求曲线的方程.ppt
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y
.M
(x, y)
F(.0, 2)
0
lB x
9
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M
属于集合 P { M MF MB 2}.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得 x 2 ( y 2)2 ( y 2)2 ,
解:如图以直线 AB 为 x 轴,AB 的中点为原点建立坐标系
则 A、B 的坐标分别为 (3, 0) 、(3, 0) y
设 M 的坐标分别为 (x, y)
来自百度文库
依题意得 MA 2 MB 2 26
∴ (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 26
M(x, y)
化简整理得 x2 y2 4
∴点 M 的轨迹方程为 x2 y2 4 .A
求曲线的方程
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法二:若没有现成的结论怎么办 ──需要寻找一般性的方法
y B
M
0
x
A
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法二:一般性的方法 我们的目标就是要找x与y的关系式
2.1.2 求曲线的方程
（共两课时）
曲线C
方程f(x,y)=0
一、复习回顾
1.曲线的方程、方程的曲线； 2.点在曲线上的充要条件； 3.证明已知曲线的方程的方法和 步骤；
二、典例分析
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
y B
思考1： 我们有哪些 可以求直线方程的方 法？
0
x
A
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一:运用直线方程的知识来求.
解:∵ kAB
7 (1) 3 (1)
2 ,∴所求直线的斜率 k
=
1 2
又∵线段 AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7) ，即(1,3) 22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) .即 x+2y-7=0 2
0
B x
注:这种求轨迹方程的方法叫做直接法.
本节小结：
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一
点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程;
3说、明化所简得方方程程. (可检以验省略)为所求的曲线
方程.
二、求曲线方程的常用方法：
化简得
y 1 x2. 8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是
y 1 x（2 x 0）. 8
如何建立直角坐标系？ 在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”这一原 则．一般地，我们按以下几个原则来建立直角坐标系： (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐 标系． (2)若已知两定点，常以两定点的中点(或其中一个定点)为 原点，两定点所在的直线为 x 轴建立直角坐标系． (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系．
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x2 ( y 4)2
∴ y = x2 ( y 4)2
∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
化简
13
练习：两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的 距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程.
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
(4)若已知一定点和一条直线，常以定点到定直线的垂线段 的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为 x 轴正方向建 立直角坐标系．
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线 为 x 轴建立直角坐标系．
课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
化简
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 7 0 .
下面证明线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.
证明: ⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任
一点的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解; ⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程 x+2y-7=0 的解,
即 x1 2 y1 7 0 从而， x1 7 2 y1
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
∴ x2y7 0
点 M1 到A、B的距离分别是
M1A x1 12 y1 12 8 2 y1 2 y1 12 5 y12 6 y1 13
M1B x1 32 y1 72 4 2 y1 2 y1 72 5 y12 6 y1 13
所以， M1A M1B
点 M1 在线段AB的垂直平分线上. 综上,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 7 0 .
.M
(x, y)
F(.0, 2)
0
lB x
9
设点M(x,y)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M
属于集合 P { M MF MB 2}.
由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为
x2 ( y 2)2 y 2,
①
将①式移项后两边平方，得 x 2 ( y 2)2 ( y 2)2 ,
解:如图以直线 AB 为 x 轴,AB 的中点为原点建立坐标系
则 A、B 的坐标分别为 (3, 0) 、(3, 0) y
设 M 的坐标分别为 (x, y)
来自百度文库
依题意得 MA 2 MB 2 26
∴ (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 26
M(x, y)
化简整理得 x2 y2 4
∴点 M 的轨迹方程为 x2 y2 4 .A
求曲线的方程
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法二:若没有现成的结论怎么办 ──需要寻找一般性的方法
y B
M
0
x
A
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法二:一般性的方法 我们的目标就是要找x与y的关系式
2.1.2 求曲线的方程
（共两课时）
曲线C
方程f(x,y)=0
一、复习回顾
1.曲线的方程、方程的曲线； 2.点在曲线上的充要条件； 3.证明已知曲线的方程的方法和 步骤；
二、典例分析
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
y B
思考1： 我们有哪些 可以求直线方程的方 法？
0
x
A
例1.设A，B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
法一:运用直线方程的知识来求.
解:∵ kAB
7 (1) 3 (1)
2 ,∴所求直线的斜率 k
=
1 2
又∵线段 AB 的中点坐标是 (1 3 , 1 7) ，即(1,3) 22
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y 3 1 (x 1) .即 x+2y-7=0 2
0
B x
注:这种求轨迹方程的方法叫做直接法.
本节小结：
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一
点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程;
3说、明化所简得方方程程. (可检以验省略)为所求的曲线
方程.
二、求曲线方程的常用方法：
化简得
y 1 x2. 8
因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标（0,0）是这个方程
的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是
y 1 x（2 x 0）. 8
如何建立直角坐标系？ 在建立直角坐标系时应遵循“避繁就简”这一原 则．一般地，我们按以下几个原则来建立直角坐标系： (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐 标系． (2)若已知两定点，常以两定点的中点(或其中一个定点)为 原点，两定点所在的直线为 x 轴建立直角坐标系． (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系．
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x2 ( y 4)2
∴ y = x2 ( y 4)2
∴ y2 x2 y2 8 y 16 ∴ x2 8 y 16 这就是所求的轨迹方程.
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化
化简
13
练习：两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的 距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程.
√3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ; 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.
(4)若已知一定点和一条直线，常以定点到定直线的垂线段 的中点为原点，以定点到定直线的反向延长线为 x 轴正方向建 立直角坐标系．
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线 为 x 轴建立直角坐标系．
课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性.
求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
√ √ 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
化简
综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 7 0 .
下面证明线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.
证明: ⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任
一点的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解; ⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程 x+2y-7=0 的解,
即 x1 2 y1 7 0 从而， x1 7 2 y1
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
∴ (x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
坐标化
∴ x2 2x 1 y2 2y 1 x2 6x 9 y2 14y 49
∴ x2y7 0
点 M1 到A、B的距离分别是
M1A x1 12 y1 12 8 2 y1 2 y1 12 5 y12 6 y1 13
M1B x1 32 y1 72 4 2 y1 2 y1 72 5 y12 6 y1 13
所以， M1A M1B
点 M1 在线段AB的垂直平分线上. 综上,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y 7 0 .