平面向量中三点共线定理的推广及应用
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
向量三点共线定理等于1
向量三点共线定理等于1
三点共线定理是一种在几何中使用的定理，它声明如果三个点都
位于同一条直线上，则该条直线上任意两个向量之积为1。
它通常被称为线性联结定理，是一个非常基本的定理，在平面几何中非常常见。
首先，让我们描述三点共线定理。
它宣称，如果三个点位于同一
条直线上，则任意两个向量之积为1。
也就是说，如果给定三个点A，B，C，如果A，B和C位于同一条直线上，那么AB·BC = 1。
在数学中，向量之积通常表示为一个叉乘，也就是一个乘号包围的两个向量，它
可以表示两个向量的乘积。
三点共线定理被广泛应用于几何和Math中，它提供了一种很好
的方法来判断三个点是否位于同一条直线上。
例如，在进行交叉检验时，可以将三点共线定理应用于绿点和红点，如果三点共线定理成立，即AB·BC = 1，则说明交叉成功，如果AB·BC值不等于1，则说明交
叉失败。
有许多几何定理可以帮助人们更好地了解世界和理解各种几何现象，但三点共线定理最能帮助我们理解那些在几何中的稳定性。
在更
复杂的用例中，三点共线定理也可以使用，研究其他模式。
总而言之，三点共线定理是一种广泛应用于几何中的基本定理，
它声明，如果三个点位于同一条直线上，则任意两个向量之积为1。
它在几何中有着重要的应用，并可以用于对更多的模式的分析，总之，
它是几何中的有用工具。
平面向量中的三点共线结论的应用
若，3.已知B 为OAC 边AC 上一点，且满足OC y OA x OB +=4，不等式222313x y m m x y +≥-++恒成立时，实数m 的最值范围为___________.巩固练习1.在ABC ∆中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若),(R y x AC y AB x AO ∈+=且21x y +=，则ABC ∆的面积的最大值为_____．2.在P AB ∆中，,60,9,80=∠==APB PB P A 点C 满足PB y P A x PC +=,且,0,0,532≥≥=+y x y x 其中则||PC 的最大值为______，最小值为______.3.已知ABC ∆的外心为O 满足AC y AB x AO +=,若,10,6==AC AB 且,5102=+y x 则=∠BAC cos ______.例5.如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =，设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围为______.巩固练习2.（2022·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，在等腰ABC 中，已知2AB AC ==，120A ∠= ，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE AB λ= ，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则MN的最小值是（）A ．77B ．217C ．2114D ．213．（2023·全国·高三专题练习）直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM m AB = ，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（）A ．12m n+为常数B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =巧用杠杆原理处理三角形中的向量问题数值，各线段上得如图所示各点的标数则根据杠杆平衡原理可，已知三角形中的赋值标数法,d,cNC AN b a MB AM ==点数值乘数值等于点数值乘线段上，段数值乘积相等。
三点共线定理及应用
三点共线定理及应用李建标;唐恒钧【摘要】纵观近几年的数学高考试题,十分强调几何背景和代数性质的结合.其中对于不少点在直线上的问题,可由平面向量中的三点共线定理顺利求解.由三点共线的推论则可进一步求解平面区域中的变量范围计算、平面区域有关的面积问题.文章通过典型例题的分析,阐述三点共线定理在平面向量问题中的应用价值及操作方式.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2016(000)006【总页数】4页(P39-42)【关键词】向量;三点共线定理;推论;变量范围;区域面积【作者】李建标;唐恒钧【作者单位】余姚中学浙江余姚 315400;浙江师范大学教师教育学院浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】O123.1因为向量具有代数形式(有序实数对表示)与几何形式(有向线段表示)的双重特点，所以不少平面向量试题都强调几何背景和代数性质的结合，要求学生综合运用逻辑推理和运算能力解决实际问题．