圆锥曲线的切线方程
第10讲：圆锥曲线的切线
第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。
（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。
（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。
②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。
A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。
圆锥曲线切线(2)
圆锥曲线的切线方程一、知识点回顾椭圆C：x2a2+y2b2=1在点M( x0,y0 )处的切线方程为：x0x a2+y0y b2=1双曲线C：x2a2−y2b2=1在点M( x0,y0 )处的切线方程为：x0x a2−y0y b2=1抛物线C：y2=2px在点M( x0,y0 )处的切线方程为：y0y=p(x+x0)，且切线与x轴的交点坐标为(−x0,0)二、线切线交点性质1、设点N ( x0,y0 ) 是椭圆外一点，向椭圆引两条切线，分别与椭圆相切于A ( x1,y1 )、B ( x2,y2 ) ，那么切线AN、BN的方程分别为：x1x a2+y1y b2=1x2x a2+y2y b2=1因为N ( x0,y0 ) 是AN、BN的交点所以有x1x0a2+y1y0b2=1x2x0a2+y2y0b2=1观察发现，A ( x1,y1 )、B ( x2,y2 ) 两点都在直线x0x a2+y0y b2=1上，因此可以得出结论：过椭圆C：x2a2+y2b2=1外一点N ( x0,y0 ) 向椭圆引两条切线，与椭圆相切于A、B两点，则直线AB的方程为：x0x a2+y0y b2=1推广：设直线x m+y n=1，(mn≠0)与椭圆上交于两个不同的点，过A、B作切线，切线交于椭圆外一点N ( x0,y0 )，则直线AB的方程为x0x a2+y0y b2=1即x a2/x0+y b2/y0=1则x0=a2m，y0=b2n故N的坐标为( a2m，b2n )2、同理可以得到：过双曲线C：x2a2−y2b2=1外一点N ( x0,y0 ) 向双曲线引两条切线，与双曲线相切于A、B 两点，则直线AB的方程为：x0x a2−y0y b2=1推广：设直线x m+y n=1，(mn≠0)与双曲线C：x2a2−y2b2=1交于两个不同的点，过A、B 分别作双曲线的切线，两条切线交于双曲线外一点N，则N的坐标为( a2m，−b2n ) . 特别地，当直线与双曲线的两个交点在同一支时，N的位置在|y|b<|x|a区域内；当直线与双曲线的两个交点分别在两支时，N的位置在|y|b>|x|a区域内。
高中数学中的圆锥曲线的切线方程
高中数学中的圆锥曲线的切线方程圆锥曲线是高中数学中的重要内容之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线。
在这些曲线中，切线方程是一个重要的概念。
本文将探讨高中数学中圆锥曲线的切线方程。
一、椭圆的切线方程椭圆是一个非常有趣的圆锥曲线，它具有很多特殊的性质。
对于椭圆上的任意一点P(x, y)，我们希望找到过该点的切线方程。
首先，我们知道椭圆的方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
设P(x, y)是椭圆上的一点，它的切线斜率为k。
根据导数的定义，我们可以得到椭圆方程的导数为：2x/a^2 + 2y/b^2 * dy/dx = 0化简得到：dy/dx = -x(a^2/b^2)由于切线的斜率为k，我们可以得到：k = dy/dx = -x(a^2/b^2)将点P(x, y)代入，我们可以得到：k = -x(a^2/b^2)由此，我们可以得到椭圆上点P(x, y)的切线方程为：y - y1 = k(x - x1)其中，k = -x(a^2/b^2)，(x1, y1)是椭圆上的任意一点。
二、双曲线的切线方程双曲线也是一个重要的圆锥曲线，它具有很多有趣的性质。
对于双曲线上的任意一点P(x, y)，我们希望找到过该点的切线方程。
双曲线的方程是x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
设P(x, y)是双曲线上的一点，它的切线斜率为k。
根据导数的定义，我们可以得到双曲线方程的导数为：2x/a^2 - 2y/b^2 * dy/dx = 0化简得到：dy/dx = x(a^2/b^2)由于切线的斜率为k，我们可以得到：k = dy/dx = x(a^2/b^2)将点P(x, y)代入，我们可以得到：k = x(a^2/b^2)由此，我们可以得到双曲线上点P(x, y)的切线方程为：y - y1 = k(x - x1)其中，k = x(a^2/b^2)，(x1, y1)是双曲线上的任意一点。
高考之【圆锥曲线篇】-秒杀技巧切线方程
