新人教版八年下《181勾股定理》word教案3篇

初中数学教学案例

18.1勾股定理（第一课时）

教 学 目

标

知识技能

1?了解勾股定理的文化背景? 2.体验勾股定理的探索和证明过程.

数学思考

在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结 合的思想.

解决问题 1 ?通过拼图活动，体验数学思维的严密性，发展形象思维 .

2 ?在探究活动中，学会与他人合作并交流思维的过程和探究 的结果.

情感态度

1 ?通过对勾股定理历史的了解，对比介绍中西方数学家关于 勾股定理的研究，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学 生奋发学习?

2 ?在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克 服困难的勇气，培养合作意识和探索精神?

教学重点 探索和验证勾股定理. 教学难点

用拼图的方法验证勾股定理.

教具

多媒体课件

教学过程

学生观察图片发表见解. 生会徽是很具有代 表性的东西，

比如2008 年体育奥运会的会徽是五 环旗?

生2.我在其他的资料 里见过这个图案? 生3.课本面上也有这 样的图案? （同学们积极踊跃的发

教学 流程

教师活动

学生活动 设计意图

情 景 引 人

从 现 实生活 中

提出“

赵

爽弦图”

为学生

能 够积极 主 动地投

入

到探索 活 动创设 情 境，激 发

学生学 习 热情， 同 时为探 索

［活动1］讲述资料故事

提出问题1：数学家大会为什么用 该图做会徽呢？它有什么特殊的含义 吗？

探究新知

组内交流

得出猜想教师作补充说明：

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明

勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦

图”.

问题2:你听说过“勾股定理”吗？

教师关注：学生对“赵爽弦图”及勾股

定理的历史是否感兴趣.

引人课题18.1《勾股定理》（板书课题）

[活动2]

你知道他是通过什么途径找到怎样的三边关系的吗？

相传2500年前，古希腊

著名数学家毕达哥拉斯从朋友

家的地砖铺成的地面上找到了

直角三角形三边的关系。

问题1?你能发现S A、S B、S C之间的关

系吗？

问题2?等腰直角三角形的三边a、

b、c之间有什么关系？出示幻灯片3

. 对于一般的直角三角形是

. 否也有这样的性质呢？

-

C、

A

7■n

B*

C

图1￡J

X f

B

图

（图中每个小方格代表一个单位面积）

A的面积B的面积C的面积

图1

图2

1.观察左图并填写下表:

2.你是怎样得到正方形c 的

面积的？以图1为例.

在本次活动中，教师重点关注：

（1）教师参与小组活动，指导、倾

听学生交流.针对不同认识水平的学生，

引导其用不同的方法得出大正方形C的

面积.

（2）幻灯片展示答案

（3）引导学生将三个正方形面积的

关系转化为直角三角形三条边之间的关

系，并用自己的语言叙述出来：

言,学习积极性很高）

学生当听到是“赵爽弦图”

时，好奇之心更加强烈，学

习热情很高?

对“勾股定理”表示不理

解

观察图片后结合课本上的

内容，学生很快就发现这一

关系式

a2+ b2= c2

纷纷举手回答，并总结:

等腰直角三角形的两条直角

边平方的和等于斜边的平方

在独立探究的基础上，

学生分组（前后位四人一

组）合作交流.

用不同的方法得出大正

方形C的面积

生1:把C “补”成边

生2:将正方形C分

“割”成若干个直角边为整

数的三角形

当答案不同、意见有分

歧时，所有同学都在积极思

考，大胆发言，各抒己见，

直到探求出正确结果

学生总结

命题：直角三角形的两

条直角边的平方和等于斜边

的平方

勾股定理

提供背景

材料.

冋题是

思维的起

点，通过

问题激发

学生好奇

心和主动

学习的欲

望.

为学生

提供参与

数学活动

的时间和

空间，让

学生积极

动手，发

挥学生的

主体作用，

使学生在

相互欣赏、

争辩、互

助中得到

提高.

