【精品】第八章灰色线性规划
灰色线性规划在盐城市土地结构优化中的应用
中 图分 类号 ：Ｏ ２ ． ２ １１
文 献标 志 码 ：Ａ
文 章 编号 ：１ ７— ３ ６２ １）２ Ｏ １一 ３ ６４ ３ ２（０ １Ｏ一 １７Ｏ
Ａｐｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｒ ｙ Ｌｉ ｅ ｏ ｒ ｍ ｐ ｉ ｉ ａ ｉ ｎ ｌ ｔｏ ｆ ｃ Ｇ ｅ ｎ ｒ Ｐｒ ｇ ａ ｉ Ｏ ｔｍ ｚ ｔｏ ｎ ｏ ｎ ｔ ｕｃ ｕ ｅｉ ｎ ｈｅ ｇ Ｃｉｙ ｆＬａ ｄ Ｓ ｒ ｔ ｒ ｎ Ｙａ ｃ ｎ ｔ
元 和江 苏省 同期水 平 的 ３ ８ ３０ ９元 。
由此可 见 ，盐城 市 的土地利 用 缺乏合 理 的规划 ，虽然 土地 资源 比较 丰富 ，但 土地利 用率 较低 ，导致 当 地 人 民生活水 平 较低 。要想 从根 本 上解决 问题 ，首 先要 合理地 配 置土地 资源 。
２ 灰色线 性规 划模 型
程 度 上避 免 了一般 线 性 规 划 中出 现 的 问题 【，其 形式 如 下 ： 目标 函数 为 ｍ ｘｍｉ ｚ＝ ｏ ，约束 条 件 为 ８ 】 ａ（ ｎ ）
０（ Ｏ ） ） （ 和∑ ≤０１ 或≥ 】 ； （） ｏ（） 其中Ｘ＝（ ， ， ） ， ， Ｘｌ …， 为决策变量，Ｘｊ （ ＝ ，， ｎ ，Ｚ Ｘ２ ≥０ Ｊ １ …，） ２
占 ３ ．％ ；居 民及工矿 用地 占 ８ ％ ；未利用 土地 占 １ ％ 。从 这些 数据 来看 ，农业 用地 所 占 比例 较大 ，建 ５６ ． ４ ． ６ 设 用地 所 占比例较 小 ，事 实 上 ，这 种 土地分 配 比例制 约 了盐城 市 的城 镇化 发展 。 其次 ，考查 盐城 市 的土地 利用 效率 。２ ０ ０ ８年 ，全 市 的森林 覆盖 率 为 １ ％，生 态环境 相对 较差 ，根 据 － ３ 该 市未来 发展 的规 划要求 ，到 ２ １ ０ ４年全 市 的森林覆 盖 率不低 于 ５ ． ３％，因此 ，要加快 种植 树 木 ，提 高森 林 覆 盖率 。全市 平均 人 口密度 为 ５ ９ １．２人／ｍ １ ｋ ，其 中城镇 人 口密度 为 １０ ００ ） ／ｍ 由文献 ［］ ４ ． ｋｋ （ ７ ． ５中的数 据计 算 得 出 ，农村人 口密度 为 ７ ７６ ，ｋ ） ０ ． Ｊ． ｍ 。土地 平均 年产 值 仅为 ２０ ４元／ ｍ ５ ， ／ ３ ｋ ，其 中农用 地产 值率 为 １ ０ ２ ５ 元／ ｍ ｋ ，非 农用 地产 值率 为 １ ４ ． 元／ ［。由此 可见 ，盐城 市农 业用地 产值 率远低 于 非农 用地 产值 ３２ １１ ２ ｋ ６ 】 率 ，从而 导致 了城 乡居 民贫 富差距 较大 ，这在一 定程 度 上也 阻碍 了 当地 经济 的发展 ；而城 镇化 率为 ４ ． ％， ３３ 稍 微落 后于 国家 同期水平 ；２ ０ ０ ８年盐 城 市人均 国民生 产总 值为 １ ３ 元 ，远 低 于国家 同期水 平 的 ２ ３ ． ８１ ３ ６１４４
线性规划图解法
.
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
.
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一 最优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
.
图解法
Page 4
（3）任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线，并确 定该等值线平移后值增加的方向，平移此目标函数的等值线，使 其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置（有时交于 无穷远处，此时称无有限最优解）。若有交点时，此目标函数等 值线与可行域的交点即最优解（一个或多个），此目标函数的值 即最优值。
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
.
不是凸集
图解法
Page 23
在凸集中，不能表示为不同点的凸组合的点
称为凸集的极点，用严格的定义描述如下。
定义3 设C为一凸集，如果C中不存在任何两个 不同的点X1、X2，使得X成为这两个点连线上的一 个点，即X S，X1 S，X2 S。如果对于0 1，若
2x1+ x2 50 z = 40x1+30x2
4x1+3x2 120
.
