x 或
3°m=0时 只要x<0
综上所述：x > 0时，),1
()0,(+∞-∞∈m
x
x = 0时，)0,(-∞∈x
x < 0时，),0()1
,
(+∞-∞∈ m
x
例题8 已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，其中k>0，
（1）用k 表示a ·b ;
（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的大小。
解 （1）要求用k 表示a ·b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得 |k a +b |2
=(3|a －k b |)2
k 2a 2
+b 2
+2k a ·b =3(a 2
+k 2b 2
－2k a ·b ) ∴8k ·a ·b =(3－k 2
)a 2
+(3k 2
－1)b 2
a ·
b =k
k k 8)13()3(2
222b a -+-
∵a =(cos α，sin α),b =(cos β,sin β)，∴a 2
=1, b 2
=1,
∴a ·b =k
k k 813322-+-=k k 41
2+
（2）∵k 2
+1≥2k ，即k
k 412+≥k k 42=21
，∴a ·b 的最小值为21，
又∵a ·b =| a |·|b |·cos γ，|a|=|b|=1 ∴2
1
=1×1×cos γ。 ∴γ=60°,此时a 与b 的夹角为60°。
错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有
|a +b |2=|(a +b )2|=a 2+b 2+2a ·b 或|a |2+|b |2
+2a ·b 。
例题9 已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=
，a b -= ．
（Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02
π
α<<
，02
π
β-
<<，且5
sin 13
β=-
，求sin α的值． 解（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ==
，，，,
()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--
，.
5
a b -= , 5
=
, 即 ()422cos 5αβ--=. ()3cos 5
αβ∴-=. （Ⅱ）0,0,0.2
2
π
π
αβαβπ<<
-
<<∴<-<
()3cos 5αβ-=
，()4sin .5αβ∴-= 5sin 13β=- ，12
cos .13
β∴=
()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ∴=-+=-+-????
4123533
51351365
??=?+?-= ???. 例题10 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =
（1m >），0M N A F =?
，1()2
ON OA OF =+ ，//AM ME
．
（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程；
（Ⅱ）点0(,)2
m
P y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且P F F Q λ= ，若12λ≤≤，求实数m
的范围．
解：（Ⅰ）∵0MN AF ?=
，1()2
ON OA OF =+ ，
∴ MN 垂直平分AF ．
又//AM ME
，∴ 点M 在AE 上，
∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +=== ，||||MA MF = ， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>
，
∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 2
2
2
2
1b a c m =-=-．
∴ 点M 的轨迹W 的方程为22
2211
x y m m +=-（1m >）．
（Ⅱ）设11(,)Q x y
∵ 0(,)2
m
P y ，PF FQ λ= ，
∴ 1011(1),2
.m x y y λλ?-=-???-=? ∴ 11
01(1),2
1.m x y y λλλ?=+-????=-??
由点P 、Q 均在椭圆W 上，
∴ 2
2
2
202222
11,41
1(1) 1.2(1)y m y m m
m λλλ?+=?-???+-+=?-? 消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-， 由221
121
m m m -+-≤
≤及1m >，解得12m <≤．
基础练习题
1.设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A 、),2()2,21(+∞?-
B 、),2(+∞
C 、),21(+∞-
D 、)2
1,(--∞
答案：A
点评：易误选C ，错因：忽视与反向的情况。
2.O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
),0[+∞∈+
+=λλOA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B 。 错误原因：对),0[+∞∈+
+=λλOA OP
+
与∠BAC 的角平分线有关。
3.若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ）
A ． 与的夹角等于α-β
B ．∥
C ．(+)⊥(-)
D ． ⊥
正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 4.已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)
则· 的最大值为
（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA ·OP 即为最大。 5.在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( )
A 20
B 20-
C 320
D 320-
错误分析:?==60C ,从而出错. 答案: B
略解: ?=120,
故CA BC ?202185-=??
?
??-??=. 6.已知向量 =(2cos ?，2sin ?)，?∈(ππ,2
)， =（0,-1)，则 与 的夹角为( )
A ．π3
2
-?
B ．
2
π
+? C ．?-
2
π D ．?
