简单的三角恒等变换
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三 角恒等变换的重要特点.例如，在二倍角公式中 2α 是 α 的二倍， α 是α2的二倍，那么 cos α 能用α2的三角函数表示出来吗？反过来， 你能用 cos α 表示出 sin2α2，cos2α2，tan2α2吗？
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
反思与感悟 研究形如 f(x)＝asin2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx 的性质时，先化成 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c 的形式再解答.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
课堂检测
跟 踪 训 练 2 已 知 函 数 f(x) ＝ 3 sin 2x－π6 ＋ 2sin2 x－1π2 (x∈R).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
(2)求函数 f(x)在区间π8，34π上的最小值和最大值. 解 因为 f(x)＝ 2sin2x－π4在区间π8，38π上为增函数，在区间 38π，34π上为减函数，又 fπ8＝0，f38π＝ 2， f34π＝ 2sin32π－π4＝－ 2cos π4＝－1， 故函数 f(x)在区间π8，34π上的最大值为 2，最小值为－1.
要点疑点 深入探究 课堂检测
和一些简单的应用.
填要点·记疑点
1.半角公式
(1)S 2
：sin
α2＝ ±
(2)C ：cos 2
α2＝
±
1－cos α 2；
1＋cos α 2；
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
±
(3)T ：tan 2
α2＝
1－cos α 1＋cos α (无理形式)
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
解 ∵f(x)＝ 3sin 2x－1π2＋1－cos 2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
2x－1π2＋1＝2sin2x－1π2－π6＋1
＝2sin2x－π3＋1，∴T＝22π＝π.
2cos cos θ＋cos φ＝
2 cos
2
；
θ＋φ θ－φ cos θ－cos φ＝ －2sin 2 sin 2 .
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点三 辅助角公式
导引 使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2cos(x－θ)成
立时，cos φ＝ a ，sin φ＝ b ，sin θ＝ a ，
α2、cos
α2、tan
α 2
的值. 解 sin α2＝±
1－cos α 2 ＝±
1－2 13＝± 33，
cos α2＝±
1＋cos α 2 ＝±
1＋2 13＝± 36，
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
tan α2＝±
1－cos α ＝±
1＋cos α
∵α为第四象限角， ∴α2为第二、四象限角. 当α2为第二象限角时，
θ＋φ
θ－φ
α－β＝φ，则 α＝ 2 ，β＝ 2 ，由此可以得出四个相应的
和差化积公式，请你试一试写出这四个公式：
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
θ＋φ θ－φ
sin θ＋sin φ＝ 2sin 2 cos 2
；
θ＋φ θ－φ
sin θ－sin φ＝ 2cos 2 sin 2
；
θ＋φ θ－φ
不能确定时，根号前应保持正、负两个符号，而对于 tan 2θ，
还要注意运用公式 tan
2θ＝1＋sincoθs
1－cos
＝ θ
sin θ
θ 来求值.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
跟踪训练 1 已知 cos θ＝－35，且 180°<θ<270°，求 tan 2θ的值. 解 方法一 ∵180°<θ<270°， ∴90°<2θ<135°，∴tan 2θ<0，
sin α
1－cos α
＝ 1＋cos α ＝ sin α (有理形式).
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
2.辅助角公式：使 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)＝ a2＋b2
cos(x－θ)成立时，cos φ＝
a a2＋b2 ，sin φ＝
b a2＋b2 ，
sin x＋ 3cos x＝ 2sinx＋π3＝2cos(x－π6)
；
sin x－ 3cos x＝ 2sinx－π3＝－2cos(x＋π6)
.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考2 请写出把asin x＋bcos x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程.
答 asin x＋bcos x
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
课堂检测
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 解 当 f(x)取得最大值时，sin2x－π3＝1， 有 2x－π3＝2kπ＋π2，即 x＝kπ＋51π2 (k∈Z)， ∴所求集合为{x|x＝kπ＋51π2，k∈Z}.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
a sin θ＝ a2＋b2 ，cos θ＝
b a2＋b2 ，其中 φ、θ 称为辅助角，
它的终边所在象限由 点(a，b) 决定.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
填要点·记疑点
情境导学
三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变 换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式 结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角 的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数 式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并
3 6.