图解法
图解法的观察（二）
Page 14
如果可行域为空集，线性规划 问题无可行解；
如果目标函数等值线可以无限制地在可行域内向改善 的方向移动，线性规划问题无界;
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
线性规划和灰色模型介绍解析
原目标函数
maxZ minZ。' = -
n
j=1
Cjx j
j=1
(2) 线性不等式与线性等式：
n
n
aijx j bi aijx j +xn+i =bi
j=1
j=1
其中 x为n+i非负松弛变量，
n
n
akjx j bk a kjx j- xn+k =bk
j=1
j=1
其中 x为n+k非负剩余变量。 10
然后点击工具条上的执行按钮 即可
执行结果：
模型类型 求解状态
目标值
迭代次数
变量个数
约束个数 非零系数个数
使用的内存 计算时间
约束中的松弛变量 和剩余变量
影子价格：当对应约 束有微小变动时,目标 函数的变化率
• 注意：
（1）每条语句后必须使用分号“；”结束。问题模型必须由Model命令开头， 并以END结束。
a m1x1
a m2x2
amn xn
(
,
)b m
x1,x2 ,xn 0
n
max(min) z ci xi i 1
n
s.t.
i 1
ai
xi
(
,
)b
xi 0, i 1, 2, , n
通常称 x1,x2 , , xn为决策变量， c1,c2 , , cn 为价值系数， a11,a12 , , a mn 为消耗系数, b1,b2 , , bm 为资源限制系数。
+a mn xn =bm
（1） （2） （3）
8
n
紧凑格式： minZ= Cjx j
j=1
s.t.
灰色线性规划方法在土地资源利用结构优化中的应用
●农村经济灰色线性规划方法在土地资源利用结构优化中的应用张广慧土地资源利用结构配置的优化是土地规划编制的核心，土地利用规划结构决定了未来土地利用的基本框架，它的合理与否将直接影响国民经济各部门的发展，从而影响社会的进步。
土地利用是一个非常复杂的系统，用系统化的方法来优化土地利用结构，使未来土地利用更合理。
但由于任何模型都是现实系统的近似描述，所得最优解对现实系统也必然是近似的结果，鉴于此，本论文试图构建在若干条件的干预、支持与制约下实现社会效益、经济效益和生态效益的最优以及三者之间的协调统一下的多目标灰色线性规划方法，提供多种环境津地区土地资源利用结构的优化方案，供有关部门作土地规划时参考。
一、灰色线性规划方法线性规划是运筹学的一个重要分支，它是一种在具有确定目标又有一定约束限制条件下，从所有可能的选择方案中找出最优方案的数学方法，也是目前研究多变量复杂系统常用的一种最优化方法。
但是，一般的线性规划存在问题为：①静态规划不能反映约束条件随时间变化的情况；②当规划模型或约束条件中出现灰数时不便处理；③从理论上讲，定义在凸集上的凸函数是有解的，而实际计算中往往因技巧、技术问题使求解过程难以进行下去。
利用灰色系统的思想和建模方法，使上述问题得到了一定程度的解决。
灰色线性规划弥补了一般线性规划的不足，它不要求目标函数中的效益系数、约束条件中的技术系数、资源量及其他限制量等都被固定下来，而允许技术系数是可变的灰数，约束值是发展的情况下进行，是一种动态的线性规划。
灰色线性规划中的约束条件系数，是灰区间数，既可按下限规划，又可按上限规划，还可按区间内的任何一白化值进行规划。
在区间内，只要可以得到一组白化值，便可得到一组优化方案，从而使规划灵活多变，有众多的调整余地，适应情况的发展变化，避免了常规线性规划使许多具体问题得不到可行解的结论，或解过于死板，无调整余地的缺点。
关于数学模型的求解，除由于灰色线性规划模型中效益系数、技术系数及约束系数是区间灰数外，为体现土地资源利用效益最高、费用最低、土地资源配置最佳的原则，取效益系数的上限、技术系数的下限、约束参数的上限，可得到土地资源利用结构的理论最优方案。
[模板]线性规划PPT课件
![[模板]线性规划PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/71a2e03881c758f5f71f674f.png)
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
灰色规则
第十章 灰色规划规划实质上属于决策范畴，主要研究在一定约束条件下，如何使目标达到最优. 规划理论所研究的问题，概括起来主要有以下几种：（1）生产安排问题. 在有限资源条件下，确定生产产品的品种、数量，使产值或利润最大；（2）科研管理问题. 在经费一定的条件下，如何分配各类课题的经费额度，各个课题应由哪些人员承担，使科研效率、效益最高；（3）军事指挥问题. 有限的作战部队，如何布置，才能最有效地打击、消灭敌人，取得战争的胜利；（4）农业区划问题. 对于不同的土壤、气候、资源条件，如何选择不同的经济模式，确定各种作物的种植面积，使总的效益最大；（5）工业布局、城市规划问题. 工业如何分布，城市如何发展，对整个国民经济最为有利；（6）运输问题. 在物资调配网点中，如何决定产地和销地之间的运输量，既满足需要，又使运费最小；（7）库存问题. 在一定库存条件下，确定存储物资的品种、数量、期限，使存储效益最高；或在一定的生产或市场需求条件下,如何计划库存,使成本最小；（8）配料问题. 在既定工艺、质量等指标下，确定各种原料的用量，使成本最小； （9）落料问题. 整材下料时，如何使废料最少、材料利用率最高或配套数最大；（10）其他问题. 如怎样分配广告投资，确定宣传手段，使宣传效果最佳；在一定要求下，如何安排各班次值班人数，用人最少等等.在上述问题中，如果约束条件与目标函数都是线性的，就称该问题为线性规划问题.当目标函数或约束条件为任意非线性函数时，相应的问题则称为非线性规划问题.如果是解决某件事“做”还是“不做”或是约束条件中出现“或者这样、或者那样”之类的条件，我们将“做” 、“或者这样”记为1，将“不做”、 “或者那样”记为0，则此类问题中仅出现0和1两个变量，故称为0-1规划.