机械制图之立体的投影
机械制图基本几何体投影
X
A ⅠB c
b"
线法）。
a
s
1m b
Y
棱锥表面点的投影确定
s'
Z s"
长
沙
职
m"
院
m'
a'
(n') a" n"
b"
机 械 系
1'
X
b' c' O (c")
YW
a
n
c
s
1m
b
YH
六棱柱的投影
长A
沙 职 院
F
E
（f'） （e'）
a' b'
c' d'
D
BC
（e" ）（d" ）（c" ） f" a" b"
正三棱锥的表面有特殊位置平面, 也有一般位置平面。
属于特殊位置平面的点的投影, 可利用该平面的积聚性作图。
长 沙 职
属于一般位置平面的点投影, 可通过在平面上作辅助线的方
法求得。
Z
院
V s'
机 械 系
S
s"
m'
b'
a' 1'
m"
M C a"
如图: 己知属 于棱面ΔSAB上的 点M，试求点M、 的投影（利用辅助
已知圆锥表面点M的正面投影m′, 求m和m″。
方法: (1)辅助素线法
长 沙
s'
Z
s"
职
院
s
m'
机械制图之立体的投影
机械制图之立体的投影引言在机械制图中，立体的投影是一个非常重要的概念。
立体的投影是将三维物体在二维平面上反映出来的一种方法，能够在制图过程中更加清晰地表达物体的形状、结构和尺寸。
本文将介绍机械制图中立体的投影的基本原理和常见的投影方法。
立体的投影原理立体的投影是基于投影原理来实现的。
在机械制图中，通常使用平行投影和透视投影两种方法。
平行投影平行投影是指通过平行投影线来投影物体的方法。
在平行投影中，投影线与物体平面平行，物体上各点在投影面上的投影位置与物体上的位置相对应，从而构成了物体的平行投影。
平行投影主要分为正射投影和斜投影两种。
正射投影是投影线与投影面垂直的一种投影方法，适用于表达物体的外形和尺寸。
斜投影是指投影线与投影面不垂直的投影方法，适用于表达物体在空间中的位置和形状。
透视投影透视投影是指通过透视原理来投影物体的方法。
在透视投影中，投影线与投影面相交，物体上的各点在投影面上的位置与物体上的位置不完全对应，从而构成了物体的透视投影。
透视投影能够更加真实地反映物体在空间中的位置和形状，适用于表达物体的逼真程度和透视效果。
常见的投影方法在机械制图中，常见的立体投影方法包括主视图、剖视图和投影视图。
主视图主视图是指将物体在三个主要投影面上的投影呈现出来的一种视图。
主视图包括前视图、俯视图和左视图。
前视图是指物体在前方投影面上的投影，能够表达物体的前方形状和尺寸。
俯视图是指物体在上方投影面上的投影，能够表达物体的上方形状和尺寸。
左视图是指物体在左侧投影面上的投影，能够表达物体的左侧形状和尺寸。
主视图通常以正交投影的方式呈现，即投影线与投影面相互垂直。
剖视图是指将物体通过截面呈现出来的一种视图。
在剖视图中，物体被切割，并将切面投影到投影面上。
剖视图能够表达物体的内部结构和细节。
剖视图常用于显示物体的内部零部件和装配方式，便于理解和分析。
投影视图投影视图是指将物体在其他投影面上的投影呈现出来的一种视图。
机械制图 立体的投影
模块三 立体的投影
图3-10 圆柱的形成及投影
模块三 立体的投影
2．圆柱表面上点的投影 如图3-11a）所示，已知圆柱表面上有A、B、C、D 四点，各点已 知一个投影a′、b′、c′、d，求每一个点的另外两个投影。
图3-11 圆柱表面上点的投影
模块三 立体的投影
图示中的圆柱，两个端面为水平面，其正投影和侧投影有积聚性； 圆柱曲面在投影为圆的图中有积聚性（类似于铅垂面）。所以，各个表 面在三投影图中至少有1～2个投影有积聚性。因此，求圆柱表面上点的 投影均可利用积聚性直接求出，不需要作辅助线。
模块三 立体的投影
图3-3 六棱柱三视图及其画法
模块三 立体的投影
2）棱柱表面上点的投影 如图3-4a）所示正六棱柱，已知其表面上A、B、C 三点中各点的一 个投影a′、b′、c，求每一个点的另外两个投影。 由于棱柱正放时每一表面都是特殊位置平面，其表面上点的投影均 可利用平面投影的积聚性来作图。 （1）利用积聚性，先求出a、b、b″、c′、c″。 （2）利用“三等”关系求出a″，如图3-4b）所示。
模块三 立体的投影
（1）纬圆法：过c′ 点作垂直于轴线的直线与圆锥极限位置的素线 相交于2′点，求出该交点在圆锥投影为圆的图形中的投影2，然后以圆心 到点2的距离为半径画出纬圆的投影，再过c′ 作投影连线到纬圆上求出圆 视图中的投影c 点。最后利用“三等”关系再求出c″。
（2）素线法：将锥顶s 和c′ 点用直线连接并延长，该直线与圆锥底 面的投影相交于点1′，则直线s′1′为圆锥曲面上通过C 点的素线。然后求 出点1在圆视图中的投影1点，并用直线连接s1，则该直线s1为素线在圆 视图中的投影。再过c′ 点作投影连线到圆视图中的素线投影s1上求出圆 视图中的投影c 点。最后利用“三等”关系再求出c″。
机械制图第二章立体的投影
第二章立体的投影§2—1 liti表面上的点与线立体由其表面所围成，可分为两类：表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体。
