2015山东春季高考数学试题(含详细答案)

2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）、选择题：本大题共 2015 年山东，理 A ） 1,3 1）数学（理科）第Ⅰ 卷（共 50 分）10小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1】已知集合 {x|x 24x 3 0}， B {x|2 x 4}，则 A B （B ） 1,4 （ C ） 2,3 D ） ) 2,4 2）2015 年山东，理 A ) 1 i 2】若复数 z 满足 z i ，其中 i 是虚数单位，则 1i （B ） 1 i （C ） 1 i D ） 1i 3） 2015 年山东，理 3】要得到函数 y sin （4x ）的图象，只需将函数 3 y sin4x 的图像 4） 5） 6） 7）A ）向左平移个单位（B ）向右平移个单位（C ）向左平移个单位（D ）向右平移个单位12 3 3 已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（ 32 （ B ） a 2 （4不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（（C ） xy0 x y 2 若 z ax y 的最大值为 4，则 y0 （C ）-2 在梯形 ABCD 中， ABC ，AD/ /BC ，BC 2AD 2AB 2．将梯形 ABCD2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ 12 2015 年山东，理 32 A ） a 2 2015 年山东，理 A ）（ ,4） 2015 年山东，理 A )3 2015 年山东，理 4】 5】 6】 7】 C ） B ) ( ,1) 32 a4 ) (1,4) ) 32D ) a 22 D ） (1,5) 已知 x,y 满足约束条件 B )2 D ） -3 （ A ）（B ）（C ） 3 3 38）【 2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布其长度误差落在区间 3,6 内的概率为（）（附：若随机变量 P （）（ A ） 4.56% 9）【 2015 年山东，理 9】所在的直线的斜率为（ 53（ A ） 5或 3 35 D )2N （0,32），从中随机取一件，服从正态分布 N （ , 2 ），则10）【 2015 年山东，间 3, 6 内的概率为（68. 26，%P （ 2 2 ） 95.44%）（B ）13.59% （C ） 27.18% 一条光线从点（ 2, 3）射出，经 y 轴反射与圆（x 3）2 （y 2）2 1相切，则反射光线） 32 （ B ）或 23 3x 1,x 1, 23x x , 1,x x 11,.则满足 f （ f （a ）） 2f （a ）的取值范围是（） 2 , x 1. 10】设函数 f （x ） D ) 31.74% A ) [23 ,1] B ) [0,1] 、填空题：本大题共 11）【 2015 年山东，C ) 5 或 445 D ) 4 或 3 34 C ) [23, ) D ) [1, )第 II 卷（共 100 分）5 小题，每小题 5 分理 11】观察下列各式：14）【2015年山东，理14】已知函数 f （x ） a xb （a 0,a 1）的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则a b 22 15 ）【 2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1: x2 y2 1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线 a 2 b 22 C 2: x 22py （p 0）交于点 O, A,B ，若 OAB 的垂心为 C 2的焦点，则 C 1的离心率为．三、解答题：本大题共 6 题，共 75分．16）【 2015 年山东，理 16】（本小题满分 12分）设 f （x ） sinxcosx cos 2（x ）． 4（Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；A（Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 f （） 0,a 1，求 ABC 面积．217）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点．（Ⅰ）求证： BD/ / 平面 FGH ；（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小．12) 13)041C 31C 51C 71030507C C CC14C4C照此规律，当 n N * 时， C 20n 1 C 21n 1 C 22n 1C 2n n 112015 年山东，2015 年山东，理 12】若 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则实数4理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为m 的最小值为18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12分）设数列 {a n} 的前n项和为 S n，已知2S n 3n 3．（Ⅰ）求数列 {a n} 的通项公式；（Ⅱ）若数列 {b n}满足 a n b n log3 a n ，求数列 {b n}的前n项和T n ．19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若 n是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．2220）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C: x 2 y 2 a 2 b 2离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以 3为半径的圆与以 F 2为圆心，以 2 1 2 1 2 交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； 22 （Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 4a 2 4b 2射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．|OP|21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数 f （x ） ln （x 1） a （x 2x ），其中 a R ．（Ⅰ）讨论函数 f （x ）极值点的个数，并说明理由；1（a b 0）的 1 为半径的圆相E 于 A,B 两点，Ⅱ)若 x 0 ，f(x) 0 成立，求a 的取值范围．2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ 卷（共50 分）、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）【2015年山东，理1】已知集合{x|x2 4x 3 0} ， B {x|2 x 4}，则A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D ）2,4 答案】C解析】A {x|x2 4x 3 0} {x|1 x 3} ， A B （2,3），故选C．2）【2015年山东，理2】若复数 z满足z i ，其中i 是虚数单位，则 z （）1i（A）1 i （B）1 i （C）1 i （D）1 i答案】A解析】z （1 i）i i 2 i 1 i ，z 1 i ，故选A ．3）【2015年山东，理3】要得到函数 y sin（4x ）的图象，只需将函数 3y sin4x 的图像（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3 答案】B解析】 y sin4（x ），只需将函数 y sin4x 的图像向右平移个单位，故选B．12 12333A ） 32a 2B )3a 2 4 C ) 34a 2 4D ） 32a2 答案】 DABC 60 可知 BAD 180 60 120 ，22 3 2AB AD AB a a cos120 a 2a 2 ，故选 D ．25）【 2015年山东，理 5】不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（）（A ）（ ,4）（B ）（ ,1）（C ）（1,4）（ D ）（1,5）答案】 A 解析】当 x 1时， 1 x （5 x ） 4 2 成立；当 1 x 5时， x 1 （5 x ） 2x 6 2，解得 x 4 ，则1 x 4 ；当 x 5时， x 1 （x 5） 4 2不成立．综上 x 4 ，故选 A ．xy06）【 2015年山东，理 6】已知 x, y 满足约束条件 x y 2若 z ax y 的最大值为 4，则 a （） y0（ A ） 3 （B ）2 （C ）-2 （D ） -3答案】 B 解析】由 z ax y 得 y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即 a 1时在 x y 0时有最大值 0，不符合题意；当 0 a 1，即 1 a 0时在 x y 1时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0；当 1 a 0，即 0 a 1时在 x y 1时有最大值 a 1 4,a 3，不满足 0 a 1；当 a 1，即 a 1时在 x 2,y 0时有最大值 2a 4,a 2 ，满足 a 1，故选 B ．7）【 2015年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC， AD/ /BC ， 2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）B ）BC 2AD 2AB 2 ．将梯形 ABCD ) (D )24）【 2015年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（）答案】 C15解析】 V12 2 112 1 5，故选 C ．338)【 2015年山东，理 8】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间 3,6 内的概率为( )(附：若随机变量服从正态分布 N( , 2)，则 P( ) 68. 26，%P( 2 2 ) 95.44%) (A ) 4.56% (B )13.59% (C ) 27.18% (D ) 31.74% 答案】 D1解析】 P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59% ，故选 D ．29) 【 2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2, 3)射出，经 y 轴反射与圆 (x 3)2(y 2)21相切，则反射光线所在的直线的斜率为( )533 25 44 3 ( A )或( B )或 (C )或 (D ) 或3523 4534答案】 D解析】 ( 2, 3)关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为 y 3 k(x 2), 即kx y 2k 3 0，则 d | 3k 22 2k 3| 1,|5k 5| k 21，解得 k 4或 3，故选 D ．k 21 3 43x 1,x 1,解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ，BD CD (AD AB) ( AB)53 3 310)【2015 年山东，理 10】设函数 f(x) x 则满足 f (f(a)) 2 f (a)的取值范围是( )2x, x 1. 22(A ) [ ,1](B ) [0,1](C )[ , )(D )[1, )33答案】 Ca 1a 1 2解析】由 f( f(a)) 2f(a)可知 f(a) 1，则 a 或，解得 a 2，故选 C ．2 1 3a 1 1 3第 II 卷(共 100 分)、填空题：本大题共 5小题，每小题 5 分 11) 【 2015 年山东，理 11】观察下列各式：照此规律，当 n N *时， C 20n 1 C 12n1 C 22n 1 C 2n n 11解析】 C 20n 1 C 21n 1 C 22n1 C 2n n 11 1(2C 20n 1 2C 21n 1 2C 22n 1 2C 2n n 11) 21[(C 20n 1 C 22n n 11) (C 21n 1 C 22n n 12 ) (C 22n 1 C 22n n 13) (C 2n n 11 C 2n n 1)] 1(C 20n 1 C 21n1C 22n 1 C 2n n 11 C 2n n1 C 22n n 11) 1 22n 1 4n12212) 【2015年山东，理12】若“ x [0, ],tan x m”是真命题，则实数 m 的最小值为答案】 1解析】 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则 m tan 1，于是实数 m 的最小值为 1． 44 13) 【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为．答案】111514CC131517 10103050112 1 1 11解析】T 1 0 xdx 0 x dx 1 2131 161 ．14) 【2015 年山东，理 14】已知函数 f (x) a xb (a 0,a 1)的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则 a b答案】 221 1 1 1 1 1解：(Ⅰ)由f(x) sin2x [1 cos(2x )] sin2x sin2x sin2x ，2 2 2 2 2 2 2由2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ， 2 2 4 4则f(x)的递增区间为[k ,k ],k Z ；4433由 2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ，2 2 4 4则 f(x) 的递增区间为 [k ,k 3],k Z ．44Ⅱ)在锐角 ABC 中， f (A) sinA 10,sin A 1， A ，而 a 1，2 2 2 6由余弦定理可得 1 b 3 c 2 2bccos 2bc 3bc (2 3)bc ，当且仅当 b c 时等号成立，611 1 123 2 3 即 bc 1 2 3 ， S ABC1bcsin A 1bc sin 1bc 2 3故ABC 面积的最大值为 23（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接 DG ， DC ，设 DC 与GF 交于点 T ，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE ，则 AC 2DF ，而 G 是AC 的中点， DF AC ，则 DF / /GC ，所以四边形 DGCF 是平行四边形， T 是 DC 的中点， DG FC ．3 3 2 2 64 4 4（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点．解析】当 a11a 1b 1，无解；当 0 a 1时a 1b 0 a 0 b 0a 0b 11 1 3，解得b 2,a 2，则 a b 2 2 215)【 2015年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1 : 2 a 2 2y2 1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线C 2 : x 2答案】 322py （p 0）交于点 O,A,B ，若 OAB 的垂心为C 2 的焦点，则 C 1的离心率为x2 y 2b解析】 C 1: x 2 y 2 1(a 0,b 0)的渐近线为 y bx ，则 a b aA(2pb222pb 22),B( 2pb 2pb 222pb2pC 2 : x 22py(p 0) 的焦点 F(0,2)，则 k AF2 a 2pb2 b 2 2a2c 2a2b 2c3 e a2三、解答题：本大题共 6题，共 75 分．