其中线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用较广、方法较为成熟的一个重要分支.但是，普通的线性规划、非线性规划和0-1规划都存在如下的问题：（1）均是静态规划，不能反映约束条件随时间变化的情况； （2）当规划模型或约束条件中出现灰数时，处理不便；（3）从理论上讲定义在凸集上的凸函数是有解的，而实际计算中往往因技巧、技术问题使求解过程难以进行下去.灰色系统的思想和建模方法，可使上述问题得到一定程度的解决.本章主要研究灰参数线性规划、灰色0-1规划、灰色多目标规划和灰色非线性规划.10.1 灰参数线性规划定义10.1.1 设),,2,1;,,2,1(,,n j m i c b a j i ij ==均为常数，),,2,1(n j x j =为未知变量，称n n x c x c x c S +++= 2211max(min) (10.1.1)s.t ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++0,0,0),(),(),(2122112222212111212111n mn mn m m n n n n x x x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (10.1.2)为线性规划问题的一般模型，其中式(10.1.1)称为目标函数，式(10.1.2)称为约束条件.定义10.1.2 称CX S =maxs.t ⎩⎨⎧≥=0X bAX为线性规划问题的标准形式，其中],,,[21n c c c C =,[]Tn x x x X ,,,21 =[]m i b b b b b i Tm ,,2,1;0,,,,21 =≥=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211 定义10.1.3 设[]Tn x x x X ,,,21 =[])(,),(),()(21⊗⊗⊗=⊗n c c c C ,[]Tm b b b b )(,),(),()(21⊗⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗)()()()()()()()()()(212222111211mn m m n n a a a a a a a a a A其中,n j c c c c j j j j ,,2,1,0],,[)( =≥∈⊗；m i b b b b i i i i ,,2,1,0],,[)( =≥∈⊗；.,,2,1,,2,10],,[)(n j m i a a a a ij ij ij ij ==≥∈⊗；；则称X C S )(max ⊗=s.t ⎩⎨⎧≥⊗≤⊗0)()(X b X A （10.1.3）为灰参数线性规划(LPGP)问题，并称)(⊗C 为灰色价格向量，)(⊗A 为灰色消耗矩阵，)(⊗b 为灰色资源约束向量，X 为决策向量.实际上，X 也是一个灰向量.定义10.1.4 设.,,2,1;,,2,1],1,0[,,n j m i ij i j ==∈δβρ令灰参数的白化值分别为n j c c c jj j j j ,,2,1;)1()(~ =-+=⊗ρρ m i b b b i i i i i ,,2,1;)1()(~=-+=⊗ββn j m i a a a ijij ij ij ij ,,2,1;,,2,1;)1()(~ ==δ-+δ=⊗ 同时分别用)(~⊗C ，)(~⊗b ，)(~⊗A 表示价格白化向量、资源约束白化向量和消耗白化矩阵.则称X C S )(~max ⊗=s.t ⎩⎨⎧≥⊗≤⊗0)(~)(~X b X A (10.1.4)为LPGP 的定位规划，称),,2,1(n j j =ρ为价格定位系数，),,2,1(m i i =β为资源约束定位系数，),,2,1;,,2,1(n j m i ij ==δ为消耗定位系数.j ρ是j 产品的价格灰数预期波动情况的反映，可通过市场分析确定，较小的j ρ表明j产品的预期价格较低，较大的j ρ表明j 产品的预期价格较高.i β反映了第i 种资源的预期供应状况，i β小表示资源供应偏少，i β大表示资源供应形势较好.同样地，ij δ小表示生产单位j 产品对i 资源的消耗低，ij δ大表示生产单位j 产品对i 资源的消耗高.命题10.1.1 对于给定的灰参数线性规划问题，其定位规划的最优值maxS 是关于),,2,1;,,2,1(,,n j m i ij i j ==δβρ的mn n m ++元函数.因此，定位规划最优值可记为),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρ类似地，可将定位规划记为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ为讨论方便，先作以下假定： 假设10.1.1 rank n m A <=⊗))(~(.假设10.1.2 LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ的可行解集非空.假设10.1.3 向量集}0),(~)(~{≥⊗≤⊗X b X A X 有界.同时，将定位规划LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ改写为以下形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⊗=N B N B X X C C S )](~),(~[maxs.t ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⊗≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⊗0,0)(~)](~),(~[N BN B X X b X X N B （10.1.5） 即消耗白化矩阵)(~⊗A 的前m 列为基阵)(~⊗B ，后n -m 列为非基阵)(~⊗N .