正确答案：A 错因：学生忽略考虑与夹角的取值范围在[0，π]。
7.如果,0a b a c a ?=?≠
且，那么 （ ）
A ．b c =
B ．b c λ=
C ． b c ⊥
D ．,b c 在a
方向上的投影相等
正确答案：D 。
错误原因：对向量数量积的性质理解不够。
8.已知向量(2,0),(2,2),)OB OC CA a a === 则向量,OA OB
的夹角范围是（ ）
A 、[π/12，5π/12]
B 、[0，π/4]
C 、[π/4，5π/12]
D 、 [5π/12，π/2] 正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用。
9.设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ② |·|=|| ||； ③
2
1
21y y x x =； ④ (a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 答案：C
点评：①②④正确，易错选D 。
10.以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使
90=∠A ，则的坐标为（ ）。 A 、（2，-5） B 、（-2，5）或（2，-5）
C 、（-2，5）
D 、（7，-3）或（3，7）
正解：B
设),(y x AB =，则由222225||||y x +=+?
= ①
而又由⊥得025=+y x ② 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或。 ）
，（－或52)5,2(-=∴ 误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。
11.设向量),(),,(2211y x y x ==，则
2
121y y
x x =是//的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 正解：C 若
2
121y y
x x =则y x y x //,01221∴=-，若//，有可能2x 或2y 为0，故选C 。 误解：b a //?01221=-y x y x ?
2
121y y
x x =，此式是否成立，未考虑，选A 。 12.在?OAB 中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=?OB OA ，
则OAB S ?=（ ）
A 、3
B 、
23 C 、35 D 、2
35 正解：D 。
∵5-=?∴5cos ||||-=??V （LV 为与的夹角）
()()5cos sin 5)cos 5()sin 2(cos 22
222-=?+?
+V ββαα
∴21cos =
V ∴2
3
sin =V ∴235sin ||||21=??=?V S OAB 误解：C 。将面积公式记错，误记为V S OAB sin ||||??=?
13.设平面向量a )()1,()1,2(R b ∈-=-=λλ，，，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是
（A ）
A 、
），（），（∞+?-2221 B 、（2，+）∞ C 、（—），∞+21 D 、（-），2
1-∞ 错解：C
错因：忽视使用0
14.设,,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
①()
)(=??-?? ②a b a b +>+
③()()垂直不与c b a c a c b ??-?? ④若c b a b a 与则?⊥,不平行
其中正确命题的个数是
（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 正确答案：(B)
错误原因：本题所述问题不能全部搞清。
15.若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.
错误分析：只由b a ,的夹角为钝角得到,0
,夹角为钝角的充要条件,
因为b a ,的夹角为
180时也有,0
正确解法: ，的夹角为钝角, ()?+-?=?∴x x x b a 23 04322
<+-=x x
解得04
>
x (1) 又由b a
,共线且反向可得3
1-=x (2)
由(1),(2)得x 的范围是 ?????-
∞-31,??
?
??+∞??? ??-,340,31 答案: ?????-
∞-31,??
?
??+∞??? ??-,340,31 . 16.已知平面上三点A 、B 、C 满足?+?+?===则,5||,4||,3||的值等于 （ C ）
A ．25
B ．24
C ．－25
D ．－24
17.已知AB 是抛物线)0(22>=p py x 的任一弦，F 为抛物线的焦点，l 为准线.m 是过点A 且以向量
)1,0(-=v 为方向向量的直线.
（1）若过点A 的抛物线的切线与y 轴相交于点C ，求证：|AF|=|CF|；
（2）若B A p ,(02=+?异于原点），直线OB 与m 相交于点P ，求点P 的轨迹方程； （3）若AB 过焦点F ，分别过A ，B 的抛物线两切线相交于点T ，求证：,BT AT ⊥且T 在直线l 上. 解：（1）设A （),11y x ，因为导数p
x k p x
y AC 1,==
'所以，
则直线AC 的方程：).,0(:0),(111
1y C x x x p
x y y -=-=-得令
由抛物线定义知，|AF|=1y +
2p ，又|CF|=2p －（－1y ）=1y +2
p
，故|AF|=|CF|. （2）设),,(),,(),,(2211y x P y x B y x A
由04)(,0,02
2
221212
21212
=++∴=++=+?p p
x x x x p y y x x p
得2212p x x -=. ①
直线OB 方程：,22
x p
x y =
② 直线m 的方程:1x x =， ③
由①②③得y =－p ，故点P 的轨迹方程为y =－p （x ≠0）.
