成都七中2019—2020学年高一下期半期考试 数学试题(Word版含答案)
成都七中2019—2020学年高一下期半期考试
数学试卷
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）
1. 的值为︒105sin （ ）
223.
+A 426.+B 221.+C
42-6.D 2．已知等差数列{}n a 中，4,774==a a ，则公差d 的值为（ ） 21.
A 1.
B 1-C. 2
1-D. 3．已知21cos sin =-x x ，则x 2sin 的值为（ ） 21.
A 41.
B 43.C
23.D 4．若011<<b a ，则下列结论中不正确的是（ ）
22.b a A < 2.b ab B < 2.>+b a a b C
b a b a D +>+. 5．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为
c b a 、、，且︒︒===45,1202C B b ，,则边c 的大小是（ ）
2.A
3.B 2.C 6.D
6．等差数列{}n a 中，24010=S ,那么74a a +的值是（ ）
60.A 24.B 36.C 48.D
7. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，161216a a =，则3
6S S 的值为（ ） 89.A 9.B 7-9.或C 8
789.或D 8. 的结果为化简︒
︒︒
︒-50sin 40sin 5sin 5cos 22（ ） 1.A 21.B
2C. 1-D. 9. 在3
1tan tan ,120==∆︒B A C ABC 中，，的值为则B A tan tan （ ） 334.A 332.B 433C. 2
33D. 10. 已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若482=⋅a a ，且2
1375=
-a a ，则5S 的值为（ ） 64.A 62.B 06C. D.58
11. 有一块半径为2，圆心角为︒
45的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为（ ） 22.+A 2-2.B 2-22C. 22D.2+
12. 实数c b a 、、满足0122=+-+=b c a a 且012=++b a ，则下列关系成立的是（ ）
c a b A >>. b a c B >>. a c b >>C. a b D.>>c
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分
13. 已知直线l 斜率的取值范围是()1,3-，则l 的倾斜角的取值范围是
14. 已知()απαπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+cos 22cos ，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-απ4tan 15. 不等式()0622≥---x x x 的解集是
16. 已知正数y x ,满足2=+y x ，若2
12
2+++≤y y x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
17. （本小题满分 10 分） 解关于x 的不等式 ()R a ax x ∈>++,0222
18. （本小题满分 12分）在ABC ∆内，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、且
()B a c B c A b cos cos cos -=-
（1）求角B 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为33，13=b ，求c a +的值．
19. （本小题满分 12 分）在等差数列{}n a 中，38,269573-=+-=+a a a a .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为t 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S
20. （本小题满分12分）已知函数()()0cos 2cos sin 322>+=ωωωωx s x x x f 的周期为3
π （1）求函数()x f 的单调递增区间和最值;
（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,
0πx 时，函数()()12+-=m x f x g 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.
21. （本小题满分 12 分）已知数列{}n a 满足λ+==+n n a a a 3,111（λ为常数）．
（1）试探究数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
+λ21n a 是否为等比数列，并求n a ； （2）当2=λ时，求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+
λ21n a n 的前n 项和n T ．
22. （本小题满分 12 分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*∈=+N n a S n n ,413
（1）求{}n a 的通项公式;
（2）求证：
15
141433221->+++++n S S S S S S S S n n。
四川省成都市第七中学2019_2020学年高一数学下学期半期考试试题
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一数学下学期半期考试试题考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 的值为︒105sin223.+A 426.+B 221.+C 42-6.D2．已知等差数列{}n a 中，4,774==a a ，则公差d 的值为21.A 1.B 1-C.21-D.3．已知21cos sin =-x x ，则x 2sin 的值为 21.A 41.B 43.C 23.D4．若011<<ba ，则下列结论中不正确的是22.b a A <2.b ab B <2.>+ba ab C ba b a D +>+.5．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且︒︒===45,1202C B b ，,则边c 的大小是2.A3.B 2.C 6.D6．等差数列{}n a 中，24010=S ,那么74a a +的值是60.A 24.B 36.C 48.D7. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，161216a a =，则36S S 的值为 89.A 9.B 7-9.或C 8789.或D8. 的结果为化简︒︒︒︒-50sin 40sin 5sin 5cos 22 1.A 21.B 2C.1-D.9. 在31tan tan ,120==∆︒B AC ABC 中，，的值为则B A tan tan 334.A 332.B 433C.233D.10. 已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若482=⋅a a ，且21375=-a a ，则5S 的值为 64.A 62.B 06C. D.5811. 有一块半径为2，圆心角为︒45的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上），则这个内接矩形的面积最大值为22.+A 2-2.B 2-22C.22D.2+12. 实数c b a 、、满足0122=+-+=b c a a 且012=++b a ，则下列关系成立的是c a b A >>.b a c B >>.a c b >>C.ab D.>>c二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分13. 已知直线l 斜率的取值范围是()1,3-，则l 的倾斜角的取值范围是14. 已知()απαπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+cos 22cos ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ4tan 15. 不等式()0622≥---x x x 的解集是16. 已知正数y x ,满足2=+y x ，若2122+++≤y y x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 17. （本小题满分 10 分） 解关于x 的不等式 ()R a ax x ∈>++,022218. （本小题满分 12分）在ABC ∆内，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、且()B a c B c A b cos cos cos -=-（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为33，13=b ，求c a +的值．19. （本小题满分 12 分）在等差数列{}n a 中，38,269573-=+-=+a a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n b a +是首项为1，公比为t 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S20. （本小题满分12分）已知函数()()0cos 2cos sin 322>+=ωωωωx s x x x f 的周期为3π （1）求函数()x f 的单调递增区间和最值;（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,0πx 时，函数()()12+-=m x f x g 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分 12 分）已知数列{}n a 满足λ+==+n n a a a 3,111（λ为常数）．（1）试探究数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+λ21n a 是否为等比数列，并求n a ； （2）当2=λ时，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ21n a n 的前n 项和n T ．22. （本小题满分 12 分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*∈=+N n a S n n ,413（1）求{}n a 的通项公式;（2）求证：15141433221->+++++n S S S S S S S S n n Λ。
四川省成都七中实验学校2020学年高一数学下学期半期考试(无答案)
2020年成都七中实验学校高2020级半期考试试题数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所写的“座位号、姓名”与本人座位号、姓名是否一致。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在．答题卡上．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在∆ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且1sin ,sin 22B C ==则a ：b ：c 为（ ）A ．1 2B ．1：1．1：2 D ．2：11：12．在∆ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知,13A a b π===，则c =（ ）A. 1 B 、2 C 13．数列{}n a 的前n 项和为221n S n =+，则1a ,5a 的值依次为 ( )A ．2，14B ．2，18C ．3，4．D ．3，18．4．在∆ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）A ．14 B ．34C ．4D ．3 5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一。
书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为（ ）A ． 53B ．103C ． 56D ． 116 6．等比数列{}n a 的各项均为正数，且385618a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+7．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C 则（ ）A ．A+B=CB ．2B AC = C ．2()A B C B +-=D ．22()A B A B C +=+8．若不等式220ax bx +->的解集为1{|2}4x x -<<-则a b +等于（ ） A.18- B. 8 C.13- D. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S a =-，则2a 等于（ ）A ．4B ．2C ．1D ．-210．等差数列{}n a 中，1351,14a a a =+=，其前n 项和n S =100，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知数列{}n a 中，1a b =（0b >），111n n a a +=-+（*n ∈N ），能使n a b =的n 可以等于（ ）A ．14B ．15C ．16D ．1712．1、设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①2{}n a 是等比数列；②1{}n n a a +是等比数列；③1{}na 是等比数列；④{lg ||}n a 是等比数列。
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题及参考答案
ab
ab
的序号是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4. 我国古代数学典籍≪九章算术≫第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的 墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半， 则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为 1200 尺，则需要几天时 间才能打穿（结果取整数）（ ）
������1 +1 ������2 +1
������������ +1
A.120
B. 121
C.122
D.123
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 若关于x的不等式ax2 6x a2 0的解集是（1，m ）,则m=______.
