灰色GM(1,1)模型的应用研究
灰色关联度的原理及应用
灰色关联度的原理及应用1. 灰色关联度的定义灰色关联度是一种用来评价因素之间关联程度的方法，通过将影响因素的数据转化为灰色数列，在此基础上计算各因素之间的关联度。
灰色关联度分析可以在信息不完全、样本量较小或数据质量较差的情况下，评价因素间的关联程度，广泛应用于科学研究、经济管理、工程技术等领域。
2. 灰色关联度的计算方法计算灰色关联度的过程主要包括以下几个步骤：2.1 数据标准化首先，需要对采集到的原始数据进行标准化处理。
标准化可以消除因各个数据量级不同而带来的影响，使不同指标具有可比性。
2.2 构建灰色关联数列将标准化后的数据序列构建成灰色数列，可以采用GM(1,1)模型进行预测。
GM(1,1)模型是一种常用的灰色预测模型，通过建立灰微分方程来对数列进行预测。
2.3 计算灰色关联度通过计算各因素之间的关联度，可以评价其关联程度。
常用的方法有关联系数、相关系数、灰色关联度等。
3. 灰色关联度的应用灰色关联度在实际应用中具有广泛的价值，以下是一些常见的应用场景：3.1 经济管理在经济管理领域，灰色关联度可以用来评估经济指标之间的关联程度，为决策提供科学依据。
例如，可以通过对GDP、人均收入、消费水平等指标进行灰色关联度分析，评估经济发展的关键因素。
3.2 工程技术在工程技术领域，灰色关联度可以用来评价工程指标之间的关联性，为工程优化提供支持。
例如，在石油勘探中，可以通过对地震数据、测井数据、岩心实验数据等进行灰色关联度分析，确定有效的油藏储量。
3.3 科学研究在科学研究中，灰色关联度可以用来研究不完全信息下的因素关联。
例如，在气候变化研究中，可以通过对气温、降水量、气压等数据进行灰色关联度分析，探索气候变化的驱动因素。
4. 灰色关联度的优势与局限灰色关联度作为一种关联度评价方法，具有以下优势：•可以在数据不完全的情况下进行关联度分析，具有较好的鲁棒性。
•可以应用于多个领域，例如经济管理、工程技术、科学研究等。
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用
灰色马尔科夫模型在我国肺结核发病率预测中的应用随着科技的不断进步，预测模型在医疗方面得到了广泛的运用。
其中，灰色马尔科夫模型（Gray Markov Model，简称GM(1,1)模型）是一种较为常用的模型，具有较高的预测精度和实时性。
在我国肺结核高发国家的现状下，研究肺结核发病率的变化规律和预测肺结核发病率的趋势，具有重要的现实意义。
一、灰色马尔科夫模型简介灰色马尔科夫模型是将灰色系统理论与马尔科夫转移概率矩阵相结合所形成的一种新型预测模型。
该模型适用于样本量较小的情况下，可以根据序列中的数据，对序列未来的趋势进行预测。
GM(1,1)模型是灰色马尔科夫模型家族中的一员，它以低强度的可预测性和对非线性、小样本和不稳定时间序列的适应性为其主要优势。
二、肺结核发病率变化趋势分析2005年，我国肺结核发病率为93/10万，在此之后随着我国经济发展和卫生保健制度改革的实施，肺结核发病率呈下降趋势。
2010-2018年，我国肺结核发病率分别为65/10万、62/10万、58/10万、55/10万、53/10万、50/10万、47/10万、42/10万、39/10万。
可以看出，我国肺结核发病率在逐年下降，但下降幅度有所减缓。
1、建模：采用GM(1,1)模型对我国肺结核发病率进行预测。
将我国2005-2018年的肺结核发病率数据作为灰色马尔科夫模型的输入变量，以2019-2023年为预测年份。
2、模型训练：用我国2005-2018年的肺结核发病率数据训练GM(1,1)模型，得到预测公式。
在本次研究中，采用GM(1,1)模型的基本步骤如下：①数据一次累加生成新数据序列：$B={b(1),b(2),...,b(n)}$：$b(k)=\sum\limits_{j=1}^{k}x(j)$。
②用新的序列得出数据的矩阵形式:$$ \overset{\sim}{X}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}(x(1)+x(2))&1 \\ -\frac{1}{2}(x(2)+x(3))&1 \\\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot&\cdot \\ -\frac{1}{2}(x(n-1)+x(n))&1 \\ \end{bmatrix} $$③建立一阶常系数非齐次线性微分方程：$$\frac{d\overline{x}}{dt}+a\overline{x}=u(t)$$式中，$a$为灰色作用量或灰色关联系数，$u(t)$为输入序列。
灰色预测模型及应用论文
