数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶
1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 543
32-+, (x →0，x →∞)；
(2) u (x ) = x x x x
524
3
23+- (x →0，x →∞)；
(3) u (x ) = x
3
+
x
2
3
(x →0+，x →+∞)；
(4) u (x ) = x x x
++
(x →0+，x →+∞)；
(5) u (x ) = 13+x
- 123
+x
(x →0，x →+∞)；
(6) u (x ) = x
2
1+ - x (x →+∞)；
(7) u (x ) = -
3
2
x (x →0+)；
(8) u (x ) =
1+x x
-
e
2x
(x →0+)；
(9) u (x ) = ln cos x - arc tan x
2
(x →0)；
(10) u (x ) =
x
tan 1+ -
1-sin x
(x →0)。
解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。
（2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～
)
(3
1∞→x x 。
（3）)(x u ～)0(3
2
+→x x ；)(x u ～)(2
3
+∞→x x 。 （4）)(x u ～)0(81
+→x x ；)
(x u ～)(21
+∞→x x 。
（5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～
)(321
+∞→x x 。
（6）)(x u ～
)(2
11
+∞→-x x
。
（7）)(x u ～)0(21
+→x x 。
（8）)(x u ～)0(2+→-x x 。
（9）)(x u ～)0(2
32
→-
x x 。
（10）)(x u ～)0(→x x 。
2. (1) 当x →+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进
行排列，并说明理由。
a
x
(a ＞1),
x
x
,
x
α
(α＞0)， ln k x
(k ＞0)， [x ]!；
(2) 当x →0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进
行排列，并说明理由。
x
α
(α＞0)，
!11??
????x ,
a
x
-
1 (a ＞1)，x
x 11-
??
?
??,
??
?
??-x k
1ln
(k ＞0)。
解（1）当x →+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为
ln k
x
(k ＞0)，x α (α＞0)，a x (a ＞1), [x ]!,
x
x
。
证明： 设1+<≤n x n ，则n
x
a
n a
x α
α)1(0+<
<
，!
]!
[01
n a
x a
n x
+<
<
，
n
x
n
n x
x )!1(]![0+<<。
由∞
→n lim
)1(=+n
a
n α
，∞
→n lim
!
1
=+n a
n 与∞
→n lim
)!1(=+n
n
n ，即得到
x
x a
x α+∞
→lim
=，
∞
→n lim
]!
[=x a
x
，∞
→n lim
0]![=x
x
x ，同时也得到α
x
x
k
x ln lim
+∞
→0)
(lim
==+∞
→y
k y e y
α )ln (x y =。
（2）当x →0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为
x
x 11-??
?
??,
!11??
????x ,
a
x
-
1 (a ＞1)，x α (α＞0)，
??
? ??-x k
1ln
(k ＞0)。
证明：令x
y
1=
，则当x →0+时，有+∞
→
y 。参考（1）的排列即可得
到（2）的排列。 3. 计算下列极限：
⑴ lim x →0
112132
3
+-
++x x
x ln()
； ⑵ lim
x →0
11--cos cos
x
x
；
⑶
lim
x →+∞
(
x x x
++
-x
)； ⑷ lim x →+∞
(12
++x x
-
12
-+x x
)；
⑸ lim
x →α
a
a
x x
--α
α
(a ＞0)；
⑹ lim
x a
→x
a
x a
α
α
-- (a ＞0)； ⑺ lim
x →+∞
x ( ln (1+x ) - ln x )；
⑻ lim
x a →ln ln x a x a
-- (a ＞0)；
⑼ lim x →0
(e
)x x
x
+1；
⑽ lim x →02
12
2cos x
x x ???