由 0<α<π3，得π6<2α＋π6<56π，
所以当 2α＋π6＝π2，
即
α＝π6时，S
最大＝
13－
63＝
3 6.
因此，当
α＝π6时，矩形
ABCD
的面积最大，最大面积为
3 6.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
第三章 三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换
主讲老师：读秀
CONTENTS
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
明目标、知重点
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方
法，以及进行简单的应用.
学习目标
2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本 方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用. 3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考2 由上述①～④这四个等式不难得出下列四个对应的积化
和差公式，请你试一试写出这四个公式：
sin αcos β＝
；
cos αsin β＝
；
cos αcos β＝
；
sin αsin β＝
.
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
思考 3 在上述①～④这四个等式中，如果我们令 α＋β＝θ，
＝
a2＋b2
a sin x＋ a2＋b2
b
cos x
a2＋b2
＝ a2＋b2(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝ a2＋b2sin(x＋φ)
(其中 sin φ＝ b ，cos φ＝ a ).
a2＋b2
a2＋b2
ห้องสมุดไป่ตู้
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
例1
已知 cos α＝13，α 为第四象限角，求 sin
α－
33sin
αsin
α
＝sin αcos α－ 33sin2α
＝12sin 2α－ 63(1－cos 2α)
＝12sin
2α＋
3 6 cos
2α－
3 6
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
课堂检测
＝
1
3
3 2 sin
2α＋12cos
2α－
3 6
＝
13sin2α＋π6－
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
探究点一 半角公式的推导
思考 1 如何用 cos α 表示 sin α2、cos α2、tan α2？
答 ∵cos α＝cos2α2－sin2α2＝1－2sin2α2，
∴2sin2α2＝1－cos α，
∴sin2α2＝1－c2os
α ，
∴sin α2＝±
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
例2 已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； 解 f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋1 ＝sin 2x－cos 2x＝ 2sin2x－π4. 因此，函数f(x)的最小正周期为π.
sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4＝ 2cos(x－π4)
；
sin x－cos x＝ 2sinx－π4＝－ 2cos(x＋π4)
；
3sin x＋cos x＝ 2sinx＋π6＝2cos(x－π3)
；
学习目标 要点疑点 深入探究 课堂检测
深入探究
3sin x－cos x＝ 2sinx－π6＝－2cos(x＋π3) ；
人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件
1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6
3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3
5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6
1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .
又
2
<
2
∴
2
<
2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=
2
=
1+
2
2
15
= −4.
1+17
2
=
3
，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −
1 +
1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
第六节简单的三角恒等变换课件人教新课标
考点二 三角函数式的求值 (常考常新型考点——多角探明) [多角探明]
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结 论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
归纳起来常见的命题角度有： (1)给值求值；
(2)给角求值； (3)给值求角.
角度一：给值求值
1．(广东高考)已知函数
＝cos2α2α－sinα2α2·cos
αcosα2＋sin α
α αsin2＝2scionsαα·
α cos2
α＝sin2 α.
sin2cos2
cos αcos2
cos αcos2
[类题通法] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联 系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用 的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形 的方向，如“遇到分式要通分”等．
解析：sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin 50°1＋
sin 10° 3·cos 10°
＝sin
50°×cos
10°＋ cos
3sin 10°
10°
＝sin
50°×212cos
10°＋
3 2 sin
cos 10°
10°
＝2sinc5o0s°·1c0o°s 50°＝scions11000°°＝ccooss 1100°°＝1.