16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设2f(x) sin xcosx cos (x ) ．4Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若 f (A) 0,a 1，求 ABC 面积．又在 BDC ，是 BC 的中点，则 TH DB ，又 BD 平面 FGH ， TH 平面 FGH ，故 BD // 平面 FGH ．Ⅱ）由 CF 平面 ABC ，可得 DG 平面 ABC 而， AB BC ， BAC 45 ，则 GB AC ，于是 GB,GA,GC 两两垂直，以点 G 为坐标原点， GA,GB,GC 所在的直线，分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，设 AB 2,则 DE CF 1,AC 2 2,AG 2 , B （0,2,0）, C （ 2,0,0）, F （ 2,0,1）, H （ 2, 2,0），22则平面 ACFD 的一个法向量为 n 1 （0,1,0），设平面 FGH 的法向量为2x 2y 0，即 2 x 2 2 y 2 0 ， 2x 2 z 2 0n 2 GH 0n 2 (x 2,y 2,z 2 ) ，则n 2 GF 0取 x21，则 y 2 1,z 22 ， n 2 （1,1, 2），11 cos n 1,n 21 1，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60 ．1 12 2 18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12分）设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 2S n 3n 3．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）若数列 {b n } 满足 a n b n log3 a n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ． n 1 1 n 2S n 3n 3可得 a 1 S 1 （3 3） 3 ， a n S n S n 1 （3n22 3, n 1 ． 3n 1,n 1 ．解：（Ⅰ）由 11a 1 3 31 1，则 a n Ⅱ）由 a n b n log 3 a n 及 a n 3, n 1 33n , 1,n n 11，可得 bn log 3 a na n13 n1 3n 1 3) 1(3n 1 3) 3n 1(n 2) ， 2 n1 n1T n 1 1 22 33n n 11，3 3 32 333n 121 1111Tn2 2 33n3332 32 33 112 3 3n9 1 13T13 2n 1Tnn 1n12 4 3n 119)【 2015 年山东，理 19】 n 1 2 1 3n9 21T n 31 3n 1n12 1223 34n 2 n 132 323 4n 1 1 n23n3 323 2 3n2 234 n 1 n3 3 3 31 1 1 1 1 n 1 (2 3n1 ) n32 33 3n 13nn 1 13 2n 1 3n 18 2 3n若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数 ”（如 137， 359， 567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “三位递增数 ”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的的三个数字之积不能被 5 整除，整除，得 1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分解：（Ⅰ） 125， 135， 145， 235， 245，本小题满分 12 分）三位递增数 ” 参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 -1 分；若能被 10 “三位递增数 ”；X 的分布列和数学期望 EX ．345；Ⅱ） X 的所有取值为 -1， 0，1．P(X 0) C C83 32,P(X1) CC43C93C91 ,P(X 1) C 41 C 413 C 421114 C 93 42C 93X0 -1 1甲得分 X 的分布列为：22 111 P3 14422 1 11 4EX 0 32114 ( 1) 4112 1 241由两圆相交可得 2 2 3b 4，即 1 3b 2，交点4 1 (3b则 2 4 23b2 3b 2 4b2b 2故 b 2 1， a 2 4，椭圆 C 的方程为 x y 2 1．64k 2m 216(4 k 2 1)(m 24) 16(16k 24 m 2)0，| AB |1 k216(16k 2 4 m 2)1 4k 22m 1 4k 2y kx m y 2 kx 2 m 有解， x 4y 4即 x 2 4(kx m)2 4,(1 4k 2)x 2 8kmx 4m 2 4 0 有解，其判别式 1 64k 2m 2 16(1 4k 2)(m 2 1) 16(1 4k 2 m 2) 0 ，即1 4k 2 m 2，则上述 m 2 8k 2 2 不成立，等号不成立，设t |m| 2 (0,1] ，则 S 6|m| 16k 24 m 6 (4 t)t 在 (0,1]为增函数， 1 4k 2 1 4k 22Ⅱ）（i ）椭圆 E 的方程为 x y1，设点 P （x 0, y 0），满足16 4代入16 41可得点Q( 2x0, 2 y 0)，于是 |OP|2x0y 02 1，射线 PO: y y0x(xx 0 0) ， 4 x 0( 2x 0)2( 2y 0)22．x 02y 02ii )点Q( 2x 0, 2 y 0 )到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3倍： y kx mx 2 y 2 ，得 x 2 4(kx m)2 16 ， 116 4 整理得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m 2 16 0 ． | 2kx 0 2y 0 m| |m| ，d 31 k2 ，1 k220）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2xy C: 22 ab1(a b 0) 的离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以21 2 1 交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；22（Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y 2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点，4a2 4b2射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．|OP| 解：（Ⅰ）由椭圆 C : x2 y2 1（a b 0）的离心率为 3可知a 2b 22 3 为半径的圆与以 F 2 为圆心，以过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 c e a 右焦点分别是 F 1( 3b,0), F 2 ( 3b,0) ,圆 F 1：(x 3b)2 y 21 为半径的圆相E 于 A,B 两点，3 2 2 23 ，而 a 2 b 2 c 2则 a 2b,c 3b ，左、 29,圆 F 2： (x 3b)2y 21,3b ）211，整理得 4b 45b 21 0，解得 b 21， b 2 1（舍去）， 42 2 2 m 16k 4 m 62 2(4k21)1 1 |m|2 2 |m| 16k 24S| AB |d 3 2 4 16k 2 4 m 262 2 1 4k 2当且仅当 |m| 16k 2 4 m 2,m 2 8k 2 2 等号成立．x 2而直线 y kx m 与椭圆 C: x y 2 1有交点 P ，则 12 ，,122）在椭圆 C 上，于是当 1 4k 2 m 2时 S max 6 (4 1) 1 6 3 ，故 ABQ 面积最大值为 12． 21)【2015 年山东，理 21】(本题满分14 分)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 2x)，其中 a R ．(Ⅰ)讨论函数 f(x) 极值点的个数，并说明理由； (Ⅱ)若 x 0， f(x) 0成立，求 a 的取值范围．11且x 1 x22，而 g( 1) 1 0，则 1 x 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 1),g(x) 0, f (x) 0,f(x)单调递增；当 x (x 1,x 2),g(x) 0,f (x) 0, f (x)单调递减；当 x (x 2, ),g(x) 0, f (x) 0, f (x)单调递增．因此此时函数 f (x) 有两个极值点；当 a 0时 0，但 g( 1) 1 0， x 1 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 2 ), g (x) 0, f (x) 0,f (x)单调递増；当 x (x 2, ),g(x) 0,f (x) 0,f (x) 单调递减，所以函数只有一个极值点．88综上可知当 0 a 时 f ( x)的无极值点；当 a 0时 f (x)有一个极值点；当 a 时， f (x)的有两个99 极值点． Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 0 a 8时 f(x) 在(0, ) 单调递增，而 f(0) 0，9则当 x (0, )时， f (x) 0 ，符合题意； 8当 8a 1时， g(0) 0,x 2 0， f (x) 在(0, )单调递增，而 f(0) 0， 9则当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，符合题意；当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x)在 (0,x 2)单调递减，而 f(0) 0，则当 x (0,x 2) 时， f(x) 0，不符合题意；当 a 0 时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, ) 时 h(x) 1 1 x0 ，x11xh(x)在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时 h(x) h(0) 0,ln(x 1) 0，1于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，a 此时 f (x) 0 ，不符合题意．综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ．另解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2 x) ，定义域为 ( 1, )f (x)1 a(2x 1) a(2x 1)(x 1) 1 2ax2 ax 1 a ，x 1 x 1 x 11当 a 0时， f (x)0，函数 f (x)在 ( 1, )为增函数，无极值点．x1设 g(x) 2ax 2 ax 1 a,g( 1) 1, a 2 8a(1 a) 9a 2 8a ，当 a 0时，根据二次函数的图像和性质可知 g(x) 0的根的个数就是函数 f(x) 极值点的个数．8若 a(9a 8) 0，即 0 a 时， g(x) 0， f (x) 0函数在 ( 1, )为增函数，无极值点．解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2x) ，定义域为 ( 1, ) ，21 a(2x 1)(x 1) 1 2ax ax 1 a2 a(2x 1)，设 g(x) 2ax 2 ax 1 a ，f (x)x 1x1当 a 0 时， x11g(x) 1,f (x) 10，函数 f(x) 在( 1, )为增函数，无极值点． x122a 8a(1 a) 9a 8a ，当 a 0 时， 8若0 a 时 0， g(x) 0,f (x) 0，函数 f(x)在 ( 1, )为增函数，无极值点． 98若 a 时 0，设 g(x) 0的两个不相等的实数根 x 1,x 2 ，且 x 1 x 2 ，998若 a(9a 8) 0，即 a或a 0，而当 a 0时 g( 1) 0 9此时方程 g(x) 0在 ( 1, )只有一个实数根，此时函数 f ( x)只有一个极值点； 8当 a 时方程 g(x) 0在 ( 1, )都有两个不相等的实数根，此时函数 f (x)有两个极值点；988综上可知当 0 a 9时 f (x)的极值点个数为 0；当 a 0时 f (x)的极值点个数为 1；当 a 9 时，99f (x) 的极值点个数为 2．22 (Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 4 x)， x 0，都有 f(x) 0成立，即 ln( x 1) a(x 2x) 0 当 x 1时， ln2 0 恒成立；当 x1时， x 2 x 0， ln(2x 1)a 0；x 2 x当 0 x 1时， x 2 x 0 ， ln(2x 1) a 0；由 x 0均有 ln(x 1) x 成立．x 2 x故当 x 1时，， ln(2x 1) 1(0, ) ，则只需 a 0 ；x x x 1当 0 x 1时， ln(2x 1) 1( , 1)，则需 1 a 0 ，即 a 1．综上可知对于 x 0，都有x 2 x x 1f(x) 0 成立，只需 0 a 1即可，故所求 a 的取值范围是 0 a 1．另解：(Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x x)， f(0) 0，要使 x 0，都有 f (x) 0成立，只需函数函数 f (x) 在1(0, )上单调递增即可，于是只需 x 0， f (x) a(2x 1) 0 成立，x11 1 2当 x 1 时 a ，令 2x 1 t 0， g(t)( ,0) ，2 (x 1)(2x 1) t(t 3)1 2 1f ( ) 0 ；当 0 x 1 ， a 2 3 2 (x 1)(2x 1) g(t) 2关于 t ( 1,0)单调递增， t(t 3)1，则 a 1，于是 0 a 1 ．1( 1 3)又当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x) 在(0, x 2 )单调递减，而 f (0) 0，则当 x (0, x 2 )时， f (x) 0，不符合题意；1x 当 a 0时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, )时 h(x) 1 0，x 1 1 x h(x) 在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时h(x) h(0) 0,ln( x 1) 0，2 21 2于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，此时 f (x) 0 ，不符合题意．a综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ．评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．1则 a 0；当 x 1 时 2令 2x 1 t ( 1,0) ，则 g(t) g( 1)。