? ??-
；
⑾ lim n
→∞
n (x n - 1) (x ＞0)； ⑿ lim n
→∞
n
2
(x n -
x
n +1
) (x ＞0)。
解（1）lim
x →0
=++-
+)31ln(2113
2
x x
x lim
x →0
)
31ln()
121()11(3
2
x x
x +-+--+
lim
→=x =
-
x
x
x 3322
12
6
1。
（2）lim
x →0
=--x
x
cos
1cos 1lim
x →0
=+
--)
cos 1)(cos
1(cos 1x x x
lim
x →0
=+
)
cos 1(2121
2
x x x
。
（3）lim x →+∞(x x x
++-
x
)+∞
→=
x lim
=+
+
+
+x
x x x x x lim
x →+∞
=
x
x 22
1。
（4）lim x →+∞(12
++x x
-
2
1x
x +-)+∞
→=
x lim
=+-+++2
2
112x
x x
x x
1。
（5）α
→x lim
=--α
α
x a
a
x
α
→x lim
=---α
α
αx a
a x )
1(α
→x lim
()ln a x a
x α
αα
-=-a
a ln α
。
（6）lim
x a
→=--a
x a
x α
α
lim
x a
→=--a
x e a a
x )
1(ln
αα
lim
x a
→a
x a
a x a --+
)
1ln(αα
a
x →=lim
=--?
a
x a
a
x a αα
1
-ααa
。
（7）lim x →+∞
x ( ln (1+x ) - ln x )=+
=
+∞
→x
x x 1)11ln(lim
1。
（8）lim
x a
→ln ln x a x a
--lim
x a
→=
--+
a
x a a
x )1ln(a
1。
（9）lim x →0
=+x
x x 1
)e (lim x →0
=-++x x
x 1
)1e 1(lim x →0
=+x x 1
)21(2
e
。
（10）lim x →0=???
? ??-
2
12
2cos x
x x lim x →02
1
2
2)cos 1(1x x x ???
? ??---0lim →=x ()
=-2
12
1x
x
1
-e
。
（11）lim n →∞
n (
x
n
- 1))1(lim ln 1
-=
∞
→x
n
n e
n =?
=∞
→)ln 1(lim x n
n n x
ln 。
（12）lim n
→∞
n
2
(x n -
x
n +1
)
???
?????---=+∞
→)1()1(lim ln 1
1
ln 12x n x n n e e n
=?????
???? ??+-=∞→111
ln lim 2n n x n n x ln 。
习 题 3.4 闭区间上的连续函数
1. 证明：设函数f x ()在),[+∞a 上连续，且lim
x →+∞
f x ()
= A （有限数），则
f x ()
在),[+∞a 有界。
证 由lim
x →+∞
f x ()
= A （有限数），可知a
X
>?，X
x >
?：1)(<-A x f ，即
1)(1+<<-A x f A 。再由)(x f 在闭区间],[X a 上的连续性，可知)(x f 在
]
,[X a 上有界，即
]
,[X a x ∈?：
B
x f <)(。令
}
1,m a x {+=A B M ，
}1,min{--=A B m ，则[)+∞∈?,a x ，成立M x f m <<)(。
2. 证明：若函数f x ()在开区间),(b a 上连续，且f (a +)和f (b -)存在，则它可取到介于f (a +)和f (b -)之间的一切中间值。 证 令
??
?
