人教版八年级数学下册18.2.1矩形 同步练习(含答案)
18.2.1 矩形同步练习
一、填空题
1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．
(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四
边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．
(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形
是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．
3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A 角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。
5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC 于点E、F，连结CE，则CE的长______．
二、选择题
6．下列命题中不正确的是( )．
(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半
(B)矩形的对角线相等
(C)矩形的对角线互相垂直
(D)矩形是轴对称图形
7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．
(A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cm
8．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．
(A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm
9．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )
(A) (B) (C) (D)
提高题
三、解答题
10．已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．
11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
12．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。
13．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：AE 平分∠BAD ．
拓展题
14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，．
(1)在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；
(2)若P 为BC 边上一点，且BP ＝2CP ，连结EP 并延长交AB 的延长线于F ． ①求证：AB ＝BF ；
②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。
3
AD
参考答案
1．(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等，经过对边中点的直线；
(3)平行四边形；对角线相等；三个角．
2．5，5． 3． 4．60°． 5． 6．C ． 7．B ． 8．B ． 9．D ．
10．(1)提示：先证OA ＝OB ，推出AC ＝BD ；(2)提示：证△BOE ≌△COF ．
11．(1)略；(2)四边形ADCF 是矩形． 12．7.5．
13．提示：证明△BFE ≌△CED ，从而BE ＝DC ＝AB ，∴∠BAE ＝45°，可得AE 平分∠BAD ．
14．提示：(1)取DC 的中点E ，连接AE ，BE ，通过计算可得AE ＝AB ，进而得到
E B 平分 ∠AEC ．
(2)①通过计算可得∠BEF ＝∠BFE ＝30°，又∵BE ＝AB ＝2
3⋅234⋅6
13
∴AB＝BE＝BF：
②旋转角度为120°．。
人教版数学八年级下册：18.2.1 矩形 同步练习(附答案)
18．2.1矩形第1课时矩形的性质1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD2．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )A．8 B．6 C．4 D．2 3．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10.求：(1)矩形较短边的长；(2)矩形较长边的长；(3)矩形的面积．6．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线．若∠A ＝20°，则∠BDC ＝( )A ．30°B ．40°C ．45°D ．60° 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，点D 是AB 的中点，则CD ＝ ．8．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝12，则HE 等于( )A ．24B ．12C ．6D ．8 9．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E.若OE ∶ED ＝1∶3.AE ＝3，则BD ＝( )A ．2 3B ．4 3C ．4D ．2 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是( )A ．1 B.74 C ．2 D.12511．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E ，F ，连接PB ，PD.若AE ＝2，PF ＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．10 B．12 C．16 D．18 12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积．13．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.M，N在对角线AC上，且AM＝CN，E，F 分别是AD，BC的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．第2课时 矩形的判定1．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是 ．(写出一种情况即可)2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CE ∥AB ，且CE ＝12AB.求证：四边形CDBE 是矩形．3．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AD ∥BC ，AC ＝BD.试添加一个条件 ，使四边形ABCD 为矩形．4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD.求证：四边形ABCD 是矩形．5．如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．6．下列命题正确的是( )A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形B ．四条边相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是矩形7．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ，点E ，F ，G ，H 分别为边AD ，AB ，BC ，CD 的中点．若AC ＝8，BD ＝6，则四边形EFGH 的面积为 ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且BA ＝3，AC ＝4，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为 ．10．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC.若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E 为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.12．如图，在△ABC中，点Q是边AC上一个动点，过点Q作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求QC的长；(2)连接AE，AF.问：当点Q在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案：18．2.1 矩形 第1课时 矩形的性质1．D 2．C 3． 8． 4．2.5_cm ．5．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB. 又∵∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形． ∴AB ＝OA ＝12AC ＝5，即矩形较短边的长为5.(2)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝5，AC ＝10， 则BC ＝AC 2－AB 2＝102－52＝5 3. 即矩形较长边的长是5 3.(3)矩形的面积S ＝AB·BC ＝5×53＝25 3. 6．B 7．3． 8．B 9．C 10．B 11．C12．解：∵BE 为ED 所折， ∴BE ＝ED.∵AD ＝9，设AE ＝x ，则ED ＝BE ＝9－x ，在Rt △ABE 中，AB ＝3，AE ＝x ，BE ＝9－x. ∴BE 2＝AE 2＋AB 2. ∴(9－x)2＝x 2＋32. ∴x ＝4. ∴AE ＝4.∴S △ABE ＝12AB·AE ＝12×3×4＝6.13．