一、平面立体平面立体由若干多边形所围成，因此，绘制平面立体的投影，可归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。
多边形的边是平面立体的轮廓线，分别是平面立体的每两个多边形表面的交线。
当轮廓线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。
工程上常用的平面立体是棱柱和棱锥(包括棱台)。
图2一l是一个正五棱柱的立体图和投影图。
本书从这里开始，在投影图中都不画投影轴。
只要按照各点的正面投影和水平投影位于铅垂的投影连线上，正面投影与侧面投影位于水平的投影连线上，以及任两点的水平投影和侧面投影保持前后方向的宽度相等和前后对应的三条原则绘图，投影轴是不必画的，在实际应用中通常也不画投影轴。
如图2一la所示，正五棱柱的顶面和底面都是水平面，它们的边分别都是四条水平线和一条侧垂线，棱面是四个铅垂面和一个正平面，棱线是五条铅垂线。
图2一lb是正五棱柱的投影图，请读者自行阅读分析棱线和棱面的投影及其可见性。
在图2一lb中，请特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系。
例如前棱线与后棱面之间的宽度，左、右棱线与后棱面之间的宽度，分别为y和y。
；并且，前棱线和左、右棱线都分别在后棱面之前。
这种水平投影和侧面投影之间的关系，一般可如图2—1b所示，直接量取相等的距离作图；但也可如图2—2所示，用添加45。
辅助线作图。
图2—2是一个正三棱锥的投影图。
从图中可见：底面是水平面；前、后棱面都是一般位置平面；右棱面是正垂面。
从图中还可看出：除了底面的正面投影和侧面投影、右棱面的正面投影有积聚性外，三个棱面的水平投影都可见，底面的水平投影不可见；前棱面的正面投影可见，后棱面的正面投影不可见；前、后棱面的侧面投影可见，右棱面的侧面投影不可见。
机械制图6立体的投影
a″
b″
d″
宽度
e
宽度
a
点侧面投影的宽度（Y）坐 标，可以从水平投影中直接 c 量取。
d
b
棱锥体表面上取点和取直线
） （b′ e′ b″ c″ ） （e″ a″
c′ a′ d′
d″
e c a b
C
(B) A
D E
d
例：补全斜棱锥表面的点和线
d′ b′
（ d″ ）
b″
c′
a′
A
（ c″ ）
a″
A C
棱柱
棱锥
•平面立体各表面的交线称为棱线。 •棱线的交点称为顶点。 •若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。 •若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
常见的平面立体
棱 柱
棱 锥
一、棱柱体的投影图
Z
X
O
Yw
Yh
一、棱柱体的投影图
特点
● ●
无投影轴 投影原则：长对正、宽相等、高平齐
●
可见轮廓线画成粗线
m
a(b)
圆球体表面取点
a' a”
分析：
点在圆球面上，则过点 可在圆球面上作纬圆，可 作正平圆或水平圆。点在 前左半圆球面上，则其正 面投影和侧面投影都是可 见的。 作图(1)过a(b)作水平纬圆 的水平投影，并求其另两 面投影，其正面侧面投影 反映为水平线段；
(2)在纬圆的投影上求得点 的两面投影。
s o
A
o1
圆锥的投影图
圆锥面的2种形成方法
H
2. 圆锥面上取点
素线法
圆锥面上取点
素线法
k
s
s
●
s
HSLG机械制图课件之第三章 立体的投影
（1）辅助素线法，如图（a）
s
s
s
s
m a
m
bm
c
m
y
y
y y
s
s
m m a
a
b
（2）辅助轧圆法：如上图（b）。注意在画圆时，半径是从中 心线到轮廓素线，而不是从中心线到点。
三、圆球
1．圆球的形成
球面可看成是以一圆为母线，以其直径为轴线旋转而成。
2．圆球的投影
1．平面与圆柱表面相交 求圆柱被一正垂面截切后的截交线。如图。
2
1
2
1
2．平面与圆锥相交 正平面截切圆锥的截交线。
圆锥的截交线
3. 平面与圆球相交 平面与圆球相交，无论平面与圆球的相对位置如何，截交
线均为圆。
正垂面P截切圆球的截交线
p
DA
a m (n ) c (d ) g (h )
b
a
n
m
d
c
h
相贯线为平面曲线
（3）当轴线平行的两圆柱体相交时，相贯线为两条直线。 如下左图。 （4）当两圆锥共顶相交时，相贯线为直线，如下右图。
相贯线为平行二直线
相贯线为相交二直线
五、影响相贯线形状的各因素及相贯线的近似画法
1．影响相贯线形状的各种因素 相贯线的形状与回转体表面形状、两回转体的相对位置以及回转体的
第三章
立体的投影
第一节 平面立体的投影 第二节 曲面立体的投影 第三节 平面与立体相交 第四节 曲面体与曲面体相交
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第三章 立体的投影
一、本章重点：
1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影； 2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线； 3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。 二、本章难点： 1. 圆球和圆环的投影及表面上点的投影； 2. 圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法； 3. 求作相贯线。