??=-=+∈=b x b f a
x a f b a x x f x f )()()
,()()(~，
则)(~
x f 在闭区间],[b a 连续，不妨设)
()(-<+b f a f ，由闭区间上连续函
数的中间值定理，可知
)(~
x f 在闭区间],[b a 上可取到)]
(),([-+b f a f 上的
一切值，于是f x ()在开区间),(b a 上可取到介于f (a +)和f (b -)之间的一切中间值。
3. 证明：若闭区间],[b a 上的单调有界函数f x ()能取到 f (a )和f (b )之间的一切值，则f x ()是],[b a 上的连续函数。
证 采用反证法。不妨设)(x f 单调增加。若),(b a ∈ξ是)(x f 的不连续点，则)(-ξf 与)(+ξf 都存在，且)()()()(b f f f a f ≤+<-≤ξξ，于是)(x f 取不
到开区间))(),
((+-ξξf f 中异于)(ξf 的值，
与条件矛盾；若a x =是)(x f 的
不连续点，则)(+a f 存在，且)()()(b f a f a f ≤+<，于是)(x f 取不到开区
间))(),
((+a f a f 中的值，也与条件矛盾；同样可以证明b x =也不可能是
)(x f 的不连续点。
4. 应用Bolzano-Weierstrass 定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。
证 采用反证法。设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，但无界，则存在点列
{}n x ，],[b a x n
∈，满足n x f n >)(，即∞
=∞
→)(l
i m n n x f 。由Bolzano-Weierstrass
定理，存在子列{}k
n x ，ξ
=∞
→k n k x lim ，且],[b a ∈ξ。因为)(x f 在点ξ连续，
所以有)()(lim
ξf x f k n k =∞
→，与∞
=∞
→)(lim n n x f 产生矛盾。
5. 应用闭区间套定理证明零点存在定理。
证 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()(
0)(b f 。
如果0)2
(
1
1=+b a f ，则定理得证。如果0)2
(
1
1<+b a f ，则令2
1
12b a a +=
，
12b b =；如果0)2
(
1
1>+b a f ，则令12a a =，2
1
12b a b +=
。 如果0)2
(
2
2=+b a f ，则定理得证。如果0
)2
(
2
2<+b a f ，则令2
2
23
b a a +=，
23b b =；如果0)2
(
2
2>+b a f ，则令23a a =，2
2
23b a b +=
。
,
这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个k ，使得0
)2
(=+k
k b a f ，
则定理得证；如果不存在某个k ，使得0
)2
(
=+k
k b a f ，则得到一个闭
区间套{}],[n n b a ，满足0)(
在唯一属于所有闭区间],[n n b a 的点ξ，且=∞
→n n a lim ξ
=∞
→n n b lim 。再由)(x f 在
点ξ的连续性，可知=
)(ξf 0)(lim ≤∞
→n n a f 与=)(ξf 0)(lim ≥∞
→n n b f ，
从而得到0)(=ξf ，定理得证。
6. 证明方程b
x a x +=sin （0,>b a ）至少有一个正根。 证 令
b
x a x x f --=sin )(，则
)
(x f 在),0[+∞上连续。取b
a A +>
，则
0)0(
证 令q px x x f ++=
3
)(，则)(x f 在),(+∞-∞上是严格单调增加的。由
-∞
=-∞
→)(lim
x f x ，
+∞
=+∞
→)(lim
x f x ，易知)(x f 在),(+∞-∞上有且仅有一个
实根。 8．证明：
（1）sin 1
x 在（0,1）上不一致连续，但在(a ,1)(a ＞0)上一致连续；
（2）sin x 2在),(+∞-∞上不一致连续，但在[0,A ]上一致连续； （3）
x
在[)0,+∞上一致连续；
（4）ln x 在[)+∞,1上一致连续； (5)
x
cos
在[)0,+∞上一致连续。
证（1）在)1,0(上，令π
n x n 1'
=，2
1"
π
π+
=
n x n
，0
"
'
→-n n x x ，但
11sin
1sin "
'
=-n
n
x x ，所以sin 1
x
在（0,1）上不一致连续。
在)1,(a (a ＞0)上，0>?ε，取0
2
>=εδa ，
)1,(,21a x x ∈?，δ
<-21x x ，
成立
2
212
1
2
1
111sin
1sin
a
x x x x x x -≤-≤-ε
<，
所以sin 1
x
在(a ,1) (a ＞0)上一致连续。
（2）在),+∞∞-上，令2
'
ππ+
=
n x n ，π
n x n
="
，则0
"
'
→-n n x x ，但
()
()
1sin sin 2
"2
'
=-n
n
x x ，
所以sin x 2在),(+∞-∞上不一致连续。
在],0[A 上，0>?ε，取0
2>=
A
ε
δ，],0[,21A x x ∈?，δ
<-2
1x x ，成
立
212
22
12
22
12sin sin x x A x x x x -≤-≤-ε
<，
所以sin x 2在[0,A ]上一致连续。
（3）
0>?ε，取02
>=ε
δ，[)+∞∈?,0,21x x ，δ
<-21x x ，成立
2121x x x x -≤
-
ε
<，
所以
x
在[)0,+∞上一致连续。
（4）
0>?ε，取0
>=εδ，[)+∞∈?,1,21x x ，δ
<-≤
210x x ，成立
2122
1211ln ln ln x x x x x x x -≤???