管理预测与决策的课程设计报告灰色系统理论的研究专业：计算机信息管理姓名：XXX班级：xxx学号：XX指导老师：XXX日期2012年11月01 日摘要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。
无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。
在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。
本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性[]4。
通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。
另外对传染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。
关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论目录1、引言11.1、研究背景 (1)1.1.1、国内研究现状 11.1.2、国外研究现状 11.2、研究意义 (2)2、灰色系统及灰色预测的概念22.1、灰色系统理论发展概况22.1.1、灰色系统理论的提出22.1.2、灰色系统理论的研究对象 22.1.3、灰色系统理论的应用范围 22.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 32.2、灰色系统的特点.42.3、常见灰色系统模型 52.4、灰色预测 (5)3、简单的灰色预测——GM(1,1)预测63.1、GM(1,1)预测模型的基本原理64、小结 (9)参考文献： (10)灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展1、引言模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。
黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。
白箱模型：信息完全，明朗，纯净。
灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。
灰色预测模型GM(1_1)及其应用
灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。
在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。
数 列 序 数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。
即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。
（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X， 取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。
股票投资价值灰色系统模型及应用
股票投资价值灰色系统模型及应用【摘要】本文旨在探讨股票投资价值灰色系统模型及其应用。
首先介绍了灰色系统理论的基本概念，然后详细解析了股票投资价值分析方法。
接着分析了灰色系统在股票投资中的应用，并提出了股票投资价值灰色系统模型。
通过实证分析和结果讨论，验证了该模型的有效性。
总结了股票投资价值灰色系统模型的有效性，探讨了未来的发展方向，并对研究结论进行了总结。
本文旨在为股票投资者提供一种新的分析方法，帮助他们更准确地评估股票的价值，提高投资的成功率和效益。
【关键词】股票投资、灰色系统、模型、应用、价值分析、理论、实证分析、结果讨论、有效性、未来发展方向、结论总结1. 引言1.1 股票投资价值灰色系统模型及应用本文通过对灰色系统理论的概述，股票投资价值分析方法的介绍，以及灰色系统在股票投资中的具体应用等内容的探讨，将展示股票投资价值灰色系统模型的构建过程和实际运用情况。
通过实证分析与结果讨论，我们将评价该模型的有效性，并在结尾部分探讨未来发展方向。
通过对股票投资价值灰色系统模型及应用的研究，我们希望为投资者提供更科学、更准确的投资决策方法，同时也推动灰色系统理论在股票投资领域的深入应用和发展。
2. 正文2.1 灰色系统理论概述灰色系统理论是由中国科学家梁元河教授于1982年首次提出的一种非确定性系统理论。
灰色系统理论是研究不确定性和部分信息的系统理论，它适用于数据不完备和不确定性分布不均的情况下的建模和预测。
灰色系统理论的主要特点是能够处理非线性、非稳定、非均匀和非完备的信息，使得原本难以分析的问题得以有效处理。