2015年高考山东理科数学试题及答案解析

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）、选择题：本大题共 2015 年山东，理 A ） 1,3 1）数学（理科）第Ⅰ 卷（共 50 分）10小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1】已知集合 {x|x 24x 3 0}， B {x|2 x 4}，则 A B （B ） 1,4 （ C ） 2,3 D ） ) 2,4 2）2015 年山东，理 A ) 1 i 2】若复数 z 满足 z i ，其中 i 是虚数单位，则 1i （B ） 1 i （C ） 1 i D ） 1i 3） 2015 年山东，理 3】要得到函数 y sin （4x ）的图象，只需将函数 3 y sin4x 的图像 4） 5） 6） 7）A ）向左平移个单位（B ）向右平移个单位（C ）向左平移个单位（D ）向右平移个单位12 3 3 已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（ 32 （ B ） a 2 （4不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（（C ） xy0 x y 2 若 z ax y 的最大值为 4，则 y0 （C ）-2 在梯形 ABCD 中， ABC ，AD/ /BC ，BC 2AD 2AB 2．将梯形 ABCD2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ 12 2015 年山东，理 32 A ） a 2 2015 年山东，理 A ）（ ,4） 2015 年山东，理 A )3 2015 年山东，理 4】 5】 6】 7】 C ） B ) ( ,1) 32 a4 ) (1,4) ) 32D ) a 22 D ） (1,5) 已知 x,y 满足约束条件 B )2 D ） -3 （ A ）（B ）（C ） 3 3 38）【 2015 年山东，理 8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布其长度误差落在区间 3,6 内的概率为（）（附：若随机变量 P （）（ A ） 4.56% 9）【 2015 年山东，理 9】所在的直线的斜率为（ 53（ A ） 5或 3 35 D )2N （0,32），从中随机取一件，服从正态分布 N （ , 2 ），则10）【 2015 年山东，间 3, 6 内的概率为（68. 26，%P （ 2 2 ） 95.44%）（B ）13.59% （C ） 27.18% 一条光线从点（ 2, 3）射出，经 y 轴反射与圆（x 3）2 （y 2）2 1相切，则反射光线） 32 （ B ）或 23 3x 1,x 1, 23x x , 1,x x 11,.则满足 f （ f （a ）） 2f （a ）的取值范围是（） 2 , x 1. 10】设函数 f （x ） D ) 31.74% A ) [23 ,1] B ) [0,1] 、填空题：本大题共 11）【 2015 年山东，C ) 5 或 445 D ) 4 或 3 34 C ) [23, ) D ) [1, )第 II 卷（共 100 分）5 小题，每小题 5 分理 11】观察下列各式：14）【2015年山东，理14】已知函数 f （x ） a xb （a 0,a 1）的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则a b 22 15 ）【 2015 年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1: x2 y2 1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线 a 2 b 22 C 2: x 22py （p 0）交于点 O, A,B ，若 OAB 的垂心为 C 2的焦点，则 C 1的离心率为．三、解答题：本大题共 6 题，共 75分．16）【 2015 年山东，理 16】（本小题满分 12分）设 f （x ） sinxcosx cos 2（x ）． 4（Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；A（Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，若 f （） 0,a 1，求 ABC 面积．217）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB2DE,G,H 分别为 AC, BC 的中点．（Ⅰ）求证： BD/ / 平面 FGH ；（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小．12) 13)041C 31C 51C 71030507C C CC14C4C照此规律，当 n N * 时， C 20n 1 C 21n 1 C 22n 1C 2n n 112015 年山东，2015 年山东，理 12】若 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则实数4理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为m 的最小值为18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12分）设数列 {a n} 的前n项和为 S n，已知2S n 3n 3．（Ⅰ）求数列 {a n} 的通项公式；（Ⅱ）若数列 {b n}满足 a n b n log3 a n ，求数列 {b n}的前n项和T n ．19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若 n是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数” 的三个数字之积不能被5 整除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5 的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．2220）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C: x 2 y 2 a 2 b 2离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以 3为半径的圆与以 F 2为圆心，以 2 1 2 1 2 交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； 22 （Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 4a 2 4b 2射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．|OP|21）【2015 年山东，理 21】（本题满分 14 分）设函数 f （x ） ln （x 1） a （x 2x ），其中 a R ．（Ⅰ）讨论函数 f （x ）极值点的个数，并说明理由；1（a b 0）的 1 为半径的圆相E 于 A,B 两点，Ⅱ)若 x 0 ，f(x) 0 成立，求a 的取值范围．2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ 卷（共50 分）、选择题：本大题共10小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）【2015年山东，理1】已知集合{x|x2 4x 3 0} ， B {x|2 x 4}，则A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D ）2,4 答案】C解析】A {x|x2 4x 3 0} {x|1 x 3} ， A B （2,3），故选C．2）【2015年山东，理2】若复数 z满足z i ，其中i 是虚数单位，则 z （）1i（A）1 i （B）1 i （C）1 i （D）1 i答案】A解析】z （1 i）i i 2 i 1 i ，z 1 i ，故选A ．3）【2015年山东，理3】要得到函数 y sin（4x ）的图象，只需将函数 3y sin4x 的图像（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3 答案】B解析】 y sin4（x ），只需将函数 y sin4x 的图像向右平移个单位，故选B．12 12333A ） 32a 2B )3a 2 4 C ) 34a 2 4D ） 32a2 答案】 DABC 60 可知 BAD 180 60 120 ，22 3 2AB AD AB a a cos120 a 2a 2 ，故选 D ．25）【 2015年山东，理 5】不等式 |x 1| |x 5| 2的解集是（）（A ）（ ,4）（B ）（ ,1）（C ）（1,4）（ D ）（1,5）答案】 A 解析】当 x 1时， 1 x （5 x ） 4 2 成立；当 1 x 5时， x 1 （5 x ） 2x 6 2，解得 x 4 ，则1 x 4 ；当 x 5时， x 1 （x 5） 4 2不成立．综上 x 4 ，故选 A ．xy06）【 2015年山东，理 6】已知 x, y 满足约束条件 x y 2若 z ax y 的最大值为 4，则 a （） y0（ A ） 3 （B ）2 （C ）-2 （D ） -3答案】 B 解析】由 z ax y 得 y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即 a 1时在 x y 0时有最大值 0，不符合题意；当 0 a 1，即 1 a 0时在 x y 1时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0；当 1 a 0，即 0 a 1时在 x y 1时有最大值 a 1 4,a 3，不满足 0 a 1；当 a 1，即 a 1时在 x 2,y 0时有最大值 2a 4,a 2 ，满足 a 1，故选 B ．7）【 2015年山东，理 7】在梯形 ABCD 中， ABC， AD/ /BC ， 2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）B ）BC 2AD 2AB 2 ．将梯形 ABCD ) (D )24）【 2015年山东，理 4】已知菱形 ABCD 的边长为 a ， ABC 60 ，则 =（）答案】 C15解析】 V12 2 112 1 5，故选 C ．338)【 2015年山东，理 8】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间 3,6 内的概率为( )(附：若随机变量服从正态分布 N( , 2)，则 P( ) 68. 26，%P( 2 2 ) 95.44%) (A ) 4.56% (B )13.59% (C ) 27.18% (D ) 31.74% 答案】 D1解析】 P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59% ，故选 D ．29) 【 2015 年山东，理 9】一条光线从点 ( 2, 3)射出，经 y 轴反射与圆 (x 3)2(y 2)21相切，则反射光线所在的直线的斜率为( )533 25 44 3 ( A )或( B )或 (C )或 (D ) 或3523 4534答案】 D解析】 ( 2, 3)关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为 y 3 k(x 2), 即kx y 2k 3 0，则 d | 3k 22 2k 3| 1,|5k 5| k 21，解得 k 4或 3，故选 D ．k 21 3 43x 1,x 1,解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ，BD CD (AD AB) ( AB)53 3 310)【2015 年山东，理 10】设函数 f(x) x 则满足 f (f(a)) 2 f (a)的取值范围是( )2x, x 1. 22(A ) [ ,1](B ) [0,1](C )[ , )(D )[1, )33答案】 Ca 1a 1 2解析】由 f( f(a)) 2f(a)可知 f(a) 1，则 a 或，解得 a 2，故选 C ．2 1 3a 1 1 3第 II 卷(共 100 分)、填空题：本大题共 5小题，每小题 5 分 11) 【 2015 年山东，理 11】观察下列各式：照此规律，当 n N *时， C 20n 1 C 12n1 C 22n 1 C 2n n 11解析】 C 20n 1 C 21n 1 C 22n1 C 2n n 11 1(2C 20n 1 2C 21n 1 2C 22n 1 2C 2n n 11) 21[(C 20n 1 C 22n n 11) (C 21n 1 C 22n n 12 ) (C 22n 1 C 22n n 13) (C 2n n 11 C 2n n 1)] 1(C 20n 1 C 21n1C 22n 1 C 2n n 11 C 2n n1 C 22n n 11) 1 22n 1 4n12212) 【2015年山东，理12】若“ x [0, ],tan x m”是真命题，则实数 m 的最小值为答案】 1解析】 “ x [0, ],tan x m ”是真命题，则 m tan 1，于是实数 m 的最小值为 1． 44 13) 【2015 年山东，理 13】执行右边的程序框图，输出的 T 的值为．答案】111514CC131517 10103050112 1 1 11解析】T 1 0 xdx 0 x dx 1 2131 161 ．14) 【2015 年山东，理 14】已知函数 f (x) a xb (a 0,a 1)的定义域和值域都是 [ 1,0] ，则 a b答案】 221 1 1 1 1 1解：(Ⅰ)由f(x) sin2x [1 cos(2x )] sin2x sin2x sin2x ，2 2 2 2 2 2 2由2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ， 2 2 4 4则f(x)的递增区间为[k ,k ],k Z ；4433由 2k 2x 2k ,k Z 得 k x k ,k Z ，2 2 4 4则 f(x) 的递增区间为 [k ,k 3],k Z ．44Ⅱ)在锐角 ABC 中， f (A) sinA 10,sin A 1， A ，而 a 1，2 2 2 6由余弦定理可得 1 b 3 c 2 2bccos 2bc 3bc (2 3)bc ，当且仅当 b c 时等号成立，611 1 123 2 3 即 bc 1 2 3 ， S ABC1bcsin A 1bc sin 1bc 2 3故ABC 面积的最大值为 23（Ⅱ）若 CF 平面 ABC ， AB BC,CF DE, BAC 45 ，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接 DG ， DC ，设 DC 与GF 交于点 T ，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE ，则 AC 2DF ，而 G 是AC 的中点， DF AC ，则 DF / /GC ，所以四边形 DGCF 是平行四边形， T 是 DC 的中点， DG FC ．3 3 2 2 64 4 4（17）【2015 年山东，理 17】（本小题满分 12分）如图，在三棱台 DEF ABC 中， AB 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点．