证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠BFE ＋∠BEF ＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°.∴∠BEF ＝∠CFD. 在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD(ASA)． ∴BF ＝CD.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD. 在△ABM 和△CDN 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD ，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O. 在△AEO 和△CFO 中，⎩⎨⎧∠EOA ＝∠FOC ，∠EAO ＝∠FCO ，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)． ∴EO ＝FO ，AO ＝CO. ∴O 为EF ，AC 中点．∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.第2课时 矩形的判定1．答案不唯一，如：AD ＝BC 或AB ∥CD 等． 2．证明：∵AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴CD ⊥AB ，AD ＝BD ＝12AB.∴∠CDB ＝90°. ∵CE ＝12AB ，∴CE ＝BD. ∵CE ∥AB ，∴CE ∥BD.∴四边形CDBE 为平行四边形．又∵∠CDB ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形．3．答案不唯一，如：AB ∥CD4．证明：∵在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AC ＝2AO ，BD ＝2OD.∵OA ＝OD ，∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC.∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别是∠DAB ，∠ADC 的平分线，∴∠FAD ＝∠BAE ＝12∠DAB ， ∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC. ∴∠FAD ＋∠FDA ＝90°.∴∠AFD ＝90°.同理：∠BHC ＝∠HEF ＝90°.∴∠AFD ＝∠BHC ＝∠HEF ＝90°.∴四边形EFGH 是矩形．6．A7．A8． 12．9．125． 10．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ＝BC.∴∠BAE ＝∠CFE ，∠ABE ＝∠FCE.∵E 为BC 的中点，∴EB ＝EC.∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF.又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．∵AD ＝BC ，AD ＝AF ，∴BC ＝AF.∴四边形ABFC 是矩形．11．证明：(1)∵AB ∥DC ，FC ＝AB ，∴四边形ABCF 是平行四边形．又∵∠B ＝90°，∴四边形ABCF 是矩形．(2)∵四边形ABCF 是矩形，∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.∴∠DAF ＝90°－∠D ，∠CGF ＝90°－∠ECD.∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∴∠DAF ＝∠CGF.又∵∠EGA ＝∠CGF ，∴∠DAF ＝∠EGA.∴EA ＝EG.12．解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ， ∴∠QCE ＝∠BCE ，∠QCF ＝∠DCF.∵EF ∥BC ，∴∠QEC ＝∠BCE ，∠QFC ＝∠DCF.∴∠QEC ＝∠QCE ，∠QFC ＝∠QCF.∴QE ＝QC ，QF ＝QC.∴QE ＝QF.∵∠QCE ＋∠BCE ＋∠QCF ＋∠DCF ＝180°，∴∠ECF ＝90°.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴QC ＝QE ＝12EF ＝5. (2)当点Q 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连接AE ，AF.当Q 为AC 的中点时，AQ ＝CQ ，∵EQ＝FQ，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．。
2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.1矩形 同步练习 (含解析)
18.2.1矩形同步练习一．选择题1．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（）A．∠A+∠B＝180°B．∠B+∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D2．如图，矩形ABCD的长BC＝20cm，宽AB＝15cm，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则AE、ED的长分别为（）A．15cm和5cm B．10cm和5cm C．9cm和6cm D．8cm和7cm3．取一张长方形纸片，过长方形的任意一个顶点将纸片折叠（只折一次），那么折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．不确定4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE ＝EO，则AD的长是（）A．6B．2C．3D．25．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连接BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED ＝α+β，下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°7．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC＝2，∠DAO＝30°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．8．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C 处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.210．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④CF＝DF；⑤BC﹣CF＝2HE，其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题11．如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为．12．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A、C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E，F都在CD上，点P在AD上，连接PE，若EF＝PE，∠FBP＝∠ABP，2∠APB+∠DPE＝180°，则线段AP的长为．14．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，△CEF为等腰直角三角形，CE＝EF，∠CEF＝90°，∠BAD的平分线交CF于点H，连接BH．若BH＝，AF＝，则△ABH的面积为．15．如图，矩形ABCD，O为对角线交点，以AO，AB为邻边作平行四边形ABC1O，AC1交OB 于点O1；以AO1，AB为邻边作平行四边形ABC2O1…，若S矩形ABCD＝a，则＝．三．解答题16．如图，点E在矩形ABCD的边BC上，延长EB到点F，使BF＝CE，连接AF．求证：AD ＝EF．17．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．参考答案一．选择题1．解：A、当∠A+∠B＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；B、当∠B+∠C＝180°时，不可判断平行四边形ABCD成为矩形；C、当∠A＝∠B时，∠A＝∠B＝90°，可判定平行四边形ABCD是矩形；D、当∠B＝∠D时，不可判断平行四边形ABCD是矩形；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝20cm，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE＝15cm，∴DE＝AD﹣AE＝5cm，故选：A．3．解：如图所示：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAD＝90°，∵AE是任意一条折痕，∴∠BAE+∠DAE＝90°，即折痕和该顶点所在的长方形的两边所成角的关系是互余；故选：A．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，故选：B．5．解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，∴MB＝MD，设MD长为x，则MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴MD长为5．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，∴α+β+γ＝90°，∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，∴2α+β＝90°，∴α+β+γ＝2α+β，∴α＝γ，故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴∠AOD＝120°，∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝，∴OF＝tan30°×BO＝1，∴CF＝1，故选：A．8．解：∵四边形CDEF为矩形，∴EF∥DC，∴∠AGE＝∠1＝50°，∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．故选：B．9．解：如图，设A′B′交AC于点E，tan∠DAC＝＝，设AA′＝x，A′D＝2﹣x，∵AD＝2，DC＝3，∴＝，∴A′E＝x，∵两个三角形重叠部分的面积是S＝AE×A′D＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，解当x＝1时，阴影部分的面积最大，AA′＝1，故选：A．10．解：①设AB＝a，则AD＝a，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．∴在Rt△ABE中，AE＝a，∴AE＝BE．①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD＝a，∴DH＝AH＝a．∴DH＝DC．根据到角两边距离相等的点在角的平分线上定理可知DE平分∠AEC，即②∠AED＝∠CED 正确；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB．∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°．又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD．∠HEB＝∠FDH＝45°，又BE＝DH＝a，∴△BHE≌△HFD（AAS），∴BH＝HF，③正确；④由△BHE≌△HFD得到HE＝DF，HE＝AE﹣AH＝，则CF＝a﹣（）＝2a﹣，∴，即CF＝DF，∴④错误；⑤BC＝a，CF＝2a﹣，HE＝，∴BC﹣CF＝2HE，∴⑤正确；综上所述，正确的是①②③⑤共4个．故选：B．二．填空题11．解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4．故答案为：4．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠F AH＝∠AED，∵∠ADE＝∠AHF＝∠DAF＝90°，AD＝2，FH＝2，∴AD＝FH，∴△ADE≌△F AH（AAS），∴AF＝AE，∵AE∥CF，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF＝AE，∴四边形AECF是菱形，设DE＝x，则BF＝x，CE＝CF＝3﹣x，在Rt△BCF中，（3﹣x）2＝x2+22，解得x＝；故答案为：．13．解：分别延长PE、BF，交于点G，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝6，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，BC＝AD＝6，AB＝CD＝8，∵2∠APB+∠DPE＝180°，∴∠APB＝∠GPB．在△P AB和△PGB中，，∴△P AB≌△PGB（ASA），∴PG＝P A，∠A＝∠G＝90°，在△DPG和△EFG中，，∴△DPE≌△GFE（AAS），∴DP＝DG，∴PE+GE＝DE+EF，即PG＝DF，∴PG＝DF＝P A，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，∴GF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣GF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP＝．故答案为：．14．解：如图，连接EH，延长AH交DC的延长线于N，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（SAS），∴AE＝CD，DE＝AF＝，∴AE＝CD＝AB，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠DAN＝∠N＝45°，∴AD＝DN，∴AF＝CN，在△AFH和△NCH中，，∴△AFH≌△NCH（AAS），∴FH＝HC，又∵∠ABC＝90°，∴BH＝FH＝HC＝，∴CF＝2，设BF＝x，则AB＝+x，∴AD＝2+x＝BC，∵CF2＝BF2+BC2，∴40＝x2+（2+x）2，∴x＝2，（负值舍去），∴BF＝2，BC＝4，∴BF＝2AF，∴S△AFH＝S△BFH，∵S△BFC＝×BF×BC＝×2×4＝8，∴S△BFH＝4，S△AFH＝2，∴S△ABH＝2+4＝6，故答案为：6．15．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABC1O是平行四边形，∴S△ABO＝S矩形ABCD，S△ABO＝S，∴S＝S矩形ABCD＝，同理可得：平行四边形ABC2O1的面积＝，平行四边形ABC3O2的面积＝，…∴平行四边形ABC2020O2019的面积＝．故答案为：．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵EF＝BF+BE，∵BC＝CE+BE，BF＝CE，∴EF＝BC，∴AD＝EF．17．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．。
18.2.1【同步练习】《矩形》(人教版)
《正方形》同步练习1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；(2)____________________________________的矩形是正方形；(3)____________________________________的菱形是正方形；4．对角线________________________________的四边形是正方形．5．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．6．延长正方形ABCD 的BC 边至点E ，使CE ＝AC ，连结AE ，交CD 于F ，那么∠AFC 的度数为______，若BC ＝4cm ，则△ACE 的面积等于______．7．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为F 、G ，如果cm 25 AB ，那么EF ＋EG 的长为______．8．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则PQ 的长为( )(A)12(B)13 (C)14 (D)159．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )cm 2．(A)6(B)8 (C)16(D)不能确定10．已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、M 、N 分别在AB 、BC 、AD 边上，CE ＝MN ， ∠MCE ＝35°，求∠ANM 的度数．。
人教版八年级数学下册《18.2.1矩形》同步提升训练(带答案)
人教版八年级数学下册《18.2.1矩形》同步提升训练(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对边相等B ．对角相等C ．邻边相等D ．对角线相等 2．矩形ABCD 中，AB=3，AC=4，则BD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果25ADB ∠=︒，那么AOB ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 都是矩形，而且点B 在EF 上，这两个矩形的面积分别是1S 和2S ，则1S ，2S 的关系是（ ）A ．12=S SB ．12S S <C ．12S S >D ．无法确定5．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，若AO AB =，则ACB ∠的度数为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒6．如图，将矩形纸片ABCD 沿BD 折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ．若125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒则这个矩形的面积为（ ）8．如图，已知OP 平分AOB ∠，60AOB ∠=︒和4PE =，PD OA ⊥于点D ，PE OB ⊥于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如图，在ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM=DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA 后得1A ．1B ．2C ．2D ．3二、填空题11．矩形的短边长为5cm ，长边是短边的2倍，则矩形的周长是 ．12．在矩形ABCD 中，作B ∠的平分线交直线AD 于点E ，则BED ∠是 度． 13．如图，矩形ABCD 中，AB=3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为 ．14．如图，矩形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，且2AB =，BC=4，则BCO 的面积为 ．15．如图，四边形ABCO 是矩形，其中点A 和点C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为()125，，CAO ∠的平分线与y 轴相交于点D ，则D 点的坐标为 ．三、解答题16．已知，如图所示，折叠长方形OABC 的一边BC ，使点B 落在AO 边的点D 处，已知()10,8B ，求：(1)求D 的坐标；(2)求E 的坐标．17．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，E ，F 分别是OC ，BC 的中点．若5cm EF =，求AC 的长．18．如图，点E 是长方形ABCD 的边CD 延长线上一点，连接AE ，点F 是边AD 上一个动点，将AEF △沿EF 翻折得到PEF ，已知1AB =，AD=4，DE=3(1)求AE 的长；(2)若点P 落在DC 的延长线上，求AEF △的面积；(3)若点P 落在射线BC 上，求AF 的长.参考答案：1．C2．C3．A4．A5．A6．D7．A8．D9．D10．C 11．30cm 12．45或135 13．33 14．215．12 0,5⎛⎫ ⎪⎝⎭16．(1)()6,0(2)()10,3 17．20cmAC= 18．(1)5(2)15 4(3)1或25 7。