与)(~⊗B ，)(~⊗N 相对应的基向量和非基向量分别记为N B X X ,，目标函数中与N B X X ,对应的价格白化向量分别记为)(~⊗B C ，)(~⊗N C .由假设10.1.3，并注意到0=N X ，易得[]T T N B b B X X X 0),(~)(~],[1⊗⊗==-)(~)(~)(~1⊗⊗⊗=-b B C S B检验行向量)(~)(~)(~)(~1⊗⊗⊗-⊗=-A B C C r B .命题10.1.2 设式(10.1.4)中的定位规划满足上述假设10.1.1，10.1.2，10.1.3，且[]Tn x x x X ,,,21 =为定位规划式(10.1.5)的基本解，则},,2,1{n j x j =有界.命题10.1.3 满足上述假设10.1.1，10.1.2，10.1.3的定位规划LP ),,2,1,,2,1),,((n j m i ij i j ==；δβρ至少有一个基本可行解.10.2 灰色预测型线性规划定义10.2.1 对于定义10.1.3中的灰色线性规划问题，将其中的)(⊗C ，)(⊗A 先行白化，设)~,,~,~(~21n c c c C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n na aa a aa a a a A ~~~~~~~~~~212222111211 并根据),,2,1)((m i b i =⊗的历史资料))(,),2(),1((s b b b i i i建立GM(1,1)模型，求出其在s +k 时的预测值m i k s b i,,2,1)(ˆ =+；.记 ))(ˆ,),(ˆ),(ˆ(ˆ21k s b k s b k s b b m+++= 称X C S ~max =s.t ⎩⎨⎧≥=0ˆ~X b X A为灰色预测型线性规划问题.对于灰色预测型线性规划问题，可以按照一般线性规划方法进行求解.例10.2.1 某厂生产甲、乙两种产品.甲产品每件需用2.5~3.5个劳动日，耗电3~5千瓦时，煤7~11吨；乙产品每件需用8~12个劳动日，耗电3.5~6.5千瓦时，煤3~5吨.甲产品每件可获利润600~800元，乙产品每件可获利润900~1500元.该厂有可调配劳动力300人，日供煤计划360吨，日供电数据如下表所示：表10.2.1日供电数据问2003年、2004年应如何安排甲、乙两种产品的日产量，使利润最大？解 设甲、乙两种产品的日产量分别为1x ，x 2，则灰色线性规划问题如下：2211)()(max x c x c S ⊗+⊗=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=≤⊗+⊗=≤⊗+⊗⊗≤⊗+⊗0,0300360)(21323213122221211212111x x b x x b x x b x x其中，]800,600[)(1∈⊗c ，]1500,900[)(2∈⊗c ，]5,3[11∈⊗，]5.6,5.3[12∈⊗，]11,7[21∈⊗，]5,3[22∈⊗，]5.3,5.2[31∈⊗，]12,8[32∈⊗.将目标函数和约束条件中的灰元作均值白化，得)1200,700()~,~(~21==c c C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1034954~~~~~~~323122211211a a a a a a A 由)(1⊗b 的时间序列)190,180,174,168())4(),3(),2(),1((1111=b b b b得GM(1,1)时间响应式为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=+)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ125.3661125.3829)1(ˆ)1(1)1(110442.0)1(1k b k b k b e k b k 于是得预测值198)5(ˆ1≈b (2003年)， 207)6(ˆ1≈b (2004年) 从而可写出2003年的规划模型211200700max x x S +=s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0300103360491985421212121x x x x x x x x此为两个变量的线性规划问题，可用图解法求其最优解.该问题的可行域如图10.2.1所示.目标函数所代表的具有相同斜率的平行 直线族与可行域右上方的最后一个交点为B ， 此即最优点，联立下述方程：⎩⎨⎧=+=+300103198542121x x x x 解得x 1=19.2，x 2=24.24，即为最优解.因此， 图10.2.12003年应安排甲产品日产19.2件，乙产品日 产24.24件，利润最大，其最大利润为max S =700×19.2 +1200×24.24 = 42528 (元)年利润为1552.272万元.此问题亦可以通过引进松弛变量化成标准形式，利用单纯形法求解. 2004年的规划模型为max S = 700x 1 +1200x 2s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0300103360492075421212121x x x x x x x x同前，可求出最优解x 1=22.8，x 2=23.16，最大利润为max S = 700×22.8 +1200×23.16 = 43 752 (元)年利润为1596.948万元.2004年规划与2003年规划相比，日供电量增加9千瓦时，每天利润可增加1224元，而供煤则有一定富裕.2003年日耗煤量为9×19.2 + 4×24.24 = 296.76 (吨)比供应计划少用90.24吨；2004年日耗煤量为9×22.8 + 4×23.16 = 297.84 (吨)比供应计划少用62.16吨.