14.已知正数 a, b 满足 a b, 且ab 1 ，则 ������ − 1 + 2������������ 的最小值为
成都七中 2019-2020 学年度下期高 2021 届半期考试
数学试卷
考试时间：120 分钟 第Ⅰ卷
满分：150 分
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1.cos15°cos75°+ sin15°sin75°=（ ）
A. 12
B. 11
C. 10
D.9
5. 如图，点 A, B 在圆 O 上，且点 A 位于第一象限，圆 O 与 x 正半轴的交点是 C ，
点 B 的坐标为 ( 4， 3) ， AOC ，若 AB 1,则 sin 的值为（ ） 55
2020-2021学年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．数列1，0，1，0，的一个通项公式为（ ）A ．*(1)(1,)n n n N -≥∈B ．*(1)1(1,)n n n N -+≥∈C ．2*sin(1,)2n n n N π≥∈ D ．*1cos (1,)n n n N π+≥∈【答案】C【分析】分别写出每个选项的数列的前四项，对比即可.【详解】对于A ，*(1)(1,)n n n N -≥∈的前4项为-1,1，-1,1，不符合条件； 对于B ，*(1)1(1,)n n n N -+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 对于C ，2*sin(1,)2n n n N π≥∈的前4项为1,0，1,0，符合条件； 对于D ，*1cos (1,)n n n N π+≥∈的前4项为0,2，0,2，不符合条件； 故选：C2．ABC 中，AB =4，BC =3，CA =2，则其最大内角的余弦值为（ ） A ．14B ．1116 C ．14-D ．78【答案】C【分析】由三角形中大边对大角，知ACB ∠最大，结合余弦定理即可得到正确选项. 【详解】由题意知，ABC 中，ACB ∠最大，故由余弦定理得：22294161cos 22324BC AC AB ACB BC AC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故选：C.3．若11tan ,tan 23==αβ，则tan()αβ+=（ ）A ．1-B ．1C ．17-D ．17【答案】B【分析】直接代入正切的两角和公式即可得解.【详解】115tan tan 236tan()11151tan tan 1236+++====-⋅-⋅αβαβαβ，故选：B.4．若α∈R ，则sin cos cos sin 33ππαααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．12C ．32- D ．32 【答案】C【分析】根据两角差的恒等变换公式求解即可.【详解】3sin cos cos sin sin[]sin()33332ππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C5．矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为BC 的中点，点F 满足2DF FC =，则AE AF ⋅=（ ） A ．8 B ．4C ．4-D ．8-【答案】A【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得AE AF ⋅.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，因为3AB =，2BC =，2DF FC =，则3,1E 、()2,2F ，()3,1AE =，()2,2AF =， 故32128AE AF ⋅=⨯+⨯=. 故选：A.6．函数()sin 2sin ,,2f x x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的零点为0x ，则tan20x 的值为（ ）A 3B ．3C ．3D 3【答案】D【分析】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，根据,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求得0x ，从而计算得到0tan 2x 的值.【详解】()sin 2sin sin (2cos 1)0f x x x x x =+=+=，又,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则01cos 2x =-，023x π=，故tan204tan 33x π== 故选：D7．如图，正六边形ABCDEF ，则以下向量的数量积的值中最大的为（ ）A ．AB FC ⋅ B ．AB AD ⋅ C ．AB AE ⋅ D ．AB AC ⋅【答案】A【分析】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，计算出各选项中向量的数量积，由此可得出合适的选项.【详解】连接CF ，以线段CF 的中点O 为坐标原点，FC 为x 轴建立平面直角坐标系， 设正六边形ABCDEF 的边长为a ，则3,22a A a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0C a 、3,22a D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、3,22a E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、(),0F a -.对于A 选项，(),0AB a =，()2,0FC a =，则22AB FC a ⋅=； 对于B 选项，(),3AD a a =，2A D a B A =⋅； 对于C 选项，()0,3AE a =，则0AB AE =⋅；对于D选项，32AC a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则232AB AC a ⋅=. 故选：A.8．若-1-22133232322n n n n n S -=+⨯+⨯++⨯+，则S =（ ）A ．134n +-B ．1132n n ++-C ．2132n n --D ．2-132n n -【答案】B【分析】根据题意可得S 为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，利用等比数列前n 项和公式即可得解.【详解】根据题意-1-22133232322n n n n n -+⨯+⨯++⨯+为数列123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭前1n +项和，而123()()3n k k N -*⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭为等比数列， 所以11123(1())332213n n n n S +++-==--， 故选：B.9．ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且3cos 3cos 2a B b A c -=，则tan tan A B的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由正弦定理将条件展开，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+，从而求得tan tan AB的值. 【详解】由正弦定理知，3sin cos 3sin cos 2sin 2sin()A B B A C A B -==+， 即3sin cos 3sin cos 2sin cos 2sin cos A B B A A B B A -=+， 故sin cos 5sin cos A B B A =， 故tan 5tan AB= 故选：D10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23332m m S S =，2457m m a m a m -=+，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【分析】当1q =时，22mmS S =，可知1q ≠；利用等比数列通项公式和求和公式分别表示出已知等式，可构造方程求得m ，并得到5132q =，由此可解得结果. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ， 若1q =，则21122m m S ma S ma ==，不合题意，1q ∴≠； 2457m m m m m a a q m a a m -==+，457mm q m -∴=+；()()2122111331113211m m mm m m m a q S q q q S qa q q---===+=---，415732m m -∴=+，解得：5m =， 5132q ∴=，解得：12q =.故选：C.11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D 的测得点A 的在东偏南30方向上过一分钟后测得点B 处在山顶地的东偏南60方向上，俯角为45，则该车的行驶速度为（ ）A ．15米/秒B ．3/秒C ．20米/秒D ．3/秒【答案】A【分析】根据题意可得900AB =，再除以时间即可得解. 【详解】根据题意900CD =，由B 处在山顶俯角为45， 所以900BC =，由A 东偏南30，B 东偏南60，所以30,603030BAC ACB ∠=∠=-=， 所以ABC 为等腰三角形，所以900AB =， 由9001560=，所以速度为15米/秒， 故选：A12．如图，点C 是半径为6的扇形圆弧AB 上的一点，18OA OB →→⋅=-，若OC xOA y OB →→→=+，则3x +2y 的最大值为（ ）A ．2513B ．573C ．2573D ．513【答案】C【分析】根据18OA OB →→⋅=-，则120AOB ∠=，建立以O 点为原点的坐标系，设(6cos ,6sin )C αα，写出向量的坐标表示形式，用α的三角函数表示出x ，y ，从而求得32x y +的三角函数表达式，利用辅助角公式求得最大值.【详解】由66cos 18OA OB AOB →→⋅=⨯∠=-，则1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∠=，建立如图所示坐标系，则(6,0)A ，(3,33)B -，设(6cos ,6sin )C αα，2[0,]3απ∈，由OC xOA y OB →→→=+知，(6cos ,6sin )(6,0)(3,33)(63,33)x y x y αα=+-=-， 化简得：3cos x αα=+，23y α=， 则32373323(cos )23cos x y ααααα+=++=+ 257)αϕ+，其中33tan ϕ=则当sin()1αϕ+=时，32x y +故选：C二、填空题13．函数()sin cos ,f x x x x R =+∈的最大值为__________.【分析】利用辅助角公式化简()f x ，由正弦型函数值域可求得结果.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max f x14．