大招九圆锥曲线的切线方程及其应用现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。
那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即。
（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。
由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。
又因是两条切线的交点，所以有、。
观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。
评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。
联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。
（证明同上）联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为k；（2）当在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：证明：（1）两边对求导，得得，由点斜式得切线方程为化简得………………….①因为…………………………………………………②由①－②×2可求得切线方程为：（2）同联想一（2）可证。
结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。
若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。
当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：通过以上联想可得出以下几个推论：推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
推论3：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解析几何和微积分中，求解圆锥曲线的切线和法线方程是一个基本的技巧。
本文将总结一些解决这类问题的常见方法和技巧。
一、椭圆的切线与法线方程求解椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴与短轴。
求解椭圆的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点首先，我们需要确定切点的坐标。
可以通过将直线 y = kx + c 代入椭圆方程，并解得 x 和 y 关于 k 和 c 的方程组。
解这个方程组即可得到切点的坐标。
2. 求解切线方程在得到切点的坐标后，我们可以使用常见的切线公式 y - y0 = k(x - x0) 来求解切线方程。
其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程切线的斜率 k 和切点的坐标 (x0, y0) 可以通过对椭圆方程求偏导数得到。
设斜率 k1 为切线斜率，斜率 k2 为法线斜率，斜率之间的关系为 k1 * k2 = -1。
因此，我们可以通过斜率 k1 和切点 (x0, y0) 来求解法线方程。
二、双曲线的切线与法线方程求解双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。
求解双曲线的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点与椭圆类似，我们首先需要确定切点的坐标。
代入直线 y = kx + c 到双曲线方程中，并解得切点的坐标。
2. 求解切线方程切线方程的求解过程与椭圆类似，使用公式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程双曲线的法线也满足斜率 k1 和斜率 k2 的关系为 k1 * k2 = -1。
通过切线方程的斜率 k1 和切点的坐标 (x0, y0)，可以求得法线方程。
三、抛物线的切线与法线方程求解抛物线是圆锥曲线中的另一种重要类型，其方程为 y^2 = 2px，其中p 为抛物线的焦点到准线的距离。
圆锥曲线的切线方程总结
圆锥曲线的切线方程总-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1运用联想探究圆锥曲线的切线方程现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2,给出了经过圆/ + y2 = r2上一点M（ x0 , y0）的切线方程为x o x + y o y = r2；当M（x0 , y0）在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为兀卅+儿.V = r2o 那么，在圆锥曲线中，乂将如何我们不妨进行儿个联想。
