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圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan,[0,)k

②点到直线的距离0022AxByCdAB ③夹角公式：

2121tan1kkkk

（3）弦长公式 直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离：2121ABkxx

221212(1)[()4]kxxxx

或12211AByyk

（4）两条直线的位置关系 ①1212llkk=-1 ② 212121//bbkkll且

2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：221(0,0)xymnmnmn且

距离式方程：2222()()2xcyxcya

参数方程：cos,sinxayb (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：221(0)xymnmn

距离式方程：2222|()()|2xcyxcya

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22222bb

paa椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21FF、是椭圆13422yx的两个焦点，平面内一个动点M满足2

21MFMF则动点M的轨迹是（ ）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122tan2FPFPb在椭圆上时，S

122cot2FPFPb在双曲线上时，S

（其中2221212121212||||4,cos,||||cos||||PFPFcFPFPFPFPFPFPFPF•） (6)、记住焦半径公式：（1）00;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在y轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。 （2）0||xexa双曲线焦点在轴上时为

（3）11||,||22ppxxy抛物线焦点在轴上时为焦点在y轴上时为

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题）

设11,yxA、22,yxB，baM,为椭圆13422yx的弦AB中点则有 1342121yx，1342222yx；两式相减得03422212221yyxx 3421212121yyyyxxxxABk

=ba43

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)AxyBxy，将这两点代入曲线方

程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb，就意味着k存在。 例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆805422

yx

上，且点A

是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）. （1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程; （2）若角A为090

，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为090

可得

出AB⊥AC，从而得016)(14

212121yyyyxx，然后利用联立消元

法及交轨法求出点D的轨迹方程； 解：（1）设B（1x,1y）,C(2x,2y),BC中点为(00,yx),F(2,0)则有11620,1162022222121yxyx 两式作差有 016))((20))((21212121yyyyxxxx04500kyx (1) F(2,0)为三角形重心，所以由2321xx，得30x，由03421yy得20y，代入（1）得56k 直线BC的方程为02856yx 2)由AB⊥AC得016)(14

212121yyyyxx （2）

设直线BC方程为8054,22

yxbkxy代入

，得

080510)54(222bbkxxk

2215410kkbxx

，222154805kbxx

2222122154804,548kkbyykkyy

 代入（2）式得

0541632922k

bb，解得)(4舍b或

9

4

b

直线过定点（0，)94，设D（x,y），则1494xyxy，即016329922yxy 所以所求点D的轨迹方程是)4()

920()9

16

(222yyx。

4、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当4332

时，

求双曲线离心率e的取值范围。 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy，如图，若设Chc, 2，代入12222byax，求得h，

进而求得,,EExy再代入12222byax，建立目标函数(,,,)0fabc，整理(,)0fe，此运算量可见是难上加难.我们对h可采取设而不求的解题策略, 建立目标函数(,,,)0fabc，整理(,)0fe,化繁为简. 解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称

依题意，记A0 ,c，Chc, 2，E00 ,yx，其中||21ABc为双

曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得 122120

cccx， 10hy

设双曲线的方程为12222byax，则离心率ac

e

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和ac

e代入双曲线方

程得

142

22

b

he， ①

11124222

bhe



②

由①式得 14222ebh， ③ 将③式代入②式，整理得 2144

4

2e

，

故 1312e

由题设4332得，43231322e 解得 107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10 , 7 分析：考虑,AEAC为焦半径,可用焦半径公式, ,AEAC用,EC的横坐标表示，回避h的计算, 达到设而不求的解题策略． 解法二：建系同解法一，,

ECAEaexACaex，

22121Ecccx



，又1AEAC，代入整理

1312e，由题

设4332得，43231322e 解得 107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10 , 7 5、判别式法 例3已知双曲线122:22xyC，直线l过点0,2A，斜率为k，当10k

时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式

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圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)之欧阳史创编

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)之欧阳史创编

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有02020=+k by a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有02020=-k by a x （3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA⊥OB，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)之欧阳数创编