（3）设).,(),,(),,(002211y x T y x B y x A 则p
x k p x k BT AT 21,== 因为AB 是焦点弦，设AB 的方程为：,22
2py x p
kx y =+
=代入
得.,1,,0222122k k p x x p pkx x BT AT ⊥-=-=∴=--故于是
由（1）知直线AT 方程：.,,0110101011py py x x y x p
x
y y x p x y =--=∴-=
即
同理直线BT 方程：.,,022*******py py x x y x p
x
y y x p x y =--=∴-=
即
所以直线AB 方程：00py py x x =-，
又因为AB 过焦点，2
,2002p
y py p -==∴即，故T 在准线上. 18.如图，已知直线l 与半径为1的⊙D 相切于点C ，动点P 到直线l 的距离为d ，若.||2PD d = （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）若轨迹上的点P 与同一平面上的点G 、M 分别满足
0,3,2=?+?==PM GM PG GM PD MP DC GD ，
求以P 、G 、D 为项点的三角形的面积.
解：（Ⅰ）).1,0(2
2
|||,|2∈=∴
=
d PD PD d ∴点P 的轨迹是D 为焦点，l 为相应准线的椭圆.
由.1.1,2,1,222
====-=
=b c a c c
a a c e 于是解得又 以CD 所在直线为x 轴，以CD 与⊙D 的另一个交点O 为坐标原点建立直角坐标系.
∴所求点P 的轨迹方程为.12
22
=+y x （Ⅱ）∴==,2||,2GD DC GD G 为椭圆的左焦点.
又.0)(,0=+?∴=?+?
由题意，0,0≠+≠PM PG GM （否则P 、G 、M 、D 四点共线与已经矛盾） .||3||||.0,0)()(2
2
PD MP PG PG PM
PM PG PG PM ==∴=-=+?-∴
又∵点P 在椭圆上， .22
3
||,22||,222||||====+∴
a 又 90,
,2||=∠?∴=PDG Rt PDG GD 为
.2
2
22221=??=
∴?PDG S 19.已知O 是△ABC 所在平面内的一定点，动点P 满足 sin ||sin ||(
C
AC B
AB OA OP ++
+=λ,),0(+∞∈λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （D ）
A ．内心
B ．垂心
C ．外心
D ．重心
20.已知向量b a ,是两个不共线的非零向量, 向量c .则向量c 用向量b a ,一定可以表示为
（C ）
A. b n a m c +=且1,,=+∈n m R n m .
B. ????-=||||b a λ
R ∈λ C. ?
???+=||||b a λ R ∈λ D. ????-=λ R ∈<λλ,0, 或 ?
???+=λ R ∈>λλ,0
一次函数易错题解析
一次函数易错题解析 ------大有镇中心学校张桂荣一次函数是初中数学中的重要内容之一，学生们在初学一次函数时，由于对其概念、性质理解不透，常常会出现一些错误.为帮助学生们学好这部分内容，以下以例题的形式给出易错题分类及剖析. 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数.即：y=kx （k为常数，但K≠0）正比例函数图像经过原点。定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合. 一、对概念理解不清而出错 例1、已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=-1； ④y=3x2+7；⑤y=x-5，其中y是关于x的一次函数的是（） A.①③④⑤ B.②③⑤ C.①②⑤ D.②⑤ 错解选“B”或“D”.剖析：一次函数的概念中规定k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。正解：观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知答案选C. 二、忽视限制条件出错 例2 、已知函数y=（m-3）x(m-2)-7是一次函数，则m=________. 错解: 由m-2=1，解得m=±3,所以m=3或m=-3.