若1cos 2(cos sin ),24k k Z πααααπ⎛⎫=-≠+∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=_________.【答案】12【分析】根据余弦的二倍角公式并对其因式分解可得cos 2(cos sin )(cos sin )ααααα=-+，又,4k k Z παπ≠+∈，所以cos sin 0αα-≠，根据已知条件，即可求出结果.【详解】因为22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=-+ 又1cos 2(cos sin )2ααα=-，且,4k k Z παπ≠+∈所以1(cos sin )(cos sin )(cos sin )2αααααα-=-+，且cos sin 0αα-≠所以1cos sin 2αα+=. 故答案为：12.15．《九章算术》是中国古代张苍、耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第5节容量是 _________________升.(结果保留分数) 【答案】6766【分析】记从下部算起第n 节的容量为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于1,a d 的方程组，解方程组求得1,a d 后，利用通项公式可求得5a . 【详解】记从下部算起第n 节的容量为n a ，由题意可知：数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ， 则1231678913344263a a a a d a a a a a d ++=+=⎧⎨+++=+=⎩，解得：19566766a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，5167466a a d ∴=+=，即从下部算起第5节容量是6766升.故答案为：6766. 16．已知ABC 中，AC =1，BCABCAB 上存在点D ，使3BDC π∠=，则CD = _________.【答案】1【分析】由已知利用三角形面积公式可求1sin 2ACB ∠=，从而可求6ACB π∠=或56π，在ABC 中，由余弦定理可得AB ，进而可求B ，在BCD △中，由正弦定理可得CD 的值．【详解】解：AC =1，BCABC11sin 1sin 22AC BC ACB ACB=⋅∠=⨯∠，1sin 2ACB ∴∠=，6ACB π∴∠=或56π， 若56ACB π∠=，在ABC中，由余弦定理可得：AB利用正弦定理sin sin AB AC C B =，得sin sin AC C B AB ⨯==∴在BCD △中，由正弦定理可得：sin s in BC BCD BDC⋅=∠ 当6ACB π∠=时，∴在ABC中，由余弦定理可得：cos 1AB AC BC ACB ∠， ∵AB AC = 6B π∴∠=，∴在BCD △中，由正弦定理可得：1sin 1sin BC BCD BDC==∠．故答案为：1三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2n r =+，其中r 为常数. （1）求r 的值； （2）设1(1)2n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）0r =；（2）1nn +. 【分析】（1）求出前三项为1,3,5r +，利用等差中项的性质即可得解； （2）由（1）可得n b n =，11111n n b b n n +=-+，利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）先求前三项，111a S r ==+，2213a S S =-=，3325a S S =-=， 由{}n a 为等差数列，所以2132a a a =+， 所以66r =+，即0r =；（2） 由（1）知2n ≥，121n n n a S S n -=-=-， 11a =也满足，所以21n a n =-，所以n b n =，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 18．已知向量()cos ,sin a αα=，()sin ,cos b αα=-，设3m a b =+，3n a b =+. （1）求a b +的值； （2）求,m n 夹角的大小. 【答案】（1（2）6π.【分析】（1）由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果；（2）利用平面向量坐标运算求得a b ⋅，a 和b ；利用平面向量数量积的运算律可求得m n ⋅，m 和n ，由向量夹角公式可求得结果.【详解】（1）()cos sin ,sin cos a b αααα+=-+，(cos a b α∴+==（2）由题意得：sin cos sin cos 0a b αααα⋅=-+=，1a =，1=b ，()()223334323m n a b a b a a b b ∴⋅=+⋅+=+⋅+=，()22233232m a ba ab b =+=+⋅+=，()22232332n a ba ab b =+=+⋅+=，3cos ,2m n m n m n ⋅∴<>==⋅，又[],0,m n π<>∈，,6m n π∴<>=.19．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，满足：111a b ==，221a b =+，331a b =+.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n C a b =⋅，数列{}n C 的前n 项和为n S ，求满足()131002,n n S n n N a *-->≥∈的最小正整数n 的值.【答案】（1）21n a n =-；12n n b -=；（2）7.【分析】（1）利用等差数列和等比数列通项公式可构造方程组求得,d q ，由此可得所求通项公式；（2）利用错位相减法可求得n S ，将不等式化为2100n >，结合n *∈N 可求得所求最小值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由223311a b a b =+⎧⎨=+⎩得：211121d q d q +=+⎧⎨+=+⎩，解得：22d q =⎧⎨=⎩， ()12121n a n n ∴=+-=-；12n n b -=；（2）由（1）知：()1212n n C n -=-⋅，()()01221123252232212n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ()()12312123252232212n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，()()()()21232121212222121212n n n n n S n n --∴-=--⋅+++⋅⋅⋅+=--⋅+-()1121224n n n +=--⋅+-()3223n n =-⋅-，()2323nn S n ∴=-⋅+，()12323210023n n n n n S a n --⋅-∴==>-， 又n *∈N ，6264=，72128=，∴最小正整数n 的值为7.20．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：13a =，29a =，4312n n n a a a ++=⋅.（1）若313log log n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列()()1411n n n b b b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<. 【答案】（1）证明见解析；13123n n a -+=；（2）证明见解析.【分析】（1）对已知递推关系式左右取对数，结合对数运算法则可整理得到13n n b b +=，由此可证得数列{}n b 为等比数列；由等比数列通项公式求得n b ，利用累加法可求得3log n a ，由此可求得n a ；（2）由（1）可整理得到()()114112113131n n n n n b b b -+⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭，采用裂项相消法可求得n S ，由33n ≥，结合不等式性质可证得结论.【详解】（1）4312n n n a a a ++=⋅且0n a >，313324log 3log log n n n a a a ++∴=+，()3231313log log 3log log n n n n a a a a +++∴-=-，即13n n b b +=，又13231log log 1b a a =-=，∴数列{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列，13n n b -∴=；2331log log 3n n n a a --∴-=，33132log log 3n n n a a ----=，…，03231log log 3a a -=， 各式相加可得：()10121331131log log 33331132n n n n a a -----=++⋅⋅⋅+==--， ()131log 312n n a -∴=+，13123n n a -+∴=；（2）由（1）知：13n n b -=， ()()()()11114431121131313131n n n n n n n n b b b ---+⋅⎛⎫∴==- ⎪++++++⎝⎭， 11111111111222441010283131231n n n n S -⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， n N *∈，33n ∴≥，110314n ∴<≤+，111142312n ∴≤-<+，112n S ∴≤<. 21．已知ABC 为锐角三角形，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，ABC 满足：222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤.（1）求角A 的取值范围；（2）当角A取最大值时，若AB =ABC 的周长的取值范围.【答案】（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）+⎝. 