匀速圆周运动与万有引力定律专题

N

mg

匀速圆周运动及万有引力定律专题

一．匀速圆周运动

1．定义：运动轨迹为圆，且速度大小不变，速度方向时刻改变的运动叫匀速圆周运动。

注意：匀速圆周运动是一种变速运动，“匀速圆周运动”中的“匀速”是指速度的大小不变，但方向是时刻变化的。 2． 匀速圆周运动的相关公式：

线速度2r

=

v r T πω= 角速度2T

π

ω=

向心加速度222

24v r a r v r T

πωω====向 向心力222

24v r F ma m m r m m v r T

πωω=====向向 3．向心力

事物体做匀速圆周运动的力叫向心力。向心力的方向始终指向圆心，故而得名“向心力”，因此向心力是效果力。向心力可以是一个力或一个力的分力，也可以是多个力的合力。 4．离心运动和近心运动的原因

提供的向心力F 需要的向心力2

m r ω ＝2

m r ω 圆周运动 ＞2m r ω 近心运动

＜2m r ω 离心运动

＝0 切线运动

5．向心力的来源举例（临界状态分析） （1）。火车转弯

如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供

r

v m mg 2tan =ααtan gr v =⇒,v 增加，外轨挤压，如果v 减小，轨挤压。

问题：飞机转弯的向心力的来源

（2）。汽车过拱桥

如果汽车在最高点，那么r

v m N mg 2=-

此时汽车不平衡，mg ≠N

如果汽车在最低点，那么r

v m mg N 2

=-

说明：F ＝mv 2 / r 同样适用于变速圆周运动，F 和v 具 有瞬时意义，F 随v 的变化而变化。 （3）。圆锥问题

质量为m 的小球在顶角为2θ的光滑圆锥做水平面的匀速圆周 运动，则重力mg 和支持力N 的合理提供向心力

2

2=

=ma tan mg v F m m r m v r

ωωθ===向向 从而2

tan v r g

θ=小球越往下掉。 （4）。绳模型和杆模型

这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

①弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有mg R

mv mg F ≥=+2

即gR v ≥，否则不能通过最高点。

②弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有：gR v mg R

mv F mg ≤∴≤=-,2

，否则车将离开桥面，做平抛运动。

③弹力既可能向上又可能向下，如管转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小

v 可以取任意值。但可以进一步讨论：①当gR v >时物体受到的弹力必然是向下的；当

gR v <时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。②当弹

力大小F mg 时，向心力只有一解：F +mg ；当弹力F =mg 时，向心力等于零。 6．解题步骤：

（1）明确研究对象，确定它在哪个平面作圆周运动。

（2）对研究对象进行受力分析，确定是那些力提供了向心力。

（3）建立以向心力的方向为正方向的坐标，根据向心力公式列方程。 （4）解方程，对结果进行必要的讨论。 7．例题分析 例1。如图所示，传动轮A 、B 、C 的半径之比为2：4：1，A 、B 两轮用皮带传动，皮带不打滑，B 、C 两轮同轴，a 、b 、c 三点分别处于A 、B 、C 三轮的边缘，d 点在A 轮半径的中点。试求：a 、b 、c 、d ωa :ωb :ωc :ωd = 线速度之比,即

:::a b c d v v v v = ;向心加速度之比,即:a a

:a b

:a c

:a d

= 。

例2。如图所示，A 、B 两质点绕同一圆心沿顺时针方向做匀速圆周运动，A 、B 的周期分别为T 1、T 2，且T 1

质点再次相距最近？

例3。如图所示，线段OA ＝2AB ，A 、B 两球质量相等．当它们绕()点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力T AB 与T OA 之比为多

少?

例4.如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A 和B ，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是( ) A ．两物体沿切向方向滑动

B ．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远

C ．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动

D ．物体B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A 发生滑动，离

圆盘圆心越来越远

例5. 如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m =0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为f =2N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值围．

A c

a d B C b

v B

v A

O

A B