向量三点共线定理及其延伸应用汇总
(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
三点共线算法
三点共线算法三点共线算法是数学中的一个重要概念，用来判断给定的三个点是否在同一条直线上。
这个算法在几何学、计算机图形学以及计算机视觉等领域中都有广泛应用。
本文将介绍三点共线算法的原理和应用，以及一些相关的概念和定理。
一、三点共线算法的原理三点共线算法的原理其实很简单，就是利用向量的线性相关性来判断三个点是否在同一条直线上。
具体来说，我们可以将三个点分别表示为向量A、B和C，然后计算向量AB和向量AC的叉积。
如果叉积为零，即(AB × AC) = 0，那么这三个点就在同一条直线上；如果叉积不为零，那么这三个点就不在同一条直线上。
三点共线算法在几何学中有广泛的应用。
例如，在解析几何中，我们经常需要判断一个三角形的三个顶点是否共线，这时就可以利用三点共线算法来判断。
此外，在计算机图形学和计算机视觉中，三点共线算法也常用于图像处理和目标识别等任务中。
三、相关概念和定理除了三点共线算法，还有一些相关的概念和定理也与之密切相关。
例如，共线点定理指出，如果一个点在一条直线上，那么它的任意两个点也在同一条直线上。
这个定理可以作为三点共线算法的基础。
还有一些定理可以用于判断三个点是否共线。
例如，如果三角形的两边的中点和第三边的一个顶点共线，那么这三个点就共线。
另外，如果一个三角形的内心和外心与三个顶点共线，那么这三个点也共线。
四、三点共线算法的优化虽然三点共线算法很简单，但是在实际应用中可能会遇到一些性能问题。
例如，当处理大规模数据时，如果对所有的三个点都执行一次三点共线算法，那么算法的时间复杂度将会很高。
为了提高算法的效率，可以采用一些优化措施，例如使用空间分割树结构来加速算法的执行。
五、总结三点共线算法是一种判断给定的三个点是否在同一条直线上的算法。
它的原理很简单，只需要计算两个向量的叉积即可。
这个算法在几何学、计算机图形学和计算机视觉等领域中有广泛的应用。
此外，还有一些相关的概念和定理可以用于判断三个点是否共线。
平面向量中“三点共线定理”妙用
OG 2 1 (OA OB) 1 (OA OB)
32
3
图5
OP xOA
OA 1 OP x
OQ yOB
OB 1 OQ y
OG 1 (OA OB) 1 (1 OP 1 OQ)
3
3x
y
OG 1 OP 1 OQ 3x 3y
又 P,G,Q 三点共线， 1 1 1 1 1 3
典的高考题。
例 2 已知 P 是 ABC的边 BC 上的任一点,且满足 AP xAB yAC, x.y R ，则 1 4 xy
的最小值是 解: 点 P 落在 ABC 的边 BC 上 Ｂ，Ｐ,Ｃ三点共线
AP xAB yAC x y 1 且x>0,y>0
1 4 (1 4 ) 1 (1 4 ) (x y) 1 y 4x 4 5 y 4x
3x 3y
xy
1 1 为定值 3 xy
例６（汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试）如图６所示,
在平行四边形 AＢＣD 中， AE 1 AB , AF 1 AD ,ＣE 与 BＦ相交
3
4
于 G 点,记 AB a ， AD b ，则 AG ＿______
A． 2 a 1 b
B． 2 a 3 b C. 3 a 1 b
唯一的实数 t，使得 OP t AB t(OB OA) tOA tOB ， OP xOA yOB t x,t y
t 1 , y 1 ,又因为点 P 在两平行直线 AＢ、OM 之间，所以 1 y 3 ,所以实数 y
22
2
2
的取值范围是: ( 1 , 3 ) 22
练习：
3. OAB ，点 P 在边 AB 上， AB 3AP ,设 OA a, OB b ,
向量三点共线结论的推广及应用
向量中“三点共线”结论的推广及应用一、引例：（1）在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →=______AB →+______AC →（2）已知AP →＝43AB →，则OP →=______OA →+______OB → 结论：已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.变式.已知A ，P ，B 是共线的三点，O 为面内任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，若OP tOP '=u u u u v u u u v ，则tm tn +的值为_________二、三点共线例题分析例1．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，求实数p 的值．例2．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．变式1．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n的值．变式2．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．变式3．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.例3．已知O 是△ABC 内部一点，)(2PC PB AB +=，求△PBC 与△ABC 的面积之比．变式1．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足()1OA OB OC O λλ++-=u u u v u u u v u u u v u v ，若OAB ∆的面积与OAC ∆的面积比值为13，则λ的值为变式2．已知P 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△AOB 与△AOC 的面积之比．。
三点共线向量表示及其性质应用
三点共线向量表示及其性质应用新课标新教材《数学4》一道例题给出了三点共线的向量法表示，还提示我们可以利用这个例题解决三点共线问题，所以值得我们深入探究和发掘．本文就此给出了三点共线向量表示的两种证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向量表示在解题中的应用。
下面且看笔者一一道来，供大家参考。
例题：如图1，A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得PC =λPA +（1-λ）PB ．证法探究：思路1分析： 初看欲证目标，始感实难下手。
我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC =λPA +（1-λ）PB ，只需证PC =λPA +PB -λPB ⇔PC -PB =λ（PA -PB ）⇔BC =λBA ⇔BC ∥BA ．这样证明思路有了。
证法1：∵向量BC 与向量BA 共线，∴BC =λBA ，即PC -PB =λ（PA -PB ），PC =λPA +PB -λPB ，∴PC =λPA +（1-λ）PB ．证毕，再思考一下实数λ的几何意义究竟如何。
