固体物理习题与思考题
第一章
晶体结构 思 考 题
1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为()33/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43R ,单位体积晶体中的原子数为()33/4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()32/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为()4/2/43R , 单位体积晶体中的原子数为()3
2/4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为2/323
???? ??=0.272.
2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？
[解答]
晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为何种结构? 若=3a ()k j +2a +i 23a , 又为何种结构? 为什么?
[解答]
有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积
23
321a =??=a a a Ω.
由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量
=-=13a a u 2a ()k j i ++-,
=-=23a a v 2a
()k j i +-,
=-+=321a a a w 2a
()k j i -+.
w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基
矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为体心立方结构.
若
=3a ()k j +2a +i 23a ,
则晶体的原胞的体积
23
321a Ω=??=a a a ,
该晶体仍为体心立方结构.
4. 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?
[解答]
正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h 1h 2h 3)与倒格式=h K h 11b +h 22b +h 33b 垂直, 则倒格晶面(l 1l 2l 3)与正格矢=l R l 11a + l 22a + l 33a 正交. 即晶列[l 1l 2l 3]与倒格面(l 1l 2l 3) 垂直.
5. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?
[解答]
在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.
6.六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?
[解答]
六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.
7.面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内?
[解答]
周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图 1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为2/2a . 根据同族晶面族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.
8. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？
[解答]
晶体中原子间距的数量级为1010-米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长
应小于1010-米. 但可见光的波长为7.6?4.0710-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因
此, 在晶体衍射中，不能用可见光.
9. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?
[解答]
对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式
λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.
10. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化?
[解答]
温度升高时, 由于热膨胀, 面间距hkl d 逐渐变大. 由布拉格反射公式
λθn sin 2=hkl d 可知, 对应同一级衍射, 当X 光波长不变时, 面间距hkl d 逐渐变大, 衍射角θ逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.
当温度不变, X 光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角θ随之变大.
第2章晶体的结合
思考题
1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?
[解答]
共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.
2.如何理解库仑力是原子结合的动力?
[解答]
晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力.
3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?
[解答]
自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能.
原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能.
在0K时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能.
4.原子间的排斥作用取决于什么原因?
[解答]
相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.
5.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?
[解答]
在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力
缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r时, 排斥力起主导作用.
6.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”?
[解答]
设N为一个原子的价电子数目, 对于IV A、V A、VI A、VII A族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的“饱和性”.
共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的“方向性”.
7.共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?
[解答]
共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交
迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.
8.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.
[解答]
当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量.
9.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?
[解答]
使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.
10.为什么许多金属为密积结构?
[解答]
金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构.
11.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?
[解答]
如上图所示, 0r附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 0r附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而0r附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定.
12.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?
[解答]
固体受到外力作用时发生形变, 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外力时相邻原子间的距离为0r, 当相邻原子间的距离r>0r时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r<0r时, 排斥力起主导作用. 当固体受挤压时, r<0r, 原子间的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时, r>0r, 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.
13.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么?
[解答]
理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
思 考 题
1. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?
[解答]
(1) (1) 方便于求解原子运动方程.
由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.
(2) (2) 与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？
[解答]
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .
3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?
[解答]
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?
[解答]
频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11)(/-=T k B e n ωω .
因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T k B O e ω )大于(1/-T
k B A e ω ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?
[解答] 设温度T H >T L , 由于(1/-H B T k e
ω )小于(1/-L B T
k e ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
6. 高温时, 频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系?
[解答] 温度很高时, 1/-≈ωω T k B e
, 频率为ω的格波的(平均) 声子数为
1
1)(/-=T k B e n ωω ω T k B ≈.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.
7. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？
[解答]
实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.
8. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
[解答]
按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013, 属于光学支频
率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
9. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?
[解答]
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
10. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗?
[解答] 频率为i ω的格波的振动能为
i i i n ωε ??? ??+=21,
其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, (2/i ω )是零点振动能, 声子数
11/-=T k i B i e n ω .
绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能.
格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.
11. 温度很低时, 声子的自由程很大, 当0→T 时, ∞→λ, 问0→T 时, 对于无限长的晶体, 是否成为热超导材料?