剖析:上述错误忽视了一次函数y=kx+b 中要求k ≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x 轴的一条直线，其直线上任一点的纵坐标都为-7，是一个常值函数，而非一次函数.正解：由m-2=1，解得m=±3.当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3. 三、忽略坐标系中表示线段的长时要取点的坐标的绝对值。 例3、已知一次函数的图象经过点A （0，2）且与坐标轴围成的直角三角形面积为4，则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿。 错解：设一次函数的解析式为 y kx b =+，因为函数的图象经过点A （0，2），所以b=2，所以函数的解析式为2y kx =+，求这个函数图象与x 轴的交点，即解方程组02 y y kx =??=+? 解得2x k =- ，0y = 即图象与x 轴交点坐标为 2 (,0)k - 由三角形的面积公式得 12()242k ?-?= 解得： 12 k =- 所以这个一次函数的解析式为122 y x =-+ 剖析：在表示三角形的面积时，用的是三角形的边长，是线段的长度，不要忽略2k -要取绝对值才能表示线段的长度，否则就会漏掉一个解，本题正是因为忽略了这点而出了错。 正解：设一次函数的解析式为 y kx b =+，因为函数的图象经过点A （0，2），所以b=2，所以函数的解析式为2y kx =+，求这个函数 图象与x 轴的交点，即解方程组02y y kx =??=+? 解得2x k =- ，0y = 即图象与x 轴交点坐标为 2 (,0)k - 由三角形的面积公式得
“平面向量”教材分析与教学建议
平面向量”教材分析与教学建议 一、内容与要求 （一）本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量（向量的坐标）的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等。 第二大节是“解斜三角形” 。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例和实习作业等。 正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题，特别在这一大节中，还安排了一个实习作业，从而使学生进一步了解数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力。 为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”。 本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。 （二）本章教学要求 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2.掌握向量的加法与减法。 3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 6.掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。 二、新教材的特点在本章的体现 （一）注意知识的系统性与学生的可接受性相结合 我们知道，数学是一门系统性很强的学科，知识的编排要符合逻辑顺序的要求，即后面的概念要用前面的概念来定义，后面的命题要用前面的命题来证明。不允许有循环定义，也不能有循环证明，只有这样的逻辑严格性才能保证结论的正确性和确定性。 1．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容。例如，在引言中用小船的位移引入向量的概念，使学生明确向量既有大小，又有方向，又如，一开始就介绍向量的几何表示 有向线段，并将几何表示贯穿向量运算的始终。再如，利用物理中功的
向量易错题带规范标准答案
1．在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2AP PM =u u u r u u u u r ,则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 A 、49- B 、43- C 、43 D 、49 2．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ） A 、77 (,)93 B 、77(,)39-- C 、77(,)39 D 、77(,)93 -- 3．已知||8AB =u u u u r ，||5AC =u u u r ，则||BC uuu r 的取值范围是（ ） A 、]8,3[ B 、（3，8） C 、]13,3[ D 、（3，13） 4．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 5．下列命题： ①4 2 2 ||)()(=? ②??=??)()( ③ |a ·b |=|a |·|b | ④若a ∥,∥,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若 ?=?，且≠，则= ⑦设21,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何 一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x a +=成立。 ⑧若|+|=|－ |则·=0。 ⑨·=0，则=或= 真命题个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、3个以上 6．和a r = (3,－4)平行的单位向量是_________； 7．已知向量|||| a b p a b =+r r u r r r ，其中a r 、b r 均为非零向量，则||p u r 的取值范围是 . 8．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______. 9．在四边形ABCD 中，AB u u u r =DC u u u r =（1，1）， BA BC BA BC BD +=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD
一次函数易错题汇编附解析
一次函数易错题汇编附解析一、选择题 1．如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝1 2 x+b的图象交于点P．下面有四个结 论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是() A．①②B．②③C．①③D．①④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 【详解】 因为正比例函数y1=ax经过二、四象限，所以a<0，①正确； 一次函数 21 2 y x b =+ \过一、二、三象限，所以b>0，②错误； 由图象可得：当x>0时,y1<0，③错误； 当xy2，④正确； 故选D. 【点睛】 考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数与不等式，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．一次函数y=kx+b(k<0，b>0)的图象可能是（） A． B． C．