人教版八年级数学下册18.2.1矩形同步配套练习【含答案】
人教版八年级数学下册18.2.1矩形同步配套练习1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)A．30° B．60° C．90° D．120°3．如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF ⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)A．△AFD≌△DCE B．AF＝12ADC．AB＝AF D．BE＝AD－DF4．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)A．18° B．36°C．45° D．72°5．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是(D)A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD6．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B) A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④7．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF 交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)A．2 3 B．33C．4 D．438．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD ＝5cm.10．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为11．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．12．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长.解：由题意得：DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AC.∵HF是Rt△AHC的斜边AC的中线，∴HF＝12AC.∴HF＝DE＝5 cm.13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF. 在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF(SAS)． ∴AE ＝CF.(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB. ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形． ∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63， ∴S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝6×63＝36 3.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．解：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.又∵四边形ADBE 是平行四边形， ∴四边形ADBE 是矩形．15．如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB ＝BE ，连接BD ，DE ，EC ，DE 交BC 于点O.(1)求证：△ABD ≌△BEC ；(2)若∠BOD ＝2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠EBC. 在△ABD 和△BEC 中，⎩⎨⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS)．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ，BE CD.∴四边形BECD 为平行四边形． ∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED. ∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ， 且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED. ∴四边形BECD 是矩形．16．如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B ＝90°，F 为DC 上一点，且FC ＝AB ，E 为AD 上一点，EC 交AF 于点G.(1)求证：四边形ABCF 是矩形； (2)若ED ＝EC ，求证：EA ＝EG.证明：(1)∵AB ∥DC ，FC ＝AB ， ∴四边形ABCF 是平行四边形． 又∵∠B ＝90°，∴四边形ABCF 是矩形． (2)∵四边形ABCF 是矩形， ∴∠AFC ＝∠AFD ＝90°.∴∠DAF ＝90°－∠D ，∠CGF ＝90°－∠ECD. ∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∥∴∠DAF＝∠CGF.又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.∴EA＝EG.。
人教版八年级数学 下册 第十八章 18.2.1 矩形 课时练(含答案)
D ACF OEB第十八章 平行四边形18.2.1 矩形一、选择题1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对边相等D ．对角线互相平分 2、在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．对角线互相垂直平分 3、下列命题是真命题的是（ ）；A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.有三个角是直角的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是矩形 4、四边形ABCD 的对角线相交于点O ，下列条件不能判定它是矩形的是（ ） A ．AB=CD ，AB ∥CD ，∠BAD=90° B ．AO=CO ，BO=DO ，AC=BDC ．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D ．∠BAD=∠BCD ，∠ABC=∠ADC=90°5、如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4二、填空题6、长方形ABCD 面积为12，周长为14，则对角线AC 的长为 .7、如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 是AB 上一点，将矩形ABCD 沿CE 折叠后，点B 落在AD 边的点F 上，则AF 的长为________．第7题图 第8题图8、如图,在矩形ABCD 中,AB=3cm ，BC=4cm ，点E 是BC 边上的一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 长为________．9、如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若∠AOD =60°，OB=•4，•则DC=________．第9题图 第10题图10、如图 所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．三、解答题11、如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在DC 上，AE =2BC ，且A E=AB ，求∠CBE 的度数．12、如左下图，矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分∠BAD ,若∠EAO ＝15°, 求∠BOE 的度数．13、如图，A BCD中，∠DAC =∠ADB, 求证：四边形ABCD是矩形.14、如图所示，△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE于E，AF⊥CF 于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？15、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.求证：四边形ABCD是矩形.16、如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF=BD，连接AF，求∠BAF的大小.17、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．18、如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE•是∠CAF的平分线且∠CAF是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE是矩形吗？