?
??-+=-ε<，
所以ln x 在[)+∞,1上一致连续。
（5）
0>?ε，取02
>=ε
δ，[)+∞∈?,0,21x x ，δ
<-21x x ，成立
212121cos
cos
x x x x x x -≤
-
≤
-ε
<，
所以x
cos
在[)0,+∞上一致连续。
9．证明：对椭圆内的任意一点P ，存在椭圆过P 的一条弦，使得P 是该弦的中点。
证 过P 点作弦，设弦与x 轴的夹角为θ，P 点将弦分成长度为)(1θl 和
)(2θl 的两线段，则)()()(21θθθl l f -=在[]π,0连续，满足)()0(πf f -=，于
是必有∈0θ[]π,0，满足0)(0=θf ，也就是)(01θl )(02θl =。
10．设函数f x ()在[0,2]上连续，且f (0) = f (2)，证明：存在]2,0[,∈y x ，
1=-x y ，使得)()(y f x f =。
证 令)()1()(x f x f x F -+=，则)(x F 在[]1,0上连续，)0()1(F F -=，于是必
有]1,0[0∈x ，满足0)(0=x F 。令100+=x y ，则]2,0[,00∈y x ，100=-x y ，
使得)()(00y f x f =
。
11．若函数f x ()在有限开区间),(b a 上一致连续，则f x ()在),(b a 上有界。 证 由f x ()在),(b a 上一致连续，可知)(+a f ，)(-b f 存在且有限。令
??
?
??=-=+∈=b x b f a
x a f b a x x f x f )()()
,()()(~，
则)(~
x f 在闭区间],[b a 连续，所以)(~
x f 在],[b a 有界，因此f x ()在),(b a 上有界。 12．证明：
（1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 证（1）设函数)(x f ，)(x g 在区间I 上一致连续，则0>?ε
，0
>?δ
，
I
x x ∈?",'，δ
<-"
'x x ，成立
2
)"()'(ε
<
-x f x f ，2
)
"()'(ε
<
-x g x g ，于是
ε
<+-+)]"()"([)]'()'([x g x f x g x f ，
所以)()(x g x f +在区间I 上一致连续。 （2）设x
x g x f ==
)()(，区间[)+∞=,0I ，则)(x f ，)(x g 在区间I 上一致
连续，但2
)()(x
x g x f =
在区间I 上不一致连续。
13. 设函数f x ()在],[b a 上连续，且],[,0)(b a x x f ∈≠，证明f x ()在],[b a 上
恒正或恒负。
证 设f x ()在],[b a 上不保持定号，则存在],[",'b a x x ∈（不妨设"'x x <
），
使)'(x f 与)"(x f 不同号，由闭区间上连续函数的中间值定理，必定存 在]",'[x x ∈ξ，使得0)(=ξf ，这就产生矛盾，所以f x ()在],[b a 上必定恒 正或恒负。
14．设函数f x ()在],[b a 上连续，b x x x a n ≤<<<≤
21，证明在],[b a 中
必有ξ，使得
)]()()([1)(21n x f x f x f n