实践验证

［活动3］实践验证

早在公元3世纪，我国数学家赵爽就

用赵爽弦图验证了“勾股定理” 幻灯片

展示赵爽弦图

教师详细介绍赵爽弦图的拼割过程

?

问题：?你能利用手中的材料通过其

他的拼法验证勾股定理吗？试试看，你能

拼几种

也可以表示为

（1）学生能否进行合理的拼图?对不

同层次的学生有针对性地给予分

方法三

大正方形的面积可以表示为c2

；

ab 2

4? 2+（b- a）2

析、帮助；

（2）学生能否用语言准确的表达自

己的观点.

勾股定理（毕达哥拉斯定理）（板书）直

角三角形两直角边的平方和

观看幻灯片

感受赵爽弦图的奇妙

学生对拼图活动很感兴

趣

利用手中准备好的材料

（直角三角形纸板4个）进

行拼图验证?

小组之间合理分工（两名

同学拼图，另两名同学负责

理论验证）合作效果很好

各组之间争先恐后，积极

展示自己的成果，真是奇思

妙想，各抒己见，拼图方法

已经超过了老师的预设范围，

同学们之间争得面红耳赤，

极大限度的开发了学生的潜

能，课堂气氛进入又一个高

潮?

在老师的帮助下学困生

也能较好的完成拼图?

同学们总结：直角三角形的

两条直角边的平方和

通过动

画演示，

让学生更

直观形象

地理解和

掌握赵爽

弦图的拼

割过程?

让学生

积极动

手，发挥

学生的主

体作用，

培养学生

的类比迁

移能力，

体会数形

结合的思

想.

等于斜边的平方。 （我国古代称直角三角形的较短的直 角

边为勾，较长的为股，斜边为弦, 这就是勾股定理的由来） 等于斜边的平方（生口

述） ?

追溯历史，激发情感 通过阅读材料感受数学 文化的辉煌历史，学习热 情高涨?

走进勾股世界 两千多年前，古希希个有伞毕达哥拉斯 学

派,他们们首先发勾股了勾股定理，因此在 国外人

们通常称勾股为定理为毕达哥拉斯定 理。为了

纪念达哥达哥拉斯学派,55 1955年 希腊曾经发了一了一枚纪念邮票。 我国是最早三了解年前殳定理的 国家之一。早在三前千多年前，周 朝数学家商高就提出，将一根直 尺折成一个直多年前如果勾等于 三家之投等于四千多那么弦就等于 五家之即。早勾三、股

四、弦五 ”，它 被记载于我国古代

著名的数学著 作家之周髀算经多年前

回放 勾

股定理 数 学史， 使 学生对 中 国乃至 世 界的数 学 史产生 浓 厚的

兴

趣，点 燃 他们热 爱 数学的 热 情.

1.在等腰 Rt △ AB （中 , a=b=1,则 c=

2.在Rt △ AB （中 , / A=30°, AB=2,则 BC= AC= ____

3.在一个直角三角形中 三边的长为 _________ B ,两边长分别为3、4,则第 B C a

第1题图

第2题图

老岬水1你能行!

A

4米

L

4、受台风麦莎影响，一棵树在离地面 4米处 断

裂，树的顶部落在离树跟底部 3米处，这棵树 折断前有多咼？

问题（1）、（2）、（ 3）学

生在练习本上独立完成后 V 2 口答?

V 问题（3）学生展示了两 种

解法，通过比较，更加 深了或对勾股定理的理解和 掌握?

问题（4）将实际问题转 化为数学模型：

AC 学生R 自主解答： AB

学生板演，其余学生在 课

堂练习本上独立完成.

所以AB+AC=9 （米）

答:这颗树折断前高9米.

问题（5）也是将实际问 题转化为数学模型： 学生以口述的方式给出 答案，讲解生动，效果好

通过运 用勾股定 理对实际 问题的解 释和应 用，培养 学生从身 边的事物 中抽象出 几何模型 的能力， 使学生更 加深刻地 认识数学 的本质： 数学来源 于生活， 并服务于 生活.