【分析】（1）利用正弦定理角化边可配凑得到cos A 的取值范围，根据ABC 为锐角三角形可求得A 的取值范围；（2）利用正弦定理和三角形内角和性质可将所求周长表示为3cos 12sin C L C +=⋅，根据ABC 为锐角三角形可求得C 的范围，令()cos 1sin x f x x +=，利用导数可求得单调性，从而确定cos 1sin C C+的范围，代入即可得到所求周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：222a b c bc +-≤，即222b c a bc +-≥，2221cos 22b c a A bc +-∴=≥，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， A ∴的取值范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦； （2）由（1）知：3A π=； 由正弦定理sin sin sin BC AC AB A BC ==sin AC B =， 32sin BC C ∴=，AC =ABC ∴周长L =233cos 132sin 2sin C C L C Cπ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭∴===⋅， ABC 为锐角三角形，0202B C ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<<⎪⎩，即203202C C πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：62C ππ<<， 令()cos 1sin x f x x +=，则()()222sin cos cos 11cos sin sin x x x x f x x x--+--'==， 当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x ∴在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，cos 112sin C C +∴<<，3L <<+ 即ABC周长的取值范围为+⎝. 22．如图在小岛的正北方向上10n mile 的C 处有一艘货轮，为了躲避礁石，该货轮沿南偏西()3045θθ<<的方向航行，小岛B 有一艘快艇沿北偏西()90θ-角方向行驶给货轮运送补给，双方无线电约定在点P 处完成补给.货轮得到补给后将原航行方向顺时针旋转30向A 地运送物资.（1）如图，若A 地恰好在小岛B 的正西方向上，满足3AB BC ，求AC 两地的距离和θ的正切值；（2）如图2，若A 地恰好在小岛B 的西偏南5方向上，记()AP f θ=，令()()53sin 20f g θθθ=，计算当35θ=时，()g θ的值； （3）如图2，设PBC 的面积为()h θ，计算当36θ=时，()h θ的值.【答案】（1）AC 两地的距离为20 n mile ；3tan θ=；（2）() 5.14g θ≈-；（3）()23.78h θ≈. 【分析】（1）利用勾股定理可直接求得AC ；在ABP △中，利用正弦定理可构造关于sin ,cos θθ的齐次式，化简整理可得tan θ； （2）在ABP △中，利用正弦定理可得到()f θ，代入即可得到()g θ，将35θ=代入整理可求得结果；（3）根据90CPB ∠=可知12BPC SBP CP =⋅，整理得到()h θ，代入36θ=即可求得结果.【详解】（1）由题意知：10BC =，103AB =BCP θ∠=，90CPB ABC ∠=∠=， 10sin BP θ∴=，2220AC BC AB +=，即AC 两地的距离为20 n mile ； 在ABP △中，120APB ∠=，ABP θ∠=，60PAB θ∴∠=-，由正弦定理sin sin BP AB PAB APB =∠∠得：()10sin 103sin 603θθ=- 即()sin 2sin 603sin θθθθ=-=-，2sin 3θθ∴， sin 3tan cos θθθ∴==（2）由题意知：10sin BP θ=，120APB ∠=，5ABP θ∠=+，55PAB θ∴∠=-， 在ABP △中，由正弦定理sin sin BP AP PAB ABP =∠∠得：()()10sin sin 55sin 5AP θθθ=-+， ()()()10sin sin 5sin 55f AP θθθθ+∴==-，()()()10sin 5sin 55320g θθθ+∴=-；当35θ=时，()53cos 53cos 20cos 10sin 40202020sin 2020sin 20g θ=-=-，()200.94 5.14g θ∴≈⨯≈-. （3）由题意知：10sin BP θ=，10cos CP θ=， ()150sin cos 25sin 22BPC h S BP CP θθθθ∴==⋅==， 当36θ=时，()25sin7223.78h θ=≈.。
四川省成都市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。
2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年四川省成都市第七中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．cos15cos75sin15sin75︒︒+︒︒=（ ） A ．0B ．12C ．12-D 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222a b c tanB -+=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 3．已知110a b <<，给出下列三个结论：①22a b <；②2b a a b+>；③2lg lg a ab >.中所有的正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）（ ） A ．12B ．11C ．10D ．95．如图，点A 、B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与x 正半轴的交点是C ，点B 的坐标为(45,−35)，∠AOC =α，若|AB |=1, 则sinα的值为（ ）………○………………○……※※请※………○………………○……A ．−3+4√310B ．3+4√310C ．4+3√310D ．−4+3√3106．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3B ．4C ．5D ．67．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，M 是BC 的中点，4AM =，则BC 等于（ ）A B C D 8．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅-=有一个根为1，则此三角形为（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2010210S S -=，则3020S S -的最小值为（ ） A ．40B ．30C ．20D ．1010．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，过点,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，,23B π⎛⎫⎪⎝⎭，则且当5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为32，则m 的值为（ ）A ．58B ．12C ．58和12D ．58和12-11．已知()()()23f x m x m x m =-++，()42xg x =-，若对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是（ ） A ．10,⎛⎫ ⎪B ．1,⎛⎫-∞ ⎪ C ．7,0⎛⎫-⎪ D ．7,⎛⎫-∞-⎪12．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦L ，求整数n 的值是（ ）A ．120B ．121C ．122D ．123第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集是(1,m )，则m = ． 14．已知正数a ，b 满足a b >，且1ab =，则12aba a a b-+-的最小值为______. 15．已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos 3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则39S =______.16．定义11222n nn a a a H n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“均值”,已知数列{}n b 的“均值”12n n H +=，记数列{}n b kn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意正整数n 恒成立，则实数k 的范围为__________． 三、解答题17．已知函数2()cos cos 444x x x f x =+． （1）若()1f x =，求2πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足1cos 2a C cb +=，求()f B 的取值范围．18．ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4csinC =(b +a)(sinB −sinA). （1）试问a ，b ，c 是否可能依次成等差数列？为什么？ （2）当cosC 取得最小值时，求ca .○…………装…………请※※不※※要※※在※※装※○…………装…………19．已知等差数列{}n a 满足：42a =-，253a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =，12n n nnb b a +-=，求数列{}n b 的通项公式. 20．已知等比数列{}n a 的公比(1,)q ∈+∞，前n 项和为n S ，若3248S a +=，且223a -是1a 与3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，记数列{}n a 的前n 项和n T ，若存在*n N ∈使1n nT m a <+成立，求实数m 的取值范围. 21．如图，某机械厂欲从2AB =米，AD =ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点,E F 分别在边,BC AD 上，且EB EF =，AF AE <.设BEF θ∠=，四边形ABEF 的面积为()f θ（单位：平方米）.（1）求()fθ关于θ的函数关系式，求出定义域；（2）当,BE AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11221n n n S a ++=-+（*n N ∈），且25a =.（1）证明n na +12⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()nn 3n b =log a +2，且n 2222123n1111T =++++b b b b L 证明2n T <； （3）在（2）小问的条件下，若对任意的*n N ∈，不等式参考答案1．B 【解析】 【分析】由两角差余弦公式计算． 【详解】原式=1cos(7515)cos602︒-︒=︒=． 故选：B. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理及同角基本关系式即可得出． 【详解】∵()222a b c tanB -+=，∴222a c b ac tanB+-=．∴cos B 22222a c b ac tanB+-==，∴sin B =B ∈（0，π）． ∴B 3π=或23π． 故选D ． 