[解答]
对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当0→T 时, 声子数n 0→. 因此, 0→T 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.
12. 石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点?
[解答]
由本教科书可知, 热膨胀系数V α与格林爱森常数γ成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数γ大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.
第四章 晶体中电子能带理论
思考题
1. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?
[解答]
波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、
, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、
1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.
倒格空间中一个倒格点对应的体积为
*321) (Ω=??b b b ,
波矢空间中一个波矢点对应的体积为
N N b N b N b *
332211)(Ω=??,
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
2. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？
[解答]
当电子的波矢k 满足关系式
0)2(=+?n n K k K
时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于2/n K .
3. 一维周期势函数的付里叶级数
nx a
i n n e
V x V π2)(∑=
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答]
周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为 x
i n
n n e V x V λ∑=)( 上式必须满足势场的周期性, 即
x
i n n a i x i n n a x i n n n n n n e V x V e e V e V a x V λλλλ∑∑∑====++)()()()(.
显然
1=a i n e λ.
要满足上式, n λ必为倒格矢
n a n πλ2=.
可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.
4. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?
[解答]
电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
5. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?
[解答]
晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为
)(1l m F F a +=.
但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有
F a *1m =.
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.
6. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点?
[解答]
由本教科书得
m m m l F F F +=*.
将上式分子变成能量的增量形式
m t m t m
t l d d d *ννν?+?=?F F F ， 从能量的转换角度看, 上式可表述为
m E m
E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功
)d ()(d )(d *
+=.
由于能带顶是能带的极大值， 22k E
??<0， 所以有效质量
222
*
k E
m ??= <0.
说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值， 22k E
??>0，
所以电子的有效质量
222
*
k E
m ??= >0.
但比m 小. 这说明晶格对电子作正功. m* m 211* +=<1. 7. 电子的有效质量*m 变为∞的物理意义是什么? [解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化 m E m E m E 晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d ()(d )(d * += []电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1E E m -=. 从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量* m 变为∞. 此时电子的加速度 01*==F a m , 即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 8. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例.紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于)(r at s ?与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 9. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答] 将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度 ) (1k E k ?= ν 得到 ////1k E ??= ν, ⊥⊥??=k E 1ν. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥??k E /=0, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波. 10. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? [解答] 设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有N个不同的波矢状态, 能容纳2N个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N/2)个. 可见一个能级上包含4个电子. 11. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同? [解答] 在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献. 第六章 金属电子论 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率? [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11)(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量? [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11/-=T k i B i e n ω . 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的? [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化? [解答] 费密能级 3 /222 0)3(2πn m E F =, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低? [解答] 当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大? [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系. 价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式 3/120)3(πn k F = 可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就 越大. 电子的平均动能E 正比与费密能0 F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n : ()3/22 2 32πn m E F =, ()3 /22 2 0310353πn m E E F ==. 所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大. 7.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高? [解答] 电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径 3/12)3(πn k F =. 可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高. 第三周固体物理课 对称：一个图形在运动中看上去像不动似的，这个图形就是对称的。 （反射对称：物体的一半是另一半的镜像。） 晶面：格子可看作分列在平行等距的平面系上，这些平行的平面系称为晶面系。 晶面的特点：晶面族包含所有的格点；一族晶面平行且两两等距，这是晶面周期性的 必然结果；同一个格子可以由无穷多方向不同的晶面系。 晶体的宏观对称性 1镜反射对称性：反射对称面就是某一个晶面； 2有限的评议对称性 3有限的旋转对称性 晶格衍射 晶格的X 射线衍射：X 射线波长短、与晶格常数数量级相当；晶体的点阵结构中，具有 周期性排列的原子或电子散射的次生X 射线间互相干涉的结果，决定了X 射线在晶体中 的衍射方向，通过该对衍射方向的测定，可从中得到晶胞大小和形状信息。 布拉格定律：相长干涉条件2dsin θ=n λ 。 实物粒子的波动性 波长λ=h/p 频率v=E/h 。 晶体结构的观测手段：当电子或中子流落在晶体上时，被晶体中原子散射，各散射粒子波之间产生互相干涉现象。晶体中每个原子均对电子进行散射。在弹性散射过程中，由于晶体中原子排列的周期性，各原子所散射的电子波在叠加时互相干涉，遵循 布拉格定律。 晶体中的缺陷 多晶体和晶粒间界——面缺陷：一般的晶粒间界只有极少几层原子排列是比较错乱的；纳米材料具有大的界面，界面的原子排列是相当混乱的，原子在外力变形的条件下很容易迁移，因此表现出甚佳的韧性和一定的延展性； 位错——线缺陷：在晶体中某处有一列或若干列原子发生了有规律的错排现象。最普通的线缺陷就是位错，根据局部滑移的方式不同，分别形成螺型位错和刃型位错； ？ 空位、间隙原子——点缺陷。 晶体中的扩散 缺陷在晶格中运动要受到晶格周期性地限制，要克服势垒的阻挡。 扩散的过程与晶体中的微观缺陷有十分密切的联系：外来原子和晶体中基本原子的大小及电荷数目有所不同，因此当它们替代晶体中的原子后，会引起周围畸变，使得畸变区域出现空位的概率大大增加，加快了杂质原子的扩散。 第二节晶体结合的规律 一般固体的结合可以概括为离子型结合、共价结合、金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式，可以具有复杂的性质。由于不同结合形式之间存在一定的联系，实际固体的结合可以具有两种结合之间的过渡性质。 元素和化合物晶体结合的规律 原子能结合成晶体的根本原因：原子结合起来之后具有更低的能量，晶体比自由原子组合更稳定。 结合能：分散的自由原子结合成为晶体的过程中，将有一定的能量W释放出来，即结合能。 系统内能与原子间距 自由原子：距离很远，系统内能为零。 凝聚过程：原子距离减小，系统体积减小，系统内能开始逐渐下降；原子距离R0，系统体积V0时，内能达到最小值-W；原子距离继续减小，系统内能反而增加，而且增长速度很快。 量子力学基本概念——波函数 粒子的波函数：粒子在空间的概率分布的概率波； 概率波把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来：取波的干涉叠加特性，不再是空间某种物理量的振动，取粒子性一定的质量、电量等，不再有固定的空 间位置和轨迹。 量子力学基本概念——算符 动量算符，动能算符； ？？？？？？？？ 量子力学基本概念——本征态、本征值 量子力学基本概念——态叠加原理 量子力学的基本假定： 测量力学量A时所有可能出现的值，都是相应算符A^的本征值； 当体系处于A^的本征态时，则每次的测量结果都是完全确定的。 薛定谔的猫：存在一系列本征态；处于本征态的叠加；测量时会坍塌到某一个本征态。 