(文章)圆中的三角函数题解题策略

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巧用单位圆解决三角函数问题的思考

本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知
例３如图３所示，若０＜＜＜号，通过计算比较
ｓｉｎｏ￣一与ｓｉ一两个值的大小．
识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确．因此，本文重新认识单位圆，重点探究其在新课程三角函数
为边长是１的等边三角形，所以ＡＢ＝１．评析常规方法较烦琐，若数形结
图１
大值和最小值．接着，由图４易
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合，看到题目中的两点，Ｂ．马上可联
想到，Ｂ点为单位圆＋Ｙ＝１上位于第一象限的两点，利
用单位圆知识加以求解．
解题技巧与方法
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◎王永玲（南京市第九中学，江苏南京
【摘要】在高中数学教学中，利用单位圆定义任意角的
三角函数，提高了单位圆、三角函数线的地位，借助单位圆
１
【关键词】单位圆；三角函数；应用方法
直角坐标系中的单位圆是研究三角函数的重要工具．
得出弓形ＡＢＣ的面积为 ÷ （一
ｓｉｎｃ￣），设为Ｓ；弓形ＡＣＤ的面积为
１

初中数学中常见的三角函数问题解题技巧

初中数学中常见的三角函数问题解题技巧三角函数是初中数学中的重要内容之一。

对于许多学生来说，解三角函数问题可能会感到困惑。

本文将介绍一些常见的三角函数问题解题技巧，帮助初中学生更好地理解和解决这类问题。

一、如何确定三角函数的正负性在解决三角函数问题之前，我们首先需要确定给定角度的正负性。

为此，我们可以利用圆的象限来帮助我们快速判断。

以单位圆为例，将其分为四个象限，如下图所示：```（图略）```对于象限 I 中的角度，正弦和余弦函数的值都是正数；对于象限 II 中的角度，正弦函数的值是正数，余弦函数的值是负数；对于象限 III 中的角度，正弦和余弦函数的值都是负数；对于象限 IV 中的角度，正弦函数的值是负数，余弦函数的值是正数。

同样的，我们可以根据象限来确定正切函数和余切函数的正负性。

在象限 I 和 III 中，正切函数的值是正数，余切函数的值是负数；在象限 II 和 IV 中，正切函数的值是负数，余切函数的值是正数。

二、如何转换三角函数的值有时候，我们需要在不同角度之间进行三角函数的相互转换。

下面是一些常见的转换方式：1. 根据定义关系转换：正弦函数和余弦函数的值满足以下关系：sin^2θ + cos^2θ = 1。

根据这个关系，我们可以计算出任意角度的正弦和余弦函数的值。

2. 利用诱导公式转换：诱导公式可以帮助我们在已知一个角度的三角函数值时，求解其他角度的三角函数值。

例如，已知sinθ 的值，我们可以利用诱导公式sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB 来求解sin(θ + π/6) 的值。

3. 利用对称性转换：三角函数具有一些特殊的对称性质。

例如，sin(-θ) = -sinθ，cos(-θ) = cosθ，tan(-θ) = -tanθ。

利用这些对称性，我们可以快速计算出三角函数值之间的转换关系。

三、如何应用反三角函数反三角函数是用来解决由三角函数求解角度的问题。

初中数学中的三角函数解题技巧详解

初中数学中的三角函数解题技巧详解三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个学科中，尤其在初中数学中更是频繁出现。

解题是数学学习中的核心内容，所以掌握三角函数解题技巧对于学生来说至关重要。

本文将详细介绍初中数学中的三角函数解题技巧，帮助学生更好地应对数学考试。

1. 弧度制与角度制的转换在解题过程中，有时候我们会遇到弧度制和角度制之间的转换。

为了方便计算，学生需要掌握两者之间的转换关系。

弧度制中，一个圆的周长是2π，即360度。

因此，1弧度约等于57.3度。

当题目给出的是角度制，而我们需要使用弧度制时，可以用角度乘以π/180来进行转换；相反，如果题目给出的是弧度制，而我们需要用角度表示时，可以用弧度乘以180/π进行转换。

