第15章电路方程的矩阵形式(丘关源)
电路课件-电路方程的矩阵形式
•
I
•
I
1 b
•
I
•
I
s1 sb
U• s1
•
U sb
bb階對角陣
•
•
•
•
U Z I Z Is Us
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②電路中電感之間有耦合
.
+. I1
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注意
③對應一組線性獨立的KCL方程的割集稱為獨 立割集 ，基本割集是獨立割集，但獨立割集 不一定是單樹支割集。
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15-2 關聯矩陣、回路矩陣、割集矩陣
1. 圖的矩陣表示
圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即 KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：
結點 回路 割集
.
I sk 0
Zk (Yk)=0
.
U sk 0 Zk (Yk)=0
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2.支路阻抗矩陣形式
①電路中電感之間無耦合
•
•
•
•
Uk
(I k
I sk )Zk
U sk
..
如有b條支路，則有
I k I ek Zk (Yk) -
.
U sk
+
•
•
•
•
.
U I I U 1 ( 1 s1)Z1 s1
ajk =0 支路 k 與結點 j 無關。
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例2-1 寫圖示電路的圖的關聯矩陣A 。 ②
支 解 結 123456
３
４
1 -1 -1 1 0 0 0 ①
６
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
２
５
③
3 1 0 01 1 0 4 0 1 0 0 -1 -1
第15章电路方程的矩阵形式
第十五章电路方程的矩阵形式重点：1．关联矩阵、基本回路矩阵及基本割集矩阵等基本概念2．熟练掌握几种基本矩阵的列写及其相互间关系3．熟练掌握基于矩阵的大规模电路分析方法的原理及应用前景难点：1．掌握各种电路分析方法的矩阵应用2．理解大规模电路分析方法对电路的计算机辅助分析与设计的作用我们以前在学习支路电流法、支路电压法以及网孔分析法、节点分析法、割集分析法、回路分析法时，都是凭观察来列出所需的独立方程组。
在求解方程时可以用手算，也可以使用电子计算机。
对于含元件较少的电路，这种做法是行得通的。
但是现代的电子电路可以包含数百个元件，特别是集成电路技术的飞越发展，电路日益复杂。
对于这类“大规模（Large scale）电路”，不可能再凭观察来列写方程。
需要有一种系统化的步骤来处理这类电路，使列写方程和求解的工作都能由电子计算机去完成。
本章初步地介绍了这种分析方法。
其中要用到上章所述图论的一些基本概念以及线性代数中的矩阵方法。
§15-1 电网络图论的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。
其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。
15.1.1 网络的图1．网络图论——网络拓扑学图论是数学中重要的分支，网络图论是图论在电路理论中的应用。
主要通过电路的结构及其连接性质，对电路进行分析计算。
2．支路——Branch每一个电路元件或多个电路元件的某种组合用一条线段代替，称为支路。
3．节点——node每一个电路元件的端点，或多个电路元件相连接的点用一个圆点代替，称为节点。
在电网络理论中，通常节点是指支路的汇集点，这一概念与数学图论中的“节点”概念略有不同。
4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。
有向图——Oriented graph是指各个支路规定了参考方向的图反之，称为无向图。
5．路径——path从图G的某一节点出发，沿着一些支路连续移动，从而达到一个指定的节点，这一系列支路构成图的一条路径。
邱关源—电路—教学大纲—第十五章
第十五章电路方程的矩阵形式§15-1割集§15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵（一）教学目标1.掌握割集定义；2.掌握关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵中每个元素的定义；3.能够熟练写出关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；4.能够熟练写出各矩阵对应的KCL、KVL方程。
（二）教学难点1.割集定义；2.回路矩阵、割集矩阵。
（三）教学思路1.介绍割集定义；2.介绍关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵定义；3.通过例题说明关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵。
（四）教学内容和要点一. 割集定义定义：连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。
割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）；Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。