解析】当 a11a 1b 1，无解；当 0 a 1时a 1b 0 a 0 b 0a 0b 11 1 3，解得b 2,a 2，则 a b 2 2 215)【 2015年山东，理 15】平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C 1 : 2 a 2 2y2 1（a 0,b 0）的渐近线与抛物线C 2 : x 2答案】 322py （p 0）交于点 O,A,B ，若 OAB 的垂心为C 2 的焦点，则 C 1的离心率为x2 y 2b解析】 C 1: x 2 y 2 1(a 0,b 0)的渐近线为 y bx ，则 a b aA(2pb222pb 22),B( 2pb 2pb 222pb2pC 2 : x 22py(p 0) 的焦点 F(0,2)，则 k AF2 a 2pb2 b 2 2a2c 2a2b 2c3 e a2三、解答题：本大题共 6题，共 75 分．16）【2015 年山东，理 16】（本小题满分 12 分）设2f(x) sin xcosx cos (x ) ．4Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若 f (A) 0,a 1，求 ABC 面积．又在 BDC ，是 BC 的中点，则 TH DB ，又 BD 平面 FGH ， TH 平面 FGH ，故 BD // 平面 FGH ．Ⅱ）由 CF 平面 ABC ，可得 DG 平面 ABC 而， AB BC ， BAC 45 ，则 GB AC ，于是 GB,GA,GC 两两垂直，以点 G 为坐标原点， GA,GB,GC 所在的直线，分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，设 AB 2,则 DE CF 1,AC 2 2,AG 2 , B （0,2,0）, C （ 2,0,0）, F （ 2,0,1）, H （ 2, 2,0），22则平面 ACFD 的一个法向量为 n 1 （0,1,0），设平面 FGH 的法向量为2x 2y 0，即 2 x 2 2 y 2 0 ， 2x 2 z 2 0n 2 GH 0n 2 (x 2,y 2,z 2 ) ，则n 2 GF 0取 x21，则 y 2 1,z 22 ， n 2 （1,1, 2），11 cos n 1,n 21 1，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60 ．1 12 2 18）【2015 年山东，理 18】（本小题满分 12分）设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 2S n 3n 3．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）若数列 {b n } 满足 a n b n log3 a n ，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ． n 1 1 n 2S n 3n 3可得 a 1 S 1 （3 3） 3 ， a n S n S n 1 （3n22 3, n 1 ． 3n 1,n 1 ．解：（Ⅰ）由 11a 1 3 31 1，则 a n Ⅱ）由 a n b n log 3 a n 及 a n 3, n 1 33n , 1,n n 11，可得 bn log 3 a na n13 n1 3n 1 3) 1(3n 1 3) 3n 1(n 2) ， 2 n1 n1T n 1 1 22 33n n 11，3 3 32 333n 121 1111Tn2 2 33n3332 32 33 112 3 3n9 1 13T13 2n 1Tnn 1n12 4 3n 119)【 2015 年山东，理 19】 n 1 2 1 3n9 21T n 31 3n 1n12 1223 34n 2 n 132 323 4n 1 1 n23n3 323 2 3n2 234 n 1 n3 3 3 31 1 1 1 1 n 1 (2 3n1 ) n32 33 3n 13nn 1 13 2n 1 3n 18 2 3n若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 n 为“三位递增数 ”（如 137， 359， 567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的 “三位递增数 ”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的的三个数字之积不能被 5 整除，整除，得 1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分解：（Ⅰ） 125， 135， 145， 235， 245，本小题满分 12 分）三位递增数 ” 参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得 -1 分；若能被 10 “三位递增数 ”；X 的分布列和数学期望 EX ．345；Ⅱ） X 的所有取值为 -1， 0，1．P(X 0) C C83 32,P(X1) CC43C93C91 ,P(X 1) C 41 C 413 C 421114 C 93 42C 93X0 -1 1甲得分 X 的分布列为：22 111 P3 14422 1 11 4EX 0 32114 ( 1) 4112 1 241由两圆相交可得 2 2 3b 4，即 1 3b 2，交点4 1 (3b则 2 4 23b2 3b 2 4b2b 2故 b 2 1， a 2 4，椭圆 C 的方程为 x y 2 1．64k 2m 216(4 k 2 1)(m 24) 16(16k 24 m 2)0，| AB |1 k216(16k 2 4 m 2)1 4k 22m 1 4k 2y kx m y 2 kx 2 m 有解， x 4y 4即 x 2 4(kx m)2 4,(1 4k 2)x 2 8kmx 4m 2 4 0 有解，其判别式 1 64k 2m 2 16(1 4k 2)(m 2 1) 16(1 4k 2 m 2) 0 ，即1 4k 2 m 2，则上述 m 2 8k 2 2 不成立，等号不成立，设t |m| 2 (0,1] ，则 S 6|m| 16k 24 m 6 (4 t)t 在 (0,1]为增函数， 1 4k 2 1 4k 22Ⅱ）（i ）椭圆 E 的方程为 x y1，设点 P （x 0, y 0），满足16 4代入16 41可得点Q( 2x0, 2 y 0)，于是 |OP|2x0y 02 1，射线 PO: y y0x(xx 0 0) ， 4 x 0( 2x 0)2( 2y 0)22．x 02y 02ii )点Q( 2x 0, 2 y 0 )到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3倍： y kx mx 2 y 2 ，得 x 2 4(kx m)2 16 ， 116 4 整理得 (1 4k 2 )x 2 8kmx 4m 2 16 0 ． | 2kx 0 2y 0 m| |m| ，d 31 k2 ，1 k220）【2015 年山东，理 20】（本小题满分 13 分）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2xy C: 22 ab1(a b 0) 的离心率为 3 ，左、右焦点分别是 F 1, F 2 ,以 F 1为圆心，以21 2 1 交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；22（Ⅱ）设椭圆 E: x 2 y 2 1，P 为椭圆 C 上的任意一点，4a2 4b2射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ．（i ）求 |OQ |的值；（ii ）求 ABQ 面积最大值．|OP| 解：（Ⅰ）由椭圆 C : x2 y2 1（a b 0）的离心率为 3可知a 2b 22 3 为半径的圆与以 F 2 为圆心，以过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 c e a 右焦点分别是 F 1( 3b,0), F 2 ( 3b,0) ,圆 F 1：(x 3b)2 y 21 为半径的圆相E 于 A,B 两点，3 2 2 23 ，而 a 2 b 2 c 2则 a 2b,c 3b ，左、 29,圆 F 2： (x 3b)2y 21,3b ）211，整理得 4b 45b 21 0，解得 b 21， b 2 1（舍去）， 42 2 2 m 16k 4 m 62 2(4k21)1 1 |m|2 2 |m| 16k 24S| AB |d 3 2 4 16k 2 4 m 262 2 1 4k 2当且仅当 |m| 16k 2 4 m 2,m 2 8k 2 2 等号成立．x 2而直线 y kx m 与椭圆 C: x y 2 1有交点 P ，则 12 ，,122）在椭圆 C 上，于是当 1 4k 2 m 2时 S max 6 (4 1) 1 6 3 ，故 ABQ 面积最大值为 12． 21)【2015 年山东，理 21】(本题满分14 分)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 2x)，其中 a R ．(Ⅰ)讨论函数 f(x) 极值点的个数，并说明理由； (Ⅱ)若 x 0， f(x) 0成立，求 a 的取值范围．11且x 1 x22，而 g( 1) 1 0，则 1 x 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 1),g(x) 0, f (x) 0,f(x)单调递增；当 x (x 1,x 2),g(x) 0,f (x) 0, f (x)单调递减；当 x (x 2, ),g(x) 0, f (x) 0, f (x)单调递增．因此此时函数 f (x) 有两个极值点；当 a 0时 0，但 g( 1) 1 0， x 1 1 x 2 ，所以当 x ( 1,x 2 ), g (x) 0, f (x) 0,f (x)单调递増；当 x (x 2, ),g(x) 0,f (x) 0,f (x) 单调递减，所以函数只有一个极值点．88综上可知当 0 a 时 f ( x)的无极值点；当 a 0时 f (x)有一个极值点；当 a 时， f (x)的有两个99 极值点． Ⅱ)由(Ⅰ)可知当 0 a 8时 f(x) 在(0, ) 单调递增，而 f(0) 0，9则当 x (0, )时， f (x) 0 ，符合题意； 8当 8a 1时， g(0) 0,x 2 0， f (x) 在(0, )单调递增，而 f(0) 0， 9则当 x (0, ) 时， f (x) 0 ，符合题意；当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x)在 (0,x 2)单调递减，而 f(0) 0，则当 x (0,x 2) 时， f(x) 0，不符合题意；当 a 0 时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, ) 时 h(x) 1 1 x0 ，x11xh(x)在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时 h(x) h(0) 0,ln(x 1) 0，1于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，a 此时 f (x) 0 ，不符合题意．综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ．另解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2 x) ，定义域为 ( 1, )f (x)1 a(2x 1) a(2x 1)(x 1) 1 2ax2 ax 1 a ，x 1 x 1 x 11当 a 0时， f (x)0，函数 f (x)在 ( 1, )为增函数，无极值点．x1设 g(x) 2ax 2 ax 1 a,g( 1) 1, a 2 8a(1 a) 9a 2 8a ，当 a 0时，根据二次函数的图像和性质可知 g(x) 0的根的个数就是函数 f(x) 极值点的个数．8若 a(9a 8) 0，即 0 a 时， g(x) 0， f (x) 0函数在 ( 1, )为增函数，无极值点．解：(Ⅰ) f(x) ln(x 1) a(x 2x) ，定义域为 ( 1, ) ，21 a(2x 1)(x 1) 1 2ax ax 1 a2 a(2x 1)，设 g(x) 2ax 2 ax 1 a ，f (x)x 1x1当 a 0 时， x11g(x) 1,f (x) 10，函数 f(x) 在( 1, )为增函数，无极值点． x122a 8a(1 a) 9a 8a ，当 a 0 时， 8若0 a 时 0， g(x) 0,f (x) 0，函数 f(x)在 ( 1, )为增函数，无极值点． 98若 a 时 0，设 g(x) 0的两个不相等的实数根 x 1,x 2 ，且 x 1 x 2 ，998若 a(9a 8) 0，即 a或a 0，而当 a 0时 g( 1) 0 9此时方程 g(x) 0在 ( 1, )只有一个实数根，此时函数 f ( x)只有一个极值点； 8当 a 时方程 g(x) 0在 ( 1, )都有两个不相等的实数根，此时函数 f (x)有两个极值点；988综上可知当 0 a 9时 f (x)的极值点个数为 0；当 a 0时 f (x)的极值点个数为 1；当 a 9 时，99f (x) 的极值点个数为 2．22 (Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x 4 x)， x 0，都有 f(x) 0成立，即 ln( x 1) a(x 2x) 0 当 x 1时， ln2 0 恒成立；当 x1时， x 2 x 0， ln(2x 1)a 0；x 2 x当 0 x 1时， x 2 x 0 ， ln(2x 1) a 0；由 x 0均有 ln(x 1) x 成立．x 2 x故当 x 1时，， ln(2x 1) 1(0, ) ，则只需 a 0 ；x x x 1当 0 x 1时， ln(2x 1) 1( , 1)，则需 1 a 0 ，即 a 1．综上可知对于 x 0，都有x 2 x x 1f(x) 0 成立，只需 0 a 1即可，故所求 a 的取值范围是 0 a 1．另解：(Ⅱ)设函数 f (x) ln(x 1) a(x x)， f(0) 0，要使 x 0，都有 f (x) 0成立，只需函数函数 f (x) 在1(0, )上单调递增即可，于是只需 x 0， f (x) a(2x 1) 0 成立，x11 1 2当 x 1 时 a ，令 2x 1 t 0， g(t)( ,0) ，2 (x 1)(2x 1) t(t 3)1 2 1f ( ) 0 ；当 0 x 1 ， a 2 3 2 (x 1)(2x 1) g(t) 2关于 t ( 1,0)单调递增， t(t 3)1，则 a 1，于是 0 a 1 ．1( 1 3)又当 a 1时， g(0) 0,x 2 0 ，所以函数 f(x) 在(0, x 2 )单调递减，而 f (0) 0，则当 x (0, x 2 )时， f (x) 0，不符合题意；1x 当 a 0时，设 h(x) x ln(x 1)，当 x (0, )时 h(x) 1 0，x 1 1 x h(x) 在(0, )单调递增，因此当 x (0, ) 时h(x) h(0) 0,ln( x 1) 0，2 21 2于是 f (x) x a(x 2 x) ax 2 (1 a)x ，当 x 1 时 ax 2 (1 a)x 0，此时 f (x) 0 ，不符合题意．a综上所述， a 的取值范围是 0 a 1 ．评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．1则 a 0；当 x 1 时 2令 2x 1 t ( 1,0) ，则 g(t) g( 1)。