量子力学的基本概念 某个算符的本征函数和本征值：算符所对应的物理量的每次测量值的集合——本征值；测量到该物理量本征值时所对应的波函数——本征函数。 （每一个算符对应一个经典的物理量，算符作用于波函数——对于算符所对应的物理量进行测量。） 一个微观粒子的量子态用波函数来描述，当波函数确定后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测量值概率的分布都完全确定了。 Schrodinger波动方程...... 一维无限深方势阱中电子的本征态...... 量子力学 在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程（薛定谔方程），该 方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其波函数的作用；测量的可能屈指由该算符的本征方程决定，测量的期待值由一个包含该算符的积分方程计算。 原子轨道——电子云 原子轨道：用薛定谔方程描述电子的能量和运动状态，薛定谔方程的解即是描述电子状态的波函 数，称为原子轨道，即能量为E的电子在相应能级轨道中出现的几率。 电子云：电子在单位微体积内出现的几率为电子密度。如果用一个个小点表示电子密度的分布，象一团云雾，称为电子云。原子轨道即是电子云相对比较密集的空间范围。 晶体结合的量子理论——分子轨道理论 分子轨道理论：两个原子形成分子时，电子就在整个分子区域内运动而不限于一个原子，分子中价电子的运动状态就是分子轨道。可以用波函数定量描述。 分子轨道-单电子被两个原子共享 电子为两个原子共有，波函数解称为“分子轨道”； 分子轨道波函数可选择原子波函数的线性组合； 原子轨道线性组合法LCAO。 分子轨道理论 两个原子轨道波函数波相相同时，两原子间电子云密度增加，分子能量降低，称为成键轨道；两原子轨道波函数波相相反时，两原子间电子云密度减小，分子能量升高，称为反键轨道。 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。 固体物理练习题 1.晶体结构中，面心立方的配位数为 12 。 2.空间点阵学说认为 晶体内部微观结构可以看成是由一些相同的点子在三维空间作周期性无限分布 。 3.最常见的两种原胞是 固体物理学原胞、结晶学原胞 。 4.声子是 格波的能量量子 ，其能量为 ?ωq ，准动量为 ?q 。 5.倒格子基矢与正格子基矢满足 正交归一关系 。 6.玻恩-卡曼边界条件表明描述有限晶体振动状态的波矢只能取 分立的值 ， 即只能取 Na 的整数倍。 7.晶体的点缺陷类型有 热缺陷、填隙原子、杂质原子、色心 。 8.索末菲的量子自由电子气模型的四个基本假设是 自由电子近似、独立电子近似、无碰撞假设、自由电子费米气体假设 。 9.根据爱因斯坦模型，当T→0时，晶格热容量以 指数 的形式趋于零。 10.晶体结合类型有 离子结合、共价结合、金属结合、分子结合、氢键结合 。 11.在绝对零度时，自由电子基态的平均能量为 0F 5 3E 。 12.金属电子的 B m ,23nk C V = 。 13.按照惯例，面心立方原胞的基矢为 ???? ?????+=+=+=)(2)(2) (2321j i a a k i a a k j a a ，体心立方原胞基矢为 ???? ?????-+=+-=++-=)(2)(2) (2321k j i a a k j i a a k j i a a 。 14 .对晶格常数为a 的简单立方晶体,与正格矢k a j a i a R ???22++=正交的倒格子晶面族的面 指数为 122 , 其面间距为 a 32π 。 15.根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为 7大晶系 ，对应的只有14种 布拉伐格子。 16.按几何构型分类，晶体缺陷可分为 点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷、微缺陷 。 17. 由同种原子组成的二维密排晶体，每个原子周围有 6 个最近邻原子。 18.低温下金属的总摩尔定容热容为 3m ,bT T C V +=γ 。 19. 中子非弹性散射 是确定晶格振动谱最有效的实验方法。 1.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么？ 原子间存在相互作用力。 2.简述倒格子的性质。 P29~30 3. 根据量子理论简述电子对比热的贡献，写出表达式，并说明为什么在高温时可以不考虑电子对比热的贡献而在低温时必须考虑？ 4.线缺陷对晶体的性质有何影响？举例说明。 P169 5.简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：P9组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：P9将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 6.为什么许多金属为密积结构? 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空间 无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的 点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶体 可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为结晶学原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性， 它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω，其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积。 10.布喇菲原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢为 边作的平行六面体称为布喇菲原胞，结晶学原胞反映了晶体的对称性，它的体积是固体物理学原胞体积的整数倍,V=n Ω,其中n 是结晶学原胞所包含的结点数, Ω是固体物理学原胞的体积 11.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞) 答：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线) 将空间 划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。 