如果不打算进一步增加人力和电力，供煤计划可以适当核减.10.3 灰色漂移型线性规划一、 漂移定理灰色漂移型线性规划也称为灰参数线性规划，其实，一个灰参数线性规划问题是由有限个或无限个一般线性规划问题构成的集合.在以下的证明中，我们假定式(10.1.5)中的白化值和白化矩阵保持其非负性. 定理10.3.1 对于LPGP 的定位规划，当价格定位系数满足j j ρρ'≤；n j ， ,2,1=时，有),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρ S n j m i f ij i j '==='≤max ),,2,1;,,2,1),,(( δβρ证明 因j j ρρ'≤，n j ， ,2,1=，相应有)(~)(~⊗'≤⊗C C .设)(~)(~)(~⊗∆+⊗=⊗'C C C 且0)(~≥⊗∆C .下面分两种情形讨论.不失一般性，假定)(~⊗B 为LP m i ij i j ,,2,1),,(( =δβρ;),,2,1n j =的最优基.10 0)(~)(~)(~)(~1≤⊗⊗⊗'-⊗'-A B C C B此时，定位规划的最优基)(~⊗B 不变，最优解T b B X ]0),(~)(~[1⊗⊗=-亦不变.显然定位规划的最优值满足)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~max 111⊗⊗⊗∆+⊗⊗⊗=⊗⊗⊗'='---b B C b B C b B C S B B BS max ≥200)(~)(~)(~)(~1>⊗⊗⊗'-⊗'-A B C C B设检验数0)(>⊗'k r ，因此)(~⊗B 不是定位规划LP m i ij i j ,,2,1),,(( =δβρ;),,2,1n j =的最优基，进一步作单纯形迭代，求出其最优基)(~1⊗B 和最优解T b B ]0),(~)(~[11⊗⊗-注意到T b B ]0),(~)(~[1⊗⊗-为定位规划),,2,1;,,2,1),,((n j m i LP ij i j =='δβρ的基可行解，易得Sb B C b B C b B C C b B C b B C S B B B B Bmax )(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)](~)(~[)(~)(~)(~)(~)(~)(~max 1111111≥⊗⊗⊗∆+⊗⊗⊗=⊗⊗⊗∆+⊗=⊗⊗⊗'≥⊗⊗⊗'='----- 定理10.3.2 对于LPGP 的定位规划，当资源约束定位系数满足i i ββ'≤，m i ,,2,1 =时，有),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρS n j m i f ij i j '==='≤max ),,2,1;,,2,1),,(( δβρ证明 由i i ββ'≤，m i ,,2,1 =，可知)(~)(~⊗'≤⊗b b .设)(~)()(~⊗∆+⊗=⊗'b b b ，0)(~≥⊗∆b ，则有)(~)(~)(~)(~)(~)(~111⊗∆⊗+⊗⊗=⊗'⊗---b B b B b B .10 设0)(~)(~1≥⊗∆⊗-b B ，则0)(~)(~)(~)(~)(~)(~111≥⊗∆⊗+⊗⊗=⊗'⊗---b B b B b B故)(~⊗B 仍为定位规划LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j =='δβρ的最优基，因此Sb B C S b B C b B C b B C S B B B B max )(~)(~)(~max )(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~max 1111≥⊗∆⊗⊗+=⊗∆⊗⊗+⊗⊗⊗=⊗'⊗⊗='----20若0)(~)(~1<⊗∆⊗-b B ，存在k ，0<∆k x .以下分两种情形讨论：①0≥∆+='k k kx x x .)(~⊗B 仍为定位规划LP m i ij i j ,,2,1),,(( ='δβρ；),,2,1n j =的最优基，由LP ),,2,1,,2,1),,((n j m i ij i j ==；δβρ的最优解为LP ),,2,1,,2,1),,((n j m i ij i j =='；δβρ的可行解,易知S b B C S B '≤⊗⊗⊗=-max )(~)(~)(~max 1②0<∆+='k k kx x x .此时T b B ]0),(~)(~[1⊗⊗-不是LP m i ij i j ,,2,1),,(( ='δβρ；),,2,1n j =的基可行解.但)(~⊗B 为正则解，应用对偶单纯形方法求出),,2,1;,,2,1),,((n j m i LP ij j j ==δβρ的最优基)(~1⊗B 和最优解T b B X ]0),(~)(~[11⊗'⊗='-.因LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j ==δβρ的最优解为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i ij i j =='δβρ的可行解,故有S b B C S B '≤⊗⊗⊗=-max )(~)(~)(~max 1定理10.3.3 对于LPGP 的定位规划，当消耗定位系数满足ijij δδ'≥， n j m i ,,2,1,,2,1 ==；时，有),,2,1;,,2,1),,((max n j m i f S ij i j ===δβρS n j m i f ij i j '==='≤max ),,2,1;,,2,1),,(( δβρ证明 由ijij δδ'≥，n j m i ,,2,1;,,2,1 ==，相应地，有消耗白化矩阵 0)(~)(~≥⊗'≥⊗A A设消耗白化矩阵的第k 列为)(~)(~⊗'≥⊗k k P P10 )(~⊗k P 不是基向量当)(~⊗k P 换为)(~⊗'k P 时，基)(~⊗B 不变，但检验数)(~~)(~)(~1⊗'⊗+⊗='-k B k k P B C C r可能改变.