2.1.2_求曲线的方程

变式1：已知等腰三角形底边的两个端点是Ａ (-1, -1) 、Ｂ(3,7) ，求第三个顶点C的轨迹方 y 程．
B
x+2y－7=0，且不过点（1,3）
C
注：求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应,否则要“多 退少补”,多余的点要剔除(用 x,y的取值范围来限制),不足 的点要补充.
0
x
A
建立坐标系的要点： 1.合理的选择原点与坐标轴; 通常以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分 线上任意一点,也就是点M属于集合
y
B
M
P M | MA || MB |
由两点间的距离公式，点M所适合 条件可表示为：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
x
曲线的方程
2
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
解 :由题意, 设点M的坐标为 x, y , 点P的坐标为 x 0 , y 0 , 则 2 x x0 3, x0 2 x 3, 又 x 0 , y0 在圆x 2 y 2 1上, 2 y y0 , y0 2 y. 3 2 1 2 2 2 2x 3 4y 1, ( x ) y . 2 4
x1 2 y1 7 0,
x1 7 2 y1.
点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ( x1 1) 2 ( y1 1) 2 (8 2 y1 ) 2 ( y1 1) 2 5( y12 6 y1 13) ;
问题：如果给出A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)， 动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什 么吗？如何证明你的结论？ 点M1到A、B的距离分别是
曲线 C 叫做方程 F(x，y)=0 的曲线（图形）。
我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。 利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表 示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合， 用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程F(x,y)=0表示曲 线。 在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线 的方法，叫做解析法（或坐标法）。
解:解法1:设点M的坐标为(x,y). ∵M为线段AB的中点, ∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.
40 4 2y 而k PA (x 1), k PB , 2 2x 20 2 2 y 1( x 1). 1 x 1
| AD | x y 3
2 2
化简得 :x2+y2=9 (y≠0)
这就是所求的轨迹方程.
本节课的关键问题
1. 如何建立平面直角坐标系？
2. 准确写出几何特征p(M). 3. 将几何特征转化为数量关系而 得出方程.
4. 简化方程的过程是否同解变形.
求曲线的方程（2）
例1.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于 A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
上的点.（一般变为确定点的范围即可）
例 2.已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2,一条曲线也在 l 的上方,它上面的每 一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程.
y
(0, F. 2)
0
.M
B
( x, y )
l
x
例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系，求这条曲线的方程.
练习2.已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨 迹方程.
( x 3) 2 y 2 48 x 2 y 2 25
适用范围:任何情况
直接法求曲线方程的一般步骤：
1. 建系：建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步
骤省略);
２. 设点：设曲线上任意一点的坐标(x,y);
３. 列式：根据曲线上点所适合的条件,写出等式;
4. 化简：用坐标x、y表示这个等式,并化方程为最简
形式;
５. 证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲
解：取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点， MB⊥x轴，垂足是B，
MF MB 2
( x 0) 2 ( y 2) 2 y 2 1 2 y x 8
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是
知线段的中点为原点;
2.如果已知两定直线互相垂直，我们通常把他
们选为坐标轴;
3.如果曲线（或轨迹）有对称中心，通常以对称中心 为原点. 4.如果曲线（或轨迹）有对称轴，通常以对称轴为坐 标轴. 5.尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上. 6.让尽量多的点在坐标轴上.
动点具有的几何条件比较明显时，由题设所给(或 通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几 何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线 的方程，这种方法叫直接法．
M 1 A 5( y12 6 y1 13) ;
M 1 B ( x1 3)2 ( y1 7)2 (4 2 y1 ) ( y1 7)
2 2
5( y 6 y1 13).
2 1
M1 A M1 B .
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知方程③是线段AB的垂直平分线的方程.
解析几何的两大基本问题—— （1）据已知条件，求表示平面曲线的方程。（由曲线求方程） （2）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）
解析几何的本质——用代数的方法来研
究几何问题
例1：如果A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点M 到A,B的距离相等. 你知道动点M的轨迹是什么吗？ 如何证明你的结论？
③
思考：如果给出A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动 点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗？ 如何证明你的结论？
x+2y－7=0
③
我们证明方程③是线段AB的垂 直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程③解； （2）设点 M 1的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程③的解，即:
2
即x+2y-5=0. 在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面 几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法 叫做几何法。
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例2.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B, 1 点M满足 AM MB , 求点M的轨迹方程.
2
y
B
M
代入法(坐标转移法):
解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.
解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB, ∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M. ∴|MP|=|MO|.
∴点M的轨迹为线段OP的中垂线. 40 kOP 2, OP 的中点坐标为(1,2), 20 1 y 2 ( x 1), ∴点M的轨迹方程是
圆锥曲线 2.1.2求曲线的方程
复 习
曲线的方程和方程的曲线.
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与 一个二元方程 F(x，y)=0的实数解建立了如下的 关系：
（1）曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x，y)=0 的解, （2）以方程F(x，y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点，那么方程 F(x，y)=0 叫做曲线 C 的方程；
1 2 y x ( x 0) 8
练习1.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨 迹方程是_________
解:设动点为(x，y)，则由题设得
化简得:
y2=4(x-1)
这就是所求的轨迹方程.
练习2. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边的
中线AD的长为3，求点A的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线 为y轴，建立直角坐标系. 设A(x，y)，又D(0，0)，所以
整理得x+2y-5=0(x≠1). ∵当x=1时,A､B的坐标分别为(2,0)､(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.
规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之
积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如
x
O
A(6,0)
特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的
变化而变化 方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0), 然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.
练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一 点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的 轨迹方程. 分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标 表示,利用代入法,代入圆的方程即可.