在灰色系统理论中，将数据分为已知和未知两部分，已知部分称为白色数据，未知部分称为灰色数据。
通过对灰色数据进行处理和建模，可以揭示数据的内在规律和趋势，从而实现对未知信息的预测和分析。
灰色系统理论已被广泛应用于各个领域，包括经济管理、环境保护、医学科研等。
在股票投资领域，灰色系统理论也具有重要的应用价值。
灰色模型GM(1,1)在渔货卸港量预测中的应用
灰色模型GM（1，1）在渔货卸港量预测中的应用采用灰色模型GM（1，1），依据五个渔港实际渔货卸港量资料，对渔港渔货卸港量进行预测，并与时间序列法的预测结果对比，结果表明该模型预测精度要优于时间序列法，可以在渔货卸港量预测中加以应用。
标签：渔货卸港量；灰色模型GM（1，1）；预测方法简介渔港是渔业生产的重要依托，是渔区经济社会发展的重要基础设施，如何选取优势渔港进行合理资金投入是我国渔港建设中面临的一个重要问题，渔货卸港量是衡量渔港规模大小以及发展能力的一项重要决策指标，科学准确地对渔货卸港量水平进行预测，对于合理进行渔港规划布局建设以及发掘优势渔港满足当地渔业需求具有更贴合实际的意义[1]。
目前在各地渔港的工程可行性研究报告中普遍采用时间序列法对渔货卸港量进行预测，将年份或者序号与卸港量分别作为回归方程的自变量和因变量，建立一元线性回归方程[2]，该方法需要较多年份资料令计算结果容易出现偏差。
灰色系统理论主要研究小样本不确定问题[3]，预测样本不需要有规律性分布，灰色模型GM（1，1）是灰色预测模型中得到最普遍应用的核心模型[4]，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘潜在的规律，该模型在建模时不需要大量的数据就能取得较好的预测效果，已被广泛应用于经济管理、自然科学、农业科学、工程技术等各个领域[5]。
1 基本思路本文采用灰色系统理论中的GM（1.1）预测模型对渔港渔货卸港量进行预测，并与时间序列法的预测结果进行比较，结果表明采用灰色模型GM（1.1）的预测精度更高，预测结果更加接近实际值。
2 算例2.1 灰色模型GM（1，1）利用灰色模型GM（1，1），使用前阳一级渔港1996-2005年的渔货卸港量资料对2006年的渔货卸港量进行预测。
（见表1）2.1.1 卸港量累加序列的计算结果如下。
（见表2）2.1.2 分别建立矩阵B，y2.1.3 求逆矩阵2.1.4 根据计算估计值■和■：将■和■的值带入时间响应方程，得时间响应方程为：2.1.5 求出拟合值■（1）（i），根据■（1）（1）=■（0）（1），■（1）（2）=■（0）（2）+■（0）（1）…，进行后减运算还原，可依次得到■（0）（i）值，相关计算结果如表3所示。
GM(1,1)模型的适用范围
GM(1,1)模型的适用范围摘要GM(1,1)模型是一种常用的灰色系统数学模型，在许多领域得到了广泛的应用。
本文将介绍GM(1,1)模型的基本原理及其适用范围，并针对不同领域中GM(1,1)模型的具体应用进行详细讨论。
简介灰色系统理论是一种将统计学、数学和信息科学相结合的新兴跨学科领域，其研究的对象是具有不确定性、非完备信息的系统。
GM(1,1)模型是灰色系统理论中最常用的一种数学模型，用于预测和分析时间序列数据。
GM(1,1)模型的原理是基于灰色系统理论的灰色模型建模方法，该方法根据数据序列的变化规律，建立数据的动态变化模型，并通过建立灰色微分方程来进行预测。
GM(1,1)模型主要适用于简单的时间序列数据的预测和分析，具有简单、快速和高效等特点。
GM(1,1)模型的适用范围GM(1,1)模型适用于许多领域，主要包括以下几个方面：经济领域GM(1,1)模型在经济领域中的应用非常广泛，用于进行经济增长预测、市场趋势分析和投资策略制定等。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于GDP季度数据的预测和分析，对经济增长趋势进行精确预测，为决策者提供科学依据。
工程领域GM(1,1)模型在工程领域中主要应用于生产和管理技术的改进、质量控制和生产计划制定等。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于生产过程中某个指标的预测和分析，帮助工程师优化生产过程，提高生产效率。
自然科学领域GM(1,1)模型在自然科学领域中主要应用于气象、环境、水资源和地震等领域的数据分析和预测。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于气象领域的气温预测和降雨量预测，为决策者提供准确的气象数据，为灾害防治提供科学依据。
社会科学领域GM(1,1)模型在社会科学领域中主要应用于人口、教育、医疗和农业等领域的数据分析和预测。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于人口结构和教育发展趋势的预测和分析，帮助政府制定科学的人口和教育政策。