6 G 同学们能够及时发现自4

己的错误，弥补过失?E

12

交流展示

补偿提高

在本环节中，教师重点关注：

（1）提出问题后，弓I导学生将实

际问题转化为数学模型；

（2）规范学生的解题格式书写

（3）根据学生在练习中反映出的问

题，有针对性地对学生进行指导?

在本环节中，教师重点关注：

（1）不同层次的学生对知识的理解

程度?

（2）培养学生对所学内容进行归

纳、整理、总结的好习惯.

1.如图，分别以Rt △ ABC三边为边向外

作三个正方形，其面积分别用S1> S2、S3表

示，容易得出S1> S2、S3之间有的关系式为

S2

B

A

S i

小组推选代表发言，其他

组作补充说明.

学生畅所欲言（课堂气氛

活跃）

学生能从不同方面谈感受，

能认真倾听他人的意见和观

点?

问题（1 ）学生很容易得

到答案：

S2+S3= S1

问题（2）需要一定的验证

首先用圆的面积公式分别表

示出S1、S2、S3 然后得出结论：

S1 +S2=S3

学生在独立探究的基

础上，分组交流（课堂上

再现紧张而又活跃的学习

气氛，学生讨论热烈）

过对学习

过程的小

结，领会

其中的数

学思想方

法；通过

梳理所学

内容，形

成完整知

识结构

培养归

纟

:内

概括能力.

学生通

变式训

练，满不同

层学生的

习需求拓展

学思维间，

让生插上

想的膀，在

识的海翱翔。

所学的

生

空

学

联

翅

知

洋

使

知

案例说明

勾股定理是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切联系起来，有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位，在实际中有很大的用途。

整节课以“问题情境一一分析探究一一得出猜想一一实践验证一一总结升华

----综合应用”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程。由于我们的学生知识面狭窄，更需要文化的引领，所以先通过欣赏图片，了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣；；然后通过观察、分析方格图，得出直角三角形的性质一一勾股定理，发展学生分析问题的能力。在对勾股定理的探究证明过程中，向学生渗透由特殊到一般的数学方法及数形结合的数学思想。对教学难点采用割补面积及拼图法进行突破。图形的变化，使得课堂教学严谨、有趣，让学生的学习变得轻松愉快。

本节课运用了探究式教学方法，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间。使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，学生的学习方式和思维方式发生了质的飞跃。

关于练习的设计，我采用分层训练，让不同的学生都学有所得，以达到因材施教的目的。练习反馈中既有勾股定理的基本应用，还有贴近生活的实例，使学生更加深刻地认识到数学的本质特征：数学来源于生活，并

服务于生活.

最后让学生总结了本堂课的收获。从内容，到数学思想方法，到获取知识的途径等方面。给学生自由的空间，鼓励学生多说。引导学生从多角度对本节课归纳总结，感悟点滴，使学生将所学知识系统化，提高学生素质，锻炼学生的综合及表达能力，效果很好。

勾股定理一1

教学任务分析

教学流程安排

教学过程设计

问题与情景师生行为设计意图

[活动3]

是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明?到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多.卜面，我们就来看看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的.

(1)以直角三角形ABC 的两条直角边a、b为边作两个正方形.你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？

(2)面积分别怎样表示？它们有什么关系呢？

教师提出冋题，学生在独立思考的基础

上以小组为单位，动手拼接.

教师深入小组参与活动，倾听学生的交

流，帮助指导学生完成拼图活动.

学生展示分割、拼接过程.

在本次活动中，教师应重点关注：

(1)学生对拼图活动是否感兴趣；

(2 )学生能否进行合理的分害IJ.对

不同层次的学生有针对性地给予分析、帮

助；

(3)学生能否用语言准确的表达自己的

观点.

通过拼图活动，调动

学生思维的积极性，为学

生提供从事数学活动的机

会，建立初步的空间观念，

发展形象思维.

通过拼图活动，使学

生对定理的理解更加深

刻，体会数学中的数形结

合思想.

通过探究活动，调动

学生的积极性，激发学生

探求新知的欲望.给学生

充分的时间与空间讨论、

交流，鼓励学生敢于发表

自己的见解，感受合作的

重要性.