【点睛】本题考查了三角函数求值、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．A 【解析】 【分析】代入,a b 的特殊值，对错误序号进行排除，由此得到正确选项.【详解】不妨设2,1-=-=b a ，满足110a b<<.代入验证①()()2212-<-成立，代入②2152122--+=>--成立，代入③()2lg 10lg 2-=<错误，由此排除B,C,D 三个选项，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查利用特殊值进行实数比较大小，还考查对数的运算，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸都构成一个等比数列，只是公比不同，然后由等比数列前n 项和公式计算可得． 【详解】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列{},{}n n a b ，它们都是等比数列，111a b ==，数列{}n a 的公比为12q =，数列{}n b 的公比为212q =，设需要n 天能打穿墙， 则1212()()n n a a a b b b +++++++L L 111()121221112212nnn n ---=+=+---， 10n =时，19112110251025120022n n -+-=-≈<，11n =时，110112120492049120022n n -+-=-≈>，因此需要11天才能打穿． 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的应用，掌握等比数列的前n 项和公式是解题关键． 5．A 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A 的坐标,由A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合sin 2α+cos 2α=1，即可解得sinα的值． 【详解】半径r ＝|OB |=√(45)2+(−35)2=1，由三角函数定义知，点A 的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B 的坐标为（45，−35），|BC |=1， ∴1=√(45−cosα)2+(−35−sinα)2，∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又sin 2α+cos 2α=1，∴解得sin α=−3+4√310或−3−4√310，又点A 位于第一象限，∴0<α<π2，∴sin α=−3+4√310， 故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 6．C 【解析】 【分析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果.【详解】{}n a Q 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7．B 【解析】设2BC m = ，则2222224746022424m m m BC m m m +-+-+=⇒===⨯⨯选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 8．A 【解析】 【分析】把1x =代入方程，由降幂公式降幂后由诱导公式及两角和的余弦公式变形后可得． 【详解】由题意21cos cos cos02C A B --=，21cos cos cos sin 22C CA B -==， 2cos cos 1cos 1cos()1cos cos sin sin A B C A B A B A B =-=++=+-，∴cos()1A B -=，因为,A B 是三角形内角，∴0A B -=，即A B =． 因此ABC ∆是等腰三角形． 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断．利用降幂公式，诱导公式，两角和与差的余弦公式变形即可得． 9．A 【解析】 【分析】由等比数列性质把和式用10S 和q 表示，求比值302020102S S S S --后用基本不等式可得最小值．【详解】∵{}n a 是正项等比数列，∴302020102S S S S --20201010101010(1)21q S q q S S q ==+--20101010111111q q q q -+==++--10101121q q =-++-24≥=，当且仅当1010111q q -=-，即102q =时等号成立． ∴3020S S -的最小值为41040⨯=．故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查基本不等式求最值，解题时可把10S 作为一个整体，表示出302020102S S S S --后容易观察到用基本不等式求最小值．10．B 【解析】 由图可知，143124T πππ=-=，解得πT =,于是2πT πω==，得2ω=.因为22?sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 所以2π2k π,k Z 32πϕ+=+∈，又2πϕ<，故6πϕ=-. 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.()()22sin 44m?sin 2cos 44m?sin 212266366g x mf x x x x x sin x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222[2]216sin x m m π⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭.因为5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，于是220,?63x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,16x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.①当0m <时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符； ②当01m ≤≤时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221m +， 由已知得23212m +=，解得12m =. ③当1m >时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值4m 1-. 由已知得34m 12-=，解得58m =,矛盾. 综上所述：12m =. 故选B.点睛：已知函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ 11．C 【解析】 【分析】先求得()0<g x 的解集12x <，接着用分类讨论方法解不等式()0f x <，只要12x ≥时，()0f x <即可．【详解】由()420xg x =-<得12x <， 因此对任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <，只要12x ≥时，()0f x <即可， ()()()23f x m x m x m =-++，∴0m <，()0f x =2x m ⇒=或3x m =--，由23m m =--得1m =-，当10m -≤<时，23m m ≥--，()0f x <⇒2x m >或3x m <+，∴122m <，14m <，∴10m -≤<满足题意，当1m <-时，23m m <--，()0f x <⇒2x m <或3x m >--，∴132m --<，72m >-，∴712m -<<-， 综上，702m -<<． 故选：C. 【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法． 12．C 【解析】 【分析】由已知得210n n n a a a +-=>，确定数列{}n a 是递增数列，1{}n a 是递减数列，且10na >，已知式变为11111n n n a a a +=-+，即11111n n n a a a +=-+，1111n n n a a a =-++，求和得1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--，利用单调性估值1111n a a +-，2n ≥时，1311a a -≤1111n a a +-11a <，然后可求得1212[]111n n a a a a a a ++++++L ． 【详解】∵()11n n n a a a +=+2n n a a =+，∴210n n n a a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，从而数列1{}n a 是递减数列，且10na >， 又由()11n n n a a a +=+得11111n n n a a a +=-+， 即11111n n n a a a +=-+，1111111n n n n n a a a a a +-==-+++，∴1212111n n a a a a a a ++++++L 1111()n n a a +=--， ∴1212[]111n n a a a a a a ++++++L 1111[()]n n a a +=--，又1111112n a a a +-<=， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，2n ≥时，111311112621n a a a a +-≥-=，此时1212[]111n n a a a a a a ++++++L 2n =-， 由2120n -=，得122n =． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的递推关系式，考查裂项相消法求和、数列的单调性，考查学生的创新意识． 13．2 【解析】试题分析：x=1时，a-6+2a =0（1）1a =-3，-32x -6x+9<0,得x<-3,或x>1,与题不合。
2020-2021学年成都七中高一下期半期考试数学试卷及答案(1)
( A)AB FC(B)AB AD (C )AB AE(D)AB AC
8.若S 3n 3n1 2 3n2 22 3 2n1 2n ,则S ( A)3n1 4(B)3n1 2n1(C )3n 22n1(D)32n1 2n
9.ABC的内角A, B,C所对的边长分别为a, b, c,且3a cos B 3b cos A 2c, 则tan A的值为
又
m
3a b
2
2
3a b 2
3a b 2,同理 n 2.
设m, n夹角为，则
cos m n 2 3 3 , m n 22 2
4分 10分 11分
m, n的夹角 =30 .
12分
第1页
19.(本小题满分 12 分)
解：(1)设数列an的公差为d ,数列bn的公比为q 0,
则1 1
满足 : a1 b1 1, a2 b2 1, a3 b3 1.
(1)求数列an , bn 的通项公式;
(2)设cn
an
bn ,数列cn的前n项和为Sn ,求满足
Sn 3 an1
100(n
2, n
N
)的最小正整数n的值.