①若0≤'k r ，),,2,1;,,2,1),,((n j m i LP ij i j ==δβρ的最优解仍为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的最优解，此时最优值不变，故 S S '=max max②若0>'k r ，则与)(~⊗'k P 对应的kx '将变为基变量，应用单纯形迭代求出LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的最优解T b B X ]0),(~)(~[11⊗⊗='-注意到T b B ]0),(~)(~[1⊗⊗-为LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的可行解，故有 S b B C b B C S B B '=⊗⊗⊗≤⊗⊗⊗=--max )(~)(~)(~)(~)(~)(~max 111120 )(~⊗k P 是基向量当)(~⊗k P 换为)(~⊗'k P 时，现行的基可能不再成为基，即使)(~⊗k P 换为)(~⊗'k P 后仍为基，其最优性亦不能保证.应用单纯形迭代求出LP ),,2,1;,,2,1),,((n j m i iji j =='δβρ的最优基)(~1⊗B 和最优解T b B X ]0),(~)(~[11⊗⊗='-. 其余讨论如(1)之②.由定理10.3.1，10.3.2，10.3.3可知，定位规划的最优值是价格定位系数),,2,1(n j j =ρ和约束定位系数),,2,1(m i i =β的增函数，是消耗定位系数m i ij ,,2,1( =δ；),,2,1n j =的减函数.定义10.3.1 设对m i ,,2,1 =∀和n j ,,2,1 =有ρρ=j ，ββ=j ，δδ=ij则称相应的定位规划为),,(δβρ定位规划，记为LP ),,(δβρ.其最优值称为),,(δβρ定位最优值，记为),,(max δβρS .定理10.3.4 对于LPGP 的定位规划),,(δβρLP ，当 10 2100,,δδββρρ≤==时，),,(max ),,(max 200100δβρδβρS S ≥ 20 0021,,δδββρρ==≤时，),,(max ),,(max 002001δβρδβρS S ≤ 300210,,δδββρρ=≤=时，),,(max ),,(max 020010δβρδβρS S ≤ρ反映了n 种产品的综合价格水平，β反映了m 种资源的总的供应状况，δ则是生产过程中工艺技术水平、劳动力素质和管理水平的集中体现.。
灰色二层多目标线性规划问题及其解法_郭欢
(2) 为 GBMLP 的约束域, 向上层决策空间投影约束域 ������ 有 ������ = {������ : (������, ������ ) ∈ ������}; 下层规划对应一个固定 ������ ∈ ������ 的约束域为 Ω (������) = {������ ∣������ (⊗) ⋅ ������ ⩽ ������(⊗) − ������(⊗) ⋅ ������, ������ ⩾
Problem of grey bilevel multi-objective linear programming and its algorithm
GUO Huan1,2 , XIAO Xin-ping1 , Jeffrey Forrest3
(1. School of Science，Wuhan University of Technology，Wuhan 430063，China；2. School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，China；3. Mathematic Department，Slippery Rock University，PA 16057，USA. Correspondent：GUO Huan，E-mail：guohuan.2007@) Abstract: Based on the bilevel multi-objective linear programming and the characteristic of grey system, the general gray bilevel multi-objective linear programming problem with its relevant definition and theorem are given. A globally convergent algorithm is given to solve the drifting grey bilevel multi-objective linear programming problem. Firstly, multi-objective programming is transformed into single programming by using linear plus power ideal point algorithm. Then, the grey bilevel linear programming can be transformed into a grey linear programming problem by its Kuhn-Tucker condition when the feasible domain is nonempty compact aggregate. So these problems can be solved by using the particle swarm optimization algorithm to obtain the solution of the gray bilevel multi-objective linear programming problem. Finally, an example shows the effectiveness of the proposed algorithm. Key words: grey system；bilevel multi-objective programming；ideal point algorithm；Kuhn-Tucker condition；particle swarm optimization