机械制图-立体的投影课件
(d") 3)判别可见性。
a
d
b
c
A B
C D
2.棱锥体表面上取点
S
N
M
K
A
C
B
分析 M SA
N SB K SBC
§ 3-1 基本立体的投影
s'
s"
n'
n"
m'
m"
k'
(k")
a'
b' c' a"(c") b"
a
c
m
s nk
b
§ 3-1 基本立体的投影
二、常见曲面立体的投影 （一）圆柱体的投影
1.圆柱体的形成
例1:完成截头三棱锥的投影
§ 3-2 平面与立体的截交
C
正垂面P
c'
c"
b'
a'
a"
b"
A
P
B
a
c
作图步骤：
1.分析形状，确定作图方法 ——三角形
2.求截交线（先补全形体的投影）
b
3.完成投影图
截交线
原来立体的投影
正垂面
e'(f') c'(d')
a'(b')
d
b
f
a
e
c
f" d"
§ 3-2 平面与立体的截交
k′
利用球面上平行于
投影面的圆作为辅
助线。
即：过球表面上的 点可任意作一个与 投影面平行的圆。
思考：过球表面上
机械制图立体的投影
H
六棱柱的三视图
三等规律？
2. 棱柱表面取点
所谓立体表面取点，是指在已知立体表面上某点的一
棱柱表面取点的关键： 1、棱柱表面均为平面；
个投影（或两个投影）的前提下，求其另外投影的过程。
2、可用积聚性原理作图；
3、点的投影的可见性判断。
例：已知棱柱表面的点A、B、C的投影a’、b’、c，求其 它两面投影。
P
PH
截平面与圆柱轴线平行，截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
垂直截交线为圆
例1：求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
2' c'(d') • d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 1' • 4 b• • 2" •
W
V面投影叫主视图
H面投影叫俯视图
W面投影叫左视图
X
0
YW
俯视图
H
YH
在工程图上，视图主要用来表达物体的形状与结构，没
有必要表达物体与投影面间的距离，因此绘制视图时不必画 出投影轴；为使图形清晰，也不必画出投影连线；三个视图 展开后位置相对固定，视图名称也不必标注。
物体的三 视图
B
a' (b') b"• •a" A
b a
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
完成后的投影图：
a' (b') b"• a" •
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s''
X a' b' a
s
b
O
Y
c' a'' (c'') b& b' a
s
b
y2
c' a'' (c'') b''
y1
y2
y1
c
从本章开始，在投影图中将省略投影轴，省略投影轴 后三面投影之间的投影关系不变。利用各点之间的相对 距离来确定立体上各点的位置。
8
（2）正五棱柱的投影
a' e' b' d' c'
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面立体的形状及截平面对平面立体的 截切位置。
• 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 •求截交线的实质是求两平面的交线，或者说是求棱
线与截平面的交点。
27
2. 平面截切立体的画图 关键是正确地画出截交线的投影。
28
例1 画出截切五棱柱的三面投影
分别为圆锥面不同方向的
两条转向轮廓线的投影。
s
⑶ 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断
●s
15
3.圆球
⑴ 圆球的形成 圆母线以它的直
径为轴旋转而成。
⑵ 圆球的投影
三个投影分别为三 个和圆球的直径相等的 圆，它们分别是圆球三 个方向转向轮廓线的投影。
⑶ 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断
16
3.圆环
3)在平面立体的每一投影中，若外形轮廓线内的两 可见表面相交，其交线为可见(其中有一个表面可 见则交线可见)，两不可见表面的交线为不可见。
10
3.平面立体表面上的点、线 (1)棱柱表面上取点
点的可见性规定： 若点所在的平面的投
影可见，点的投影也可见； 若平面的投影积聚成直线， 点的投影也认为是可见的。
⑵ 圆柱体的投影 圆柱面的水平投影积聚成
一个圆，在另两个投影上分别 以两个方向的转向轮廓线的投 影表示。 ⑶ 转向轮廓线线的投影与曲面的
可见性的判断 14
2.圆锥体 ⑴ 圆锥体的组成
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆锥体的投影