这类试题简洁、新颖、思维灵活性强，具有较强的创新性，其中以线段或直线为背景的一类题常与三点共线定理有关.笔者综合研究三点共线定理及它在各类问题中的应用.定理设不共线点P在直线AB上的充要条件是λ+μ=1,其中λ,μ∈R.证明 (充分性)因为其中λ+μ=1),所以从而故点A,B,P共线.(必要性)因为点A,B,P共线,所以从而即令μ=1-λ，于是从推导过程知:当λ∈(0,1)时，μ∈(0,1)且点P在线段AB上；当λ>1时，μ<0且点P在BA的延长线上；当λ<0时，μ>1且点P在AB的延长线上.这里纠正一个错误:对于三点共线定理不少参考书中没有说明条件不共线，由已知得点P在直线AB上的充要条件是λ+μ=1,其中λ,μ∈R.显然当点O∈直线AB，由平面向量基本定理知λ,μ并不唯一，且λ+μ=1也不一定成立.由三点共线定理得到如下推论：推论1[1] 设不共线，若则1)点C在直线AB的外侧(不含点O的一侧)的充要条件是λ+μ>1;2)点C在直线AB的内侧(含点O的一侧)的充要条件是λ+μ<1.1)证明 (必要性)如图1,联结OC，AB，相交于点C′,则存在实数m(其中m>1)使得又因为点C′在直线AB上，所以存在x′，y′，使得其中x′+y′=1),从而于是(充分性)因为λ+μ>1，所以存在m>1，使得且从而因此因为点C′在直线AB上，所以点C在直线AB外侧.同理可证推论1的第2)个结论(略).推论2 如图2，过点O作l2∥l1，则l2,l1把平面分成3个部分:第Ⅰ区域λ+μ>1，第Ⅱ区域0<λ+μ<1，第Ⅲ区域λ+μ<0.推论3 如图3,直线OA,OB将平面OAB分成4个区域，当点C落在各个区域时，相应结论如下：当点C落在第Ⅰ区域时当点C落在第Ⅱ区域时当点C落在第Ⅲ区域时当点C落在第Ⅳ区域时考向1 点在线上例1 已知点O为△ABC的外心且2x+10y=5，则cos∠BAC=______.分析如图4，取的中点F,延长AB至点E，使得当x≠0时,因为2x+10y=5,即所以点F,O,E共线，于是故如图5，当x=0时即从而△ABC是以∠B为直角的直角三角形,于是例2 如图6，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点.设向量则λ+μ的最小值为______.分析如图7，作联结PF，交AC于点H,则存在x,y，使得其中x+y=1)，且从而从而即故考向2 平面区域中的变量范围计算问题例3[2] 如图8,O为△ABC边AB的中点,D为边BC的三等分点，且DC=2DB,P为△ADC(包含边界)内任意一点.若求x+y的取值范围.分析由三点共线定理知，当P在边DC上运动时，x+y=1，△ADC所在区域可以用平行直线DC的一簇平行线表示.如图9，由推论2知平行线向左下移动至直线l1(其中l1∥CD，且l1过点O)处时，x+y=0；平移至直线l2(其中l2∥CD，且l2过点A)处时，x+y=-1，因此x+y的取值范围为[-1,1].变式1 例3中的条件不变，求x+2y的取值范围.分析只需变换基向量如图10，取OD的中点E，联结EB(设为直线l1),过点D作l2∥l1，过点C作l3∥l1，过点A作l4∥l1.当点P在直线l1在△ADC内的部分上时,x+2y=1;当点P在直线l2在△ADC内的部分上时，x+2y=2;当点P在点C处时，x+2y=4;当P在点A处时，x+2y=-1.因此x+2y的取值范围是[-1,4].变式2 例3中的条件不变，求2x+y的取值范围.分析变换基向量如图11，只需取OB的中点F，联结DF,过点O作l1∥DF,过点A 作l2∥DF.当点P在点D上时，2x+y=1;当点P在直线l1在△ADC内的部分上时,2x+y=0;当点P在点A处时，2x+y=-2.因此2x+y的取值范围是[-2,1].总结对于形如求λx+μy的取值范围”这类问题，可以通过更换基向量，即分别在上取点E,F，使得把题目条件变换为再运用平面向量中的三点共线定理的推广，通过作平行线的方法即可求出λx+μy的值.考向3 与平面区域有关的面积问题例4 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定点A,B满足||=||则点集其中|λ|+|μ|≤1,且λ,μ∈R}所表示的区域的面积是分析当λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1时(如图12所示)，由推论2和推论3知点P在△AOB内；当λ≥0,μ≤0时,λ-μ≤1，作由推论2和推论3知点P在△AOB′内;当λ≤0,μ≥0时,-λ+μ≤1，作由推论2和推论3知点P在△A′OB内;当λ≤0,μ≤0时,-λ-μ≤1,由推论2和推论3知点P在△A′OB′内.故所求的平面区域是矩形ABA′B′(含边长)，其面积为变式1 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，若定点A,B满足||=||则点集其中|λ|+|2μ|≤2,且λ,μ∈R}所表示的区域的面积是______.分析由|λ|+|2μ|≤2得|μ|≤1.