图G 的割集二. 关联矩阵定义定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个的矩阵，用表示。
行对应节点，列对应支路，它的任意元素定义如下：)(b n ×a A jk a 1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1−=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。
−−−++−++−−++=0111001001100100111010014321654321a A划去中的任意一行，剩下的a A b n ×−)1(矩阵用A 表示，称为降阶关联矩阵：++−++−−++=10011001001101001A13A 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0Ai = KCL ：un Tu A =三. 回路矩阵定义回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b B jk 定义如下：1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至；1−=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。
第十五章 电路方程矩阵形式
qik =+1，表示支路 k 与割集 j 关联并且具有同一方向； qik =-1，表示支路 k 与割集 j 关联但是它们的方向相反；
2
qik =0，表示支路 k 与割集 j 无关；
（2） 基本割集矩阵 Q f 基本割集矩阵 Q f 对应于一组基本割集组，在写 Q f 时，注意安排其行列如下： 把（n-1）条树支依次排列在对应于 Q f 的第一行第（n-1）列，然后排列连支，再取每 一单树支割集的序号与相应的树支所在列的序号相同，且选割集方向与响应的方向一 致，则 Q f = [I t （3）
15．2 重点和难点分析 15．2．1 本章重点 1. 割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵是很基本的 概念，要理解其含义并列写。 2. 回路电流方程的矩阵形式，结点电压 方程的矩阵形式，割集电压方程的矩阵形式 的列写及导出，理解等式两边的意义。 3. 状态方程的列写应掌握。 15．2．2 本章难点 1. 割集的确定应建立在充分理解割集的含义的基础上，往往容易出错。可以检验， 即看构成割集的支路的电流代数和是否为零。 2. 在列写电路矩阵方程时，在支路间有耦合或有受控源的情况下，支路导纳矩阵 和支路阻抗矩阵的列写是一个难点，尤其是矩阵中各元素的正负的确定，应注意各 支路电流、电压的方向，支路电流源、电压源的方向与复合支路作比较。 15．3 典型例题 例 15-1 电路的有向图如图 15-4 所示， （1） 以结点⑤为参考写出其关联矩阵 A， （2） 以实线 为权枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵 B f (3)写出单树支割集矩阵 Q f 。
t = t 0 时这组变量和
t ≥ t 0 时的输入，就能完全确定系统在任何时间的行为；
（2）状态变量：能够表示系统状态的一组最少数目的变量称为状态变量。用一组状态变 量确定系统的状态， 犹如一组矢量的分量来确定一个矢量， 所以系统的状态常用状态矢量来 表示。状态矢量所包含的状态变量的个数是状态空间的维数，也是系统的阶数；
电路课件_15第十五章电路方程的矩阵形式
Bu
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
1 1 1
u1 u3 u5 u6 u2 u3 u6 u4 u5 u6 0 0 0
u1 u 2 u3 u4 u5 u6
4
8
Q3
5
树支
4
8
1
5
1
Q4
6
连支
6
7 7
2
3
3
2
Q3：1, 4,5
Q4：5,6,7,8
§ 15 - 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一：关联矩阵Aa
n个结点b条支路的有向图
一条支路连接于两个结点，称该支路与这两个结点相关联。
支路1 .... 支路b
Aa=
结点1 ....... 结点n
1 2 Aa= 3
-1 -1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 4 0 +1 0 0 -1
0 -1 46
1 2
3
4 5 6
0 +1
1 Aa= 2 3
-1 -1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 4 0 +1 0 0 -1
( n1 )b
2
i3
1
2
3
i4
6
Q1
3
i2
i6
4
5
3
2
i5
4
1
1
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7*
割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法
首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩
i6 T n-1个独立
方程
i
i i i i
i i i i
1 2 3
1
3
2
4
3 6
0
i i i i 4
1
4
5
i 5
i6
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
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②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。