2. 正弦、余弦、正切的性质应用在解三角函数题目时，学生需要熟练掌握正弦、余弦和正切的基本性质，并能应用到具体的解题过程中。

例如，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于某一锐角，正弦等于对边与斜边的比值。

学生可以通过画图的方式来帮助自己理解问题，并利用正弦函数的性质快速求解。

3. 三角函数的基本关系式在解题过程中，三角函数的基本关系式是学生经常用到的工具。

学生需要掌握正弦、余弦和正切的基本关系式，以及它们之间的相互关系。

例如，正切函数等于正弦函数除以余弦函数，而余弦函数等于1除以正弦函数的倒数。

熟练掌握这些基本关系式能够提高解题效率，避免一些乘除运算的繁琐计算。

4. 解直角三角形的方法直角三角形是三角函数的基础，学生需要熟练掌握解直角三角形的方法。

在解题过程中，学生可以利用勾股定理和三角函数的性质来求解三角形的各边长和角度。

例如，已知一个锐角和斜边长度，可以利用正弦函数或余弦函数来求解其他两边的长度。

5. 合理运用三角函数的性质在解题过程中，学生需要善于利用三角函数的性质，这样可以简化计算，提高解题速度。

例如，对于一些特殊角度（如30度、45度、60度等），学生应该熟记其正弦、余弦和正切函数值，这样在解题过程中可以快速得到答案。

数学三角函数题的解题技巧与方法

数学三角函数题的解题技巧与方法数学是一门需要不断探索和思考的学科，而解题是数学学习中的重要环节。

其中，三角函数题是数学中的一类常见题型，对于学生来说，掌握解题技巧和方法是非常关键的。

本文将从几个方面介绍数学三角函数题的解题技巧与方法。

一、了解基本概念在解题之前，我们首先需要了解三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

对于每个函数，我们需要知道其定义域、值域、周期、对称性等基本性质。

只有了解了这些基本概念，才能更好地理解和解题。

二、运用基本恒等式在解三角函数题时，运用基本恒等式是非常重要的。

常见的基本恒等式有正弦函数的和差化积公式、余弦函数的和差化积公式、正切函数的和差化积公式等。

通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子转化为简单的形式，从而更方便地进行计算和求解。

三、利用特殊角的性质特殊角是指能够通过计算得到精确值的角度，如30°、45°、60°等。

在解题时，我们可以利用特殊角的性质来简化计算过程。

例如，对于正弦函数和余弦函数，我们可以利用30°、45°、60°角的值来计算其他角度上的函数值。

而对于正切函数，我们可以利用45°角的值来计算其他角度上的函数值。

通过利用特殊角的性质，我们可以减少计算的复杂性，提高解题效率。

四、运用三角函数的图像特点三角函数的图像特点对于解题也是非常有帮助的。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，它的最大值为1，最小值为-1，周期为2π。

余弦函数的图像也是一条连续的曲线，它的最大值为1，最小值为-1，周期为2π。

而正切函数的图像则是一条有无数个渐近线的曲线，它的周期为π。

通过了解这些图像特点，我们可以更好地理解三角函数的性质，从而更好地解题。

五、结合实际问题进行建模在解三角函数题时，有时候会涉及到实际问题，我们需要将问题进行建模，然后利用三角函数来解决。

例如，在解决航空导航问题时，我们可以利用三角函数来计算飞机的航向和航速。

妙用单位圆求解三角函数问题

y x3 4 5 6 781 2 yxOPB R Q A妙用单位圆求解三角函数问题陕西刘大鸣梁杰引入单位圆中的三角函数线，为解决三角中的缩小角的范围、解或证明三角不等式、推导三角公式、求值及研究方程根的问题等提供了有利的工具.正确使用单位圆、坐标轴和象限角平分线，将直角坐标平面分为八个区域，简称“八卦”（如图）.各卦所在区上三角函数单调性和媒介值已知，利用三角函数线和八卦图可简捷的找到三角问题的解题思路.一用单位圆缩小角的范围。