山东春季高考试题及答案

山东春季高考试题及答案一、语文试题1. 阅读理解题阅读下文，回答以下问题：（1）文章中提到的“春意盎然”是什么意思？（2）作者通过哪些细节描写春天的景象？【答案】（1）“春意盎然”指的是春天的气息非常浓厚，万物复苏，生机勃勃的景象。

（2）作者通过描写嫩绿的柳条、盛开的花朵、温暖的阳光等细节来描绘春天的景象。

2. 古文翻译题将以下古文翻译成现代汉语：“不以物喜，不以己悲。

”【答案】这句话的意思是：不因为外界的事物而感到高兴，也不因为自己的事情而感到悲伤。

二、数学试题1. 选择题下列哪个选项不是正整数？A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】D2. 解答题求下列方程的解：\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]【答案】\[ x = 2 \]因为这是一个完全平方公式，可以简化为 \( (x-2)^2 = 0 \)。

三、英语试题1. 完形填空题阅读下面的短文，从A、B、C、D四个选项中选择最佳答案填空：In the past, people used to think that the earth was flat. However, _______, we now know that it is round.A. thereforeB. otherwiseC. consequentlyD. nowadays【答案】D2. 作文题请以“My Dream Job”为题写一篇不少于120字的英语短文。

【答案】My Dream JobMy dream job is to become a teacher. I have always admired teachers for their patience and knowledge. As a teacher, I would have the opportunity to educate and inspire young minds.I believe that teaching is not just about imparting knowledge, but also about guiding students to become responsible and compassionate individuals. I am eager to make a difference in the lives of my students and to contribute to the bettermentof society.四、综合试题1. 历史选择题以下哪位历史人物不是唐朝的皇帝？A. 李世民B. 李隆基C. 武则天D. 赵匡胤【答案】D2. 地理简答题简述中国四大地理区域的特点。

2015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷理科数学(2015年山东省高考理科数学)