考察向量等式BC =λBA ，结合图形，易知，当点C 在线段AB 上时，则BC 与BA 同向，有0≤λ≤1；当点C 在线段AB 延长线上时，则BC 与BA 反向，有λ<0；当点C 在线段BA 延长线上时，则BC 与BA 同向，有λ＞1．思路2分析：回想平面向量基本定理，如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，存在一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=。
所以我们可以不共线PA 、PB 作为一组基底，PC 则由它们线性表示，即存在λ，μ∈R ，使PC =λPA+μPB ．接下来，证明思路有了。
请看证法2。
证法2：当A 、B 、P 共线时，结论显然成立；当A 、B 、P 不共线，即有向量PA 、PB 不共线，以PA 、PB 为基底，PC 由它们线性表示，即存在λ，μ∈R ，使PC =λPA+μPB ．过点C 作BP A C //'，AP B C //'，如图2．PC =A P '+B P '，所以A P '=λPA ，B P '=μPB ．由λ='='=||||||PA PA BA ，||PA A P '||PB B B '=||PB B P PB '=1-μ，得1-μ=λ，即μ=1-λ，故PC =λPA +（1-λ）PB ．此例题逆命题亦成立，即已知A ，B ，C 是平面内三个点，P 是平面内任意一点，若存在实数λ，μ，有PC =λPA +μPB ，且λ+μ=1，则A ，B ，C 三点共线．故此逆命题可作三点共线判定方法。
平面向量中“三点共线定理”妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。
特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。
点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。
例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+= 且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++ x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
三点共线向量式的巧妙运用
三点共线向量式的巧妙运用三点共线向量式是利用向量的几何性质来解决几何问题的一种方法。
它是基于以下事实：如果三点A、B、C在同一直线上，那么向量AB与向量BC是共线的。
这个性质可以用来解决很多几何问题，下面我们将介绍几个巧妙运用三点共线向量式的例子。
例子1：判断四边形的对角线是否相交考虑一个四边形ABCD，我们想判断它的对角线AC和BD是否相交。
我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。
向量AC=C-A向量AD=D-A向量AB=B-A如果AC与AD共线，即向量AC与向量AD的方向相同或相反，那么对角线AC与BD相交；如果AC与AB共线，即向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么对角线AC与BD不相交。
例子2：判断线段是否相交考虑两条线段AB和CD，我们想判断它们是否相交。
首先，我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。
向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AC共线且AB与AD共线，即向量AB与向量AC以及向量AB与向量AD的方向相同或相反，那么线段AB和线段CD相交；如果AB与AC共线但AB与AD不共线，即向量AB与向量AC的方向相同或相反但向量AB与向量AD的方向不同，那么线段AB和线段CD不相交。
例子3：判断四边形是否能构成平行四边形考虑四边形ABCD，我们想判断它是否能构成平行四边形。
我们可以选择一个顶点，比如A点，并用向量表示其他三个顶点相对于A点的位置。
向量AB=B-A向量AC=C-A向量AD=D-A如果AB与AD共线且AC与AB共线，即向量AB与向量AD以及向量AC与向量AB的方向相同或相反，那么四边形ABCD能构成平行四边形；如果AB与AD共线但AC与AB不共线，即向量AB与向量AD的方向相同或相反但向量AC与向量AB的方向不同，那么四边形ABCD不能构成平行四边形。
以上是三点共线向量式的几个巧妙运用，它们可以帮助我们在解决几何问题时更加便捷地判断线段是否相交、对角线是否相交以及判断四边形是否能构成平行四边形。
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向量三点共线定理及其延伸应用汇总
1.如何判断三点共线？
根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。
如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。
2.判断四点共面问题
将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。
如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。
这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。
3.判断平行四边形
平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。
如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。
因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。
4.求解向量坐标问题
假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。
可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。
如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。
5.解决线段相交问题
如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。
如果向量AB和向量CD共线，那么
线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。
6.判断三角形共线问题
已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。
7.探索顺、逆时针旋转问题
已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。
8.求解线段长度问题
定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。
利用这个定理，可以求解线段长度。
假设已知线段AB，要求解其长度。
可以通过找到线段AB的中点O，然后计算向量OA的长度得到线段AB 的长度。
综上所述，向量三点共线定理及其延伸应用在几何中具有很大的应用价值，它不仅可以用于判断点和线的位置关系，还可以用于解决相交、旋转、线段长度等问题，使得几何问题的求解更加简单和直观。