D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限． 【详解】 ∵k<0， ∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限． 又∵b＞0时， ∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴． 综上所述，该一次函数图象经过第一象限． 故答案为：C. 【点睛】 考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 3．正比例函数y＝kx与一次函数y＝x﹣k在同一坐标系中的图象大致应为（）A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象分别确定k的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】 根据图象知： A、k＜0，﹣k＜0．解集没有公共部分，所以不可能； B、k＜0，﹣k＞0．解集有公共部分，所以有可能； C、k＞0，﹣k＞0．解集没有公共部分，所以不可能； D、正比例函数的图象不对，所以不可能． 故选：B． 【点睛】
3、平面向量教材分析
平面向量教材分析 这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等。本章教学时间约20课时，具体安排如下： 2．1 向量的概念及表示约1课时 2．2 向量的线性表示约4课时 2．3 向量的坐标表示约2课时 2．4 向量的数量积约3课时 2．5 向量的应用约2课时 1．1 正弦定理约2课时 1．2 余弦定理约2课时 1．3 解斜三角形应用举例约2课时 小结与复习约2课时 (一)本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括：向量的概念及表示、向量的线性表示、向量的坐标表示、向量的数量积点等内容。 第二大节是“解斜三角形”。这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例等。 正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题。 本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等。 本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等。 (二)本章教学要求 1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。 2．掌握向量的加法与减法。 3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。 4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、
平面向量易错题解析汇报
平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
人教版高中数学《平面向量》教材分析
第五章《平面向量》教材分析 一、平面向量在教材中的地位和作用 1、地位 （1）改变传统教材结构 在几十年来的国内外数学教育改革中，向量进入中学是一个重要的特征。平面向量的集中讲授，在我国高中数学教材中是首次，其目的之一是系统地学习向量知识，目的之二是以向量知识作为工具，改变传统的综合几何、平面三角等内容的讲法。向量、向量的加法与减法在传统教材的复数中讲授，线段的定比分点、平面两点间的距离、平移在传统教材在解析几何中讲授，正弦定理、余弦定理在传统教材的三角中讲授，新教材把这些内容糅合到一章。用向量的观点来处理，大大地改变了传统教材的编排体系。 按照新教材的编排体系，平面向量作为工具性内容在安排上尽量提前。由于介绍向量的数量积要用到有关三角知识，因此将平面向量安排在紧随三角函数之后作为第五章。又由于讲斜三角形解法可以用到平面向量，新教材又作了将斜三角形解法移入平面向量这一章的调整。需要指出的是，在平面向量这章还运用向量方法解决了解析几何入门的有关知识，为学习解析几何做好了准备。同时，在后续的第七章直线与圆的部分向量知识立刻就能应用，在学习立体几何之后安排空间向量，让向量的应用得到完善和深化。这样的安排是科学的、合理的。 （2）改变传统教材内容 用向量的观点来处理，由于向量具有几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。因此，向量的引入不仅使高中数学教材采取混编体系成为一件别无选择的事，而且使它在研究其它许多问题时获得了广泛的应用。新高中数学课程为了有利于精简教学内容，提高教学效益，有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用，将代数、几何等内容综合编排。向量的引入，使高中数学各部分内容的联系加强了；使高中教学内容与大学内容衔接更加紧密。 2、作用 （1）工具性和方法性 向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。纵观平面向量这一章，如果除去应用性知识，纯属向量知识约占10课时，教材上大量的篇幅是突出向量的应用，突出向量的工具性和方法性。例如用向量方法推出线段定比分点坐标公式、平面上两点间距离公式、平移公式、正弦定理、余弦定理，而且与物理学中力学等内容的学习相互呼应。在后续的解析几何、立体几何、复数等内容的学习中，向量仍将继续发挥其重要作用。仅花费10课时的代价换来这么大的效益是十分合算的。 向量有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。 向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在引进向量知识时，教材充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。 （2）沟通代数与几何 向量是除函数外的另一条主线，使几何代数化、符号化、形式化。向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角的工具。新教材引进向量，充分体现了新课程理念。由于它的引入，使几何与代数变得更加紧密，一维二维和三维过度更加顺畅；有效克服了繁琐和技巧导致的“双基异化”。它是知识、是方法、是思想。 （3）突出新教材的理念……注重应用 向量的概念是从生活实践中抽象出来的，反过来又成为解决物理学和工程技术中有关问题的重要工具。教材中十分注重理论和实际的结合，更加注重应用。用例如从速度、位移、力、加速度
(易错题精选)初中数学一次函数经典测试题含答案
（易错题精选）初中数学一次函数经典测试题含答案 一、选择题 1．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ） A ．24y x =- B ．24y x =+ C ．22y x =+ D ．22y x =- 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4， 故选A. 【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 2．如图，函数4y x =-和y kx b =+的图象相交于点()8A m -,，则关于x 的不等式()40k x b ++>的解集为（ ） A ．2x > B ．02x << C ．8x >- D ．2x < 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用函数图象上点的坐标特征得出m 的值，再利用函数图象得出答案即可． 【详解】 解：∵函数y ＝?4x 和y ＝kx ＋b 的图象相交于点A （m ，?8）， ∴?8＝?4m ， 解得：m ＝2， 故A 点坐标为（2，?8）， ∵kx ＋b ＞?4x 时，（k ＋4）x ＋b ＞0， 则关于x 的不等式（k ＋4）x ＋b ＞0的解集为：x ＞2．