2 2联想一：（D过椭圆二+二=1 （d>b>o）上一点M（心」（））切线方cr \r 程为孚+卑=1 ；（2）当M（x°,儿）在椭圆^ + 4 = 1的外部时，过M cr lr cr lr引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：辔+労=1cr \r证明：（1）存汀的两边对X求导，得务攀“,得仏，由点斜式得切线方程为y-v0 = -^（x-x0）,即Vo2 2（2）设过椭圆+ = 1 （«>/?> 0 ）外一点M（ x0 , y0）引两条切线，切cr点分别为A（“，儿）、8（勺，儿）。
由（1）可知过人、B两点的切线方程分别为：工+辱=1、孚+卑=1。
又因M（x°,儿）是两条切线的交点，所cr b・cr以有洋+器L = i、辻 + 怦=1。
观察以上两个等式，发现A（“，儿）、8（勺，〉，2）满足直线芳+沪=1，所以过两切点A、3两点的直线方程为^r+ —1。
cr b-评注：因在椭圆二+二=1 （“>〃>0）上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程卑+卑=1表示直线的几何意义亦不同。
cr联想二:（1）过双曲线一；——r = 1 （« > 0, /? > 0）上一点M（ x0 , y（））切线方程为卑-卑=1 ; （2）当M（x。
，儿）在双曲线4-4 = 1的外部时，cr lr c r过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：嚳—* = 1。
圆锥曲线的切线与法线方程的求解技巧总结
圆锥曲线的切线与法线方程的求解技巧总结圆锥曲线是数学中一个重要的概念，在几何学、物理学以及工程学等许多领域都有广泛的应用。
对于圆锥曲线上的任意一点，切线和法线是与其切点和法点相关联的重要性质。
在本文中，我们将总结一些求解圆锥曲线切线和法线方程的技巧与方法。
一、椭圆的切线与法线方程椭圆是圆锥曲线中的一种，具有许多重要的特性。
对于椭圆上的任意一点P(x,y)，我们希望求解它的切线和法线方程。
1. 切线方程的求解对于椭圆上一点P(x,y)，其切线的斜率可以通过对椭圆的导数求解得到。
椭圆的隐式方程可以表示为：Ax² + By² = C，其中A、B、C为常数。
首先，对隐式方程两边同时求导，得到2Ax + 2By(dy/dx) = 0。
然后解出dy/dx，即切线的斜率。
接下来，通过点斜式的切线方程：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(k为切线的斜率，(x₁,y₁)为切点坐标)，我们可以代入已知点P(x,y)和切线斜率，求解出切线方程。
2. 法线方程的求解对于椭圆上一点P(x,y)，其法线与切线垂直，因此法线的斜率可以通过切线斜率的倒数得到。
我们可以通过点斜式的法线方程：y - y₁ = (-1/k)(x - x₁)，其中(k为切线的斜率，(x₁,y₁)为切点坐标)，代入已知点P(x,y)和切线斜率的倒数，求解出法线方程。
二、双曲线的切线与法线方程双曲线是圆锥曲线中的另一类，其形状与椭圆类似，但具有不同的数学性质。
对于双曲线上的任意一点P(x,y)，我们也可以求解其切线和法线方程。
1. 切线方程的求解双曲线的隐式方程可以表示为：Ax² - By² = C，其中A、B、C为常数。
我们同样通过对隐式方程两边同时求导，得到2Ax - 2By(dy/dx) = 0。
然后解出dy/dx，即切线的斜率。
利用点斜式的切线方程，代入切点坐标和切线斜率，求解出切线方程。
2. 法线方程的求解与椭圆类似，双曲线上任意一点P(x,y)的法线与切线垂直，因此法线的斜率可以通过切线斜率的倒数得到。
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圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线是一种几何曲线，它拥有着独特的几何形状，在古希腊和哥德式艺术中尤为常见。
圆锥曲线具有不同的形状，如圆锥、弧锥等，它们通常都是由一条直线和一条半圆构成的。
而圆锥曲线的切线方程正是由其几何形状决定的。
一般来说，圆锥曲线的切线方程可以用相对简单的解析式来刻画，它的表达式可以写成
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数。
这里的a称为圆锥参数，由圆锥的成形决定；b和
c则由圆锥的外接直线的斜率和截距来决定。
由上面表达式可以知，当a<0时，圆锥曲线是一条下凹的曲线；当a=0时，它就会变成
单调递增或者单调递减的直线；而当a>0时，圆锥曲线就变成上凸的曲线。
通过改变a的值，就可以得到各种不同形状的圆锥曲线。
总结来说，圆锥曲线的切线方程是一种实用的几何曲线，它由一条直线和一条半圆构成，可以通过改变圆锥曲线的参数a得到不同形状的几何图案。
切线方程的表达式为
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，可以用来解析其几何形状，从而使圆锥曲线更容易
理解和分析。