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)之欧阳数创编

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有02020=+k by a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有02020=-k by a x （3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA⊥OB，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备： 1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率k tan , [0, )
②点到直线的距离d （3）弦长公式
直线y kx b上两点A(x1,y1),B(x2,y
2)间的距离：AB 1
x2
③夹角公式：tan
k2 k11 k2k1
或AB （4）两条直线的位置关系
1 y
2 ①l1 l2 k1k2=-1 ② l1//l2 k1 k2且b1 b2 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
x2y2
1(m 0,n 0且m n) 标准方程：
mn
2a
参数方程：x acos ,y bsin (2)、双曲线的方程的形式有两种
x2y2
标准方程： 1(m n 0)
mn
距离式方程： 2a
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 2b22b2
2p ；抛物线：
aa。

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)之欧阳歌谷创编

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)之欧阳歌谷创编

圆锥曲线的解题技巧欧阳歌谷（2021.02.01）一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有02020=+k by a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有02020=-k by a x （3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结(最新整理)

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结(最新整理)

（3）给出 PM PN 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点;
（4）给出 AP AQ BP BQ ,等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线;
（ 5） 给 出 以 下情 形 之一 ： ①AB // AC ； ② 存 在 实 数 ,使AB AC ； ③ 若 存 在 实 数
, , 且 1,使OC OA OB ,等于已知 A, B,C 三点共线.
如方程 (x 6)2 y2 (x 6)2 y2 8 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
x2 （1）椭圆：焦点在 x 轴上时
y2
1（ a b 0 ），焦点在 y 轴上时
y2
x2
＝1（ a b 0
1 k 2 x1 x2 ，若 y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB ＝
1 1 k2
y1 y2 ，若弦 AB 所在直线方程
设为 x ky b ，则 AB ＝ 1 k 2 y1 y2 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，
一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 抛物线：
c
a
e 2 ， e 越小，开口越小， e 越大，开口越大；⑥两条渐近线： y b x 。 a
（3）抛物线（以 y2 2 px( p 0) 为例）：①范围： x 0, y R ；②焦点：一个焦点 ( p , 0) ，其中 p 2
的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 y 0 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④
c
a
越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆 x 2 y 2 1的离心率 e 10 ，则 m 的值是__（答：3 或 25 ）；

圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线解题技巧和方法综合

圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，)0(12222>>=+b a by a x 则有。

02020=+k by a x （2）与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则)0,0(12222>>=-b a by a x 有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。

（1）求证离心率；βαβαsin sin )sin(++=e （2）求的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA⊥OB，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)

圆锥曲线解题方法技巧归纳一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离0022Ax By C d A B++=+③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+ ④两直线距离公式（3）弦长公式直线y kx b =+与圆锥曲线两交点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：2121AB k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或12211AB y y k =+- (若A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。

) （4）两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且 距离式方程：2222()()2x c y x c y a +++-+= 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<参数方程：距离式方程：2222|()()|2x c y x c y a ++--+=(3)、三种圆锥曲线的通径22222b b p a a椭圆：；双曲线：；抛物线：(4)、圆锥曲线的定义(5)、焦点三角形面积公式：122tan2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S 122cot2F PF P b θ∆=在双曲线上时，S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==∙=⋅）(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。

高考数学圆锥曲线及解题技巧(供参考)

椭圆与双曲线的性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)之欧阳索引创编

圆锥曲线的解题技巧欧阳家百（2021.03.07）一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。

如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有02020=+k by a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有02020=-k by a x （3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 1323+的最值。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

圆锥曲线解题技巧和方法综合

(本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好)圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型： (1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x 1, y 1)，(x 2,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。

2 2如：(1)笃•笃=1(a b 0)与直线相交于 A 、B ,设弦 AB 中点为 M(X o ,y o )，则有a b卑卑k=0。

a b2 2(2) 笃-每=1(a0,b 0)与直线I 相交于 A B ,设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有a bI 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(X 0,y 0),则有2y °k=2p,即y o k=p.2典型例题给定双曲线X 21。

过A(2，1)的直线与双曲线交于两点 R 及P 2，2求线段P 1 P ,的中点P 的轨迹方程。

(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P ,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

2 2典型例题x , y 设P(x,y)为椭圆22=1上任一点，F 1(-c,0) , F 2(C ,0)为焦点,PF 1F 2 二■-•， PF 2 R =:。

X o ay o=02(3)y =2 px ( p>0)与直线33(2)求 |PF i| - PF 2| 的最值。

(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。

典型例题抛物线方程y 2 =p(x 1) (p 0)，直线x ・y =：t 与x 轴的交点在抛物线准线的右边。

(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为 A 、B ,且0A 丄0B,求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

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