GM(1,1)模型的优缺点GM(1,1)模型具有以下优点：1.GM(1,1)模型具有简单、快速和高效等特点；2.GM(1,1)模型可以使用少量的数据进行分析和预测；3.GM(1,1)模型对数据的数量级和分布形态要求不高。
灰色预测模型GM(1,1)的改进及应用
Improvement and Application of GM(1,1)GrayPrediction ModelYANG Cun-dian 1,ZHANG Yan 1,WANG Yi 2(1.College of Urban,Rural Planning and Architectural Engineering,Shangluo University,Shangluo 726000,Shaanxi;2.Faculty of Economics and Management,Shangluo 726000,Shaanxi)Abstract:The improvement of application of GM(1,1)gray prediction model solved the inaccurate problem due to the reliance on initial value and background value in the process of model prediction.With the use of least square principle,estimate of parameters in initial value and background value is obtained and a prediction model is further obtained.Empirical analysis shows that the prediction accuracy has been improved,and the application of GM (1,1)gray prediction model in actual prediction is expanded.Key words:background value construction;GM(1,1)gray prediction model;the least squares 收稿日期：2020-11-25基金项目：国家社会科学基金西部项目（19XJL002）；陕西省社会科学基金项目（09E021）；陕西省教育厅专项科研计划项目（08JK036）作者简介：杨存典，男，陕西山阳人，教授(1.商洛学院城乡规划与建筑工程学院，陕西商洛726000；2.商洛学院经济管理学院，陕西商洛726000)灰色预测模型GM(1,1)的改进及应用杨存典1，张雁1，王怡2摘要：通过对GM(1,1)灰色预测模型预测方法的改进，解决了模型预测过程中依赖初始值和背景值所带来的预测精度不高的问题。
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灰色GM（1，1）模型的应用研究0 前言：目前常用的沉降预测方法较多，但研究表明，每种预测方法均有一定的适用范围，如双曲线法对于典型断面的理想数据预测效果较好，而对于量级小，波动大的观测数据的适用性较差；三点法（固结度对数配合法）预测误差较小，对数据段选取的依赖性小，对异常数据的敏感性强，但对沉降曲线收敛后波动太敏感，适用性差；Asoaka法预测误差一般较小，但其在预测过程钱对原始数据的平滑处理过程影响了预测误差的稳定性；指数曲线法对沉降变形数据的单调性有严格的要求，局部数据的小幅起伏变化都可能导致无法进行预测计算。
而现在高层、超高层建筑物，尤其高速铁路对于沉降控制很高，沉降量级一般较小，沉降数据波动大，如武广高铁桥涵和隧道沉降变形小于5mm，同时观测数据出现跳跃或连续几个观测数据变化趋势与常规相反的情况较多[[1] 陈善雄.高速铁路沉降变形观测评估理论与实践[M].中国铁道出版社，2010，3.]。
针对这些情况，目前高速铁路对桥涵和隧道进行沉降预测及评估时，目前通用的办法就是根据相应的地质条件、地基或桩基处理方式及目前发生沉降量直接判定是否满足沉降评估的要求，但判定条件很难把握，至今仍无法统一，故一种专门针对变形量级小，数据波动相对大的沉降预测方法具有十分重要的现实意义。
1 灰色GM（1，1）模型灰色系统是一种综合运用数学方法对信息不完全的系统进行预测、预报的理论和方法。
灰色预测的思路是：把随时间变化的随机正的数据列。
通过适当的方式累加，使之变成非负递增的数据列，用适当的方式逼近，以此曲线作为预测模型，对系统进行预测[[2] 宋来中.高速铁路线下工程沉降评估方法[J].中国港湾建设，2010，12（6）：35-36.]2。