如何缩小角的范围呢？凡是看到角和三角函数值，马上将角的终边纳入“八卦图”中缩小角的范围.例1（94高考）已知()π∈=+,x ,x cos x sin 051，则x cot简析：若用单位圆和三角函数线及“八卦图”，注意填空题的特征，借助八卦图取特殊值使问题简单.由三角函数线和“八卦图”及()π∈=+,x ,x cos x sin 051知，⎪⎭⎫⎝⎛ππ∈432,x ，取5354-==x cos ,x sin ，则43-=x cot .二妙用单位圆证明三角公式。

例2 求证()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+. 简证：如图β=∠α=∠B O P ,A O B ，作OB PQ ⊥于Q ，OA PM⊥于M，OA QN ⊥于N ，MP QG ⊥，易证α=∠=∠AOB QPM ，由三角函数线定义有()ααβαsin cos cos QP OQ GQ ON OM -=-==+βαβαsin sin cos cos -=.即()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+. 三妙用单位圆解三角不等式。

例3 若x x 22cos sin >，求x 的范围.简析:x x x x cos sin cos sin 22>⇔>在八卦图中满足条件的x 的终边落在2、3、6、7卦限内，并在一起的解集为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,,43,4ππππ四用单位圆证明三角不等式。

巧用三角函数求解与圆相关的最值问题

2013-12课堂内外求解与圆相关的最值问题是平面几何中的常见问题，常常需要利用基本不等式线性规划等解决，这个时候基本上要面临两个变量的问题。

而圆又与角息息相关，如果找到合适的角，利用三角函数强大的变形力量有时会为我们带来意想不到的效果。

一、关于内接图形的面积最值问题1.圆的内接矩形问题例1.如图所示，半径为R 的☉O 的内接矩形为ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值。

分析：圆的内接矩形并不是固定的，但是其对角线一定经过圆心，所以可以用对角线与一边所成的角来刻画矩形的变动。

解：设∠ABD=φ，φ∈（0，π2）则AD =2R sin φ，AB =2R cos φ∴S ABCD =AB ·BD =2R 2sin2φ，φ∈（0，π2）∴φ=π4时，S ABCD 取到最大值为2R 22.推广至半圆的内接矩形问题变式1.如图所示，半径为R 的半圆O 的内接矩形为ABCD ，求矩形ABCD 面积的最大值。

分析：要使内接矩形面积最大，不妨以B 为原始动点，它从半圆的弧的右端点开始运动到弧的中点。

而B点的这个运动过程我们可以用OB 与OA 所成的角刻画，角度从0变到π2。

故设∠AOB=θ，且θ为锐角，半圆的半径为R ，则S 矩形ABCD =AB ·DA=R sin θ·2R cos θ=R 2sin2θ所以，当θ=45°时,矩形ABCD 的面积取得最大值R 2。

3.再推广至扇形的内接矩形例2.如图，求圆心角为60°，半径为1的扇形AOB 内接矩形PQMN 面积的最大值。

分析：如图所示，矩形PQMN 内接于扇形AOB ，把M 点作为原始动点，设∠MOA =θ，则MQ =sin θ，PQ =OQ -OP =cos θ-NP tan π3cos θ-3√3sin θ，所以S 矩形PQMN =MQ ·PQ =sin θ（cos θ-3√3sin θ）=12sin2θ-3√31-cos2θ2=3√3sin （2θ+π6）-3√6所以当θ=π6时，S 矩形P QMN 取到最大值3√6。

利用单位圆解三角函数

利用单位圆解三角函数
三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

而利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。

什么是单位圆？单位圆是指半径为1的圆，它的圆心在坐标系的原点上。

在单位圆上，我们可以定义三角函数的值。

以正弦函数为例，对于一个角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。

这样，我们就可以把三角函数的值与角度联系起来。

利用单位圆解三角函数的好处在于，它可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。

例如，我们知道正弦函数的值域在[-1,1]之间，但是为什么会这样呢？如果我们画出单位圆，就可以看到，对于任意一个角度θ，sinθ的值都在-1和1之间，因为点P的纵坐标在-1和1之间。