f +++=
ξ。
证 根据闭区间上连续函数的中间值定理，闭区间上连续函数一定能取到最大值和最小值之间任何一个值。由于
)}({min ]
,[x f b a x ∈[]≤+++≤
)()()(121n x f x f x f n
)}({max ]
,[x f b a x ∈，
所以在],[b a 中必有ξ，使得
)]()()([1)(21n x f x f x f n
f +++=
ξ。
15．若函数f x ()在),[+∞a 上连续，且lim
x →+∞
f x ()
= A (有限数)，则f x ()在
),[+∞a 上一致连续。
证 由A
x f x =+∞
→)(lim
，:",',,0X x x a X >?>?>?ε
ε
<-)"()'(x f x f 。由于)(x f
在[]1,+X
a 连续，所以一致连续，也就是
[]:)"'(1,",',10δδ<-+∈?<
[):)"'(,",'δ<-+∞∈?x x a x x ε
<-)"()'(x f x f 。
数学分析试卷及答案6套
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
工资概念与组成部分
【工资概念】劳动部《工资支付暂行规定》劳部发〈1994〉489号第三条规定：工资是指用人单位依据劳动合同的规定，以各种形式支付给劳动者的工资报酬。【工资总额组成】国家统计局《关于工资总额组成的规定》第1号令规定：工资总额组成由下列六部分组成： （一）计时工资包括：1．对已做工作按计时工资标准支付的工资；2．实行结构工资制的单位支付给职工的基础工资和职务（岗位）工资；3．新参加工作职工的见习工资；4．运动员体育津贴。 （二）计件工资包括：1．实行超额累进计件、直接无限计件、限额计件、超定额计件等工资制，按劳动部门或主管部门批准的定额和计件单价支付给个人的工资；2．按工作任务包干方法支付给个人的工资；3．按营业额提成或利润提成办法支付给个人的工资。 （三）奖金包括：1．生产奖；2．节约奖；3．劳动竞赛奖；4．机关、事业单位的奖励工资；5．其他奖金。 （四）津贴和补贴包括：1．补偿职工特殊或额外劳动消耗的津贴、保健性津贴、技术性津贴、年功性津贴及其他津贴：2．各种物价补贴。 （五）加班加点工资包括：按规定支付的加班工资和加点工资。 （六）特殊情况下支付的工资包括：1．根据法律法规规定因病、工伤、产假、计划生育假、婚丧假、事假、探亲假、定期休假、停工学习、执行国家和社会义务等原因按计时工资标准或计时工资标准的一定比例支付的工资：2．附加工资、保留工资。 国家统计局《关于工资总额组成的规定》(国家统计局第1号令) 第一章总则 第一条为了统一工资总额的计算范围，保证国家对工资进行统一的统计核算和会计核算，有利于编制、检查计划和进行工资管理以及正确地反映职工的工资收入，制定本规定。 第二条全民所有制和集体所有制企业、事业单位，各种合营单位，各级国家机关、党政机关和社会团体，在计划、统计、会计上有关工资总额范围的计算，均应遵守本规定。 第三条工资总额是指各单位在一定时期内直接支付给本单位全部职工的劳动
数学分析专题研究试题及参考答案
数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0<
(整理)《中国近现代史纲要》教学大纲.