目前常用的有GM（1，1）、GM（1，N）模型，其中GM（1，N）模型适合于建立系统的状态模型，为高阶系统提供基础，不适合预测用，预测模型应选用单个变量的模型即预测量本身数据模型（GM（1，1）模型）[[3] 陈启华.灰色GM （1，1）模型在高铁线下工程沉降变形预测中的应用[J].地理空间信息，2012，6（3）：141-142.][3]。
GM（1，1）模型通过使用某t时刻前的观测值，完成t 时刻后状态量的预报工作。
设原始非负序列为X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}，（1）其一次累加生成序列为X（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}，其中x（1）（k）=（i），i=1，2，…，n均值生成序列为Z（1）={z（1）（1），z（1）（2），…，z（1）（n）}，（2）其中z（1）（k）=（x（1）（k）+ x（1）（k-1）），k =2，3，…，n；我们称x（0）（k）+a z（1）（k）=b （3）为灰色GM（1，1）模型的基本形式。
对X（1）建立一阶线性微分方程模型（4）称为GM（1，1）模型的白化形式。
若为参数列且，则GM（1，1）模型x（0）（k）+a z（1）（k）=b的最小二乘估计参数列满足：（5）其参数估计值可计算得出。
微分方程式（4）的解也称为时间响应函数：GM（1，1）灰色微分方程x（0）（k）+a z（1）（k）=b的时间响应序列为（6）原始数据的拟合值为：（7）2 全最小一乘估计准则下的灰色GM（1，1）模型2.1 全最小一乘准则参数估计理论设有1组样本观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），若将它们展绘到平面上且位于一狭长区域内，那么，可以在某种准则下用直线方程（y=ax+b）来拟合它们，最小一乘准则是指样本观测值到回归直线y=ax+b的纵向距离ε的绝对值之和为最小，即：全最小一乘准则是在最小一乘准则的基础上认为每个偏差值的权重均为，则全最小一乘准则数学表达式为：（8）根据文献[[4] 朱春浩.最小一乘法与最小二乘法：历史与差异[J]. 统计与决策，2007，（6）：128.][4]表明，全最小一乘有效地减少了回归方程系数对异常数据的敏感性，在稳健性方面明显优于最小二乘准则，而最小二乘的一个缺点，是它受特异值点数据的影响较大。
2.2 全最小一乘估计准则下灰色GM（1，1）模型的建立和求解1）模型建立。
根据GM（1，1）模型x（0）（k）+a z（1）（k）=b，结合全最小一乘准则即式（8）得全最小一乘准则下的灰色GM（1，1）模型为：（9）2）模型求解。
由于全最小一乘问题所最小化的目标函数Q（a，b）是非线性且不光滑的[[5] 吴可法.关于加权全最小一乘的探讨[J]. 应用数学学报，2002，7（3）：439-447.][5]，因此通常计算参数a、b时，需要将其先转换为线性规划模型后进行计算[[6] 李杰.全最小一乘的灰色模型在变形监测中的应用[J]. 地理空间信息，2012，12（6）：136-138.][6]。
本文用LINGO软件对参数a，b进行求解。
LINGO的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题，在解决含有大量变量和约束条件的非线性规划问题时具有编程语言简单，使用方式灵活，适用性强的优点[[7] 桑杨阳.非线性规划建模与LINGO软件的编程应用[J]. 脑知识与技术，2012，4（10）][7]。
得到参数a，b的值后，利用式（6）、（7）计算预测值。
2.3 模型适用范围1）由于上述GM（1，1）模型是一阶微分方程，沉降不宜包括次固结沉降（即不适用于路基沉降预测），主要适用桥梁、隧道等结构物的沉降预测，若要包含次固结沉降应取二阶或更高阶次的微分方程。
2）由文献[[8] 刘思峰，邓聚龙.GM（1，1）模型的适用范围[J].系统工程理论与实践，2000，（5）：121-124.][8]可以知道，一般当|a|<2时，GM（1，1）模型有意义，当|a|≤1时可应用GM（1，1）模型进行预测，但随着|a|的值不同，预测效果也不相同。
3）由于该GM（1，1）模型的参数估计采用全最小一乘准则，故观测数据中的异常值对模型预测影响较小。
更适合总体沉降量较小，但后期数据波动较明显的沉降预测。
2.4 模型的检验相对误差：平均相对误差：（10）精度：（11）通常使用平均相对误差、精度和关联度来检验模型精度。
其级别见表1[][7]。
