、（ ）式，可以求出单 ） 元体各个截面上的应力。（ 。（即 点 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力） ） 处各个方向上的应力）
∑F = 0
t
τ =τ′
σ α = −τ sin 2α
τ α = τ cos 2α
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合， 定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。 应力状态。
F F
横截面上只有正应力，且 横截面上只有正应力， 均匀分布 计算公式： 计算公式：
m
σ
F
FN
FN σ= A
等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 横截面上只有切应力， 线性分布
T
o
τρ
τmax
T⋅ρ 计算公式： 计算公式： τρ = Ip
R
τ
T 16 M e τ= = WP πd3
为了研究a点处各个方向的应力，围绕a点取一个各边长均为无 为了研究 点处各个方向的应力，围绕 点取一个各边长均为无 点处各个方向的应力 限小的六面体（称为单元体）。 限小的六面体（称为单元体）。 径向截面
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9 应力状态及应变状态分析通过对前几章的讨论，我们已经了解了杆件在基本变形时横截面上的应力情况。
实际上一点的应力情况除与点的位置有关以外，还与通过该点所截取的截面方位有关。
为了讨论一点在不同截面上的应力情况，为讨论组合变形打下一定的理论基础，本章介绍：应力状态、应变状态的概念；应力状态、应变状态分析；复杂应力状态下一点的应力与应变的关系——广义虎克定律，复杂应力状态下的变形比能。
在此基础上介绍强度理论的概念及常用的四种强度理论。
9.1 应力状态的概念9.1.1 一点处的应力状态受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。
判断一个受力构件的强度，必须了解这个构件内各点处的应力状态，即了解各个点处不同截面的应力情况，从而找出哪个点、哪个面上正应力最大，或剪应力最大。
据此建立构件的强度条件，这就是研究应力状态的目的。
9.1.2 通过单元体分析一点的应力状态如上所述，应力随点的位置和截面方位不同而改变，若围绕所研究的点取出一个单元体（如微小正六面体），因单元体三个方向的尺寸均为无穷小，所以可以认为：单元体每个面上的应力都是均匀分布的，且单元体相互平行的面上的应力都是相等的，它们就是该点在这个方位截面上的应力。
所以，可通过单元体来分析一点的应力状态。
图9.1应力状态的一般情况和已知三个主应力的应力状态9.1.3 主应力及应力状态的分类包括受力构件内的某点，所截取出的单元体，一般来说，各个面上既有正应力，又有剪应力（图9.1a ）。
以下根据单元体各面上的应力情况，介绍应力状态的几个基本概念。
① 主平面 如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。
② 主应力 主平面上的正应力称为主应力。
③ 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。
可以证明：从受力构件某点处，以不同方位截取的诸单元体中，必有一个单元体为主单元体。
主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，分别用1σ，2σ和3σ表示，即321σσσ≥≥（图9.1b ）。
④ 应力状态的类型 若在一个点的三个主应力中，只有一个主应力不等于零，则这样的应力状态称为单向应力状态。
若三个主应力中有两个不等于零，则称为二向应力状态或平面应力状态。
若三个主应力皆不为零，则称为三向应力状态或空间应力状态。
单向应力状态也称为简单应力状态。
二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。
关于单向应力状态，已于第二章中进行过讨论，本章将重点讨论二向应力状态。
9.2 应力状态的实例9.2.1 直杆轴向拉伸时的应力状态直杆轴向拉伸时（图9.2a ）， 围绕杆内任一点A 点以纵横六个截面取出单元体（图9.2b ），其平面图则表示在图9.2c 中，单元体的左右两侧面是杆件横截面的一部分，其面上的应力皆为A P =σ。
单元体的上、中、前、后四个面都是平行于轴线的纵向面，面上皆无任何应力。
根据主单元体的定义，知此单元体为主单元体，且三个垂直面上的主应力分别为0,0,321===σσσA P图9.2 直杆轴向拉伸时杆内任一点的应力状态围绕A 点也可用与杆轴线成45±的截面和纵向面截取单元体（图9.2d ），前、后面为纵向面，面上无任何应力，而在单元体的外法线与杆轴线成 45±的斜面上既有正应力又有剪应力（见第二章）。
因此，这样截取的单元体不是主单元体。
由此可见，描述一点的应力状态按不同的方位截取的单元体，单元体各面上的应力也就不同，但它们均可表示同一点的应力状态。
9.2.2 圆轴扭转时，轴的表面上任一点A 的应力状态围绕圆轴上A 点（图9.3a ）仍以纵横六个截面截取单元体（图9.3b ）。
单元体的左、右两侧面为横截面的一部分，正应力为零，而剪应力为tW T=τ由剪应力互等定理，知在单元体的上、下两上，有τ=τ'。
因为单元体的前面为圆轴的自由面，故单元体的前、后面上无任何应力。
单元体面受力如图9.3（c ）所示。
由此可见，圆轴受扭时，A 点的应力状态为纯剪切应力状态。
进一步的分析表明（见本章例9.1）若围绕着A 点沿与轴线成 45±的截面截取一单元体（图9.3d ），则其 45±斜截面上的剪应力皆为零。
在外法线与轴线成 45的截面上，有压应力，其值为τ-。
在外法线与轴线成 45-的截面上有拉应力，其值为τ+。
考虑到前、后面两侧面无任何应力，故图9.3（d ）所示的单元体为主单元体。
其主应力分别为τσστσ-===321,0,可见，纯剪切应力状态为二向应力状态。
图9.3受扭圆轴表面点A 的应力状态9.2.3 圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态当圆筒形容器（图9.4a ）的壁厚t 远小于它的直径D 时（例如，20D t <），称为薄壁圆筒。