由 f(θ)＋f(－θ)＝32，得 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4＝32，
化简得 cos θ＝ 46，∵θ∈0，π2，
∴sin θ＝ 1－cos2θ＝
省级教学竞赛获奖课件(人教版)5.5.2简单的三角恒等变换课件(人教版)
2
2
2
将(1)(2)两个等式的左右两边分别相除，可得tan2 α 1 cosα . 2 1 cosα
简单的三角恒等变换
例7的结果还可以表示为：
cosα 1 2sin2 α 2
降角升幂
cosα 2cos2 α 1 2
sin2 α 1 cosα
2
2
降幂升角
cos2 α 1 cosα 22
因此，函数y sin x 3 cos x周期为2，最大值为2，最小值 2.
【解析】(2)原式 5(3 sin x 4 cosx)
5
5
5(cos sin x sin cosx) 5sin(x ) (其中tan 4)
3
因此，函数y 3sin x 4cos x的周期为2，最大值为5，最小值 5.
a
简单的三角恒等变换
【例9】求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1) y sin x 3 cos x； (2) y 3sin x 4cosx.
【解析】(1)原式 （2 1 sin x 3 cos x) （2 cos sin x sin cosx) 2sin(x )
2
2
3
3
3
2
（3） 3sin15 cos15;
【解析】原式 2(sin 15 3 cos15 1 ) 2(sin 15 cos30 cos15 sin 30 )
2
2
2sin(15 30 ) 2sin 45 2.
简单的三角恒等变换
【例6】把下列各式化成Asin(ωx φ)的形式.
（1）sinx cosx;
简单的三角恒等变换
【例10】如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
5.5.2-简单的三角恒等变换 2025年高考数学知识点题型及考项复习
+ cos
2
sin
2
2
−
2
,
= cos
cos
2
2
+ sin
sin ，
2
2
即 sin
2
所以sin
即tan
2
2
π
4
2
− cos
2
− cos
cos
2
= 1或tan
2
2
= 0或cos
2
故 =
π
4
=
2
2
= 0,
− sin
2
= 0,
= 1，又， ∈ 0, π
故 = 或 = .
cos = ± 1 −
π−
所以cos
2
=
5 2
13
=
π−
,则底角为
,由题意可知sin
2
12
π−
± ，所以cos
13
2
26 5 26
或
.
26
26
=
sin
2
=
1−cos
2
5
,所以
13
=
12
=
1±13
2
,
sin 4
6.化简：
1+cos 4
⋅
cos 2
1+cos 2
cos
⋅
1+cos
的交点，则( ABD
)
图5.5.2-1
5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)
第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
数学 必修 第一册 A
返回导航
第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin
高考数学简单的三角恒等变换
◈ 对点演练 ◈
π
[解析] sin 15°-cos 15°=2×=2(sin 30°sin 15°-cos 30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-.
[解析] f(x)=sin2x-=-,故f(x)的最小正周期T==π.
3. [教材改编] 化简:sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)= .
课堂考点探究
(2)[2021·江西鹰潭一模] 已知tan α=,则= .
2
[解析] ====2.
角度2 给角求值例3 计算:= .
课堂考点探究
[思路点拨]先利用诱导公式,再利用两角和与差的余弦公式求解即可.[解析] ========2.
2
[总结反思]该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
D
[总结反思]给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)已知=,则tan α+的值为 .
-8
[解析] ∵==cos α-sin α=,∴1-2sin αcos α=, ∴sin αcos α=-,则tan α+=+===-8.
课堂考点探究
探究点一 三角函数式的化简
[思路点拨] 将1变换为sin22+cos22,将cos 4和sin 4利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理得结果;[解析] ∵===sin 2+ cos 2,====-2cos 2, ∴2+=2sin 2+2cos 2-2cos 2=2sin 2,故选B.