表1 模型精度级别分类表级别平均相对误差/% 精度/% 关联度一级 1 99 0.90二级 5 95 0.80三级10 90 0.70四级20 80 0.603 模型的可靠性验证3.1 无异常值的情况针对该模型的特点，本文选取某隧道的沉降变形监测数据，为客观反映隧道的沉降变形情况，我们布设了若干断面，每个断面布设2个观测点，通过二等精密水准并联测到测区2个水准点，采用往返测。
目前已经观测21期，观测频次为2周/次，我们对1S1观测点的累计沉降量进行处理，用前17期观测成果来建立GM（1，1）预测模型，用后4期的观测成果进行预测检核。
1S1观测点的累计沉降量见表：表2 点1S1累计沉降量統计表/mm期次沉降量期次沉降量期次沉降量1 0.00 8 1.10 15 1.842 0.55 9 1.31 16 1.553 1.37 10 1.57 17 1.844 1.14 11 1.31 18 1.755 0.48 12 1.62 19 2.156 0.89 13 1.93 20 1.887 1.39 14 1.51 21 2.03根据上节介绍的建模原理，利用观测点1S1前17期观测数据（用第2期数据作为模型的起始数据）和LINGO软件的计算和分析功能，进行建模计算分析，得到参数估计值为，则该点的GM（1，1）模型的时间响应序列为：对前17期数据进行拟合，并对后4期数据进行预测。
同时用双曲线预测模型，对该点数据进行拟合预测。
两种模型下的拟合和预测结果见表3、表4，并且通过图1可以直观的看出GM（1，1）与双曲线模型的预测结果比较接近：表3 实测值与拟合预测值较差期次实测值GM（1，1）双曲线期次实测值GM（1，1）双曲线拟合值较差拟合值较差拟合值较差拟合值较差1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12 1.62 1.54 0.08 1.53 0.092 0.55 0.55 0.00 0.36 0.20 13 1.93 1.60 0.33 1.57 0.363 1.37 1.09 0.28 0.59 0.78 14 1.51 1.67 0.15 1.65 0.144 1.14 1.13 0.01 0.78 0.36 15 1.84 1.73 0.11 1.72 0.125 0.48 1.17 0.70 0.93 0.45 16 1.55 1.80 0.26 1.77 0.236 0.89 1.22 0.33 1.06 0.16 17 1.84 1.87 0.04 1.82 0.017 1.39 1.27 0.12 1.16 0.23 期次实测值预测值较差预测值较差8 1.10 1.32 0.22 1.27 0.17 18 1.75 1.95 0.19 1.87 0.119 1.31 1.37 0.06 1.35 0.04 19 2.15 2.02 0.13 1.89 0.2610 1.57 1.43 0.14 1.42 0.15 20 1.88 2.10 0.23 1.93 0.0511 1.31 1.48 0.17 1.48 0.17 21 2.03 2.19 0.16 1.96 0.07图1 实测与拟合预测图3.2 存在异常值的情况若第8期数据有异常情况，异常值为4.5mm（原值为1.1mm），根据上节介绍的建模原理，利用LINGO软件的计算和分析功能，进行建模计算分析，得到参数估计值为，可计算得拟合预测结果见表4，由表4可以看出，当数据出现较误差值时（相对误差为309%），两次预测结果较差介于0.00～0.22之间，说明该模型预测结果稳定。
表4 存在异常值情况下的拟合预测结果比较期次实测值GM（1，1）模型拟合较差期次实测值GM（1，1）模型拟合较差无异常值有异常值无异常值有异常值1 0.00 0.00 0.00 0.00 12 1.62 1.47 1.54 0.072 0.55 0.55 0.55 0.00 13 1.93 1.52 1.60 0.083 1.37 1.09 1.09 0.00 14 1.51 1.57 1.67 0.104 1.14 1.13 1.13 0.00 15 1.84 1.62 1.73 0.115 0.48 1.17 1.17 0.00 16 1.55 1.67 1.80 0.136 0.89 1.21 1.22 0.01 17 1.84 1.73 1.87 0.147 1.39 1.25 1.27 0.02 期次實测值预测值预测值较差8 1.1（4.5）1.29 1.32 0.03 18 1.75 1.79 1.95 0.169 1.31 1.33 1.37 0.04 19 2.15 1.85 2.02 0.1710 1.57 1.38 1.43 0.05 20 1.88 1.91 2.10 0.1911 1.31 1.42 1.48 0.06 21 2.03 1.97 2.19 0.223.3 两种情况下的模型比较针对有、无异常观测值的情况，分别对参数估计值和模型的精度进行分析。