第六章 fx定积分
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
微积分的基本公式_2022年学习资料
2.微积分基本公式-如果f∈C[a,b],则ftdt为fx在[a,b]上-的一个原函数-若已知Fx为fx的 函数，则有-∫fdt=Fx+Co.-令x=a,则0=∫fdt=Fa+C,故C。=-Fa-取x=b,则得到fodufodx=ro-ra
定理-牛顿一莱布尼茨公式-若fx∈C[a,b],Fx为fx在[a,b]上的-一个原函数，则-["fxdx= x"=Fb-Fa.-将定积分的计算与求原数的计算联系起来了
定理2-若fx∈C[a,b,则Fx=∫fdt在[a,b]-上可导，且-F'=-fadr-fo-a≤x≤b.
定理3-若fx∈R[a,b],且在点x,∈[a,b]处连续-则Fx=ftdt在点x处可导，且F'xo=fx .-在端点处是指的左右导数
例1-easrdry-dIcosdr-cosx-Fx-cosxdx'=？-/-定积分与积分变量的记号无关. cosxdx'=cosx.
定积分的计算-问题转化为已-知函数的导函-数，求原来函数-的问题.
例5-sin x'=cosx,-π -[2cosxdx=sinx2=-sin 0=1.-问题的关键是如何求一 -函数的原函数，
例6-cnantn-unslan--兀-2-●-sinO=
例7-计算∫1+cos2xdx.-去绝对-值符号如果-是分段函数-解-o+cos2xdx=f2cosdx利用积分-的性质将积-分分成几个-怎么办？方201cos1dx-部分的和的-形式--cd+cd.x-=v2 inx-2sinx=2v2.
积分上限函数的几何意义-y-y-a-xx-b-X-曲边梯形的面积的代数和随x的位置而变化.
由积分的性质：fxdx=-∫公fxdx,有-∫fodr=-∫fodt.-所以，我们只需讨论积分上限函数.fdr称为积分下限函数
定积分知识点总结
定积分知识点总结什么是定积分？定积分是微积分中的重要概念之一，用于求解曲线下面的面积或曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
定积分的基本思想是将区间划分成无限小的小区间，然后对每个小区间内的函数值进行求和，最终得到曲线下的面积或图形的面积。
定积分的符号表示定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中∫ 表示积分符号，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
∫ f(x)dx的结果是一个数值，表示积分区间上的面积。
定积分的计算步骤计算定积分的一般步骤如下：1.确定积分区间：确定被积函数的积分区间，一般用[a, b] 表示。
其中，a 表示下限，b 表示上限。
2.对被积函数进行积分：根据被积函数的形式，进行积分运算。
如果被积函数是简单函数，可以直接对其进行积分。
如果被积函数比较复杂，可以利用积分的基本公式或积分的性质来进行换元、分部积分等操作。
3.计算积分结果：对积分结果进行计算，得到最终的数值结果。
定积分的性质定积分具有以下几个重要的性质：1.线性性质：定积分具有线性性质，即对于任意的常数 a 和 b，有∫(af(x) + bf(y))dx = a∫f(x)dx+ b∫f(y)dy。
2.区间可加性：如果有一个函数在区间 [a, b] 上可积分，而在 [b, c] 上也可积分，则在整个区间 [a, c] 上也可积分，并且有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
3.积分与求导的关系：定积分与原函数之间存在着积分与求导的关系。
如果函数 F(x) 在区间 [a, b] 上可导，并且导函数 f(x) 连续，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
定积分的应用定积分在科学和工程领域有着广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景：1.几何应用：定积分可以用于计算平面图形的面积和曲线的弧长。
例如，可以通过计算曲线所围成的面积来求解不规则图形的面积。
2.物理学应用：定积分在物理学中的应用非常广泛。
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用定积分作为高等数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，其在实际生活中的应用也是非常广泛的。
本文将以同济大学高等数学上册第六章定积分的应用为题，从不同的角度来探讨定积分在实际问题中的应用。
第一节：定积分在物理学中的应用在物理学中，定积分的应用是非常广泛的。
比如，在力学中，我们可以通过定积分来求解物体的质心、转动惯量等问题；在热力学中，可以通过定积分来计算热力学过程中的功和热量等；在电磁学中，可以通过定积分来计算电荷分布下的电场强度等。
定积分在物理学中的应用，不仅帮助我们更好地理解物理定律，还帮助我们解决实际问题。
第二节：定积分在经济学中的应用经济学是一个与人们日常生活息息相关的学科，而定积分在经济学中的应用也是非常显著的。
比如，在计算人均收入时，可以通过定积分来计算人均消费的总和；在计算流动性时，可以通过定积分来计算资产的变化量。
通过使用定积分的方法，经济学家可以更加精确地分析经济问题，并作出合理的决策。
第三节：定积分在生物学中的应用生物学是一个研究生命现象和生命规律的学科，而定积分在生物学中的应用也是非常广泛的。
比如，在遗传学中，可以通过定积分来计算染色体的长度；在生态学中，可以通过定积分来计算种群的增长率。
通过使用定积分的方法，生物学家可以更加准确地研究生物现象，并深入理解生命的奥秘。
第四节：定积分在工程学中的应用工程学是一个应用数学知识解决实际问题的学科，而定积分在工程学中的应用也是非常重要的。