6.简单的三角恒等变换
1
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2 sin cos
C 2： cos 2 cos sin 2 2s o c 1 1 2 n is
2 2
2
2 tan T2： tan 2 1 tan 2
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
半角公式：
S :
2
1 cos si n 2 2 1 cos cos 2 2
1 cos 2 tan 2 1 cos cos 2
C :
2
T :
2
si n
【练习】求证：
1 (1) sin cos [sin ( ) sin ( )] 2 1 ( 2) cos sin [sin ( ) sin ( )] 2
在区间 [0,
2 m的值及此函数当x∈R时的最小值及
] 上的最大值为6，求常数
取得最小值时x的集合.
【练习】教材复习参考题.
感受三角变换的魅力
提高练习：
辅助角
求函数 y 3 sin( 2 x ) cos2 x 的最小值 .
3
求函数递 增区间.
14
实践体会三角变换的魅力
提高练习：
【变式练习】
1 ( 3) cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 (4) sin sin [cos( ) cos( )] 2
5sin sin 2 sin
简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.(2)公式C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)公式T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式(1)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) (4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.(辅助角公式) 微思考1．思考三角恒等变换的基本技巧．提示 (1)变换函数名称：使用诱导公式．(2)升幂、降幂：使用倍角公式．(3)常数代换：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. (4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式．2．进行化简求值时一般要遵循什么原则？提示 异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )(2)∀α∈R,1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22.( √ ) (3)∀α∈R,2cos 2α＋cos 2α－1＝0.( × )(4)∃α∈R ，tan 2α＝2tan α.( √ )题组二 教材改编2．sin 15°cos 15°等于( )A ．－14 B.14 C ．－12 D.12答案 B解析 sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14. 3．已知sin α－cos α＝15，0≤α≤π，则cos 2α等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－725 D.725答案 C解析 ∵sin α－cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1,0≤α≤π， ∴sin α＝45，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2⎝⎛⎭⎫452＝－725. 4．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 16解析 方法一 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2 ＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 题组三 易错自纠5．计算：4tan π123tan 2π12－3等于( ) A.233 B ．－233 C.239 D ．－239答案 D解析 原式＝－23·2tanπ121－tan 2π12＝－23tan π6＝－23×33＝－239.6．(2020·泸州模拟)若tan α＝12，则cos 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D.35答案 D解析 ∵tan α＝12， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－141＋14＝35.题型一 三角函数式的化简1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.59答案 A解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．(2020·江苏改编)已知sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23答案 B解析 ∵sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23， ∴1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α2＝23， 即1＋sin 2α2＝23，∴sin 2α＝13. 3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B. 4．21＋sin 4＋2＋2cos 4等于( )A ．2cos 2B ．2sin 2C ．4sin 2＋2cos 2D ．2sin 2＋4cos 2答案 B解析 21＋sin 4＋2＋2cos 4＝2sin 22＋2sin 2cos 2＋cos 22＋2＋2(2cos 22－1)＝2(sin 2＋cos 2)2＋4cos 22＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵π2<2<π， ∴cos 2<0， ∵sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2＋π4，0<2＋π4<π， ∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. (2)cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25° ＝2cos 25°cos 25°＝ 2. 命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos 2α的值为 ． 答案 0解析 ∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴tan α＝3或tan α＝13(舍)， 则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos 2α， ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22 ＝22(2sin αcos α)＋2(cos 2α－sin 2α)＋22 ＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0.命题点3 给值求角例3 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 答案 17 π3解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又因为α，β均为锐角，sin β＝3314， 所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2， 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2， 又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．跟踪训练1 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.题型三 三角恒等变换的综合应用例4 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 解 (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1. 又α∈(0，π)，所以－π4<α－π4<3π4， 所以α－π4＝π2， 故α＝3π4， 因此tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值． 解 (1)由题意得f (x )＝24·sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22×⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－22·sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 所以－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－22，64，即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22. (2)因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1625－925＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－7π12 ＝－22·sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝－12(sin 2θ－cos 2θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12·⎝⎛⎭⎫725＋2425＝3150.课时精练1．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 2．已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( ) A.725 B ．