三角函数的定义域、值域和最值讲解

三角函数的定义域、值域和最值

一知识点精讲：

1 三角函数的定义域（1）sinα=

yryx

xr

定义域为R. （2）cosα=

⎧⎩

定义域为R.

（3）tanα=

定义域为⎨α|α≠

π

x⎫

定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=

2y⎭

{α|α≠kπ,k∈Z}.

2 三角函数的值域

① y=asinx+b,(a≠0) 型

当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin

2

x+bsinx+c型

此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。sinx换为cosx也可以。③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。

④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型

利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=

t-12

2

a+bsin(x+φ),tanφ=

22

ba

，可以转化为一个三角函数

2

2

,

转化为关于t 的二次函数y=at+b

2

2

=

b2

t+at-

2

b2

.

⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型

这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin

2

x=

1-cos2x

2

,cos

2

x=

1+cos2x

2

,sinxcosx=

sin2x2

，

可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。⑥ y=⑦y=

asinx+b

csinx+dsinx+a

型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。

cosx+b

型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，

sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=

by-a+y

,

by-a+y

≤1, 通过解此不等式可得到y

的取值范围。或者转化成两点连线的斜率。

以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。

二典例解析：

例1．求下列函数的定义域

（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y

例2．求下列函数的值域

(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；

（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）y

π

6

=

3sinx+13sinx+2

=log

sinx

(cosx+

12

)

. （3） y=25-x+lgcosx；

；（6）y=

sinx+2cosx+2

1-tan(

)cosx.

π

4

-x)

（7）y

=sin(x-

（8）y

=

1+tan(

π

4

-x)

（9）求函数y

=

sin2x1-sinx-cosx

+sin2x的值域.

三课堂练习：

1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是

A．第二象限

限

2．不解等式：

（1）sinx<-

3．已知f(x)的定义域为(-

4．求下列函数的定义域

（1）y=

1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.

5．求下列函数的值域

（1）y=2cosx-1

（3）y=1+sinx+cosx+

（5）y=1

2+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）

y=tan2x+4cot+1 2

6．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形

的最大面积．