利用单位圆解三角函数还可以帮助我们求解三角函数的值。

例如，如果要求sin(π/4)的值，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标和纵坐标都是√2/2，因此sin(π/4)=√2/2。

除了正弦函数，余弦函数、正切函数等三角函数也可以利用单位圆来解析。

例如，对于余弦函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sin(π/2-θ)，因此cosθ=sin(π/2-
θ)。

同样地，对于正切函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为1/tanθ，纵坐标为1，因此tanθ=sinθ/cosθ。

利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。

通过画出单位圆，我们可以更好地理解三角函数的性质，同时也可以帮助我们求解三角函数的值。

用单位圆解三角函数不等式

用单位圆解三角函数不等式三角函数是数学中非常重要的一个概念，它们与极坐标系统有着莫大的联系，不仅在几何中有着广泛的应用，在代数学和微积分学也有着重要的作用。

此外，三角函数也会出现在许多各种类型的不等式当中，而这些不等式的解法通常会涉及到单位圆的概念。

因此，本文主要探讨的便是对于三角函数不等式如何使用单位圆来解决，也就是说，如何将单位圆概念与三角函数不等式联系起来。

首先，我们先来看看单位圆的概念，单位圆也称为圆心，是指以原点为中心，半径为1的圆，单位圆上的点可以用(x,y)的坐标来表示，其中x和y都为实数并且满足关系式x^2+y^2＝1。

之后，我们来研究三角函数的关系，其中的角的余弦、正弦和正切也称为三角函数，它们有一些关于x和y的非线性关系，我们具体来看：1．余弦函数：y = cosx2．正弦函数：y = sinx3．正切函数：y = tanx这三个函数之间的关系是这样的：cosx＝sinx/tanx我们知道，圆的半径满足关系式r^2＝x^2+y^2，当我们将这个公式代入余弦函数中，可以得出：r^2＝cos^2x＋sinx^2我们可以证明，当x=0时， r^2=1当x=π/2时， r^2=1所以，当我们让x的值从0变到π/2的时候，它总是在单位圆上面，也就是说，它的取值范围总是在-1到1之间，并且是满足三角函数的。

我们知道单位圆上的点满足 x^2+y^2＝1，且当x值从0到π/2时候，它的y也是在-11 之间。

因此，为了让三角函数不等式满足，我们只需要让a的取值满足a<1可。

我们可以将取值范围写为-1≤y≤1， -a＜y＜a，也就是说，只要y值在-aa 之间，就可以满足三角函数的不等式。

因此，我们可以看到，三角函数的不等式可以通过单位圆来解决，只要把圆心设置为原点，便可以确定半径为1单位圆，从而确定取值范围。

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圆中的三角函数题解题策略
解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。

圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：
一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中
例1(成都市)如图1，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，
22AC =，BC =1，那么sin ∠ABD 的值是．
评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。

二、用直径与所对圆周角构造直角三角形
例2(烟台市)如图2，已知ＡＢ是半圆O 的直径，弦AD 、BC
相交于点P ，若∠DPB =α，那么CD
AB
等于
A ．sinα
B ．COSα
C ．tanα
D ．
1
tan α
评注：直径所对的圆周角是直角。

由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。

三、用切线与半径的关系构造直角三角形
例3(金华市) 如图4，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，13BO =．求：（1）⊙O 的半径；（2）sin OAC ∠的值；
（3）弦AC 的长（结果保留两个有效数字）．
评注：根据切线的意义，可知，切线垂直于经过切点的半径。

借此，可得直角三角形，从而可以运用三角函数解决有关问题。

四、转化条件中的垂直关系构造直角三角形例4(武汉市)如图4，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。

以BC 为直径作⊙O 交A B 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。

(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线； (2)求sin ∠E 的值。

评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.
图3
A
H
C O
B
图
B
D C
E F G O
图4A
C
B D
O
图1。