数学分析(上)课程江西财经大学统计学院《数学分析》课程描述

江西财经大学统计学院《数学分析》课程介绍一、课程信息《数学分析上》课程代码：06266 课时数：224 学分：12二、授课老师统计学院数理统计系教师三、课程简介《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。

学好数学分析是学好其他后继数学课程如微分方程、实变函数与泛函分析、概率论与数理统计等课的必备的基础。

作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。

数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。

同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。

这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。

我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。

从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。

本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

四、教学目的要求学生较系统地理解数学分析的基本理论和基本方法。

要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，培养学生具备基本的运算技能；帮助学生培养、提高解题能力和技巧，并从中培养学生解决实际问题的能力。

五、教材及参考文献1、教材⑴《数学分析（第二版）》（上、下册）陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社（2004）2、参考书目（1）《微积分与数学分析引论》，（美）R.柯朗，张鸿林（译），科学出版社（1979）（2）《高等数学引论》，华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张筑生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）（15）《数学分析》，邹应，高等教育出版社（1990）（16）《数学分析》，周民强，上海科学技术出版社（2002）（17）《数学分析习题演练》，周民强，科学出版社（2009）（18）《数学分析题解精粹》，钱吉林，崇文书局（2003）（19）《数学分析习题课讲义》，谢惠民，高等教育出版社（2010-11）（20）《数学分析》，（俄）В.А.卓里奇，周美珂（译）,高等教育出版社（2006) 六、评分标准数学分析考试采用闭卷笔试形式，满分为100分，其中平时成绩20%,期末8 0%; 期末考试时间为110分钟。

平时成绩：由任课教师根据学生的课堂纪律、考勤、课堂回答老师的提问、作业完成情况与质量等确定；期末考试成绩：由教务处统一安排。

七、授课计划1、授课时数2242、教学进度安排第零章前言数学分析的研究对象；数学分析发展史；数学分析课程的主要内容；数学分析与实变函数的关系；如何学好数学分析；教材和参考书目。

第一章集合与映射§1.1 集合集合；集合的运算有限集与无限集；笛卡儿乘积集合§1.2 映射与函数映射；一元实函数；初等函数；函数的分段，隐式表示与参数表示；函数的简单特性；两个常用不等式；本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。

第二章数列极限§2.1 实数系的连续性实数系；最大数与最小数；上确界与下确界§2.2 数列极限数列与数列极限数列极限的性质；数列极限的运算§2.3 无穷大量无穷大量；待定型§2.4 收敛准则单调有界数列收敛定理；π和e闭区间套定理；子列；Bolzano-Weistrass定理；Cauchy收敛原理；实数系的基本定理；本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。

第三章函数极限与连续性§3.1 函数极限函数极限的定义；函数极限的性质；函数极限的四则运算函数极限与数列极限的关系；单侧极限；函数极限定义的扩张§3.2 连续函数连续函数的定义；连续函数的四则运算；不连续点的类型；反函数连续性定理；复合函数连续性定理。

§3.3 无穷小量与无穷大量的阶 .无穷小量的比较；无穷大量的比较；等价量§3.4 闭区间上连续函数的性质有界性定理；最值定理；零点存在定理；中间值定理；一致连续概念本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。

第四章微分§4.1 微分和导数微分概念的导出背景；微分的定义；微分和导数§4.2 导数的意义和性质导数产生的实际背景；导数的几何意义；单侧导数§4.3 导数的四则运算和反函数求导法则从定义出发求导数；求导的四则运算法则；反函数的求导法则§4.4 复合函数求导法则及其应用复合函数求导法则；一阶微分形式的不变性；隐函数求导与微分；复合函数求导的其他应用§4.5 高阶导数和高阶微分高阶导数的实际背景和意义高阶导数的运算法则高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。

第五章 微分中值定理及其应用§5.1 微分中值定理函数极值与Fermat 引理 ；Rolle 定理 ；Lagrange 中值定理 ；用Lagrange 中值定理讨论函数的性质；Cauchy 中值定理§5.2 洛必达法则待定型极限和L ’Hospital 法则 ； §5.3 Taylor 公式和插值多项式 带Peano 余项的Taylor 公式；带Lagrange 余项的Taylor 公式§5.3 Taylor 公式和插值多项式插值多项式和余项；Lagrange 插值多项式和Taylor 公式；§5.4 函数的Taylor 公式及其应用泰勒公式在近似计算中的应用；求极限；证明不等式；求曲线的渐进方程 §5.5 应用举例极值问题；最值问题；数学建模；函数作图；复习本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor 公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L ＇Hospital 法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。

第六章 不定积分§6.1 不定积分的概念和运算法则微分的逆运算——不定积分；不定积分的线性性质§6.2 换元积分法和分部积分法换元积分法；分部积分法；基本积分表§6.3 有理函数的不定积分及其应用有理函数的不定积分 ；可化成有理函数不定积分的情况本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。

第七章 定积分§7.1 定积分的概念和可积条件定积分概念的导出背景 ；定积分的定义Darboux 和；Riemann 可积的充分必要条件00∞∞可化为型或型的极限§7.2 积分的基本性质§7.3 微积分基本定理从实例看微分与积分的联系；微积分基本定理；定积分的分部积分法和换元积分法；§7.4 定积分在几何计算中的应用求平面图形的面积；求曲线的弧长；求某些特殊几何体的体积；求旋转曲面的表面积；曲线的曲率§7.5 微积分实际应用举例微元法；简单数学模型和求解本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。

第八章反常积分§8.1 反常积分的概念和计算反常积分；反常积分计算§8.2 反常积分的收敛判别法反常积分的Cauchy收敛原理；非负函数反常积分收敛判别法；一般函数反常积分收敛判别法；无界函数反常积分收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。

第九章数项级数§9.1数项级数的收敛性数项级数;级数的基本性质§9.2上级限与下极限数列的上极限和下极限; 上极限和下极限的运算§9.3正项级数比较判别法;Gauchy判别法与d′Alembert判别法；Raabe判别法；积分判别法§9.4任意项级数任意项级数；Leibniz级数；Abel判别法与Diriechlet判别法；级数的绝对收敛与条件收敛；加法交换率；级数的乘法§9.5无穷乘积无穷乘积的定义；无穷乘积与级数本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。

第十章函数项级数§10.1函数项级数的一致收敛性点态收敛；函数项级数的基本问题；函数项级数的一致收敛性§10.2一致收敛级数的判别与性质一致收敛的判别；一致收敛级数的性质；处处不可导的连续函数之例§10.3幂级数幂级数的收敛半径；幂级数的性质§10.4函数的幂级数展开Taylor公式与余项公式；初等函数的Taylor展开§10.5用多项式逼近连续函数本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。