比如，在土木工程中，可以通过定积分来计算曲线的长度、曲面的面积等；在电气工程中，可以通过定积分来计算电路中的功率、电量等。
通过使用定积分的方法，工程师可以更好地设计和分析工程问题。
总结：通过对同济大学高等数学上册第六章定积分的应用进行探讨，我们发现定积分在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中的应用非常广泛。
定积分作为数学中的一个重要概念，不仅可以帮助我们更好地理解各个学科，还能够解决实际问题。
高等数学讲义第六章定积分及其应用
oa
x x i1 i i
b
x
编辑ppt
2
定义:设函数f (x)在[a,b]上有界，如果不任[a对 ,b]怎样
划分成n个小区间，也不任在 小各 区间[xi1, xi ](i 1,2,,n)
上点i 怎样取法，只要当0时( maxxi)和式
i
n
f (i )xi 趋于一个确定的极限I，值那么称此极限值为
a
编辑b ppt
a
4
3 abk(fx)dxkabf(x)d x k 为（ 常数） 4 a b (f(x) g (x)d ) x a bf(x)d x a bg (x)dx
5设acb则
b
c
b
a f(x)dxa f(x)dxc f(x)dx
6 如果x[a,b]有 f (x) g(x)
则
b
存在一 ,使 点得 abf(x)dxf()(ba) (ab)
定积分中值定理的几何意义： 在[a,b]内至少有一点，使得以[a,b]为底，f ()为高的 矩形面积，等于以[a,b]为底的曲边梯形的面积。
y
o
a
b
x
编辑ppt
6
例1. 用定义计算定积分 12 xdx
例2.设f (x),g(x)在[a,b]连续,g(x)保号,证明：
在[a,b]上至少存在一 ，点 使得
b
a
f
(x)g(x)d
x
f
()abg(x)d
x
成立。
编辑ppt
7
§2. 微积分基本公式
由定积分的定义来计算定积分的值是很困难的， 是否存在更为简便的方法呢？
先引入变上限函数及其求导定理
设 f(x)在 [a,b]上连续 f(x)在 ， [a,x]那 (x [a 么 ,b]上 )
第六章定积分182页PPT
可积的充分条件：
定理2. 函数 f (x) 在 [a,b]上连续 f (x)在 [a,b]上可积 .
定理3. 函数 f (x) 在[a,b]上有界 , 且只有有限个间断点
f (x) 在 [a,b]上可积 .
例1. 利用定义计算定积分 1 x2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi
i n
(2) 定积分与积分变量的记号无关：
b
f (x)d x
b
f (y)d y
b f (t) d t .
a
a
a
b
a
(3) a f (x) d x b f (x) d x
可积的必要条件:
定理1. 函数f (x)在区间[a,b]上可积 f (x)在[a,b]上有界.
31
b
n
a
f (x) d x lim ||x||0 i1
f (i )xi
( || x || m1iaxn {xi}) .
定积分符号：
b
n
a
f (x)d x
lim ||x||0
i1
f (i )xi .
b —定积分号； a —积分下限； b —积分上限； a
n
i [xi1, xi ], 作和Sn f (i )xi
n
i 1
若 lim ||x|| 0 i1
f (i )xi
存在,
且该极限值与对区间 [a,b] 的
分法 T 及点i 的选择无关, 则称函数 f (x) 在[a,b] 上可积,
记为 b f (x) d x , 极限值称为 f (x) 在 [a, b] 上的定积分： a
高等数学第六章定积分的应用
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
绝对值fx的定积分
绝对值fx的定积分绝对值函数是一种非常有趣的函数，它的图像由两个部分组成，一个部分是原点下方的一段直线，斜率为-1，另一个部分是原点上方的一段直线，斜率为1。
这个函数的数学表达式为：f(x) = |x|。
要计算绝对值函数fx的定积分，我们可以使用分段函数的定义。
在定义域内，当x大于等于0时，函数的定义为f(x) = x，当x小于0时，函数的定义为f(x) = -x。
所以对于x大于等于0的区间，我们可以直接进行积分：∫[0, a] x dx = [x^2/2] [0, a] = a^2/2。
对于x小于0的区间，我们可以使用反向积分的方式来计算。
我们可以把这个积分的区间[-a, 0]进行变换，令u = -x，这样当x等于-a时，u等于a，当x等于0时，u等于0。
所以积分变为∫[a, 0] -u du = [u^2/2] [a, 0] = -a^2/2。
综上所述，绝对值函数fx的定积分可以表示为以下形式：∫[-a, a] |x| dx = ∫[0, a] x dx + ∫[a, 0] -x dx = a^2/2 - a^2/2 = 0。
我们可以看到，绝对值函数fx的定积分在函数的对称轴x=0处等于0。
这意味着正值部分和负值部分的面积相等，所以整个函数的定积分为0。
但需要注意的是，这个结果只适用于整个定义域[-a, a]内的定积分，而不是对于其他任意区间的定积分。
对于其他区间的定积分，我们需要根据具体的区间来进行分段计算。
比如对于区间[1, 3]内的定积分，我们可以先计算绝对值函数在该区间内的正值部分的面积，再计算负值部分的面积，然后两者相加得到最终的定积分结果。
具体计算过程如下：∫[1, 3] |x| dx = ∫[1, 3] x dx = [x^2/2] [1, 3] = (3^2/2 - 1^2/2) = (9/2 - 1/2) = 4。
所以在区间[1, 3]内，绝对值函数fx的定积分结果为4。
综上所述，绝对值函数fx的定积分在整个定义域[-a, a]内等于0，在其他区间内的定积分结果需要根据具体的区间进行分段计算。