12. 简单晶格 答：当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表 该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais 格子。 13.复式格子 答：当基元包含2 个或2 个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格 点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。显然，复式格子是由若干相同结构的子晶格相互位移套构而成。 14.晶面指数 答：描写晶面方位的一组数称为晶面指数。设基矢123,,a a a r u u r u u r ，末端分别落 在离原点距离为123d 、d 、h h h d 的晶面上，123、、h h h 为整数，d 为晶面间距，可以证明123、、h h h 必是互质的整数，称123、、h h h 3为晶面指数，记为()123h h h 。用结晶学原胞基矢坐标系表示的晶面指数称为密勒指数。 15.倒格子(倒易点阵) 1. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 2. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答] 晶体中原子间距的数量级为10 10 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长 应小于10 10-米. 但可见光的波长为7.6?4.07 10-?米, 是晶体中原子间距的1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光. 3. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么? [解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥力起主导作用. 4. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于) (r at s ? 与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧 束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 5. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答] 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度 )(2n K V E g =, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交. 6. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么? 对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式 λθn sin 2=hkl d 可知, 面间距hkl d 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角θ. 面间距hkl d 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角θ. θ越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱. 一·简答题 1.晶格常数为a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材P7－8） （1）体心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j k a i j k a i j k ααα=+-=-++=-+，体积：31 2a ，最近邻格点数：8 （2）面心立方基矢：123() 2()2() 2 a i j a j k a k i ααα=+=+=+，体积：31 4a ，最近邻格点数：12 2.习题、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 证明： 因为33121323 ,a a a a CA CB h h h h = -=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ?=，容易证明 12312300 h h h h h h G CA G CB ?=?= 所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。 3.习题、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足： 22222()d a h k l =++，其中a 为立方边长； 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π ?=??，3121232a a b a a a π?=??，123123 2a a b a a a π?=?? 倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a πππ = == 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h i k j l k a a a πππ =++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G π= 2221 ()()()h k l a a a = ++ 4.习题、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解：(111) （1）、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。 （2）、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢： 一、 填空题 （共20分，每空2分） 目的:考核基本知识。 1、金刚石晶体的结合类型是典型的 共价结合 晶体, 它有 6 支格波。 2、晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω为 23a 。 