为什么？19、如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF CE=，且,2EF CE DE cm⊥=，矩形ABCD的周长为16cm，求AE与CF的长．20、如图，ABCD的四个内角的平分线相交于点E、F、G、H.求证：EG = FH.21、已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD 落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．参考答案：一、1、A 2、D 3、C 4、C 5、D二、6、57、48、3或1.59、4310、8cm ,4cm三、11、15°12、∠BOE=○7513、提示：证明AC = BD14、解：四边形AECF是矩形．∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°，点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．15、【提示】由△DAF≌△CBE可知AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据∠A＝∠B，且∠A＋∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°；综上所述，四边形ABCD是矩形.16、解：如图，连接AC，则AC=BD=CF，所以∠F=∠5，而且∠1=∠3∠4=∠6-∠7=∠BEF+∠F-∠7=90°-∠7+∠F=∠1+∠F=∠3+∠5=∠2∴∠4=∠2= =45°，∴∠BAF的度数为45°。
2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.1矩形 同步习题(含解析)
18.2.1矩形同步习题一．选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．对边相等D．对角线相等2．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（）A．5B．C．D．3．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm，6cm，则它的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．15cm2D．48cm24．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE．求AE的长（）A．B．3C．D．5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，AB＝6，∠ACB＝30°则MN的长为（）A．3B．4C．5D．66．如图所示，矩形ABCD中，BC＝2AB，E为BC上的一点，且AE＝AD，则∠EDC的度数是（）A．30°B．75°C．45°D．15°7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是边BC的中点，AO＝，AD＝4，则OE的长为（）A．1B．C．2D．8．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（）A．4.2B．4.5C．5.2D．5.59．如图，长方形ABCD中，F是BC上（不与B、C重合）的任意一点，图中面积相等的三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对10．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠OAD＝55°，则∠OBA的度数为．12．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为AB，OA的中点．若MN＝2，CD＝4，则∠ACB的度数为．13．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为．14．如图，点E是矩形ABCD内任一点，若AB＝4，BC＝7．则图中阴影部分的面积为．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD 于F，则PE+PF的值为_____．三．解答题16．如图，在矩形ABCD中，点F是BC边上一点，DE⊥AF于E，且DE＝DC，求证：△ABF ≌△DEA．17．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若点F是BC的中点，求AE的长．18．如图，已知E是矩形ABCD一边AD的中点，延长AB至点F，连接CE，EF，CF，得到△CEF．且CD＝1，AF＝2，CF＝3．（1）求BC的长；（2）求证：CE⊥EF．参考答案一．选择题1．解：A、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；故选：D．2．解：∵矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，又∵AB＝3，∠ABC＝90°，∴BC＝＝，∴AD＝BC＝，故选：D．3．解：∵直角三角形斜边上中线长6cm，∴斜边＝2×6＝12（cm），∴面积＝×12×4＝24（cm2）．故选：B．4．解：∵DE＝3BE，∴BD＝4BE，∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝DO＝BD＝2BE，∴BE＝EO，又∵AE⊥BO，∴AB＝AO，∴AB＝AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝30°，又∵AE⊥BD，∴AE＝AD＝3，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴BO＝AB＝6，∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN＝BO＝3，故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠ADC＝90°，∵BC＝2AB，AE＝AD，∴AE＝2AB，∴∠AEB＝30°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故选：D．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，AC＝2AO＝2，∠ADC＝90°，∴CD＝＝＝2，∵E是边BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE＝CD＝1，故选：A．8．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠1＝∠E．又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠E．∴BE＝BD．∵AE＝10，∴BD＝BE＝10﹣AB．在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB＝＝．∴AB＝4.2．故选：A．9．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝S矩形ABCD，∴S△ABD＝S△AFD＝S矩形ABCD，S△ABF＝S△BFD，∴S△ADF＝S△BCD，S△ABE＝S△DEF，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD＝BD＝6，∵∠BOC＝120°＝∠AOD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，当OP⊥AD时，OP有最小值，∴OP＝OD＝3，故选：A．二．填空题11．解：∵矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴∠DAB＝90°，DB＝AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵∠OAD＝55°，∴∠ODA＝∠OAD＝55°，∴∠OBA＝90°﹣∠ADB＝90°﹣55°＝35°，故答案为：35°．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵M，N分别为AB，OA的中点，∴BO＝2MN＝4，∴AO＝BO＝AB＝4，∴△ABO是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，故答案为：30°．13．解：设BD与OA交于点E，作DF⊥OA于点F，∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），∴OC＝2，OA＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB，由翻折变换的性质可知，∠DBO＝∠CBO，∴∠OBD＝∠AOB，∴BE＝OE，在Rt△EAB中，设BE＝OE＝x，则AE＝4﹣x，由勾股定理得22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即BE＝，∴OE＝BE＝，在Rt△ODE中，OD＝OC＝2，DE＝BD﹣BE＝4﹣＝，由OE•DF＝OD•DE得וDF＝×2×，∴DF＝，在Rt△ODF中，由勾股定理得OF2＝OD2﹣DF2＝22﹣（）2＝，∴OF＝，∴点D的坐标为（，﹣），故答案为：（，﹣）．14．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝7，设两个阴影部分三角形的底为AD，BC，高分别为h1，h2，则h1+h2＝AB，∴S△EAB+S△ECD＝AD•h1+BC•h2＝AD（h1+h2）＝AD•AB＝矩形ABCD的面积＝×7×4＝14；故答案为：14．15．