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
灰色线性规划线性规划是目前研究多变量系统应用很广的一种决策方法，在社会经济学科中应用尤为普遍。
但是，由于社会经济系统以及自然生态环境系统中存在着很多不确定的、模糊的因素,其现象往往是灰色的，因此利用线性规划进行分析和处理问题时可能会出现错误.而灰色线性规划是在技术系数是可变的灰数、约束值是发展的情况下进行的，是一种动态的线性规划，正好弥补了常规线性规划的不足，在渔业科学中也得到了初步的应用。
在本章中我们将主要介绍灰色线性规划模型以及灰色线性规划在渔业科学中的应用.174 / 31第一节灰色线性规划模型一、线性规划模型标准形式175 / 31线性规划是运筹学的一个重要分支,是目前研究多变量系统应用很广且简便易行的一种数学模型，也是确定型决策最常用的方法。
它主要解决的问题是如何最大限度地发挥有限资源（包括人力资源)的作用，取得的最大经济、社会效益，为合理利用人力、物力和财力找出有效途径。
线性规划研究的问题主要有两类：一是一个目标或任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财力去完成这一目标；二是在一定的条件下,即有一定数量的人力、物力和财力，如何通过合理的安排和使用，使得完成的任务最多，最大的效益最大化。
这实际上是一个问题的两个方面,也就是解决系统整体的最优问题。
因此,线性规划常被用作调整各行业产业结构的主要数学方法。
线性规划是求解线性关系问题。
所谓线性关系就是比例关系，如生产量和资源投入量之间、成本与利润之间等175 / 31的关系，一般均呈线性或接近线性关系.构成线性规划问题通常需要具备以下条件:（1）确定问题的决策变量。
这是指决策人可以控制的因素,它们的值决定模型的解.(2）要有明确的目标。
要求问题的目标能用数值来表示,即把有关问题转化为公式，并确定决策人用来评价问题不同答案的准则，即目标函数。
(3）要达到的目的是在一定的约束条件下实现的，同时存在着达到目标的多种可行方案.（4）弄清有限资源的限制数量，各生产部门的投入－产出关系和产出－收益之间关系,以确定合理的决策变176 / 31177 / 31量系数。
(5)约束条件和目标函数都必须是线性关系。
约束条件反映系统环境的限制，目标函数反映决策者的目的。
因此一般线性规划模型包括五个部分:（1）决策变量X j （j=1，2,……,n ）；（2）约束条件或资源限制b i （i=1，2，……,n);（3）技术系数a ij ；（4）效益系数c j ;（5)目标函数Z 。
线性规划数学模型为：目标函数max 或minZ=c 1x 1+c 2x 2+……+c n x n满足于约束条件：178 / 3111212111b x a x a x a n n =+++ 22222121b x a x a x a n n =+++…m n mn m m b x a x a x a =+++ 2211x 1，x 2，…x n ≥0其缩写形式为：176 / 31目标函数max 或minZ=j j nj x c ∑=1满足约束条件i j ij nj b x a =∑=1(i=1，2,…，m ）x j ≥0(j=1，2,…，n ）式中：x j -代表一组未知的决策变量，表示各种产品的产出量；a ij —技术系数，表示生产j 种产品所需i 种生产因素的投入数量；c j —效益系数，表示生产单位j 种产品的收益； b i —代表生产要素的限制量。
具有上述结构的线性规划问题,我们称为标准形式。
具体的线性规划模型可能会有很多限制和约束，但是任何线性规划问题都可以变换成上述标准形式。
二、灰色线性规划尽管线性规划在社会经济发展中得到了广泛的应用，但是一般线性规划存在下述问题：（1)线性规划是静态的，不能反映约束条件随时间变化的情况，因而所得结果往往因条件改变而失败.（2)如果规划模型中，出现灰参数（或灰数），如约束方程中的技术系数、约束值等，则一般线性规划难以处理。
177 / 31（3）由于模型技术或计算技巧问题，在实际计算过程中常出现无解或无法求解。
由于上述问题的存在，使得一般线性规划的应用受到一定程度的限制。
但是这些问题可以利用灰色系统的思想和建模方法来解决，结合灰色系统理论的线性规划称为灰色线性规划。
灰色线性规划的形式如下：178 / 31177 / 31 目标函数：）或m in m ax ()(→=CX X f约束条件:b X A ≤⊗）（X ≥0也就是说：在满足b X A ≤⊗）（X ≥0的条件下,寻求一组X ，使f （X ）达极大值（或极小值）。
上述关系式中X 为向量：[]T n x x x X ,,,21 =C 为目标函数的系数向量[]n c c c C ,,,21 =C i 可以是灰数。