3、晶体的对称性可由 32 点群表征，晶体的排列可分为 14 种布喇菲格子，其中六角密积结构 不是 布喇菲格子。 4、两种不同金属接触后,费米能级高的带 正 电，对导电有贡献的是 费米面附近 的电子。 5、固体能带论的三个基本近似：绝热近似 、_单电子近似_、_周期场近似_。 二、 判断题 （共10分，每小题2分） 目的:考核基本知识。 1、解理面是面指数高的晶面。 （×） 2、面心立方晶格的致密度为π61 （ ×） 3、二维自由电子气的能态密度()1~E E N 。 （×） 4、晶格振动的能量量子称为声子。 （ √） 5、 长声学波不能导致离子晶体的宏观极化。 （ √） 三、 简答题（共20分，每小题5分） 1、波矢空间与倒格空间（或倒易空间）有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为, 而波矢空间的基矢分别为, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 , 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。 也就是说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的。因此, 在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。 2、在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 321 b b b 、、 32N N / / /321b b b 、、 1N 321 a a a 、、*321) (Ω=??b b b N N b N b N b * 332211)(Ω=?? 固体物理经典复习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 1 一、简答题 1.理想晶体 答：内在结构完全规则的固体是理想晶体，它是由全同的结构单元在空 间无限重复排列而构成的。 2.晶体的解理性 答：晶体常具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质，这称为晶体的解理性。 3.配位数 答: 晶体中和某一粒子最近邻的原子数。 4.致密度 答：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。 5.空间点阵(布喇菲点阵) 答：空间点阵(布喇菲点阵)：晶体的内部结构可以概括为是由一些相同 的点子在空间有规则地做周期性无限重复排列，这些点子的总体称为空间点阵(布喇菲点阵)，即平移矢量123d 、d 、h h h d 中123,,n n n 取整数时所对应的点的排列。空间点阵是晶体结构周期性的数学抽象。 6.基元 答：组成晶体的最小基本单元，它可以由几个原子(离子)组成，整个晶 体可以看成是基元的周期性重复排列而构成。 7.格点(结点) 答: 空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。 8.固体物理学原胞 答：固体物理学原胞是晶格中的最小重复单元，它反映了晶格的周期性。 取一结点为顶点，由此点向最近邻的三个结点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作的平行六面体即固体物理学原胞。固体物理学原胞的结点都处在顶角位置上，原胞内部及面上都没有结点，每个固体物理学原胞平均含有一个结点。 9.结晶学原胞 答：使三个基矢的方向尽可能的沿空间对称轴的方向，以这样三个基矢 11级第一次(作业) 请充分利用网络、本校及外校图书馆的相关资料，同时联系相关专业的老师，调查关于固体物理的简史、发展趋势以及当代的热门前沿课题(针对自己感兴趣的某个方面)，形成一份报告，阐述自己的看法，要求2000字以上。(已经在第一次课布置，11月1日前后上交) 11级固体物理第2次习题和思考题 1.在结晶学中，我们课堂上讲的单胞，也叫元胞，或者叫结晶学原胞，也叫晶胞，试回忆一下晶胞是按晶体的什么特性选取的？ 答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 2.解释Bravais 点阵并画出氯化钠晶体的结点所构成的Bravais 点阵。 答：晶体的部结构可以概括为由一些相同的结点构成的基元在空间有规则的作周期性的无限分布，这些结点构成点阵，如果基元只由一个结点构成，这种点阵称为Bravais 点阵。氯化钠晶体的Bravais 点阵可参照书p8的图1-13，点阵的结点由钠离子和氯离子组成。 3.说明金刚石结构是复式点阵的原因。 答：金刚石结构可这样描述：面心立方的体心向顶角引8条对角线，在互不相邻的四条对角线中点，各有一个原子。以金刚石为例，顶角和面心处的原子周围情况和对角线上的原子周围情况不相同，因而金刚石结构是复式晶格，可看作两套面心立方子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度而成。Bravais 点阵包含两个原子。 4.体心立方点阵和面心立方点阵互为正、倒格子，试证明之。 答：面心立方的三个基矢为： ??? ? ?????+=+=+=)(2)(2)(2321i k a a k j a a j i a a ρρρρρρρρρ 其体积为 4 3 a ，根据倒格矢的定义得： ???? ? ????-+=???=++-= ???=+-= ???=)(2)(2)(2)(2)(2)(23212 13321132321321k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b k j i a a a a a a b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρ ρ ρρρρρρ ρρππππππ 可见，除了系数不同之外，方向正好是体心立方的晶格基矢。反之亦然。 5、翻看资料，试画出下列晶体的惯用元胞和布拉菲格子，写出它们的初基元胞基矢表达式，指明各晶体的结构及两种元胞中的原子个数和配位数。 (1)氯化铯； (2)硅； (3)砷化镓； (4)硫化锌 答：(1)氯化铯为简单立方，氯离子处于立方的顶角组成子晶格，铯离子处于立方的顶角组成 子晶格，两套子晶格沿着体对角线移开一半体对角线长度，使得氯离子子晶格的体心 恰好有一个铯离子，铯离子子晶格的体心恰好有一个氯离子。元胞就是简单立方。一 个元胞里有一个氯离子和一个铯离子；配位数为6。 (2)硅为复式格子，硅原子组成面心立方子晶格，两套子晶格沿体对角线移开1/4体对角线长度，形 固体物理总复习题 一、填空题 1．原胞是 的晶格重复单元。对于布拉伐格子，原胞只包含 个原子。 2．