3
20.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列an满足：a1
( A) 1(B) 11
4
16
(C ) 1(D) 7
4
8
3.若tan 1 , tan 1 ,则tan( )
2
3
( A) 1(B)1(C) 1(D) 1
7
7
4.若 R,则sin cos( ) cos sin( )的值为
3
3
( A) 1(B) 1(C ) 3(D) 3
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2019-2020学年成都七中高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年成都七中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数为上的减函数，则满足的实数的取值范围是()A. B.C. D.2.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()．A. B. − C. ± D. −3.已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β.②若m//α，n//α，则m//n，③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β.④若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β，其中真命题有()A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④4.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，则实数m的取值范围是()A. [1,√2)B. [1,√2]C. (1,√2)D. [1,+∞)5.如果直线y=2x−1和y=kx互相垂直，则实数k的值为()A. 2B. 12C. −2 D. −126.设x，y满足约束条件{x+3y≤3x−y≤1x+y≥1，则z=x+2y的最大值为()A. 3B. 2C. 1D. 527. 已知{a n }是等差数列，a 1=−9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是( )A. 4B. 5C. 6D. 7 8. 已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a =bcosC +csinB ，且sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ，则△ABC 的形状为( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 9. 已知函数f(x)={ln(−x),x <0x e x−1．x ≥0，若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则m 的取值范围是( )A. −1≤m <45B. m ≤−1或m >1C. m =−1或m >1D. m =−1或0<m <1 10. 若f(x)=4sin(2x +2π3)在[−π12,θ]上的值域为[−2,4]，则θ的值是( ) A. 0 B. π12 C. π6 D. π4 11. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，则( )A. a,b,c 依次成等差数列B. a,b,c 依次成等比数列C. a,c,b 依次成等差数列D. a,c,b 依次成等比数列12. 在生活中，我们常看到各种各样的简易遮阳棚．现有直径为2m 的圆面，在圆周上选定一个点固定在水平的地面上，然后将圆面撑起，使得圆面与南北方向的某一直线平行，做成简易遮阳棚．设正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么圆面与阴影面所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于______ ．14. (理科做)在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，则直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）15.已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系为(1)(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R))的值；(I)求f(3π8(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．17.在四棱锥P−ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．(Ⅰ)求证：BE//平面APD；(Ⅱ)求证：BC⊥平面PBD．18.如图，鱼雷快艇在A处发现正北方向上有一敌舰在B处以30nmile/ℎ的速度朝正东北方向行驶，此时立刻发射鱼雷，鱼雷速度50nmile/ℎ，且经过th后在C处击中敌舰，求鱼雷发射方向与正北方向的夹角α的正弦值．(n≥2,n∈N)，首项为a1>1．19.已知数列{a n}满足a n=4a n−1−6a n−1−1(1)若a1>a2，求a1的取值范围；(n∈N∗)，当2<a1<3时，求证：数列{b n}是等比数列；(2)记b n=a n−3a n−2(3)若a n>a n+1(n∈N∗)恒成立，求a1的取值范围．20.已知S n是数列{a n}的前n项和，S n=3×2n−3，其中n∈N∗．(I)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)数列{b n}为等差数列，T n为其前n项和，b2=a5，b11=S3，求T n的最值．21.在平面内，已知圆P经过点F(0,1)且和直线y+1=0相切．(1)求圆心P的轨迹方程；(2)过F的直线l与圆心P的轨迹交于A、B两点，与圆M：(x−1)2+(y−4)2=4交于C、D两点，若|AC|=|BD|，求三角形OAB的面积．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查函数单调性的应用，绝对值不等式.属于中档题．解：因为函数为上的减函数，且满足，那么：，解不等式有：．故选．2.答案：B解析：如图，∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤，当∠AOB=时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d=．设AB方程为y=k(x−)(k<0)，即kx−y−k=0．由d==，得k=−.(也可k=−tan∠OPH=−).3.答案：B解析：解：α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，①，若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可得α//β，故①正确；②，若m//α，n//α，可得m//n或m，n相交或异面，故②错误；③，若m⊂α，m⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故③正确；④，若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，若α⊥β，可得m⊥β，若α、β相交，则m⊥β不成立，故④错误．可得①③正确，②④错误．故选：B．由垂直于同一直线的两个平面平行，可判断①；由线面平行的性质和线线的位置关系可判断②；由面面垂直的判定定理可判断③；由面面垂直的性质定理可判断④．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的性质，利用函数的零点求参数的取值范围，属于中档题．首先把三角函数式通过恒等变换转化成正弦型函数，进一步利用函数的零点转化成求方程的根，最后通过求y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，求出参数的范围．解：已知函数f(x)=(sinx+cosx)2−2sin2x−m在[0,π2]上有两个零点，即方程f(x)=0在[0,π2]上有两个实根．即：设函数y1=m与y2=(sinx+cosx)2−2sin2x有两个交点，y2=(sinx+cosx)2−2sin2x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，x∈[0,π2]，π4≤2x+π4≤5π4，根据函数的图象求得：1≤m<√2，故选：A．5.答案：D解析：解：∵直线y=2x−1和y=kx互相垂直，∴2k=−1，解得k=−12．故选：D利用直线垂直的条件求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．6.答案：D解析：解：x ，y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≤1x +y ≥1的可行域如图：当目标函数经过图中A 时使得z 最大；由{x +3y =3x −y =1得到A(32,12)， 所以z 最大值为32+2×12=52；故选：D ．作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 7.答案：B解析：试题分析：，令，所以前5项和最小 考点：等差数列求和求通项点评：本题还可求出前n 项和，再求其取得最值的条件 8.答案：C解析：本题考查三角形形状的判定，考查正弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．由a =bcosC +csinB ，利用正弦定理化边为角，求得B =π4；由sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC 再由正弦定理化角为边，求得A =π4，则答案可求．解：由a =bcosC +csinB ，由正弦定理得sinA =sinBcosC +sinCsinB ，即sin(B +C)=sinBcosC +sinCsinB ，∴sinBcosC +cosBsinC =sinBcosC +sinCsinB ，得cosBsinC =sinCsinB ，∵sinC ≠0，∴sinB =cosB ，即tanB =1．又B ∈(0,π)，∴B =π4；又sin 2A =sin 2B +sin 2C −√2sinBsinC ， 由正弦定理得a 2=b 2+c 2−√2bc ，即√2bc =b 2+c 2−a 2，又b 2+c 2−a 2=2bc ⋅cosA ，∴√2bc =2bc ⋅cosA ，得cosA =√22， 又A ∈(0,π)，∴A =π4．则C =π−π4−π4=π2．即△ABC 的形状为等腰直角三角形．故选：C ． 9.答案：D解析：解：作出函数f(x)的图象如图：令t =f(x)，由图可知，当t <0或t >1时，方程f(x)=t 有1解；当t =0或t =1时，方程f(x)=t 有2解；当0<t <1时，方程f(x)=t 有3解．若方程[f(x)]2+mf(x)−m(m +1)=0有四个不等的实数根，则方程t 2+mt −m(m +1)=0必有两个不等的实数根，∴△=m 2+4m(m +1)>0，解得m >0，或m <−45．不妨设这两个根为t 1<t 2且t 1<t 2，则{t 1=0t 2=1或{t 1<00<t 2<1或{0<t 1<1t 2>1， 令g(t)=t 2+mt −m(m −1)，则{m(m −1)=01+m −m(m −1)=0或{m(m −1)>01+m −m(m −1)>0或{m(m −1)<01+m −m(m −1)<0， 解得0<m <1或m =−1．故选D ．作出f(x)的函数图象，得出方程f(x)=t的解得个数，从而确定关于t的方程t2+mt−m(m+1)=0的解得分布情况，根据二次函数的性质列出不等式解出m的范围．本题考查了方程的解与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．10.答案：D解析：解：因为f(x)=4sin(2x+2π3)；且x∈[−π12,θ]⇒2x+2π3∈[π2,2θ+2π3]；∵值域为[−2,4]，则2θ+2π3=5π6⇒θ=π4；故选：D．根据x的范围求出2x+2π3的范围；再结合正弦函数的图象和性质即可解题本题考查三角函数的有界性，考查转化思想以及计算能力，需要熟练掌握三角函数的图象和性质．11.答案：B解析：解：因为sin A、sin B、sin C依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c成等比数列．本题考查等比中项的性质，以及正弦定理的应用，属于基础题．12.答案：C解析：解：设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=30°，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α．要使S△ABD最大，只需DF最大．