《高等数学A》教学大纲 （工学类高中生源本科） 课程名称：高等数学/Advanced Mathematics 课程编码：0702002106，0702002206 课程类型：公共基础课 总学时数/学分数： 192/ 12 实验(上机)学时：0 适用专业：汽车、电子、自动化、计算机、机械 先修课程：无制订日期：2005年11月 一、课程性质、任务和教学目标 高等数学A是高等职业技术师范院校各专业学生必修的重要基础理论课，是学习现代科学技术必不可少的基础知识，应用非常广泛，是为培养社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，学生能够达到以下目标： 1、使学生能掌握函数和极限的基本内容和思想精华； 2、使学生能掌握一元函数微积分学的基本内容、重要思想和简单计算； 3、使学生能学会向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学等的基本内容和计算； 4、学生通过学习能为后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础； 5、通过学习逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和基本运算能力。
三、学时分配表 内容学时习题课总学时 第一章函数与极限14-16 2 16-18 第二章导数与微分16 2 18 第三章中值定理及导数应用16 2 18 第四章不定积分12 2 14 第五章定积分14 2 16 第六章定积分应用6-8 2 8-10 第七章向量代数与空间解析几何16 2 18 第八章多元函数微分学及其应用16 2 18 第九章重积分12 2 14 第十章曲线积分与曲面积分16 2 18 第十一章无穷级数16-18 2 18-20 第十二章微分方程14 2 16 合计168-174 24 192-198 五、教学方法与手段 本门课采用完全课堂讲授的教学方式，并辅之以适当的习题课便于对基本概念和理论的理解和掌握，使学生能通过高等数学A的学习，具有一定的抽象推理能力、逻辑推理能力及基本运算能力。
东南大学 2002 年数学分析试题解答
东南大学2002年数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1．()+∞=?∞ →x f x lim ． 解：M x f E x E M >??>?)( , ,0 ,0． 2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限． 解： 二、计算（9分×7=63分） 1．求曲线210 ),1ln(2≤ ≤?=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1 ∫∫∫?=?++?=?+=??+=21 0 21 0 222 1 0 22 213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数， 0≠??z g ，求dx du ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y ，从而 x z z f x y y f x f dx du ?????+?????+??==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ?++?+． 3．求∫dx x x 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ， ∫=dx x x 2)ln (∫?dt e e t t t 22 =∫ =?dt e t t 2t t te e t ????22C e t +??2 C x x x +++?=2ln 2)(ln 2． 4．求()2 0lim x a x a x x x ?+→()0>a ． 解：()2 0lim x a x a x x x ?+→
数学分析课本(华师大三)习题及答案第二十章
第十章 曲线积分 一、证明题 1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()?L ds y ,x f =()L y ,x f 00? 其中L ?为L 的长。 二、计算题 1.计算下列第一型曲线积分: (1) ()?+L ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()?+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3) ?L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22 b y =1在第一象限中的部分; (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1; (5) () ?++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2 1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ?+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周. 2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算 ()?L ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分.
(1)? +L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ??? ??π≤θ≤40的一段; (2)?L xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力. 6.计算第二型曲线积分: (1) ?-L ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2) ()?+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的 一段; (3) ?++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)?+L xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)?++L zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功. 8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功. 9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) ?L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2) ()()() ?-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分 .
数学分析试题及答案解析
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；
B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113
2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分
工科数学分析基础试题
