求曲线的方程

2.1.2求曲线的方程

学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.

知识点求曲线方程的方法与步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；

(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

简记为：建系、列式、代换、化简、说明，这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和相应的作用．

类型一轨迹方程求解问题

例1设A，B两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

解如图所示，设点M(x，y)是线段AB的垂直平分线上的任意一点，也就是点M属于集合P ＝{M||MA|＝|MB|}．

由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为：

(x＋1)2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－7)2.

上式两边平方，并整理得x＋2y－7＝0.①

我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程．

(1)由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解；

(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程①的解，

即x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1.

点M1到A，B的距离分别是

|M1A|＝(x1＋1)2＋(y1＋1)2

＝(8－2y 1)2＋(y 1＋1)2＝5(y 21－6y 1＋13)；

|M 1B |＝(x 1－3)2＋(y 1－7)2

＝(4－2y 1)2＋(y 1－7)2＝5(y 21－6y 1

＋13). 所以|M 1A |＝|M 1B |，

即点M 1在线段AB 的垂直平分线上．

由(1)(2)可知，方程①是线段AB 的垂直平分线的方程．

反思与感悟 求曲线方程一般都要按照5个步骤进行，建系要适当，尽量使点的坐标、线的方程最简．关键步骤是第二步，写出动点的条件集合，即找出等量关系，确定了等量关系式将点的坐标代入就得方程．步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．

跟踪训练1 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0,0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．

解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，

则由重心坐标公式，得??? x ＝0＋6

＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3

， 所以?????

x ′＝3x －6，y ′＝3y . 因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上，

所以3y ＝(3x －6)2＋3，

整理，得y ＝3(x －2)2＋1.

故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1.

类型二 求曲线方程的方法

例2 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 的中点Q 的轨迹方程． 解 方法一 (直接法)

如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°.

设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，

即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9， 所以x 2＋????y －322＝94

(x ≠0)． 方法二 (定义法)

如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋????y －322＝94

(x ≠0)． 方法三 (代入法或称相关点法)

设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，

由题意，得??? x ＝x 12，

y ＝y 12即?????

x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，

所以4x 2＋4???

?y －322＝9， 即x 2＋????y －322＝94

(x ≠0)． 反思与感悟 求曲线方程的一般方法如下：

(1)直接法：就是直接依据题目中给定的条件进行确定方程．

(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．

(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．

(4)参数法：将x ，y 用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．

(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．

跟踪训练2 设m ∈R ，在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(mx ，y ＋1)，向量b ＝(x ，y －1)，a ⊥b ，动点M (x ，y )的轨迹为E .求轨迹E 的方程．

解 因为a ⊥b ，a ＝(mx ，y ＋1)，b ＝(x ，y －1)，

所以a ·b ＝mx 2＋y 2－1＝0，

即mx 2＋y 2＝1为所求的轨迹E 的方程．

类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点

例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x

(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．

解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时，

不可能与曲线有两个公共点．

设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，

联立曲线方程，得?????

y －2＝k (x －1)，y ＝a x

， 消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①

当此方程有两个不同的根，

即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点．

∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.

设方程①的两根分别为y 1，y 2，

由根与系数的关系，

得y 1＋y 2＝2－k .

又∵y 1＋y 2＝a ，

∴k ＝2－a ，

代入Δ>0中，

得a 2＋4a (2－a )>0，

解得0

. 又∵k ≠0，

∴2－a ≠0，即a ≠2.

∴a 的取值范围是(0,2)∪(2，83

)． 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．即两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则

它们的交点坐标由方程组?????

F (x ，y )＝0，

G (x ，y )＝0的解来确定． 跟踪训练3 直线l ：y ＝k (x －5)(k ≠0)与圆O ：x 2＋y 2＝16相交于A ，B 两点，O 为圆心，当k 变化时，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．

解 设M (x ，y )，易知直线恒过定点P (5,0)，

再由OM ⊥MP ，

得|OP |2＝|OM |2＋|MP |2，

∴x 2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝25，

整理得(x －52)2＋y 2＝254

. ∵点M 应在圆内，

∴所求的轨迹为圆内的部分．

解方程组????? (x －52)2＋y 2＝254，x 2＋y 2＝16

得两曲线交点的横坐标为x ＝165

，

故所求轨迹方程为(x －52)2＋y 2＝254(0≤x <165

).

1．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形分别是( )

A ．前后两者都是一条直线和一个圆

B ．前后两者都是两点

C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两点

D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆

答案 C

解析 前者是直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1，后者是两点(0,1)和(0，－1)，故选C.

2．到点(1,2)的距离等于3的动点Q 的轨迹方程是( )

A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝3

B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝9

C ．(x －1)2＋(y －2)2＝3

D ．(x －1)2＋(y －2)2＝9

答案 C

解析 由圆的定义知动点Q 的轨迹是以点(1,2)为圆心，以3为半径的圆，故其方程为(x －1)2＋(y －2)2＝3.

3．已知A (2,5)，B (3，－1)，则线段AB 的方程是( )

A ．6x ＋y －17＝0

B ．6x ＋y －17＝0(x ≥3)

C ．6x ＋y －17＝0(x ≤3)

D ．6x ＋y －17＝0(2≤x ≤3)

答案 D

解析 因线段AB 是直线AB 的一部分，可先由两点式写出直线方程6x ＋y －17＝0，再对x 进行限制．

4．线段AB 的长度是2a (a >0)，它的两个端点A 和B 分别在x 轴，y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨迹方程是________________________．

答案 x 2＋y 2＝a 2

解析 设P 的坐标为(x ，y )，则A (2x,0)，B (0,2y )．

由已知|AB |＝2a ，得(2x )2＋(2y )2＝2a .