在图示位置，水平投影
s●
为一圆。另两个投影为等
腰三角形，三角形的底边
为圆锥底面的投影，两腰
s● k(n)
●s ●(n)
k
SO
●
A O1
ns●
k
过锥顶作一条素线。★辅助直线法
圆的半径？
★辅助圆法
21
例4：已知圆锥面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。
a' d'
c' e' b'
(a'') (d'')
c'' e'' b''
a be c d
22
3.圆球表面上的点、线
B A
b a (c)
17
2）圆环的画法
18
(一)曲面立体表面上的点、线 1.圆柱表面上的点、线
a
a
O A
O1 A1
利用投影的积聚性
a
19
例3：已知圆柱面上曲线的正面投影，求曲线的其它 两面投影。
b'
f' e' c' d'
a'
(b'') (f '')
(e'') c'' d''
a''
b
a
f
dc e
20
2.圆锥表面上的点、线
1)圆环的形成
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 但不通过圆心的轴线旋转而成。
首先用细点画线画出轴线及母线圆中心轨迹圆的投 影和中心线。
其水平投影应画出圆环面的水平投影转向线的投影。 其正面投影和侧面投影，应分别画出正面投影和侧面投影 转向线的投影。
对于正面投影和侧面投影而言，由于内半环面被外半环 面所挡，内半环的半个母线圆的投影应画成虚线。
y1 y2
a(a1) b(b1)
a(a1)
c(c1)
b(b1)
作图时，先画出反映顶面、底面实形的水平投影，再画它们的
正面和侧面投影，最后画出各侧棱的正面和侧面投影。
9
2.平面立体投影的可见性判别
1) 在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是 可见的。
2) 在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的交叉 直线，可利用重影点来判别可见性。
第二章 立体的投影
1
本章内容：
第一节 基本立体的投影 第二节 平面与立体相交 第三节 两曲面立体相交
2
第一节 基本立体的投影
3
概述
任何立体都可以看作是由平面、曲面 所围成的。按其表面的几何性质不同，立体 可分为平面立体和曲面立体两类。
4
常见的平面立体：
棱柱
常见的曲面立体：
圆柱
圆球
棱锥
圆锥
圆环
a (b)
b
由于棱柱的表面都
a
是平面，所以在棱柱的
表面上取点与在平面上
取点的方法相同。
a b
11
(2)棱锥表面上取点
例1 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的点K的正面投影k
求其水平投影k和侧面投影k
s'
s''
不可见
S
K A
C B
k'
(k'')
a''
a'
b' 1' c' (c'')(1'')
5
一、平面立体 1.平面立体的投影 平面立体的投影是平面立体各表面 投影的集合---由直线段组成的封闭图 形。
6
（1）三棱锥的投影
V
s'
Z
S
s''
X a' A
W
O a''
HB
(c'')
C
b''
Y
s'
X a' b' a s b
Z s''
O
Y
c' a'' (c'') b''
c Y
7
s'
Z
s''
s'
b''
a
c
s k1
分析：同样采用平面上取点法。
b
12
例2 已知三棱锥S-ABC及属于其表面上的线段KL的正面投影kl
求其他两面投影。
s'
s''
l'
(k'')
k' (l'')
a''
a'
b' 1' c' (c'')(1'')
b''
a
c
s k1
l
b
13
二、曲面立体
(一)曲面立体的投影 1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。
a''(c'')
c' d' b' e' a'
DC E
b1' e1' a1'
A E1
(d1'')
B e1''
(e1'')
a1''
C1
b1''
X
A1 e(e1)
B1 c(c1)
Y
a1' e1' b1' d1' c1' e(e1) d(d1)
e1'' (d1'') a1'' (c1'') b1'' y1
y2
(C)
方法：辅助圆法 注意：可见性的判断
(c) b
a
(b) a c
23
第二节 平面与立体相交
24
一、概述 截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。
•截平面 —— 截切物体的平面
•截交线 —— 截平面与物体表
面的交线
截断面
•截断面 —— 截交线所围成的图形 I P
讨论的问题：截交线的分析和作图 A
S
截平面 III 截交线
II C
B
25
截交线的性质：
➢截交线是截平面与立体表面的交集，是共有线。 截交线上的点、线，属于两者的共有点、线。 ➢截交线所围成的为封闭的平面图形。
求截交线的问题，实质上就是求平面与立体表 面的共有点、线的问题。可用求线面交点的方法， 或用求两面交线的方法来解题。
26
二、 平面与平面立体相交 1.平面截切的基本形式