如图13，改变基向量，作由易知所求的区域是A′BA″B′，其面积为变式2 已知点P在△A BC(包括边界)内，且若对于满足条件的λ与μ，都有|aλ+bμ|≤2，则动点Q(a,b)形成的平面区域的面积为A.8B.16C.32D.64分析由推论3知λ≥0,μ≥0且λ+μ≤1,因此当a≥0,b≥0时，原不等式即为aλ+bμ≤2，如图14，亦即从而故由当Q为原点时，显然符合题意)知Q(a,b)形成一个正方形的区域面积为4，类似可得当a<0,b>0；a>0,b>0；a<0,b<0时的其他3个正方形，所求区域的面积之和为16.总之,向量是数形结合的重要桥梁,是解决数学问题的有效工具.为此,在高中数学教学过程中,应高度重视向量及其三点共线定理的教学,并逐步加强向量在几何问题与线性规划应用方面的教学,切实发挥好向量的桥梁与工具作用.【相关文献】[1] 梁懿涛．平面向量三点共线定理的推论及空间推广[J]．中学数学研究，2011(7)：47-49．[2] 马海龙．平面向量三点共线与等和线妙用[J]．数学之友，2014(4)：61-62．。
向量系数三点共线
向量系数三点共线
在数学中，若三个点A、B、C共线，并且向量可以表示这三个点之间的位置关系，则可以用向量来描述它们的共线性。
具体来说，设向量OA、OB、OC分别表示从原点O指向点A、B、C的向量，如果存在不全为零的实数λ和μ，使得：
OA = λOB + μOC
并且满足条件：λ+ μ = 1（对于三点共线的情形，当O点位于线段AB上时适用此条件）
这意味着点C在线段AB上，且点A、B、C三点共线。
在三维空间或更高维度空间中，这个条件同样适用，只是涉及的向量和系数更多维。
另外，在二维或三维空间中，如果三个点共线但O点并不一定在线段AB上，则只需满足向量OA能被向量OB和OC线性表示即可，即存在实数λ和μ使得：
OA = λOB + μOC
这里的λ和μ不必满足λ+ μ = 1的条件。
平面向量基本定理三点共线
平面向量基本定理三点共线
平面向量基本定理是指：对于平面上任意两个不重合的向量，它们的和向量与它们的差向量所组成的两条直线互相平分，且这两条直线的交点即为这两个向量的起点和终点的中点。
由此可得，如果三个点共线，则它们所代表的向量必须满足平面向量基本定理中的条件，即它们的和向量与它们的差向量所组成的两条直线必须互相平分，且这两条直线的交点即为这三个点的中点。
因此可以得到结论：如果三个点共线，则它们所代表的向量必须满足平面向量基本定理中的条件。
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平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。
点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
平面向量中三点共线定理的应用举例
平面向量中三点共线定理的应用举例
胡莉
【期刊名称】《广东经济》
【年(卷),期】2017(000)010
【摘要】针对《普通高中课程标准试验教科书》数学4必修A版(人民教育出版社)书中2.5节的例2的证明过程比较复杂,现利用平面向量中三点共线定理可以比较简单的证明该例题;另外利用平面向量中三点共线定理证明平行四边形对角线互相平分.
【总页数】1页(P297)
【作者】胡莉
【作者单位】六盘水市双林中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.平面向量中三点共线定理的推广及其应用 [J], 甘志国
2.巧用平面向量中三点共线的充要条件解题 [J], 朱贤良;
3.平面向量中三点共线定理的推广及应用 [J], 陆继承
4.三点共线定理在平面几何中的应用——平面向量应用举例教学有感 [J], 杨萍
5.平面向量中三点共线定理的推广及其应用 [J], 甘志国
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平面向量中三点共线定理的推广及应用
三点共线定理是指在平面向量中，三个点A，B，C，如果向
量AB与向量AC的夹角为0°或180°，则三点A，B，C共线。
三点共线定理的推广及应用主要有以下几点：
1. 平面向量中四点共线定理：在平面向量中，如果四个点A，B，C，D满足向量AB与向量AC的夹角为0°或180°，向量BC与向量CD的夹角也为0°或180°，则四点A，B，C，D共线。
2. 平面向量中多点共线定理：在平面向量中，如果n个点A，B，C，D，…，P满足，任意两个相邻的向量的夹角为0°或180°，则n个点共线。
3. 平面向量中两点共线定理：在平面向量中，如果两个点A，B满足向量AB的夹角为0°或180°，则两点A，B共线。
4. 平面向量中多边形共线定理：在平面向量中，如果n边形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n边形共线。
5. 平面向量中多角形共线定理：在平面向量中，如果n角形的每两个相邻边的夹角都为0°或180°，则n角形共线。
6. 平面向量中多条直线共线定理：在平面向量中，如果n条直线的每两条直线的夹角都为0°或180°，则n条直线共线。
以上是平面向量中三点共线定理的推广及应用，它们在几何图形中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和分析几何图形。