故选：A ． 【点睛】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用函数图象分析是解题关键． 3．如图，已知一次函数22y x =-+的图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的一个点，过点P 作⊙O 的切线PM ，切点为M ，则PM 的最小值为（ ） A ．22 B ．2 C ．5 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：连结OM 、OP ，作OH ⊥AB 于H ，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征： 当x=0时，y=﹣x+22=22，则A （0，22）， 当y=0时，﹣x+22=0，解得x=22，则B （22，0）， 所以△OAB 为等腰直角三角形，则AB=2OA=4，OH=12 AB=2， 根据切线的性质由PM 为切线，得到OM ⊥PM ，利用勾股定理得到 PM=22OP OM -=21OP -， 当OP 的长最小时，PM 的长最小，而OP=OH=2时，OP 的长最小，所以PM 的最小值为2213-=． 故选D ． 【点睛】
平面向量应用举例(教学案)
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
一次函数易错题汇编及解析
一次函数易错题汇编及解析 一、选择题 1．如图1所示，A ，B 两地相距60km ，甲、乙分别从A ，B 两地出发，相向而行，图2中的1l ，2l 分别表示甲、乙离B 地的距离y （km ）与甲出发后所用的时间x （h ）的函数关系．以下结论正确的是( ) A ．甲的速度为20km/h B ．甲和乙同时出发 C ．甲出发1.4h 时与乙相遇 D ．乙出发3.5h 时到达A 地 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地． 【详解】 解：A ．甲的速度为：60÷2=30，故A 错误； B ．根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时，故B 错误； C ．设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+， 所以：111 6020b k b =??+=?， 解得113060k b =-??=? 即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+； 设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+， 所以：22220.503.560k b k b +=??+=?， 解得 22 2010k b =??=-? 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-， 所以：30602010y x y x =-+??=-?， 解得 1.418 x y =??=? ∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意；
D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误． 故选：C ． 【点睛】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．如图，直线l 是一次函数y=kx+b 的图象，若点A （3，m ）在直线l 上，则m 的值是（ ） A ．﹣5 B ．32 C ．52 D ．7 【答案】C 【解析】 【分析】 把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，求出解析式，再将A （3，m ）代入，可求得m. 【详解】 把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b ，得 201k b b -+=??=? ， 解得121 k b ?=???=? 所以，一次函数解析式y= 12 x+1， 再将A （3，m ）代入，得 m= 12×3+1=52 . 故选C. 【点睛】 本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值. 3．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝ 3x ；③y ＝﹣5x ：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②④ D ．②③
高中数学-平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计 高中数学 一、教学目标 1、知识与技能 掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义 2、过程与方法 （1）通过平面向量数量积的定义，让学生体会类比归纳的思维方法； （2）通过本节学习，体会求解一些比较简单向量数量积的方法。 《 3、情感态度与价值观 通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会类比归纳思想。 二、重点、难点 1、教学重点： 平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。 2、教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解；平面向量数量积的应用。 三、教学方法与教学手段 < 本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主导、学生为主体，让
学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。 教学方法是综合法，多媒体辅助教学。 四、教学过程
3、几何意义 θ cos b a b a= ? ） 例2、在三角形ABC中， 设向量 CB=a ,CA=b ,a ·b<0 ，AD为BC边上的 高，AD=2.5，a=3，b =5, 求a与b的夹角 \ 学生独立解决，教师进提问、引导、评价 ￥ 师生互动，教师给出数量积的几何意义。 幻灯片展示题目，师生互动，从不同的角度 对向量夹角进行求解。 “温故而知 新”，用学生已 有的知识体系， 构建新的知识 体系。 ^ 教材上对这一 知识点仅只概 念而已，因此， 有必要及时检 测学生对几何 意义这一知识 点的掌握情况， 查缺补漏。
历年高考数学复习易错题选--平面向量部分
历年高考数学复习易错题选 平面向量 一、选择题： 1．在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析: 错误认为?==60C ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知?=120, 故CA BC ? =202185cos -=?? ? ? ?-??=. 2．关于非零向量a 和b ，有下列四个命题： （1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b a b a b a +≤±≤-的认识不清. 答案: B. 3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA 2OP 的最大值为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA 2OP 即为最大。 4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足