2010工科数学分析基础（微积分）试题 一、填空题 (每题6分，共30分) 1．函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2 x x e x bx a x f bx ，=- →)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。 2．=?? ? ??+∞→x x x x 1lim ， =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3．曲线? ??==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。 4．1=-+xy e y x ，=dy ，='')0(y 。 5．若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ，则=a ，=b 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（ ） （A ）32= a ， （B ）3=a ， (C). 2 3 =a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ） （A ）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数； （D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数； 3．设x x x x f πsin )(3-=，则其（ ） （A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点； 4．设x x x x f 3 )(+=，则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为（ ） 。 （A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim 30=+→x x xf x x ， 则2 0) (1lim x x f x +→为（ ）。 （A ）。 0 （B ）6 1 ， (C) 1 （D ）∞
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 .计算题(共8题，每题9分，共72分)。 因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？ 解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中 目标函数：S 表2 rh 2 r 2, 1. 解: 1 1 求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y x f (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄 y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分) 2. 解: 设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x, y,z) 具有连续的导数和偏导数,求空. dx 对两方程分别关于x 求偏导： y 0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别 dz 丁 f (x dx F F 矽 x y dx y) xf (x y)(dX 1 ), 解此方程组并整理得竺 dx F z dz 0 dx F y f(x y) xf (x y)(F y F x ) (4分) 3. 取，为新自变量及 2 z x y x y 2 解: 2 z 2 x x y J 2 z 看成是 w z y F y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程 ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下： / 、 x y w w(,), , 2 代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2 w W c 2 2w 。 x y 。 2 整理得: (9分) (4分) (9分) 2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在 2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不 相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 （十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→； 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ； 解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 （12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-= 高等数学 第一章函数、极限与连续 一、函数 1. 函数分类 隐函数 F(x, y) = 0; Vx + 77 = 4ci 参数方程表示的函数= 类型分类｛ [y = y (O 积分上限函数 y = [/a )力y = J ：：/(/)d/ 抽象函数 y = /(兀) 歹=/(0(劝) 研究函数的主要问题： 初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。 分析性质：极限、连续性、可微性、 2. 例题(仅限于对应) 引例 = 求 /(/(x)) I +X 解 = 77771 = —^ 1 + /(力 i +丄 1 + X 解?)Ty (:鳥 /(X)= < 兀v 0 x>0 ， 求 /(/(x)) o 初等函数 概念分类＜ 分段函数 /(-V ) sin 血 /(兀)=1 m ? x sin — x 兀HO 可积性 例 2 f(x) = e x ~, /(^(x)) = 1 - x ,且(p{x) > 0 ,求卩(兀)，并写出定义域。 解 f((p(x)) = (v) = 1 -x, (p(x) = Jln(l-兀) l-x>l=>x 数学分析试题与答案 It was last revised on January 2, 2021 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收 敛（ ）. 4. 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大 （ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分） 第九讲无穷级数 9.1级数的知识框架 9.1.1级数的概念与性质 8 1. “[+"2+如+…=工知叫做无穷级数 n=l OO 称无穷级数为知收敛 /?=! 3?性质 1) 工知收敛到则工kun 收敛到上$. n=l n=l 8 8 OO 2) v “收敛到则级数工(知士儿J 收敛到s±(y. /:=! n=\ /:=! 3) 在级数屮去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 4)如果级数工知收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数 n=l (旳 +???+知)+ (叫+1 +???+%) + ??? + (%” +???+%)+??? ⑷ 仍收敛，且其和不变. 9.1.2数项级数 '大收=小收，小发n 大发 极限形式 1?正项级数< 比值法：恤经? = q,g v 1收，q>l 发 、” a n 根植法：lim 甄 ijvl 收，/>1发 积分法：『f(x)dx,Xf(n)同时敛散 2. 片=y w,称为部分和，若lim 片 5) Z n=\ 知收敛，则lim 血 口 T8 =0. 9.1.3函数项级数 收敛半径内绝对收敛 “t 也+』 1. 幕级数 求和 和函数在收敛域内连续，逐项可积, 函数展开成幕级数 2. 付氏级数狄利克雷收敛定理 要求总体理解概念，重点掌握幕级数 9. 2例题 例1判别下列说法正确与否 1） 数列｛%｝与级数工①同吋收敛或同吋发散； //=1 oo oo oo 2） ￡色收敛，￡仇发散，则￡（匕+仇）发散; n=l n=\ n=\ 8 8 OO 3） 丫色发散，工仇发散，则工g+仇）发散; n=l /?=! /?=! 4）工X 收敛，工乞收敛，则丫（色仇）收敛; 71=1 /； = ! 7? = 1 5）工色发散，工仇发散，则工（％仇）发散; n=l //=! ”=1 6）工色收敛’则工尤收敛; 71 = 1 ,1=1 7）工Q ；收敛，则工色收敛; n=l //=! 2. 任意项级数2 任意项级数 绝对收敛，条件收敛 柯西收敛准则 逐项可微数学分析三试卷及答案
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