在△CFD中，CFsin30∘=DFsin(150∘−α)．∴DF=CF⋅sin(150°−α)sin30∘．∵CF为定值，∴当α=60°时，DF最大．故圆面与阴影面所成角的大小为60°．故选：C．设△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成30°角，为了使遮阴影面ABD的面积最大，作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α，进而可知要使S△ABD最大，只需DF最大．利用正弦定理求得DF的表达式，利用正弦函数的性质求得圆面与阴影面所成角的大小．本题考查解三角形的实际应用、正弦定理、立体几何的应用，考查三角形、正弦定理、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．13.答案：725解析：根据两正方形的面积分别求出两正方形的边长，根据小正方形的边长等于直角三角形的长直角边减去短直角边，利用三角函数的定义表示出5cosθ−5sinθ=1，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2θ的值，然后根据θ的范围求出2θ的范围即可判断出cos2θ的正负，利用同角三角函数间的基本关系由sin2θ即可求出cos2θ的值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．本题的突破点是将已知的两等式两边平方．解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．∴5cosθ−5sinθ=1，∴cosθ−sinθ=15．∴两边平方得：1−sin2θ=125，∴sin2θ=2425．∵θ是直角三角形中较小的锐角，∴0<θ<π4,0<2θ<π2．∴cos2θ=√1−sin 22θ=725． 故答案为 725．14.答案：√55 解析：解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2AA 1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =BC =2AA 1=2，则A(2,0，0)，C 1(0,2，1)，B 1(2,2，1)，C(0,2，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，1)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，−1)，设直线AC 1与B 1C 所成角为θ，则cosθ=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√9⋅√5=√55． ∴直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为√55． 故答案为：√55． 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：相交2解析：解：圆C 1：x 2+y 2+2x +2y −2=0，可化为(x +1)2+(y +1)2=4，其圆心坐标C 1(−1,−1)，半径为2，圆C 2：x 2+y 2−4x −2y +1=0，可化为(x −2)2+(y −1)2=4，其圆心坐标C 2(2,1)，半径为2， 又|C 1C 2|=√(2+1)2+(1+1)2=√13<2+2=4，．则两圆的位置关系为：相交，故它们的公切线有2条．故答案为：相交；2．依题意可求得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径，计算两圆心之间的距离即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系的判定，分别求得两圆的圆心坐标与半径是判断的关键，属于中档题．16.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=1+cos2x2+12sin2x=√22(√22sin2x+√22cos2x)+12 =√22sin(2x+π4)+12∴f(3π8)=√22sinπ+12(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2∴2kπ−3π4≤2x≤2kπ+π4，即kπ−3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z)时，f(x)单调递增．∴f(x)单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8](k∈Z)解析：本题考查二倍角的正弦与余弦，考察辅助角公式的应用，突出考查正弦函数的单调性，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角的正弦与余弦和辅助角公式将f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R)化简为：f(x)=√2 2sin(2x+π4)+12.即可求f(3π8)的值；(Ⅱ)由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2即可求得f(x)的单调递增区间．17.答案：证明：(1)取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，∴EF//CD，且EF=12CD=1，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，∴EF//AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，∴BE//AF，BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE//平面PAD(2)平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD在直角梯形ABCD中，BD=BC=√2,DC=2，∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．解析：(1)取PD 的中点F ，连结EF ，AF ，证明EF//CD ，EF//AB ，推出BE//AF ，通过直线与平面平行的判定定理证明BE//平面PAD ．(2)证明DB ⊥BC.PD ⊥BC ，然后证明BC ⊥平面PBD ．本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力． 18.答案：解：由题可得，在△ABC 中，∠ABC =135°，AC =50t ，BC =30t ，由正弦定理，得30t sinα=50t sin135∘，得sinα=3√210． 解析：根据示意图，直接利用正弦定理即可得到答案．本题主要考查解三角形的实际应用，属于基础题．19.答案：(1)解：∵a 2=4a 1−6a 1−1， ∴由a 1>a 2，即4a 1−6a1−1−a 1<0，∴a 12−5a 1+6a 1−1>0，∵a 1>1，∴a 12−5a 1+6>0，(2分)∴a 1>3或1<a 1<2；(4分)(2)证明：由b n =a n −3a n −2=4a n−1−6a n−1−1−34a n−1−6a n−1−1−2=12⋅a n−1−3a n−1−2=12b n−1(6分) ∵b 1=a 1−3a 1−2≠0 ∴{b n }是等比数列，且b n =(12)n−1⋅b 1(10分) (3)解：由(1)有a 1>3或1<a 1<2.于是b 1=a 1−3a 1−2>0， 由(2)可知b n =(12)n−1⋅b 1，又b n =a n −3a n −2，得a n =11−b n +2，(12分) 故a n+1−a n =11−b n+1+2−11−b n+1+2=b n+1−b n (1−b n+1)(1−b n ) =⋯=−(12)n b 1[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]<0.(14分) 所以[1−(12)n ⋅b 1][1−(12)n−1⋅b 1]>0，从而0<b 1<2n−1或b 1>2n 恒成立．因此0<b 1<1，(16分)即0<a 1−3a 1−2<1，则a 1的范围为a 1>3.(18分)解析：(1)先求出a 2，利用a 1>a 2，a 1>1，即可求出a 1的取值范围；(2)由b n =a n −3a n −2，代入条件，利用等比数列的定义，即可证明； (3)利用a n+1−a n >0，确定b 1的范围，即可确定a 1的范围．本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ) 由S n =3×2n −3，(i)当n =1时，a 1=S 1=3×2−3=3，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3×2n −3)−(3×2n−1−3)=3×2n−1(∗)其中，n =1时，a 1=3也满足(∗)式，所以，对任意n ∈N ∗，都有a n =3×2n−1；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，b 2=a 5=3×24=48，b 11=S 3=3×23−3=21，由等差数列的通项公式得，{b 2=b 1+d =48b 11=b 1+10d =21，解得{b 1=51d =−3， 所以b n =54−3n ；可以看出b n 随着n 的增大而减小，b 1=51>0，令b n =0，解得n =18，所以T n 有最大值，且T 18(或T 17)为前n 项和T n 的最大值，且T 18=18(b 1+b 18)2=9×(51+0)=459．解析：(Ⅰ) 运用数列的递推式：(i)当n =1时，a 1=S 1，(ii)当n ≥2时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项公式；(Ⅱ)设等差数列{b n }的首项为b 1，公差为d ，运用等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，讨论b n 随着n 的增大而减小，可得所求和的最大值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的前n 项和的最值，注意分析数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)设圆心P(x,y)，由圆P 经过点F(0,1)且和直线y +1=0相切，可得√x 2+(y −1)2=|y +1|，两边平方化简得x 2=4y ；(2)显然直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，由于l 过焦点F(0,1)，所以直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由于|AC|=|BD|，所以N 点也是线段AB 的中点，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、N(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，由{x 2=4y y =kx +1得x 2−4kx −4=0，所以x 1+x 2=4k ， ∴x 0=2k ，y 0=2k 2+1，即N(2k,2k 2+1)，∵k MN =−1k ，即(2k 2+1)−42k−1=−1k ， 整理得2k 3−k −1=0，即(k −1)(2k 2+2k +1)=0，∴k =1，∵|AB|=y 1+y 2+2=(x 1+1)+(x 2+1)+2=8，原点到直线AB 的距离为d =√2=√22， ∴S △OAB =12⋅|AB|⋅d =2√2． 解析：本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式和两点距离公式，考查三角形的面积的求法，以及联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式、抛物线的定义，考查运算能力，属于中档题．(1)设圆心P(x,y)，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，平方后化简整理可得P 的轨迹方程；(2)设直线l 的方程为y =kx +1，取CD 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥CD ，由直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得N 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，求得k ，|AB|，再由三角形的面积公式计算可得所求值．。
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分）
17.已知函数������(������)
=
√3������������������
������ 4
������������������
������ 4
+
������������������2
���4���.