化简，得x 2＋y 2＝a 2，即为点P 的轨迹方程．

5．已知曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，则实数k 的取值范围为________________．

答案 (－∞，12

] 解析 因y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，

故a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0，得

k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12

， 所以k ≤12，即k 的取值范围为(－∞，12

]．

(1)求解曲线方程时：

①第一步在具体问题中有两种情况：a.所研究的问题中已给定了坐标系，直接在给定的坐标系中求方程；b.原题中没有确定的坐标系，需先建立适当的坐标系，选取特殊点为原点． ②第二步为求方程最重要的一步，要仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点满足的等量关系，列出几何关系式，但在具体解题的过程中经常不出现这一步(被省略)．

③第三步将几何关系式转化为代数中的方程．

④化简过程中，注意运算的合理性与准确性，避免增解与漏解，第五步从理论上讲很有必要，但在没有特殊情况的时候，常省略，有特殊情况时则不能省，可以说是对第四步的完善．

(2)很多时候在求出曲线方程后，第五步直接省略了，没将特殊情况进行说明，该剔除的没剔除，该补充的没补充，因此出现错误．

一、选择题

1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )

A ．y ＝x ，y x

＝1 B ．y ＝x ，y ＝x 2

C ．|y |＝|x |，y ＝x

D ．|y |＝|x |，y 2＝x 2

答案 D

解析 A 中y ＝x 表示一条直线，而y x

＝1表示直线y ＝x ，除去点(0,0)；B 中y ＝x 表示一条直线，而y ＝x 2表示一条折线；C 中|y |＝|x |表示两条直线，而y ＝x 表示一条射线；D 中|y |＝|x |和y 2＝x 2均表示两条相交直线．故选D.

2.如图所示的图象对应的方程是( )

A ．|x |－y ＝0

B.x |y |

－1＝0 C ．x －|y |＝0

D.|x |y

－1＝0 答案 C

解析 据图，当x >0，y >0时，y ＝x ；

当x >0，y <0时，y ＝－x ，

只有选项C 符合要求，故选C.

3．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )

A.π3

B.53π

C.π3或53

π D.π3或π6

答案 C

解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，

得cos α＝12

. 又因为0≤α＜2π，

所以α＝π3或α＝53

π. 4．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( )

A ．x 2＋y 2＝1

B ．x 2＋y 2＝2

C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)

D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) 答案 A

解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ). 由MA →·MB →＝0，得(－1－

x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.

5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( )

A ．2 6

B ．8

C ．4 6

D ．10 答案 C

解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，

所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋

2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.

6．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为

Q ，且P A →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为( )

A ．x 2＋y 2＝2

B ．y 2－x 2＝2

C ．x 2－2y 2＝1

D ．2x 2－y 2＝1

答案 B

解析 设动点P 的坐标为(x ，y )，

则点Q 的坐标为(0，y )，

PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )，

PB →＝(－2－x ，－y )，

P A →·PB →＝x 2－2＋y 2.

由P A →·PB →＝2PQ →2，

得x 2－2＋y 2＝2x 2，

∴所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.

二、填空题 7．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________．

答案 x 2＝4y

解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，

两边平方整理得x 2＝4y .

8．点A (1，－2)在曲线x 2－2xy ＋ay ＋5＝0上，则a ＝________.

答案 5

解析 由题意可知点(1，－2)是方程x 2－2xy ＋ay ＋5＝0的一组解，即1＋4－2a ＋5＝0， 解得a ＝5. 9．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________．

答案 [22，4]

解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x

＜－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是

[22，4]．

10．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l

的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________．

答案 y 2＝4x (x ≥0)

解析 设点P (x ，y )，

则Q (－1，y )．

由QP →·QF →＝FP →·FQ →，

得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，

所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，

化简得y 2＝4x (x ≥0)．

三、解答题

11在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，

因为曲线在x 轴的上方，

所以y >0.

过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则|MF |－|MB |＝2，

即x 2＋(y －2)2－y ＝2，

整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，

化简得y ＝18

x 2， 所以所求曲线的方程是y ＝18

x 2(x ≠0)． 12．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．

解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)， 则??? x ＝x 1＋

62，y ＝y 12得?????

x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题意知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以2y ＝(2x －6)2＋3，

所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32

. 13．已知A 在y 轴正半轴上，为定点，线段BC 在x 轴上滑动，已知|BC |为4，A 到x 轴的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．

解 方法一 如图所示，

根据题意建立平面直角坐标系，

则A 点坐标为(0,3)．

设△ABC 的外心为P (x ，y )，

∵P 在BC 的垂直平分线上，

∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．

∵P 也在AB 的垂直平分线上，

∴|P A |＝|PB |， 即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，

化简得x 2－6y ＋5＝0.

方法二 如图所示，所建坐标系同方法一，则A (0,3)， 设△ABC 的外心为P (x ，y )，

又设BC 的垂直平分线方程为x ＝t ，

则点B (t ＋2,0)，AB 中点坐标为(t ＋22，32

)， ∴AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23(x －t ＋22

)． ∵P 是AB ，BC 的垂直平分线的交点，

∴由?????

x ＝t ，y －32＝t ＋23

(x －t ＋22)， 消去t 得x 2－6y ＋5＝0，

∴△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.