解：连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AC＝2AO＝2OC，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∴S△AOD＝S△DOC＝S△AOB＝S△BOC＝14S矩形ABCD＝14×6×8＝12，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD＝22226810 AB AD+=+=，∴AO＝OD＝5，∵S△APO+S△DPO＝S△AOD，∴×AO×PE+×DO×PF＝12，∴5PE+5PF＝24，PE+PF＝24 5，故答案为：24 5．三．解答题16．证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥CF，又∵DE＝DC，DE⊥AF，∴DF平分∠CFE，∴∠CFD＝∠DFE，∵CB∥AD，∴∠CFD＝∠ADF，∠AFB＝∠DAE，∴∠DF A＝∠ADF，∴AF＝AD，在△ABF和△DEA中，，∴△ABF≌△DEA（ASA）．17．解：（1）△DEF是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，∴∠BFE＝∠DEF，∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2，∵点F是BC的中点，∴FC＝＝1，Rt△DCF中，∠C＝90°，∴DF＝，∴DE＝DF＝，∴AE＝AD﹣DE＝2﹣．18．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝1，∴AB＝1，∠ABC＝∠FBC＝90°，∵AF＝2，∴BF＝1，∵Rt△CBF中，∠FBC＝90°，BF＝1，CF＝3，∴根据勾股定理得CF2＝BC2+BF2，∴BC＝＝＝，∴BC的长是；（2）证明：矩形ABCD中，AD＝BC＝，∵E是AD的中点，∴AE＝DE＝，∵Rt△AEF中，∠A＝90°，AE＝1，AF＝2，∴根据勾股定理得，EF＝＝，∵Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝1，DE＝1，∴根据勾股定理得，EC＝＝，∵△CEF中，EC＝，EF＝，CF＝3，∴CE2+EF2＝CF2，∴△CEF是直角三角形，∴CE⊥EF．。
2020年人教版数学八年级下册18.2.1矩形同步练习(解析版)
18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形基础闯关全练1．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分 3．如图18-2-1-1．在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA=2，则BD 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1.4．如图18-2-1-2，在矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，AB=1，∠AOB=60º，则AD=_______.5．如图18-2-1-3，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 的中点．若DE=5，则AB 的长为_______.6．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）A ．测量对角线是否互相平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角 D.测量三个角是不是直角7．如图18-2-1-4，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB=CDB ．AC=BDC ．当∠ABC=90º时，它是矩形 D.AC 与BD 互相平分 能力提升全练1．如图18-2-1-5，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ，已知∠BDC=62º．则∠DFE 的度数为（ ）A ．31ºB ．28ºC ．62ºD ．56º2．如图18-2-1-6，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为_______．3．如图18-2-1-7，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P 满足A BCD 矩形PAB △S 31=S ，则点P 到A ，B 两点的距离之和PA+PB 的最小值是_______.三年模拟全练一、选择题1．八年级(3)班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，如图18-2-1-8．计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来红花（ ）A ．48盆B ．49盆C ．50盆D ．51盆2．如图18-2-1-9，已知在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于D ，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，∠BDE=15º，则∠COE 的度数为（ ）A ．75ºB ．85ºC ．90ºD ．65º3．如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．如图18-2-1-10．在△ABC 中，∠C=90º，AC=6，BC=8，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值为（ ）A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.8二、填空题5．如图18-2-1-11，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为矩形，可添加的条件是___________.6．如图18-2-1-12，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5．则EF 的长为_________.三、解答题7．如图18-2-1-13，在△ABC中，D是边BC上的一点，E是AD的中点，过A点作BC 的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.(1)求证：BD=CD；(2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．五年中考全练一、选择题1．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 二、填空题2．如图18-2-1-14，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=6，D是AB的中点，则CD=________．3．如图18-2-1-15，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________．4．如图18-2-1-16，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是矩形．5．如图18-2-1-17，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50º，则∠BEF的度数为________.三、解答题6．如图18-2-1-18，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.(1)求证：AB=AF；(2)若AG=AB，∠BCD=120º，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．核心素养全练1．阅读以下材料，然后解答下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，那么称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图18-2-1-19①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”：(2)如图18-2-1-19②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90º．在图18-2-1-19②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图18-2-1-19③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．2．长与宽之比为2：1的矩形纸片称为标准纸，请思考并解答下列问题：(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图18-2-1-20所示，所得的矩形纸片ABEF 是标准纸，请给予证明．(2)在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上的点F处，折痕为AE(如图18-2-1-21甲)；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上的点N处，折痕为DG(如图18-2-1-21乙)，此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图18-2-1-21丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是不是标准纸，请说明理由．(3)不难发现：将一张标准纸按如图18-2-1-22所示的方式一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=2，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2018次对开后所得标准纸的周长．18.2特殊的平行四边形18.2.1 矩形1．D添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知四边形ABCD 是矩形，故选D．2．C矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．