（ ） A ． a 与b 的夹角等于α-β B ．a ∥b C ．(a +b )⊥(a -b ) D ． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．已知向量 a =(2cos ?，2sin ?)，?∈(π π ,2 )， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ．π32 -? B ． 2 π +? C ．?-2 π D ．? 正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，π]。 6．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )2(OB +OC -2OA )=0， 则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。 7．已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ?N= （ ） A ｛（1，2）｝ B {})2,2(),2,1(-- C {})2,2(-- D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。 8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)== AB k AC ，若AB ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率是（ C ） A ． 17 B ．27 C ． 37 D ． 47 分析： 由AB ≤ k Z ∈知{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若 (,1)(2,4)== 与AB k AC 垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3) =-= -- B C A B A C k 与 (,1)AB k = 垂直，则2 230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是37 . 9．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|2a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |2a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。上述命题中，假命题个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 正确答案：D 。
一次函数易错题
一次函数易错题 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
一次函数易错题 一、选择题（共6小题；共30分） 1. 下列函数解析式中，不是的函数的是 A. B. C. D. 2. 若等腰三角形的周长是，则能反映这个等腰三角形的腰长与底边长 的函数关系的图象是 A ＢＣＤ 3. 根据如图所示的程序计算值，若输入的的值为 结果为 A. B. C. D. 4. 已知函数，当时，自变量的值是 A. B. C. 或 D. 或 5. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则
A. B. C. D. 6. 下列图象中，表示一次函数与正比例函数，（是常数， 且）的图象的是 ＡＢＣＤ 二、填空题（共4小题；共20分） 7. 当时，关于的函数是一次函数． 8. 将直线沿轴平移个单位长度，平移后的直线与轴的交点坐标 为． 9. 若直线与轴的交点到轴的距离为，则关于的一元一次方程 的解为． 10. 已知直线与轴的交点在，之间（包括、 两点），则的取值范围是． 三、解答题（共7小题；共91分） 11. 已知正比例函数的图象在第二、四象限，求的值． 12. 已知关于的函数是一次函数，求的值． 13. 已知一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为，求这个一 次函数的解析式．
14. 对于一次函数，当时，对应的函数值为，求 的值． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点在直线 上，且，求的值． 16. 甲、乙两辆汽车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向 而行，乙车出发后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙 两车与地的路程分别为，，甲车行驶的时间为 ，，与之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）乙车休息了； （2）求乙车与甲车相遇后与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）当两车相距时，直接写出的值． 17. 为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每 月用水量不超过吨时，按每吨元计费；每月用水量超过吨时，其中的吨仍按每吨元计费，超过部分按每吨元计费，设每户家庭每月用水量为吨时，应交水费元． （1）分别求出和时，与之间的函数表达式； （2）小颖家四月份、五月份分别交水费元、元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨
高一数学教案：第五章 平面向量教材分析
第五章平面向量教材分析 这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等 章教学时间约25课时，具体安排如下： 5.1向量约1课时 5.2向量的加法与减法约2课时 5.3实数与向量的积约2课时 5.4平面向量的坐标运算约2课时 5.5线段的定比分点约l课时 5.6平面向量的数量积及运算律约2课时 5.7平面向量数量积的坐标表示约1课时 5.8平移约1课时 5.9正弦定理、余弦定理约4课时 5.10解斜三角形应用举例约2课时 5.11实习作业约2课时 5.12研究性课题向量在物理中的应用约3课时 小结与复习约2课时 (一)本章内容 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法 本章共分两大节第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等 第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等 正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题 为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施 为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径” 本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等 (二)本章教学要求 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
平面向量的解题技巧
第四讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O是ABC △所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｄ．2AO OD AO OD = AO OD =Ｂ．2 =Ｃ．3
