AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析

BOX -JENKINS 预测法

1

（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型

p 阶自回归模型：

y t =c +∅1y t−1+∅2y t−2+⋯+∅p y t−p +e t

式中，y t 为时间序列第t 时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；y t−1，y t−2，⋯，y t−p 为时序y t 的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；e t 是随机误差项；c ，∅1，∅2，⋯，∅p 为待估的自回归参数。 （2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型

q 阶移动平均模型：

1122t t t t q t q y e e e e μθθθ---=+---

-

式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。

（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）

模型的形式为：

11221122t t t p t p t t t q t q y c y y y e e e e φφφθθθ------=+++

++---

-

显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。

2 改进的ARMA 模型

（1）(,,)ARIMA p d q 模型

这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。

对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。

（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型

对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，

如

时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。

在SPSS19.0中的操作如下

● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期

● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。

（3）ARIMAX 模型

在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。

3 模型的识别

模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与

S 的取值。借助于自相关函数（Auto correlation Function, ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（Partial Correlation Function, PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。

3.1 自相关函数

自相关是时间序列12,,

t Y Y Y 诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变

量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。自相关程度的大小，用自相关系数k r 度量。

1

2

1

()()

()n k

t

t k t k n

t

t y

y y y r y

y -+==--=

-∑∑

式中，n 为样本数据的个数；k 为滞后期；y 为样本数据平均值。 自相关系数k r ，可看作自变量k 的函数，即自相关函数。它表示时间序列滞后k 个时间段的两项之间相关的程度。如1r 表示每相邻两项间的相关程度；2r 表示每隔一项的两个观察值得相关程度。

随机序列自相关系数的抽样分布，近似于以0

为均值，分布。自相关系数的95%置信区间为( 1.96,1.96)σσ-

，此处σ=时间序列的自相关系数全部落入这个区间，则认为该序列是纯随机序列。

将时间序列的自相关系数绘制成图，并标出一定的置信区间（通常采用2±倍标准差作为置信区间的两个端点），被称作自相关分析图。 SPSS19.0中的操作

1. 输入变量数据；定义时间序列日期（数据⇒定义日期）

2. 分析⇒预测⇒自相关（如下）；将要分析的变量从左侧移入右侧变量框中

3. 勾选自相关、偏自相关，转换暂时不选（如果为非平稳序列，可勾选差分/自然对数转换，其中差分的阶数需要根据自相关图形来确定，通常为0,1,2）

未进行差分处理，由图可知几乎一半的自相

关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，此时需要进行差分处理，即在重复

第2步时，差分选项选择1或2。

3.2 偏自相关函数

偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之

间的条件相关。由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。

偏自相关系数kk φ计算公式如下。

111,1

11,1 1 2,3,1k k k j k j

kk j k k j k j j r k r r k r φφφ---=---==⎧⎪⎪-⋅⎪=⎨=⎪

⎪-⋅⎪⎩

∑

∑

偏自相关系数kk φ，可看作自变量k 的函数，即偏自相关函数，11kk φ-≤≤。它用以测量当剔除其他滞后期（1,2,3,

,1t k =-）的干扰的条件下，t Y 与t k Y -之

间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行识别。

3.3 ARIMA 模型的参数确定

Step1：判断时序是否平稳，若不平稳，经过若干次逐期差分或季节差分使其平稳，则可确定d 和D 。对于社会经济现状，一般d 和D 的数值取0,1或2。

若自相关系数ACF 随着滞后期（一般设为16）增大，而迅速趋于0，则认为该时序是平稳的。

若自相关系数ACF 随着滞后期增大，自相关系数ACF 不趋于0，则认为该时序是非平稳的。更具体地说，若随着时滞k 的增大，自相关系数ACF 缓慢减小，说明随着序列两项间隔的提前，相关程度变弱，则序列具有趋势性；若对于季度数据或月度数据，当滞后期为4（或12），8（24）等时，自相关系数ACF 显著地部位0，即在随机区间之外，则意味着该时序具有季节性。如果时序具有趋势性，那么需要进行逐期差分，由逐期差分的次数决定d 的取值；如果序列具有季节性，那么要进行季节差分，由季节差分次数决定D 的值。