－725 C.2425 D ．－2425答案 B解析 ∵tan α＝43，tan α＝sin αcos α， ∴sin α＝43cos α， ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 3．计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22答案 A解析 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°)＝sin 210°2sin 210°＝22. 4．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( )A ．－78 B ．－14 C.14 D.78答案 A 解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.5．(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是() A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2答案 CD解析 方法一 f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14 ＝sin x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14＝12·1－cos 2x 2＋34sin 2x －14 ＝34sin 2x －14cos 2x＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12.方法二 f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14＝－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫x －x －π3－14＝－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫－π3－14＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋14－14＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 6．(多选)下列说法不正确的是( )A ．存在x ∈R ，使得1－cos 3x ＝log 2110B ．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期为πC ．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角答案 ABC解析 在A 中，因为cos x ∈[－1,1]，所以1－cos 3x ≥0，因为log 2110<log 21＝0， 所以不存在x ∈R ，使得1－cos 3x ＝log 2110，故A 错误； 在B 中，函数y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x 的最小正周期为π2，故B 错误； 在C 中，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 得x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ， 所以函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，0，k ∈Z ，故C 错误； 在D 中，因为cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D 正确．7．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 答案 34解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1010， ∴tan α＝sin αcos α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－2×31－(－3)2＝34.8．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝ .答案 －33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝12或sin α＝－1(舍去)， ∴α＝5π6，则tan α＝tan 5π6＝－tan π6＝－33. 9．(2021·淄博模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝ .答案 －45解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3， ∴tan θ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4tan π4＝3－11＋3＝12， ∴sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝1－214＋1＝－45. 10.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ . 答案 －43解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210， 即sin αcos π4＋cos αsin π4＝210， 化简得sin α＋cos α＝15，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②解得cos α＝－35或cos α＝45， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以cos α＝－35. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35， 所以sin α＝45， 则cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250. 12．已知α，β为锐角，tan α2＝12，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)∵tan α2＝12， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－14＝43. 又α为锐角，且sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α， ∴sin α＝45，cos α＝35， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725. (2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 则tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 则tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝－2， ∴tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.13．设θ∈R ，则“0<θ<π3”是“3sin θ＋cos 2θ>1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 3sin θ＋cos 2θ>1⇔3sin θ>1－cos 2θ＝2sin 2θ⇔(2sin θ－3)sin θ<0⇔0<sin θ<32.当0<θ<π3时，0<sin θ<32；当0<sin θ<32时，2k π<θ<π3＋2k π，k ∈Z 或2π3＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z .所以0<θ<π3是3sin θ＋cos 2θ>1的充分不必要条件．故选A. 14．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的值是 ． 答案 －2425解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，cos α＝a .又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75， 两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925， 即1＋sin 2α＝4925，∴sin 2α＝2425. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2425.。
课件2：5.5.2 简单的三角恒等变换
1．设 α 是第二象限角，tan α＝－43，且 sinα2<cosα2，则 cosα2＝( )
A．－
5 5
5 B. 5
3 C.5
D．－35
解析：∵α 是第二象限角，且 sinα2<cosα2，∴α2为第三象限，∴cosα2<0，
∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cosα2＝－ 答案：A
点拨：解答本题可设∠PAB＝θ 并用 θ 表示 PR，PQ.根据 S 矩形 PQCR ＝PQ·PR 列出关于 θ 的函数式，求最大值、最小值．
解：如图，连接 AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ， PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
5.5.2 简单的三角恒等变换
【课标要求】
能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、 和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
【新知初探】
要点一 半角公式
1－2sin2α 2α
1－2sin2α2
2cos2α－1 α
2cos2α2－1
1－cos α
±
2
1＋cos α
±
2
状元随笔 巧记“半角公式” 无理半角常戴帽，象限确定帽前号； 数 1 余弦加减连，角小值大用加号． “角小值大用加号”即 y＝1＋cosα(α 是锐角)是减函数，角小值 大，因此用“＋”号，而 y＝1－cosα 为增函数，角大值大，因 此用“ －”号．