(1)若������(������) = 1，求������������������ (2������ − ������)的值；
A. 40
B. 30
C. 20
D. 10
10. 已知函数 f x 2sin x ( 0, ) ，过点 A( , 0) ，B( , 2) ，则
2
12
3
当 x [ , 5 ] ，且 g x 2mf x sin(4x ) 的最大值为 3 ，则������的值为（ ）
12 12
6
2
5
A.
1
B.
C. 5 和 1
D. 5 和- 1
8
2
82
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11.已知 f x m x 2m x m 3, g x 4x 2，若对任意 x R, f x 0或g x 0 ，则������的取
值范围是（ ）
A. (0, 1是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 4. 我国古代数学典籍≪九章算术≫第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大 鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的 墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半， 则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为 1200 尺，则需要几天时 间才能打穿（结果取整数）（ ）
2019年4月四川省成都市第七中学2018-2019学年高2021届高2018级高一下学期半期考试数学试题参考答案
成都七中2019-2020学年度下期高2021届半期考试数学答案一、选择题：（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13.214.2√215.78612 16. 167[]73，三、解答题17.解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12. ⋯⋯2分由f (x )＝1，可得sin(x 2＋π6)＝12.令θ＝x 2＋π6，则x ＝2θ－π3，sin θ＝12.cos(2π3－x )＝cos(π－2θ)＝－cos2θ＝2sin 2θ－1＝－12. ⋯⋯5分(2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3， ⋯⋯7分B ＋C ＝2π3，所以0＜B ＜2π3，所以π6＜B 2＋π6＜π2， ⋯⋯8分所以f (B )＝sin(B 2＋π6)＋12∈(1，32)．所以f (B )的取值范围是(1，32)．⋯⋯10分18.（1）解：∵ 4csinC =(b +a)(sinB −sinA) ，∴ 4sin 2C =sin 2B −sin 2A ，∴ 4c 2=b 2−a 2 .假设 a ， b ， c 依次成等差数列，则 b =a+c 2，则 4c 2+a 2=(a+c 2)2，即 15c 2+3a 2=2ac ，又 15c 2+3a 2≠2ac ，从而假设不成立，故 a ， b ， c 不可能依次成等差数列. ⋯⋯6分 （2）解：∵ 4c 2=b 2−a 2 ，∴ c 2=b 2−a 24. ∵ cosC =a 2+b 2−c 22ab ，∴ cosC =a 2+b 2−b 2−a 242ab =5a 2+3b 28ab.∴ cosC =5a 2+3b 28ab≥2√5a 2×3b 28ab=√154，⋯⋯9分当且仅当 5a 2=3b 2 ，即 b =√153a 时，取等号. ⋯⋯10分∵ c 2=b 2−a 24=(√153a)2−a 24=a 26，∴ c a=√66. ⋯⋯12分19.解412511325=1=a a d a a a d a d =+⎧⎨+=+⎩⇒由题意得：，-1⋯⋯4分（2）解：解： b n+1−b n =(2−n)2n ，有 {b 2−b 1=1×21b 3−b 2=0×22……b n −b n−1=(3−n)×2n−1(n ≥2) 累加整理b n =1+1×21+0×22+⋯+(3−n)×2n−1，(n ≥2) ①⋯⋯8分 2b n =2+1×22+0×23+⋯+(3−n)×2n ，(n ≥2) ② ② − ① 得 b n =1−2+1×221−2n−21−2+(3−n)2n =(4−n)2n −5(n ≥2)b 1=1 满足上式，故 b n =(4−n)2n −5 . ⋯⋯12分20．【答案】 （1）{a 1+2a 2+a 3=48a 1+a 3=4a 2−6∴{a 2=9q =3∴a n =3n ⋯⋯4分(2)因为b n =3n(3n −1)(3n+1−1)=12(13n −1−13n+1−1) . ⋯⋯5分 所以S n =b 1+b 2+⋯b n = 12(12−132−1+132−1−133−1+⋯+13n −1−13n+1−1)=12(12−13n+1−1)⋯⋯7分又因为存在 使S n<1a n+m 成立，所以12(12−13n+1−1)<13n+m 有解，即(12(12−13n+1−1)−13n )min<m ,令f (x )=14−12(3x+1−1)−13x ，则函数y =f (x )在[1,+∞)上单调递增⋯⋯10分所以，当x =1时，f (x )=−748 ， 所以，m >−748⋯⋯12分21.解:过点 F 作 FM ⊥BE ，垂足为 M . 在 RtΔFME 中, MF =2,∠EMF =π2,∠FEM =θ 所以 EF =2sinθ,ME =2tanθ 故 AF =BM =EF −EM =2sinθ−2tanθ所以 f(θ)=12(AF +BE)×AB =12×(2sinθ−2tanθ+2sinθ)×2=4sinθ−2tanθ⋯⋯3分据题意， AF <BE ，所以 θ<π2且当点 E 重合于点 C 时， EF =EB =2√2,FM =2,θ=π4 所以函数 f(θ)=4sinθ−2tanθ的定义域为 [π4,π2)⋯⋯5分（2）解:由（1）可知， f(θ)=4sinθ−2tanθ=4(sin 2θ2+cos 2θ2)2sin θ2cos 2θ2−22tanθ21−tan 2θ2=2(tan θ2+1tan θ2)−(1tan θ2−tan θ2)=3tan θ2+1tan θ2≥2√3tan θ2×1tan θ2=2√3⋯⋯9分当且仅当 3tan θ2=1tan θ2时，不等号取等号又 θ∈[π4,π2),θ2∈[π8,π4) 故 tan θ2=√33,θ2=π6,θ=π3BE =2sinθ=4√33,AF =2sinθ−2tanθ=2√33答：当 BE,AF 的长度分别为4√33米，2√33米时，裁剪出的四边形 ABEF 的面积最小，最小值为 2√3 平方米. ⋯⋯12分 22、【答案】（1）解：在 中令 ，得 即，∵解得当 时，由 ，得到则1131(1)222n nn na a +++=+又 ，则数列 12n na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以 为首项，为公比的等比数列，，即⋯⋯4分（2）解： ，则 ，当 时 ，当时，，=2−1n综上，⋯⋯8分（3）解：当 恒成立时，即（ ）恒成立设 （），当 时， 恒成立，则满足条件；当 时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是⋯⋯12分。