2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 答案：C 解析：A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，结合数轴，知A ∩B ＝{x|2<x<3}. 2.若复数z 满足z 1−i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1﹣iB ．1＋iC ．﹣1﹣iD ．﹣1＋i答案：A解析：∵z1−i ＝i ，∴z ＝i(1﹣i)＝i ﹣i 2＝1＋i .∴z ＝1﹣i .3.要得到函数y ＝sin (4x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案：B解析：∵y ＝sin (4x −π3)＝sin [4(x −π12)]，∴只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可.4.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2答案：D解析：如图设BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝B ．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ＋b)·a ＝a 2＋a·b ＝a 2＋a ·a ·cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.5.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|<2的解集是( )A ．(﹣∞，4)B ．(﹣∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5) 答案：A解析：当x ≤1时，不等式可化为(1﹣x )﹣(5﹣x )<2，即﹣4<2，满足题意；当1<x<5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(5﹣x )<2，即2x ﹣6<2，解得1<x<4；当x ≥5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(x ﹣5)<2，即4<2，不成立. 故原不等式的解集为(﹣∞，4). 6.已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3答案：B解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.线性目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝﹣ax ＋z. 设直线l 0：ax ＋y ＝0.当﹣a ≥1，即a ≤﹣1时，l 0过O (0，0)时，z 取得最大值，z max ＝0＋0＝0，不合题意；当0≤﹣a<1，即﹣1<a ≤0时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝a ＋1＝4，∴a ＝3(舍去)；当﹣1<﹣a<0时，即0<a<1时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋1＝4，∴a ＝32(舍去)；当﹣a ≤﹣1，即a ≥1时，l 0过A (2，0)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋0＝4，∴a ＝2. 综上，a ＝2符合题意.7.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π答案：C解析：由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V 圆柱＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13×π×12×1＝π3.∴V 几何体＝V 圆柱﹣V 圆锥＝2π﹣π3＝5π3.8.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ﹣σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ﹣2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案：B解析：由正态分布N (0，32)可知，ξ落在(3，6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ＋2σ)−P(μ−σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%−68.26%2＝13.59%.9.一条光线从点(﹣2，﹣3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．﹣53或﹣35 B ．﹣32或﹣23 C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34答案：D解析：如图，作出点P (﹣2，﹣3)关于y 轴的对称点P 0(2，﹣3).由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x ﹣2)﹣3，即kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝√1＋k 2＝1，解得k ＝﹣43或k ＝﹣34.10.设函数f (x )＝{3x −1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24，显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B ．当a ＝23时，f (23)＝3×23﹣1＝1，f (f (23))＝f (1)＝21＝2. 显然f (f (23))＝2f(23).故排除D ．综上，选C ．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：C 10＝40；C 30＋C 31＝41； C 50＋C 51＋C 52＝42； C 70＋C 71＋C 72＋C 73＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝__________.答案：4n ﹣1解析：观察各式有如下规律：等号左侧第n 个式子有n 项，且上标分别为0，1，2，…，n ﹣1，第n 行每项的下标均为2n ﹣1.等号右侧指数规律为0，1，2，…，n ﹣1.所以第n 个式子为C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝4n ﹣1.12.若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________. 答案：1解析：由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈[0，π4]，∴tan x ∈[0，1]， ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.执行下边的程序框图，输出的T 的值为__________.答案：116解析：初始n ＝1，T ＝1.又∫1x n d x ＝1n ＋1x n ＋1|01＝1n ＋1，∵n ＝1<3，∴T ＝1＋11＋1＝32，n ＝1＋1＝2； ∵n ＝2<3，∴T ＝32＋12＋1＝116，n ＝2＋1＝3；∵n ＝3，不满足“n<3”，执行“否”，∴输出T ＝116.14.已知函数f (x )＝a x ＋b (a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a ＋b ＝__________. 答案：﹣32解析：f (x )＝a x ＋b 是单调函数，当a>1时，f (x )是增函数，∴{a −1＋b ＝−1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a<1时，f (x )是减函数，∴{a −1＋b ＝0，a 0＋b ＝−1，∴{a ＝12，b ＝−2. 综上，a ＋b ＝12＋(﹣2)＝﹣32.15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a −y 2b ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p>0)交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________. 答案：32解析：双曲线的渐近线为y ＝±ba x.由{y ＝ba x ，x 2＝2py ，得A (2bp a ，2b 2p a ).由{y ＝−ba x ，x 2＝2py ，得B (−2bp a ，2b 2p a 2). ∵F (0，p2)为△OAB 的垂心，∴k AF ·k OB ＝﹣1.即2b 2p a 2−p22bpa−0·(−ba )＝﹣1，解得b 2a 2＝54，∴c 2a 2＝94，即可得e ＝32.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(本小题满分12分)设f (x )＝sin x cos x ﹣cos 2(x ＋π4). (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若f (A2)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2−1＋cos(2x ＋π2)2＝sin2x 2−1−sin2x2＝sin2x ﹣12.由﹣π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得﹣π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是[−π4＋kπ，π4＋kπ](k ∈Z)；单调递减区间是[π4＋kπ，3π4＋kπ](k ∈Z).(2)由f (A2)＝sin A ﹣12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝√32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A ，可得1＋√3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋√3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋√34.所以△ABC 面积的最大值为2＋√34.17.(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH.在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形.则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF ﹣ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形.可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB ．又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED ．因为BD ⊂平面ABED ，所以BD ∥平面FGH.(2)解法一：设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF ﹣ABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ．又FC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC ．在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点，所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直.以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G ﹣xyz. 所以G (0，0，0)，B (√2，0，0)，C (0，√2，0)，D (0，0，1). 可得H (√22，√22，0)，F (0，√2，1)，故GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√22，√22，0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√2，1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量，则由{n ·GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得{x ＋y ＝0，√2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，﹣1，√2). 因为GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACFD 的一个法向量，GB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2，0，0)，所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n >＝GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|√22√212. 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.解法二：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH. 由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ，又FC ∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD ．因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角.在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝√22，由△GNM ∽△GCF ，可得MNFC ＝GMGF ，从而MN ＝√66.由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝√3，所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n ﹣1＝3n ﹣1＋3，此时2a n ＝2S n ﹣2S n ﹣1＝3n ﹣3n ﹣1＝2×3n ﹣1，即a n ＝3n ﹣1，所以a n ＝{3，n ＝1，3n−1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n>1时，b n ＝31﹣n log 33n ﹣1＝(n ﹣1)·31﹣n . 所以T 1＝b 1＝13；当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n ﹣1)×31﹣n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3﹣1＋…＋(n ﹣1)×32﹣n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3﹣1＋3﹣2＋ (32)n )﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝23＋1−31−n 1−3−1﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝136−6n ＋32×3n，所以T n ＝1312−6n ＋34×3n.经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312−6n ＋34×3n.19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93＝84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，因此P (X ＝0)＝C 83C 93＝23，P (X ＝﹣1)＝C 42C 93＝114，P (X ＝1)＝1﹣114−23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(﹣1)×114＋1×1142＝421.20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值.解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又ca ＝√32，a 2﹣c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q (﹣λx 0，﹣λy 0).因为x 024＋y 02＝1，又(−λx 0)216＋(−λy 0)24＝1，即λ24(x 024＋y 02)＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝﹣8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2−161＋4k 2.所以|x 1﹣x 2|＝4√16k 2＋4−m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1﹣x 2|＝2√16k 2＋4−m 2|m|1＋4k 2＝2√(16k 2＋4−m 2)m 21＋4k 2＝2√(4−m 21＋4k2)m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2. ②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2√(4−t)t ＝2√−t 2＋4t .故S ≤2√3，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2√3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6√3.21.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2﹣x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x>0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围.解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(﹣1，＋∞)，f'(x )＝1x ＋1＋a (2x ﹣1)＝2ax 2＋ax−a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax ﹣a ＋1，x ∈(﹣1，＋∞).当a ＝0时，g (x )＝1，此时f'(x )>0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；当a>0时，Δ＝a 2﹣8a (1﹣a )＝a (9a ﹣8).①当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f'(x )≥0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；②当a>89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax ﹣a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝﹣12，所以x 1<﹣14，x 2>﹣14.由g (﹣1)＝1>0，可得﹣1<x 1<﹣14.所以当x ∈(﹣1，x 1)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时，Δ>0，由g (﹣1)＝1>0，可得x 1<﹣1.当x ∈(﹣1，x 2)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述，当a<0时，函数f (x )有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a>89时，函数f (x )有两个极值点.(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意；②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a>1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a<0时，设h (x )＝x ﹣ln(x ＋1). 因为x ∈(0，＋∞)时，h'(x )＝1﹣1x ＋1＝xx ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即ln(x ＋1)<x.可得f (x )<x ＋a (x 2﹣x )＝ax 2＋(1﹣a )x ，当x>1﹣1a 时，ax 2＋(1﹣a )x<0，此时f (x )<0，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[0，1].。

文科数学-2015山东高考数学(文)试题下载_2015高考真题精编版

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合A={X|2<X<4}，B={X|（X-1）（X-3）<0}，则A B= （A ）（1,3）（B ）（1,4）（C ）（2,3）（D ）（2,4）（2）若复数Z 满足1zi-=i ，其中i 为虚数单位，则Z=（A ）1-i （B ）1+I （C ）-1-I （D ）-1+i（3）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a（4）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）（A ）．向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）.向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位（5）若, 如题“m>0,则方程+-=0有实根的逆否命题是(A)若方程+-=0有实根，则>0 (B)若方程+-=0有实根，则0 ()若方程+-=0没有实根，则>0 ()若方程+-=0没有实根，则0（6）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。