3．A因为矩形的对角线相等且互相平分，OA=2，所以AC=20A=4，BD=AC，所以BD的长为4．4．答案3解析∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∠BAD=90º，∴AO=BO,∵∠A OB=60º，∴AO=BO=AB=1.∴BD=2,∴AD=3122222=-=-ABBD．5．答案10解析∵AD⊥BC，E为AC的中点，∴DE是Rt△ADC斜边上的中线,∴AC=2DE=10.又AB=AC,∴ AB=10.6．D根据有三个角是直角的四边形是矩形可以判定此四边形是矩形．7.B因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AC与BD互相平分，当∠A BC=90º时，它是矩形，所以选项A、C、D中结论正确，故选B．1．D ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∠A DC=90º，∴∠FDB=90º-∠B DC=90º-62º=28º, ∵AD ∥BC,∴ ∠C BD =∠FDB=28º，∵矩形ABCD 沿对角线BD 折叠,∴∠FBD=∠CBD=28º， ∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28º+28º=56º. 2．答案30解析如图，连接AE ，由作图可知MN 垂直平分AC ， ∴EA=EC=3，∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D =90º． ∴在Rt △ADE 中,AD=5232222=-=-DE AE ， ∴在Rt △ADC 中，AC=()()303252222=++=+DC AD .3．答案42解析 如图，设点P 到AB 的距离是h ，则21AB •h=31AB •AD ，即21×4h=31×4×3,∴h=2，可见点P 是直线EF(EF ∥AB,且EF 与AB 间的距离是2)上的动点，作点B 关于EF 的对称点B ′，连接AB ′交EF 于点P ，则此时PA+PB 的值最小，最小值为AB ′=24′22=+BB AB ．一、选择题1．A ∵矩形的对角线互相平分且相等，∴一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点,∴还需要从花房运来红花49-1=48盆，故选A ．2．A 由题意知∠C DE=∠CED=45º，又∠B DE=15º，所以∠CDO=60º，由矩形的特征“对角线相等且互相平分”可知OD=OC ，故△OCD 是等边三角形，从而有OC=OD=CE ，∠DCO=60º，∠OCB=30º，进而求得∠COE=230-180=75º．3.B 因为“平行四边形的两组时角分别相等”“邻角互补”，所以相邻两个角的平分线组成的角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形的四个角都是直角，是矩形．故选B ．4.D 连接PC ，∵PE ⊥CA,PF ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =∠C =90º，∴四边形ECFP 是矩形，∴EF=PC ，∴当PC 最小时，EF 也最小，又∵当CP ⊥AB 时，PC 最小，且AC=6，BC=8，∴由勾股定理得AB=10．因此由等面积法，得PC=1086⨯=⋅AB BC AC =4.8，故选D ． 二、填空题5．答案EF ⊥FC(答案不唯一)解析 连接AC ，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=21AC ，同理，HG ∥AC,HG=21AC ，∴EF ∥HG 、EF=HG 、∴四边形EFGH 是平行四边形，要使四边形EFGH 是矩形，则需有一个角为直角，如EF ⊥FG ．答案不唯一．6．答案5解析 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得AB=2CD=10．根据三角形的中位线性质，可得EF=21AB ，因此EF=5． 三、解答题7．解析 (1)证明：由题意知AF ∥BD,∴∠AFE =∠ECD ，∵E 为AD 的中点，∴AE=DE ，又∠A EF =∠D EC ，∴△AEF ≌△DEC(AAS),∴AF=CD ，又AF=BD ，∴BD=CD. (2)四边形AFBD 为矩形， 证明：∵AB=AC ， 由(1)知BD=CD ， ∴AD ⊥BC(三线合一)， 即∠A DB=90º．又∵AF ∥BD ，AF=BD ，∴四边形AFBD 为平行四边形， ∴四边形AFBD 是矩形， 一、选择题1．B ∵∠A=∠B，AD ∥BC,∴∠A =∠B=90º，故A 选项能判定：∵∠A=∠C 是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B 选项不能判定：∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C 选项能判定，∵AB ⊥B C,∴∠B=90º，故D 选项能判定．故选B ． 二、填空题 2．答案3解析 ∵∠A CB=90º，D 为AB 的中点，∴CD=21AB=21×6=3． 3．答案 25解析 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=10,OD=21BD ，∴OD=5，∵P,Q 分别为AO 、AD 的中点，∴PQ=21OD=25．4．答案AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=9025或∠CDA=9025或∠DAC=9025或AB ⊥BC 等（答案不唯一）解析 根据矩形的判定可知：添加AC=BD 或∠A BC=90º或∠B CD=90º或∠C DA=90º或∠DAC=90º或AB ⊥BC 等条件后可使平行四边形ABCD 是矩形． 5．答案70º解析 依题意得∠B=∠B′=∠B′MD+∠B′EA=90º，所以∠B′EA=90º-50º=40º．所以∠B ′EB=180º-∠B′EA=140º，又∠B ′EF=∠BEF ，所以∠BEF=21∠B ′EB=70º． 三、解答题6．解析(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD,∴∠AFC =∠D CF,∵G 为AD 的中点，∴GA=GD ，又∠A GF=∠DGC ， ∴△AGF ≌△DGC(AAS),∴AF=CD,∴AB=AF. (2)四边形ACDF 是矩形， 证明：∵AF=CD ，AF ∥CD ， ∴四边形ACDF 是平行四边形． ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B AD =∠B CD=120º，∴∠FAG=60º,∵AB=AC=AF ，∴△AGF 是等边三角形，∴AG=GF ， ∵△AGF ≌△DGC,∴ FG=CG=21CF,∵AG=GD=21AD ，∴AD=CF ，∴四边形ACDF 是矩形．1．解析 (1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)如图，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD 、矩形ABEF ．易知，矩形BCAD 、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的2倍，所以，Rt △ABC 的两个“友好矩形”的面积相等．(3)如图，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE 、矩形CAFG 和矩形ABHK ，其中矩形ABHK 的周长最小． 证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，设其面积为S ，矩形BCDE ， CAFG 及ABHK 的周长分别为L ₁，L ₂，L ₃，BC=a ，CA=b ，AB=c ，则L ₁=a S 2+2a,L ₂=b S 2+2b,L ₃=c S2+2c, L ₁-L ₂=(a S 2+2a)-(b S 2+2b)=-ab S 2（a-b ）+2(a-b)=2(a-b)•abSab -,∵ab＞S,a ＞b,∴L ₁-L ₂＞0，即L ₁＞L ₂,同理可得，L ₂＞L ₃,∴L ₁＞L ₂＞L ₃， ∴L ₃最小，即矩形ABHK 的周长最小．2．解析(1)证明：∵矩形纸片ABCD 是标准纸，且AB ＜BC ， ∴2=ABBC. 由对开的含义知AF=21BC ，∴222221==⋅==AC AB BC AB AF AB , ∴矩形纸片ABEF 是标准纸．(2)是标准纸．理由如下：设AB=CD=a ，a ＞0．由图形折叠可知△ABE ≌△AFE ， ∴∠BAE=∠FAE，∴∠DAE=21∠B AD=45º， 由图形折叠知DG ⊥EM ，∴∠A GD=90º,∴△ADG 是等腰直角三角形， 又由图形折叠知DG=CD=a ，∴在Rt △ADG 中，AD=a DG AG 222=+， ∴22==aaAB AD .∴矩形纸片ABCD 是标准纸，(3)∴第5次对开后所得的标准纸的周长为422+， 第2018次对开后所得的标准纸的周长为1008221+．。
八年级数学(下)第十八章《矩形》同步练习(含答案)