）（A ⊗为约束条件的系数矩阵,A 为）（A ⊗的白化矩阵，且有： 11⊗12⊗…n 1⊗）（A ⊗= … 1m ⊗2m ⊗…mn ⊗11a 12a …m a 1A= …1m a 2m a …mn ab 是约束量[]Tm b b b b ,,,21 = 若对于约束指标b i ，有一组白化序列{})(,),2(),1()()()()( N b b b b o i o i o i o i =178 / 31则对b o i )(作累加生成后得b i )1(，再以b i )1(数据，按GM （1，1)建立预测模型,再从预测模型求出预测值。
{}n K K bi 〉),()0(在作规划计算时，按下述约束条件 )()0(1K b ）（A ⊗X=))0(2K b)()0(K b m 则可求出时刻的灰色线性规划值.当K >n 的条件下取不同值时，可以得到未来发展的各种线性规划解,也就是各个不同时期的线性规划解.灰色线性规划具有如下几个特点：(1）弥补了一般线性规划的不足，常规线性规划是一种确定的、静态的模型，它要求目标系数中的效益系数、约束条件中的技术系数、资源量及其它限制量等都被固定下来，事实上社会经济关系是不确定的、多变的，存在着许多偶然的、风险的因素，并且各因素之间相互关联、错综复杂，并不一定呈线性关系,所以求出的解可能与实际不符,甚至无解。
灰色线性规划是在技术系数是可变的灰数、约束值是发展的情况下进行的，是一种动态的线性规划,正好弥补了常规线性规划的不足。
（2）不仅可以指导既定条件下的最优构造，而且可以指导最优结构的发展变化情况，约束条件中的约束值可能是变动的，有的可用时间序列描述，按GM(1，1)模型进行预测得到没这样的线性规划不仅仅只反映一种特定的情况,而是可以反映约束条件发展变化的情况。
这样的线性规划解,不是一个值，而是一组值，并且是一组时间序列值。
这样的解不但可以指导现在条件下的最优结构，而且可以知道最优结构关系的发展变化情况。
（3)给定一组信息，就可得到一组优化方案.灰色线性规划中的约束条件系数,是灰区间数，既可按下限规划，又可按上限规划，还可按区间内的任何一白化值进行规划.在区间内，只要可以得到一组白化值（信息）,便可得到一组优化方案，从而使规划灵活多变，有众多的调整余地，适应情况的发展变化，避免了常规线性规划使许多具体问题得不到可行解的结论。
一、第二节灰色线性规划在渔业科学中的应用二、目前灰色线性规划在渔业科学中的应用主要在海洋渔业结构特征（包括养殖业、渔船结构等）、产业结构调整、发展规划等方面。
现结合有关例子进行分析和探讨。
三、海洋渔业结构调整研究高清廉、邱天霞、宋协法等于1999年第2期《青岛海洋大学学报》上发表了《山东省海洋渔业结构调整研究》的文章。
文章运用灰色线性规划运筹学最优化方法来探讨渔船结构调整，以实现产值的优化,并用非全人工变数单纯形法给出线性规划的目标函数的极小值和极大值。
1，不同级别渔船的努力量配比结构的计算与结果①目标确定：文章选取反映经济效益指标—利润最大为目标179 / 31函数,求解各级别渔船的功率在预测范围内最大经济效益的各级别渔船的适宜海洋捕捞努力量.180 / 31②变量设置：选取各级别渔船的捕捞努力量为决策变量。
③约束条件：在诸多可供选择的约束变量中，采用总控制和分级别船只功率控制作为双约束参量指标。
④系数的选择：文章采用的效益系数是指目标函数中决策变量的系数，此处指104PS利润。
⑤线性规划模型的建立。
2000年山东省分级别海洋渔船的线性规划模型为：Y max=2497X1+3256X2+2818X3+1540X4+2062X5+109X6+3X7+398X8X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8≤100X5+X6+X7+X8≤400X1≤10，X2=20-25，X3=5—10，X4≤20X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8≥0式中：X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8分别表示为19PS以下、20PS、21~59PS、60~119PS、120～199PS、200~399PS、400－599PS 和600PS以上渔船马力。
⑥计算结果：由于规划数值是个概数，故计算结果均取四舍五入（单位均为104PS）X1=10，X2=25,X3=5，X4=20，X5=10，X6=10，X7=5，X8=15上述优化模型运算结果表明，在总渔获努力量控制在100×104PS 条件下的各级渔船结构为：应继续压缩19PS以下渔船，压缩21～59PS和120~199PS级别渔船所占比例，稳定20PS渔船，发展60~119PS、200～399PS和600PS以上级别船只.2，山东省海洋捕捞作业类型渔船数量及努力量配比规划根据对本省渔船作业类型与努力量配置的分析，提出如下调整意见：(1）在海洋捕捞总努力量控制小于100×104180 / 31PS条件下，考虑到渔业资源承受力与现有渔业生产力基础，提出4：3:3配比结构格局，即拖网船(含围网）=40%；流刺网船（含钓船）=30%；定置网船（含其它)=30％。
(2)各作业类型不同级别船只努力量配置（表8—3)渔船总数大约控制在26680艘左右，比目前35417艘(1994）在数量上有较大减少,同时渔船努力量与作业渔船类型的结构有明显改善。
引自高清廉、邱天霞、宋协法等（1999）3．海水养殖业线性规划模型(1)目标确定选择反映经济效益指标-—纯收入最大为目标函数,求得各产业的适宜养殖面积。
(2）变量设置选取养殖面积为决策变量.取鱼类养殖、虾蟹类养殖、藻类养殖、浅海贝类养殖、滩涂养殖的养殖面积为决策变量X1、X2、X3181 / 31、X4、X5。
（3）约束条件限制选定的约束条件为养殖面积约束。
表8-6约束量单位：104亩引自高清廉、邱天霞、宋协法等(1999）（4）系数的选取效益系数是指目标函数中各决策变量的系数,本文以1994年各年分产业的单位面积纯收入作为参考效益系数.（5）线性规划模型的建立2000年的线性规划模型为：Z max=1218X1+179X2+1243X3+1341X4+1361X5X1+X2+X3+X4+X5≤367。