un1
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
un
阵和基本割集矩阵的概念 2. 回路电流方程、结点电压方程和割
集电压方程的矩阵形式
返回
15.1 割集
割集Q 连通图G中支路的集合，具有下述性质：
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
164
9
3
7
28 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
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例
支 结1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
②
３
４
Aa= 2
3
0 0 -1 -1 0 1 ①
６
1 0 01 1 0
电路第五版课件第十五章电路方程的矩阵形式
a
b
e
Q1 a
b e
Q2
a
b
e
d
c
d
c
d
c
f
f
f
a
b Q3 a
b
e
e
d
c
f
d
c
Q4
f
结论：汇集于 同一结点的支 路都是G的一个 割集。
特点：①全移，G一分为二 ②少移一条，G连通。
3
例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？
Q5
a
b
e
d
c
f
(b, d, e, f )是
Q6
a
b
e
d
c
f
(a, b, c, d ) 也是
Q7
a
b
e
d
c
f
(a, e, f ) 也是
特点：①全移，G一分为二 ②少移一条，G连通。
4
例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？
Q8 a d
b e
c
f
Q9 a d
b e
c
f
少移去e，G仍为两部分， 全移，G被分为三部分，
(a, d, e, f )不是G的割集。 (a, b, c, d ,e )不是G的割集
100
010
BT il=
0 1
0 1
1 0
1 0 1
il1
i1
il1 il2 il3
il2
il3 il1+il2
il1il3
i3 i4 i2 i5
i5 , i6 ]T ②
① i3 3 Ⅱ i2
2
4 i6Ⅲ
i4
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第五版第十五章电路方程的矩阵形式
②(降阶)关联矩阵A
支路b
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): ①
② ３ ４
６ ２ ④
Ai=0
其中: i i1 i2 ib 支路电流列向量。 例如 以结点④为参考结点 i1
T
５ 1
③
n-1个独立方程
Ai =
-1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7* 割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法 首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念
３ ① ４
注意
u A un
T
６ ２ ④
返 回
体现了结点法的基本思想。
５ 1
上 页
③
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用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): n-1个独立方程
Ai=0
其中: i i1 i2 ib
T
,支路电流列向量。 体现了结点法 的基本思想
②用A阵表示的KVL(矩阵形式):
３ Ⅰ1 ２ ④ Ⅲ 6 ４ Ⅱ ５
B u = 0, 或 Bf u = 0
例如
Bu =
1 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 -1 1
0 u1 u2 u3 u1 u4 u5 0 0 u1 u3 u5 u6
15电路方程的矩阵形式(简)
本章主要内容：主要介绍电路方程的矩阵形式及其系统建 立法。简单介绍电路的状态方程。 包括：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵。 15-1 割集
对于复杂的电路系统，需要研究系统化建立电路方程的方 法——电路方程的矩阵形式及其系统建立法。
图G ——是结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连到 相应的结点上。电路的支路是实体，结点是支路的汇集点。 连通图G ——图G中任意两个结点间至少有一条支路。 割集——连通图G的一个割集是G的一个支路集合。①把一个 割集的所有支路移去将使G分为两个部分。②如果少移去一条 支路，则G仍是连通的。
1
Bf = [ 1l ¦ Bt ]
显然， Bf 中有一个l 阶的单位子矩阵
11
用一个b阶列向量
u u1 u2 ub 表示b个支路电压
T
用矩阵B左乘电压列向量u， 得到一个l 阶列向量
显然，B u =0 —— （15-5） 是用B矩阵表示的KVL方程
12
2
3
1
u1 u 2 1 0 1 0 1 1 u1 u3 u5 u6 0 u 3 0 Bu 0 1 1 0 0 1 u2 u3 u6 u 4 u u u 0 0 0 0 1 1 1 4 5 u 5 u6 13
矩阵中，列对应支路，行对应结点 分析以上矩阵，每一列只有两个非零元 素，(即每一条支路只与两个结点有关) 任何一行可以由其他(n-1)行导出。 将Aa中划去任一行，得到如下降阶关联矩阵 A
注意：被划去的行所 对应的结点可以作为 参考结点
6
用一个b阶列向量
i i1 i2 ib