[活动4]

小结：

勾股定理从边的角度刻画了直角三角形的又一特征.人类对勾股定理的研究已有近3000年的历史，在西方，勾股定理又称“毕达哥拉斯定理”、“百牛定理”、“驴桥定理”等等.

布置作业：

收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流.

学生谈体会.

教师进行补充、总结，为下节课做好铺

垫.

在此次活动中教师应重点关注：

(1)不同层次的学生对知识的理解程

度；

(2)学生能否从不同方面谈感受；

(3)倾听他人的意见，体会合作学习

的必要性.

课下根据自己的情况选择完成.

通过小结为学生创

造交流的空间，调动学生

的积极性，既引导学生从

面积的角度理解勾股定

理，又从能力、情感、态

度等方面关注学生对课

堂整体感受，在轻松愉快

的气氛中体会收获的喜

悦.

教学设计说明

“勾股定理”是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切联系起来，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要地位.

整节课以“问题情境一一分析探究一一得出猜想一一实践验证一一总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.

根据教材的特点，本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的.

本节课运用的教学方法是“启发探索”式，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间.使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自

觉实践的氛围，达到收获的目的.

勾股定理一2

教学任务分析

教学流程安排

?I 只能试试斜着能否通过,

为了让学生

A [活动1]

问题 (1)求出下列直角三角形 中未知的边. 回答： ① 在解决问题时，每个直 角三角形需知晓几个条件？ ② 直角三角形中哪条边最 长？ (2)在长方形ABCD 中, 宽AB 为1m ,长BC 为2m , 求AC 长. [活动2]

问题 (1) 在长方形 ABCD 中

AB 、BC 、AC 大小关系？

(2) —个门框的尺寸如图

1所示. ① 若有一块长3米，宽0.8 米的薄木板，问怎样从门框通 过？ ② 若薄木板长3米，宽1.5 米呢？ ③ 若薄木板长3米，宽2.2 米呢？为什么？ 问题与情景 ㈡

2m

R

教师提出问题后让四 位学生板演，剩下的学生在 课堂作业本上完成.

问题(2)学生分组讨 论，自己解决；

教师巡视指导答疑.

在活动1中教师应重点 关注：

(1) 学生能否正确应 用

勾股定理进行计算；

(2) 在解决直角三角 形

的问题时，需知道直角三 角形的两个条件且至少有 一个条件是边；

(3) 让学生了解在直 角

三角形中斜边最长；

(4) 在解决问题2时, 能

否将一个长方形转化为 两个全等的直角三角形.

问题(1)学生由活动1 的结果可得出判断： AB v BC v AC .

论, 问题(2)学生分组讨 易回答①、②.

在解决前两问的基础 上,教师着重引导学生将③ 的实际问题转化为数学模 型，计算并回答：

???木板宽2.2米大于1米, ???横着不能从门框通过； ???木板宽2.2米大于2米, ?竖着也不能从门框通过.

师生行为

教师利用学 生已有的知识(勾 股定理及直角三 角形的相

关知识) 创设问题情境，有 针对性地引导学 生进行练习，为学 习勾股定理在实 际生活中的应用 做好铺垫.

通过问题(1) 让

学生熟悉直角 三角形斜边与直 角边的大小关系， 为解决问题(2) 奠定基础. 冋题(2 )是 本节课的重点和 难点.

设计意图

图1

(3) 教材第76页练习1. (4) 如图2, —个3米长 的

梯子AB ,斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时AO 的距离为2.5 米.

① 球梯子的底端B 距墙角 O 多少米？

② 如果梯的顶端A 沿墙下 滑0.5米至C ,请同学们

猜一猜，底端也将滑动0.5 米吗？

算一算，底端滑动的距离 近似值(结果保留两位小数).

对角线AC 的长最大，因此， 从中抽象出数学模型直角 △ ABC ，并求出斜边的长度

AC 、、5 2.236

2.2，所

以木板能从门框通过.

教师与学生一起完成 问题(3).