山东春季高考数学试题及答案解析

山东春季高考模拟试题---- 根据历年春季高考考试大纲出题山东春季高考数学知识点讲解--不等式（一）主要知识：1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；3．高次不等式要注重对重因式的处理．（二）主要方法：1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间；2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．（三）例题分析：例1．解下列不等式：（1）260x x --<；（2）23100x x -++<；（3）(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-．解：（1）23x -<<；（2） 5 2x or x ><-；（3）原不等式可化为 (1)(2)(2)(1)02 1 0 1 2(2)(1)0x x x x x x or x or x x x +-+-≥⎧⇒-<≤-≤<≥⎨+-≠⎩．例2．已知2{|320}A x x x =-+≤，2{|(1)0}B x x a x a =-++≤，山东春季高考模拟试题---- 根据历年春季高考考试大纲出题（1）若A B ⊂≠，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围．解：{|12}A x x =≤≤，当1a >时，{|1}B x x a =≤≤；当1a =时，{1}B =；当1a <时，{|1}B x a x =≤≤．（1）若A B ⊂≠，则122a a a >⎧⇒>⎨>⎩；（2）若B A ⊆，当1a =时，满足题意；当1a >时，2a ≤，此时12a <≤；当1a <时，不合题意．所以，a 的取值范围为[1,2)．例3．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩，解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-．例4．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，则不等式20cx bx a ++<的解集为．解法一：∵(2)(4)0x x --<即2680x x -+->的解集为11{| }24x x or x ><，山东春季高考模拟试题---- 根据历年春季高考考试大纲出题∴不妨假设1,6,8a b c =-==-，则20cx bx a ++<即为28610x x -+-<，解得11{|}42x x <<．解法二：由题意：00364188a cb b ac c a a c ⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴20cx bx a ++<可化为20b a x x c c ++>即231048x x -+>，解得11{| }24x x x ><或．例5．已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？解：假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ① 又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立， ∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ② 由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，山东春季高考模拟试题---- 根据历年春季高考考试大纲出题 ∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ， ∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩， ∴14a =，∴14c =， ∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立．（四）巩固练习：1．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈成立，则a 的取值范围是(2,2]-．2．若关于x 的方程2210x ax a ++-=有一正根和一负根，则a ∈(1,1)-．3．关于x 的方程2(3)3m x m x -+=的解为不大于2的实数，则m 的取值范围为3(,](0,1)(1,)2-∞-+∞． 4．不等式2(1)(2)0(4)x x x x +-≥+的解集为(,4)(0,2] 1or x -∞-=-．。

理科数学-2015山东高考数学(理)试题下载_2015高考真题精编版

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=（A ）（1，3）（B ）（1，4）（C ）（2，3）（D ）（2，4）（2）若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数为单位，则Z= （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i（3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位（4）已知ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o ,则·＝（A ）- （B ）- （C ）（D ）（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是（A ）（-，4）（B ）（-，1）（C ）（1，4）（D ）（1，5）（6）已知x,y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3（7）在梯形ABCD 中，ABC=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）（B ）（C ）（D ）2（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ²）），则P （μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P （μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% （9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A ）或（B 或（C ）或（D ）或（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a 取值范围是（）（A ）[,1]（B ）[0,1] （C ）[（D ）[1, +第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作绝密启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}034|2<+-=x x x A ，{}42|<<=x x B ，则=B A（A ）（1,3）（B ）（1,4）（C ）（2,3）（D ）（2,4）【答案】C【解析】{}{}31|034|2<<=<--=x x x x x A{}{}{}32|42|31|<<=<<<<=∴x x x x x x B A 故选C （2）若复数z 满足i iz=-1，其中i 为虚数单位，则=z （A ）i -1 （B ）i +1 （C ）i --1 （D ）i +-1 【答案】A 【解析】因为i iz=-1，所以i i i z +=-=1)1( i z -=∴1 故选A （3）要得到函数)34sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 4sin =的图象（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位【答案】B【解析】因为)]12(4sin[)34sin(ππ-=-=x x y ，所以要得到)]12(4sin[π-=x y 的图象，只需将函数x y 4sin =的图象向右平移12π个单位，故选B（4）已知菱形ABCD 的边长为a ,60=∠ABC ，则=∙CD BD（A ）223a - （B ）243a - （C ）243a （D ）223a 【答案】D【解析】BA BC BA BA BC BA BA BD CD BD ∙+=∙+=∙=∙2)()( 22222360cos ||||||a a a ABC COS BA BC BA =⨯+=∠∙+=故选D（5）不等式2|5||1|<---x x 的解集是（A ））（4,∞- （B ））（1,∞- （C ））（4,1 （D ））（5,1【答案】A【解析】原不等式同解如下三个不等式组解集的并集① ⎩⎨⎧<-+-<2511x x x ②⎩⎨⎧<-+-<≤25151x x x ③⎩⎨⎧<+--≥2515x x x解得①1<x ②41<≤x ③4≤x 综上得原不等式解集为{}4|<x x 故选A（6）已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-.02,0y y x y x ，若y ax z +=的最大值为4，则=a（A ） 3 （B ） 2 （C ）2- （D ）3- 【答案】B【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x 在直角坐标平面内所表示的平面区域如右图中的阴影部分所示若设y ax z +=的最大值为4，则最优解为1,1==y x或者是0,2==y x ，经检验知0,2==y x 符合题意，此时2=a ，1==y x 不合题意，故选B（7）在梯形ABCD 中，2π=∠ABC ，BC AD //,222===AB AD BC .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）32π（B ）34π （C ）35π （D ）π2【答案】C【解析】梯形ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1、母线长为2的圆柱去掉一个底面半径为1、高为1的圆锥所得的组合体。

高中数学专题11：椭圆、双曲线及抛物线(选择填空题)(山东春季高考十年汇编2012-2021)含解析

山东省春季高考10年汇编专题11：椭圆、双曲线及抛物线（选择填空题）解析版1．（2012山东春季高考）已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是 (A ) y 2＝6 x(B ) y 2＝－6 x(C ) y 2＝3 x (D ) y 2＝－3 x 答案:A2．（2012山东春季高考）椭圆 x 29＋y 28＝1 的离心率是(A ) 13 (B ) 173 (C ) 24(D ) 223答案:A3．（2012山东春季高考）已知椭圆 x 225＋y 220＝1的左焦点是 F 1，右焦点是 F 2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF 1 的中点在 y 轴上，那么 |PF 1| : |PF 2| 等于 (A ) 3 : 2 (B ) 2 : 3(C ) 9 : 1(D ) 1 : 9答案:A4．（2013山东春季高考）已知抛物线的准线方程是2x =，则该抛物线的标准方程是(A ) 28y x = (B ) 28y x =- (C ) 24y x = (D ) 24y x =-答案:B5．（2013山东春季高考）如图所示，点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点，12A A ，是双曲线的顶点，则直线1PA 与2PA 的斜率之积为 (A ) 1 (B ) 1- (C ) 2(D ) 2-答案:A6．（2014山东春季高考）第一象限内的点P 在抛物线y 2 ＝12x 上，它到准线的距离为7，则点P 的坐标为（A ）（４,）（B ）（３,６）（C ）（２, ）（D ））答案:A7．（2014山东春季高考）双曲线4x 2－9y 2＝1的渐近线方程为（A ）ｙ＝±３２ｘ（B ）ｙ＝±２３ｘ（C ）ｙ＝±９４ｘ（D ）ｙ＝±４９ｘ答案:B8．（2015山东春季高考）关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。

高考数学试卷(解析版) (2)