若封闭的薄壁圆筒承受的内压力为p ，则沿圆筒轴线方向作用于筒底的总压力为P （图9.4b ），且42D p P π⋅=薄壁圆筒的横截面积为Dt π，因此圆筒横截面上的正应力σ'为t pD Dt D p A P 442=⋅=='ππσ （9.1）用相距为l 的两个横截面和通过直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分（图9.4c ）。
设圆筒纵向截面上的内力为N ，正应力为σ''，则tl N =''σ 取圆筒内壁上的微面积2ϕ=lDd dA 。
内压p 在微面积上的压力为2/ϕplDd 。
它在y 方向的投影为()ϕϕsin 2d D pl 。
通过积分求出上述投影的总和为plD d D pl =⎰ϕϕsin 2π0积分结果表明：截取部分在纵向平面上的投影面积lD 与p 的乘积，就等于内压力在y 方向投影的合力。
考虑截取部分在y 方向的平衡（图9.4d ）图9.4 薄壁圆筒承受内压时，壁上任一点A的应力状态分析02,0=-=∑plD N y2plD N =将N 代入σ''表达式中，得 tpD tl N 2==''σ （9.2）从公式（9.1）和（9.2）看出，纵向截面上的应力σ''是横截面上应力σ'的两倍。
由于内压力是轴对称载荷，所以在纵向截面上没有剪应力。
又由剪应力互等定理，知在横截面上也没有剪应力。
围绕薄壁圆筒任一点A ，沿纵、横截面截取的单元体为主平面。
此外，在单元体ABCD 面上，有作用于内壁的内压力p 或作用于外壁的大气压力，它们都远小于σ'和σ''，可以认为等于零（见式9.1和9.2，考虑到D t <<，易得上述结论）。
由此可见，A 点的应力状态为二向应力状态，其三个主应力分别为 9.2.4 在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A 处的应力状态围绕着车轮与钢轨接触点（图9.5a ），以垂直和平行于压力P 的平面截取单元体，如图9.5（b ）所示。
在车轮与钢轨的接触面上，有接触应力3σ。
由于3σ的作用，单元体将向四周膨胀，于是引起周围材料对它的约束压应力1σ和2σ（理论计算表明，周围材料对单元体的约束应力的绝对值小于由P 引起的应力绝对值3σ，因为是压应力，故用1σ和2σ表示）。
所取单元体的三个相互垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不等于零，因此，A 点的应力状态为三向应力状态。
图9.5车轮钢轨接触点A 的应力状态9.3 二向应力状态分析——解析法9.3.1 二向应力状态下斜截面上的应力二向应力状态分析，就是在二向应力状态下，通过一点的某些截面上的应力，确定通过这一点的其他截面上的应力，从而进一步确定该点的主平面、主应力和最大剪应力。
从构件内某点截取的单元体如图9.6（a ）所示。
单元体前、后两个面上无任何应力，故前、后两个面为主平面，且这个面上的主应力为零，所以，它是二向应力状态。
在图9.6（a ）所示的单元体的各面上，设应力分量x σ、y σ、xy τ和y x τ皆为已知。
关于应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；剪应力以对单元体内任意点的矩为顺时针时，规定为正，反之为负。
现研究单元体任意斜截面ef 上的应力（图9.6b ）。
该截面外法线n 与x 轴的夹角为α。
且规定：由x 轴转到外法线n 为逆时针时，则α为正。
以斜截面ef 把单元体假想截开，考虑任一部分的平衡，根据平衡方程∑=0n F 和∑=0t F ，则()()αασαατσcos cos sin cos x xy αdA dA dA -+()()0sin sin cos sin y y x =-+αασαατdA dA ()()αασααττsin cos cos cos x xy αdA dA dA --()()0sin sin cos sin y x y =++ααταασdA dA 考虑到剪应力互等定理，xy τ与y x τ在数值上相等，以xy τ代替y x τ，简化以上平衡方程最后得出：ατασσσσσ2sin 2cos 22xy y x y x α--++= （9.3）图9.6 二向应力状态分析ατασστ2cos 2sin 2xy yx α+-=（9.4） 上式表明：ασ和ατ都是α的函数，即任意斜截面上的正应力ασ和剪应力ατ随截面方位的改变而变化。
9.3.2 主应力及主平面的方位9.3.2.1 正应力的极值及其所在平面的方位为求正应力的极值，可将式（9.3）对α取导数，得2d d α-=ασ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ατασσ2cos 2sin 2xy y x 若0αα=时，导数0α=ασd d ，则在0α 所确定的截面上，正应力为极值。
以0α代入上式，并令其等于零2cos 2sin 20xy 0yx =+-ατασσ得 y x xy022tan σστα--= （9.5）式（9.5）有两个解：0α 和 900±α。
因此，由式（9.5）可以求出相差 90的两个角度0α，在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。
在这两个互相垂直的平面中，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
从式（9.5）求出02sin α和02cos α，代入式（9.3），求得最大或最小正应力为2xy 2y x y x min max 22τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫ （9.6）至于0α确定的两个平面中哪一个对应着最大正应力，可按下述方法确定。
若x σ为两个正应力中代数值较大的一个，则式（9.5）确定的两个角度0α和 900±α，绝对值较小的一个对应着最大正应力max σ所在的平面；反之，绝对值较大的一个对应着最大正应力max σ所在的平面。
此结论可由二向应力状态分析的图解法得到验证。
9.3.2.2 正应力的极值就是主应力现进一步讨论在正应力取得极值的两个互相垂直的平面上剪应力的情况。