教师提出问题(4),引 导学

生将实际问题转化为 数学模型； 学生合作交流，讨论回 答：

(1) 在 Rt A AOB 中，

OB 2 AB 2 OA 2 OB 1.658.

(2) 的①由学生分组 讨

论做出猜想.②要求梯 子的底端B 是否也外移0.5 米，就是求出BD 的长，而 BD=OD — OB ,由(1)可知 OB ，只需在求出OD 即可.

在 Rt A COD 中，

2 2 2

OD 2 CD 2 OC 2 OD 2.236. BD OD OB 0.58

梯的顶端A 沿墙下滑 0.5米，梯子的底端B 外移 0.58 米.

在活动2中教师应重点 关注：

(1) 结合问题2训练 学生用文字语言表达 数学过程的能力；

(2) 学生能否准确将 实际问题转化为数学 问题，建立几何模型；

(3) 正确运用勾股定 理解释生活中的问题.

问题与情景 师生行为 设计意图

能有效地突破难 点，本环节分别为 它们设

计了一到 两个简单的

由已 有的知识和生活 经验易于解答的 小问题作台阶，顺 利解决如何将实 际问题转化为求 直角三角形边长

的问题，培养学生 的

数学应用意识. 通过运用勾 股定理对实际问 题的解释和应用， 培养学生从身边 的事物中抽象出 几何模型的能力， 使学生更加深刻 地认识数学的本 质：数学来源于生 活，并能服务于生 活.

[活动3]

(1)教材第76页练习第2题.

(2)变式：以教材第76 页

练习第2题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形(或其他几何图形)，测量池塘的长AB. (3)如图3,分别以Rt △ ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1>S2>S3表示，容易得出岂、岂之间有的关系式.

变式：教材第79页第11 题，如图4.

[活动4]

(1)小结

(2)作业：

①教材第78页习题第2、

3、4、5 题.

②教材第79页习题第12 题.

问题(1)学生板演，其余学生在课堂练习本上独立完成.

冋题(2)和冋题(3) 将全班学生分成四人小组，给足时间分别进行讨论、交流；

教师参与学生活动，适当地给与指导.

在活动3中，教师应重点关注：

(1)根据学生在练习中反映出的问题，有针对性地对不同层次的学生进行指导；

(2)学生对问题(2) 能否构造适当的几何模型测量池塘的长AB;

(3)对学有余力的学生，在问题(3)中能否进一步加以拓展.

让学生充分讨论交流，说出自己的体会，最后师生共同归纳.

教师布置作业，学生记录并按要求在课外完成.

在活动4中，教师应重点关注：

(1)培养学生对所学内容进行归纳、整理、总结的好习惯；

(2)对学生在作业中反映出的问题，应做好记载，找出解决教、学不足的措施.

教学设计说明

设计教材第76页练习第2题的变式，满足不同层次学生的学习需求，拓展学生思维空间，让学生联想与直角三角形或全等三角形相关的知识(等腰直角三角形、有一个角为30。的直角三角形、等边三角形等)，使所学的知识得到进一步深化.

设计教材第79页第11题的变式题问题3,有助于启迪学生进一步思考将直角三角形ABC外的正方形或半圆再变为等边三角形等结论还能否成立.

通过讨论交流、自由发言等形式，使学生掌握归纳的方法.通过布置课外作业，及时获知学生对本节课知识的掌握情况，适当的调整教学进度和教学方法，并对学习有困难的学生给与指导.

本节课主要内容是勾股定理的应用，安排在勾股定理的探索之后，它既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础．本节课的重点是勾股定理的应用，难点是勾股定理在实际生活中的应用．勾股定理是建立在一般三角形性质以及三角形全等的基础上，是三角形知识的深化，它在日常生活中有着广泛的应用．

在复习了直角三角形的相关知识的基础上，本节课进一步熟悉了勾股定理．教师通过运用勾股定理对一系列富有层次、探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．在活动3 中，教师设计课本习题的变式题，给学生足够的时间讨论交流，使“不同的学生数学上得到不同的发展” ．整堂课，教师重点关注学生的探究精神以及交流、合作意识．