山东省春季高考数学试卷一、选择题1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则∁U M等于（）A．∅B．{1}C．{2}D．{1，2}2．函数的定义域是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=x B．y=1 C．D．y=|x|4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（）A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+35．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（）A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣326．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D．7．“p∨q为真”是“p为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．69．下列说法正确的是（）A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（）A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=011．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A．72 B．120 C．144 D．28812．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣214．如果，，那么等于（）A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．1815．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D．16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（）A．B．C．D．17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（）A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣1519．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（）成绩分析表甲乙丙丁平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁20．已知A1，A2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：21．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于．22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=．23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于．24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．25．对于实数m，n，定义一种运算：，已知函数f（x）=a*a x，其中0＜a＜1，若f（t﹣1）＞f（4t），则实数t的取值范围是．三、解答题：26．已知函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x），（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）已知f（sinα）=1，求α的值．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．28．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如图所示．（1）求证：DE∥平面BCC1B1；（2）求DE与平面ABC所成角的正切值．29．已知函数．（1）求该函数的最小正周期；（2）求该函数的单调递减区间；（3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．30．已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如图所示．（1）求椭圆的标准方程；（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．山东省春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则∁U M等于（）A．∅B．{1}C．{2}D．{1，2}【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义求出M补集即可．【解答】解：全集U={1，2}，集合M={1}，则∁U M={2}．故选：C．2．函数的定义域是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可．【解答】解：函数，∴|x|﹣2＞0，即|x|＞2，解得x＜﹣2或x＞2，∴函数y的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：D．3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（）A．y=x B．y=1 C．D．y=|x|【考点】3E：函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可．【解答】解：对于A，函数y=x，在区间（﹣∞，0）上是增函数，满足题意；对于B，函数y=1，在区间（﹣∞，0）上不是单调函数，不满足题意；对于C，函数y=，在区间（﹣∞，0）上是减函数，不满足题意；对于C，函数y=|x|，在区间（﹣∞，0）上是减函数，不满足题意．故选：A．4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（）A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f（x）=a（x﹣1）2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3），则对称轴x=1，最大值是5，可设f（x）=a（x﹣1）2+5，于是3=a+5，解得a=﹣2，故f（x）=﹣2（x﹣1）2+5=﹣2x2+4x+3，故选：D．5．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（）A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32【考点】8F：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得（a3）2=4×49，结合解a3＜0可得a3的值，进而由等差数列的性质a5=2a3﹣a1，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，a3是4与49的等比中项，则（a3）2=4×49，解可得a3=±14，又由a3＜0，则a3=﹣14，又由a1=﹣5，则a5=2a3﹣a1=﹣23，故选：B．6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D．【考点】95：单位向量．【分析】先求出=（﹣1，1），由此能求出向量的单位向量的坐标．【解答】解：∵A（3，0），B（2，1），∴=（﹣1，1），∴||=，∴向量的单位向量的坐标为（，），即（﹣，）．故选：C．7．“p∨q为真”是“p为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由真值表可知：“p∨q为真命题”则p或q为真命题，故由充要条件定义知p∨q为真”是“p为真”必要不充分条件【解答】解：“p∨q为真命题”则p或q为真命题，所以“p∨q为真”推不出“p为真”，但“p为真”一定能推出“p∨q为真”，故“p∨q为真”是“p为真”的必要不充分条件，故选：B．8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y的最小值．【解答】解：∵函数y=cos2x﹣4cosx+1=（cox﹣2）2﹣3，且cosx∈[﹣1，1]，故当cosx=1时，函数y取得最小值为﹣2，故选：B．9．下列说法正确的是（）A．经过三点有且只有一个平面B．经过两条直线有且只有一个平面C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】在A中，经过共线的三点有无数个平面；在B中，两条异面直线不能确定一个平面；在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．【解答】在A中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故A错误；在B中，两条相交线能确定一个平面，两条平行线能确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面，故B错误；在C中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C错误；在D中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故D正确．故选：D．10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（）A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可．【解答】解：由，解得：，由方向向量得：直线的斜率k=﹣3，故直线方程是：y+2=﹣3（x﹣1），整理得：3x+y﹣1=0，故选：A．11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A．72 B．120 C．144 D．288【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21C43=8种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，则以排出8×24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A32=6种情况，此时有6×2×6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选：D．12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c；B，c的符号不定，则ac，bc大小关系不定；C，由a＜b＜0，可得a2＞b2；D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒；【解答】解：对于A，由a＜b＜0，可得a+c＜b+c，故正确；对于B，c的符号不定，则ac，bc大小关系不定，故错；对于C，由a＜b＜0，可得a2＞b2，故错；对于D，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b⇒，故错；故选：A13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】4H：对数的运算性质．【分析】由g（9）=log39=2=f（﹣1）=2﹣k，解得即可．【解答】解：g（9）=log39=2=f（﹣1）=2﹣k，解得k=﹣1，故选：C14．如果，，那么等于（）A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出及与的夹角，代入数量积公式得答案．【解答】解：∵，，∴，且＜＞=π．则==3×6×（﹣1）=﹣18．故选：A．15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos（π+2α）的值．【解答】解：若角α的终边落在直线y=﹣3x上，（1）当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，则y=3，r==，所以cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=；（2）当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y=﹣3，r==，所以sinα=，cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=，故选：B．16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（）A．B．C．D．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】利用二元一次不等式（组）与平面区域的关系，通过特殊点判断即可．【解答】解：因为（1，0）点满足2x﹣y＞0，所以二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是：C．故选：C．17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（）A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4【考点】J1：圆的标准方程．【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆C1的圆心关于y=﹣x 的对称点，再由圆的标准方程得答案．【解答】解：由圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，得圆心坐标为（﹣5，0），半径为2，设点（﹣5，0）关于y=﹣x的对称点为（x0，y0），则，解得．∴圆C2的圆心坐标为（0，5），则圆C2的方程是x2+（y﹣5）2=4．故选：D．18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，=C6r•（﹣1）r•x．则展开式中的通项公式为T r+1令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62•（﹣1）2=15，故选：C．19．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（）成绩分析表甲乙丙丁平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可．【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙，由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加．故选：B．20．已知A1，A2为双曲线（a＞0，b＞0）的两个顶点，以A1A2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，若△A1MN的面积为，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A1（﹣a，0）到直线渐近线的距离d，根据三角形的面积公式，即可求得△A1MN的面积，即可求得a和b的关系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，设以A1A2为直径的圆与双曲线的渐近线y=x交于M，N两点，则A1（﹣a，0）到直线y=x的距离d==，△A1MN的面积S=×2a×==，整理得：b=c，则a2=b2﹣c2=c2，即a=c，双曲线的离心率e==，故选B．二、填空题：21．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于3π．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2π，则圆锥侧面积S=πrl，由此能求出结果．【解答】解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为l，弧长为2πr∴圆锥侧面积：S==πrl=π×1×3=3π．故答案为：3π．22．在△ABC中，a=2，b=3，∠B=2∠A，则cosA=．【考点】HR：余弦定理．【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵∠B=2∠A，∴sin∠B=2sin∠Acos∠A，又∵a=2，b=3，∴由正弦定理可得：，∵sin∠A≠0，∴cos∠A=．故答案为：．23．已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于24．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=12，|QF1|+|QF2|=2a=12即可求得△PQF2的周长．【解答】解：椭圆+=1的焦点在y轴上，则a=6，b=4，设△PQF2的周长为l，则l=|PF2|+|QF2|+|PQ|，=（|PF1|+|PF2|）+（|QF1|+|QF2|）=2a+2a，=4a=24．∴△PQF2的周长24，故答案为：24．24．某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m==4，由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率．【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m==4，∴其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：p===．故答案为：．25．对于实数m，n，定义一种运算：，已知函数f（x）=a*a x，其中0＜a＜1，若f（t﹣1）＞f（4t），则实数t的取值范围是（﹣，2] ．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】求出f（x）的解析式，得出f（x）的单调性，根据单调性得出t﹣1和4t的大小关系，从而可得t的范围．【解答】解：∵0＜a＜1，∴当x≤1时，a x≥a，当x＞1时，a＞a x，∴f（x）=．∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上为常数函数，∵f（t﹣1）＞f（4t），∴t﹣1＜4t≤1或t﹣1≤1＜4t，解得﹣＜t≤或．∴﹣．故答案为：（﹣，2]．三、解答题：26．已知函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x），（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）已知f（sinα）=1，求α的值．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】（1）要使函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x）有意义，则⇒﹣3＜x＜3即可，由f（﹣x）=log2（3﹣x）﹣log2（3+x）=﹣f（x），可判断函数f（x）为奇函数．（2）令f（x）=1，即，解得x=1．即sinα=1，可求得α．【解答】解：（1）要使函数f（x）=log2（3+x）﹣log2（3﹣x）有意义，则⇒﹣3＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；∵f（﹣x）=log2（3﹣x）﹣log2（3+x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数．（2）令f（x）=1，即，解得x=1．∴sinα=1，∴α=2k，（k∈Z）．27．某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论．【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中a1=，q=2，n=20，∴共需缴费S20===219﹣=524288﹣≈52.4万元，∴方案①缴纳的保费较低．28．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A1C1的中点，如图所示．（1）求证：DE∥平面BCC1B1；（2）求DE与平面ABC所成角的正切值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AC的中点F，连结EF，DF，则EF∥CC1，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC1B1，于是DE∥平面BCC1B1．（2）在Rt△DEF中求出tan∠EDF．【解答】（1）证明：取AC的中点F，连结EF，DF，∵D，E，F分别是AB，A1C1，AC的中点，∴EF∥CC1，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC1=C，∴平面DEF∥平面BCC1B1，又DE⊂平面DEF，∴DE∥平面BCC1B1．（2）解：∵EF∥CC1，CC1⊥平面BCC1B1．∴EF⊥平面BCC1B1，∴∠EDF是DE与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1，则DF=，EF=1，∴tan∠EDF=．30．已知椭圆的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心率是，如图所示．（1）求椭圆的标准方程；（2）抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A，过点A作抛物线的切线l，l与椭圆的另一个交点为B，求线段AB的长．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过e=及c2=a2﹣b2计算可得椭圆的方程；（2）将准线方程代入椭圆方程，求得A点坐标，求得抛物线的切线方程，由△=0，求得k的值，分别代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段AB的长．【解答】解：（1）根据题意，得F（1，0），∴c=1，又e=，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为：（2）抛物线的准线方程为x=﹣1由，解得，，由A位于第二象限，则A（﹣1，），过点A作抛物线的切线l的方程为：即直线l：4x﹣3y﹣4=0由整理得整理得：ky2﹣4y+4k+6=0，当k=0，解得：y=，不符合题意，当k≠0，由直线与抛物线相切，则△=0，∴（﹣4）2﹣4k（4k+6）=0，解得：k=或k=﹣2，当k=时，直线l的方程y﹣=（x+1），则，整理得：（x+1）2=0，直线与椭圆只有一个交点，不符合题意，当k=﹣2时，直线l的方程为y﹣=﹣2（x+1），由，整理得：19x2+8x﹣11=0，解得：x1=﹣1，x2=，则y1=，y2=﹣，由以上可知点A（﹣1，），B（，﹣），∴丨AB丨==，综上可知：线段AB长度为29．已知函数．（1）求该函数的最小正周期；（2）求该函数的单调递减区间；（3）用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．【考点】HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由已知利用两角差的正弦函数公式可得y=3sin（2x﹣），利用周期公式即可得解．（2）令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的单调递减区间．（3）根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．【解答】解：（1）∵=3sin（2x﹣），∴函数的最小正周期T==π．（2）∵令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，（3）列表：x2x﹣0π2πy030﹣30描点、连线如图所示：。