在三维晶格中，对一定的波矢q ，有 支声学波， 支光学波。 3．电子在三维周期性晶格中波函数方程的解具有 形式，式中 在晶格平移下保持不变。 4．如果一些能量区域中，波动方程不存在具有布洛赫函数形式的解，这些能量区域称为 ；能带的表示有 、 、 三种图式。 5．按结构划分，晶体可分为 大晶系，共 布喇菲格子。 6．由完全相同的一种原子构成的格子，格子中只有一个原子，称为 格子，由若干个布喇菲格子相套而成的格子，叫做 格子。其原胞中有 以上的原子。 7．电子占据了一个能带中的所有的状态，称该能带为 ；没有任何电子占据的能带，称为 ；导带以下的第一满带，或者最上面的一个满带称为 ；最下面的一个空带称为 ；两个能带之间，不允许存在的能级宽度，称为 。 8.基本对称操作包 括 ， ， 三种操作。 9.包含一个n 重转轴和n 个垂直的二重轴的点群叫 。 10.在晶体中，各原子都围绕其平衡位置做简谐振动，具有相同的位相和频率，是一种最简单的振动称为 。 11.具有晶格周期性势场中的电子，其波动方程为 。 12.在自由电子近似的模型中， 随位置变化小，当作 来处理。 13.晶体中的电子基本上围绕原子核运动，主要受到该原子场的作用，其他原子场的作用可当作 处理。这是晶体中描述电子状态的 模型。 14.固体可分 为，， 。 15.典型的晶格结构具有简立方结 构，，，四种结构。 16.在自由电子模型中，由于周期势场的微扰，能量函数将在 K= 处 断开，能量的突变为。 17.在紧束缚近似中，由于微扰的作用，可以用原子轨道的线性组合来描述电 子共有化运动的轨道称为，表达式 为。 18．爱因斯坦模型建立的基础是认为所有的格波都以相同的振动，忽略了频率间的差别，没有考虑的色散关系。 19．固体物理学原胞原子都在，而结晶学原胞原子可以在顶点也可以在即存在于。 20．晶体的五种典型的结合形式是、、、、。 21．两种不同金属接触后，费米能级高的带电，对导电有贡献的是 的电子。 22．固体能带论的三个基本假设是：、、 。 23．费米能量与和因素有关。 二、名词解释 1．声子；2.；布拉伐格子；3. 布里渊散射；4. 能带理论的基本假设. 5．费米能；6. 晶体的晶面；7. 喇曼散射；8. 近自由电子近似。 9.晶体；10. 布里渊散射；11. 晶格；12. 喇曼散射； 三、简述题 1．试说明在范德瓦尔斯结合、金属性结合、离子性结合和共价结合中，哪一种或哪几种结合最可能形成绝缘体、导体和半导体。 2．什么是声子？声子与光子有什么相似之处和不同之处？ 《固体物理学》习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族 中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id ===g g g ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2） 把（1）式的关系代入，即得 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010） 正方 a=b a^b=90° 六方 a=b a^b=120矩形 a ≠b a^b=90° 带心矩形 a=b a^b=90° 平行四边形 a ≠b 第一章 1.凝聚态物质包括哪些？-液体、固体、介于其间的软物质（液晶、凝胶等） 2.固体可分为哪些类型？-晶体、准晶体、非晶体 3.什么是晶格？什么是晶体结构？晶体中原子的规则排列称为晶格；晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构 。 4.常见的晶体结构有哪些？-简单立方晶体结构sc 、体心立方晶体结构bcc 、密堆晶体结构、金刚石晶体结构、NaCl 结构、CsCl 晶体结构、闪锌矿晶体结构、钙钛矿（ABO3）结构 5.什么是配位数？-XX 晶体结构的配位数是多少？配位数：每个原子周围最近邻原子数；简单立方晶体结构（配位数6）、体心立方结构（8）、面心立方结构（12）、六角密堆结构（12）、金刚石晶体结构（4） 6.试画出简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构图。 7.举例说明什么是简单晶格？什么是复式晶格？-简单晶格（布拉维格子）：所有原子完全等价，作从一个原子到另一任意原子的平移，晶格完全复原，如sc 、fcc 、bcc 结构形成的晶格；复式格子：晶格结构中，存在两种或两种以上不等价的原子或离子，作从一个原子或离子到任意一个不等价的原子或离子的平移，晶格不能复原，如hcp 结构、金刚石结构、NaCl 结构 8.什么是基元？简单晶格和复式晶格的基元各有什么特点？-一个最小的、完全等价的基本结构单元；简单晶格的基元只含一个原子，复式晶格的基元中含两个以上的原子或离子。 9.什么是结点？什么是点阵？点阵与晶体结构的逻辑关系是什么？-就晶格的平移对称性而言，忽略结构中基元内原子分布的细节，用来代表基元的几何点成为结点；点阵是反映晶格平移对称性的分位点的无限阵列；<点阵>+<基元>=<晶体结构> 10.什么是点阵的基矢？什么是破缺的平移对称性？-对于一个给定的点阵，可以使矢量332211→→→→++=a l a l a l R l 的三个不共面的基本平移矢量a1、a2、a3；晶格并不对任意的平移不变，而只对一组离散平移矢量RL （L 为小写取整数）具有不变性的性质。 11.对于一个点阵通常可以定义哪三种元胞？-初基元胞、单胞、维格纳-塞茨元胞（W-S 元胞） 12.画图表示sc 、bcc 、fcc 点阵的基矢和元胞的选择方式。-课本P8, 13.按通常约定，写出sc 、bcc 、fcc 点阵的基矢和元胞体积。-元胞的体积：)(321→→→??=Ωa a a =a^3 sc:a1=ai,a2=aj,a3=ak; bcc:a1=a/2(-i+j+k),a2=a/2(+i-j+k),a3=a/2(+i+j-k);fcc:a1=a/2(j+k),a2=a/2(k+i),a3=a/2(i+j) P9 14.什么是单胞？什么是晶轴？什么是晶格常数？-单胞：为直观反映点阵的宏观对称性而选择的一个非初基元胞；晶轴：单胞的三条棱a 、b 、c ；晶格常数：长度a 、b 、c 15.sc 、bcc 和fcc 点阵的单胞和初基元胞有什么关系？-sc 点阵：单胞体积=初基元胞体积；bcc 点阵：单胞体积=2倍初基元胞体积；fcc 点阵：单胞体积=4倍初基元胞体积 16.简要说明维格纳-塞茨（W-S ）元胞的构造过程。-把结点同所有其他结点用直线连接起来，做这些连线的中垂面，这些面包围的最小多面体，构成W-S 元胞 17.什么是晶列？什么是晶向指数？什么是晶面？