八年级数学（下）第十八章《矩形》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是A．对角相等B．对边相等C．对角线相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．2．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是A．∠BAC=∠ACB B．∠BAC=∠ACDC．∠BAC=∠DAC D．∠BAC=∠ABD【答案】D3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是A．2 B．4 C．3D．3【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD．∴△OAB是等腰三角形．∵∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA．∵AB=2，∴OA=2．∵OA=OC，∴AC=4．故选B．4．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是A．3B．2 C．5D．6【答案】C【解析】∵四边形COED是矩形，∴CE=OD，∵点D的坐标是（1，2），∴OD=22125+=，∴CE=5，故选C．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若∠OAE=24°，则∠BAE的度数是A．24°B．33°C．42°D．43°【答案】B6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解析】四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=4，∠D=90°，AB∥DC，∴∠FAC=∠DCA，由折叠的性质得∠FCA=∠DCA，∴∠FCA =∠FAC，∴AF=CF，设AF=CF =x，D′F=8-x，在Rt △AD ′F 中，根据勾股定理得AD ′2+D ′F 2=AF 2，即2224(8)x x +-=，解得5x =， ∴11541022AFC S AF AD =⋅=⨯⨯=△．故选B ． 7．下列条件中，能判定四边形ABCD 是矩形的是 A ．四边形ABCD 中，AC BD = B ．四边形ABCD 中，AC BD ⊥C ．四边形ABCD 中，90A ∠=︒，90C ∠=︒，90D ∠=︒ D ．四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒ 【答案】C8．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①AF =FH ；②BO =BF ；③CA =CH ；④BE =3ED ．正确的是A ．②③B ．③④C ．①②④D ．②③④【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，90BAD ABC ∠=∠=︒，AO =OC ，OD =OB ，AC =BD ，∴AO =OB =OD ，∵AB =1，AD 3BD =2，∴∠ABD =60°，∴△ABO 是等边三角形， ∴AB =OA =OB ，∠BAO =∠AOB =60°，∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF =∠DAF =45°，∵∠DAF =∠AFB ， ∴∠BAF =∠BFA ，∴BF AB OB ==，∴②正确；∵CE ⊥BD ，∴60DOC AOB ∠=∠=︒，∴∠ECO =30°，∵604515FAC ∠=︒-︒=︒ ， ∴15H ACE CAF CAF ∠=∠-∠=︒=∠，∴AC =CH ，∴③正确； ∵CF 和AH 不垂直，∴AF ≠FH ，∴①错误；∵∠CEO=90°，∠ECA=30°，∴1122OE OC OD DE===，BE=3DE，∴④正确，正确的有②③④，故选D．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边上的高和中线，AC=CE=10 cm，则BD=__________．【答案】15 cm10．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为__________．【答案】2.5【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10，BO=DO=12BD，∴OD=12BD=5，∵点P、Q是AO，AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ=12DO=2.5．故答案为：2.5．11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE=34°，则∠DBC为__________度．【答案】56【解析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∴∠ABE+∠DBC=90°，又∵∠ABE=34°，∴∠DBC=56°．故答案为：56．12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，CB/的长为__________．【答案】2或10【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图所示，连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2；②当点B′落在AD边上时，如图所示，此时ABEB′为正方形，∴B'E=AB=3，∴CE=4-3=1，∴Rt△B'CE中，CB2210．综上所述，13B'C的长为210．故答案为：210．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，四边形ABCD为矩形，PB=PC，求证：PA=PD．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC 交BC于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，求△OEC的面积．【解析】（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）如图，作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=12CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=12EC·OF=1．15．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接BE，DF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．（2）结论：四边形EBFD是矩形．理由：∵OD=OB，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．16．如图，已知ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD=4，CD=2，求AC的长．（2）如图，连接AC，∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形，∴AB=BE=CD=2，BC=AD=4，∠AEC=90°，∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE22-=4223∴在Rt△ACE中，AC22+=4(23)27。
人教版八年级下册数学 第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 矩形的判定 同步练习
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形 18.2.1 矩形矩形的判定同步练习1．下列关于矩形的说法中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分2．要想使平行四边形ABCD成为一个矩形，需要添加的条件是( )A．∠A＋∠B＝180°B．∠B＋∠C＝180° C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D3．如图所示，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否垂直 D．测量其内角是否有三个直角5．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，可使四边形EFGH为矩形的条件是( )A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC6．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB7．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积为( )A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 38．若四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝4，AC＝5，那么平行四边形ABCD是形．9．如图是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB＝8cm，AD＝6cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB＝时，四边形ABCD的面积最大，最大值是 cm2.10．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD．由其中三个条件能推出四边形ABCD成为矩形的是(填序号)．11．命题“对角线相等的四边形是矩形”是 (填“真”或“假”)命题．12. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AD＝4，∠AOD＝60°，求AB的长．13. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG ＝AE，连接CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．14. 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需要添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形，请加以证明．15. 已知：如图，D是△ABC的AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．(1)求证：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.(1)求证：△OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．。