-点阵的结点看成分布在一系列相互平行的直线上，这些直线称为一族晶列；如果一个结点沿某晶列方向到最近邻结点的平移矢量为332211→→→→++=a l a l a l R l ，则记[L1L2L3]为晶向指数；点阵的结点看成分布在一系列平行且等距的平面上，这些平面称为一族晶面； 18.在sc 点阵中表示出[100]、[110]和[111]等晶向。P12 19.试在sc 点阵中标出（100）、（110）和（111）三个晶面族。P14 20.晶面指数和密勒指数有什么不同？-晶面指数：以基矢为坐标系，密勒指数：以单胞的三条棱为坐标系 21.什么是正空间？什么是倒空间？什么是正点阵？什么是倒点阵？-正空间：坐标空间；倒空间：坐标空间的傅里叶变换；正点阵：用来描述晶体正空间的性质的晶体的点阵；倒点阵：正点阵的傅里叶空间 23.证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方、面心立方的倒格子是体心立方。-倒格矢分别用b1、b2、b3表示。 把a1、a2、a3带入上式可得： 《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原着、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。 固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。 4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1，单斜2，正交 4，四角 2，立方3，三角1，六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能 量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 6.惰性气体晶体：惰性气体所形成的晶体是最简单的晶体，其晶态原子的电子分布非常接近于自由态原子的电子分布，在晶体中，这些惰性气体原子尽可能紧密地堆积在一起。惰性气体原子具有闭合电子壳层，电荷分布是对称的。 7.德拜模型：德拜模型是德拜提出的计算固体热容的原子振动模型。1912年，德拜改进了爱因斯坦模型，考虑热容应是原子的各种频率振动贡献的总和，得到了同实验结果符合得很好的固体热容公式。德拜模型把原子排列成晶体点阵的固体看作是一个连续弹性媒质，原子间的作用力遵从胡克定律，组成固体的 n个原子在三维空间中集体振动的效果相当于3n个不同频率的独立线性振子的集合。 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈体心立方3π/ 8 ≈面心立方2π/ 6 ≈六方密排2π/ 6 ≈金刚石3π/16 ≈ 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ； 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α= 2ln 2 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有 根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。 则马德隆常数为 当x =1时，有 所以α= 2ln 2 第一章 晶体结构 1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。 （1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3 2R ， 所以 ()33 344330.526 2n R R K V R πππ?==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4 个原子半径，所以a = 33 3 44 2330.68n R R K V ππ??===? ?? （3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a, 所以a = 33 3 444330.74n R R K V ππ??====? ?? (4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线 1 4 长，体对角线为8R = 33 3 448330.34n R R K V ππ??===? ?? 2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。 09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目 至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 210991803 3、证明：倒格子原胞体积为()3 * 2c v v π= ，其中v c 为正格子原胞的体积。 4、证明正格子晶面 与倒格矢 正交。 5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。 见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。 密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。 [截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数( )。 [截a1, a2, a3.] 注意： a) 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； b) 所有等价的晶面(001)以{001}表示； c) 晶面不一定垂直于晶向(其中li=hi)；仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向； d) 对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=，但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。如 AsGa 的（111 速度，生长速度等就不一样。 解：（1FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:11 1 :11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 () 321h h h 332211b h b h b h K h ++=固体物理习题与答案
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