2020届四省名校高三上学期第二次大联考数学(文科)及答案
2020届四省名校高三第三次大联考数学(文科)试题(解析版)
2020届四省名校高三第三次大联考文数本试卷共4页，23题（含选考题）.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、单稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}20A x x x =-=，则A 的真子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B 【解析】 分析】先解得{}0,1A =,进而求解即可. 【详解】因为集合{}0,1A =, 则A 的真子集个数为2213-=, 故选:B【点睛】本题考查已知集合元素个数求真子集的个数,属于基础题. 2.下列选项中，满足1z z+为实数的复数z 是（ ）A. 1z i =+B. 1z i =-C. 122z =+ D. 12z =+【答案】C 【解析】 【分析】设(),z a bi a b R =+∈,则222221a b z a b i z a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,由1z z +为实数可得220b b a b-=+,则221a b +=,进而结合选项得到结果即可.【详解】设(),z a bi a b R =+∈,所以222222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫-⎛⎫+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭, 因为1z z +为实数,所以220b b a b-=+,所以221a b +=,即1z =, 结合选项可知C 正确, 故选:C【点睛】本题考查由复数的类型求参数,考查运算能力.3.“今年我已经8个月没有戏拍了”迪丽热巴在8月的一档综艺节目上说，霍建华在家里开玩笑时说到“我失业很久了”；明道也在参加《演员请就位》时透露，已经大半年没有演过戏.为了了解演员的生存现状，什么样的演员才有戏演，有人搜集了内地、港澳台共计9481名演员的演艺生涯资料，在统计的所有演员资料后得到以下结论：①有65%的人在2019年没有在影剧里露过脸；②2019年备案的电视剧数量较2016年时下滑超过三分之一；③女演员面临的竞争更加激烈；④演员的艰难程度随着年龄的增加而降低.请问：以下判断正确的是（ ） A. 调查采用了分层抽样 B. 调查采用了简单随机抽样 C. 调查采用了系统抽样 D. 非抽样案例【答案】D 【解析】 【分析】由调查对象是统计的演员的整体,未进行抽样调查,即可得到结果.【详解】调查结果是对所有9481名演员的情况进行总结的,所以分析对象是全体,不是抽样,故选:D【点睛】本题考查对随机抽样的理解,属于基础题.4.1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若522x=，lg 20.3010=，则x 的值约为（ ） A. 1.322 B. 1.410 C. 1.507 D. 1.669【答案】A 【解析】 【分析】 由522x=可得25lg 5lg 212lg 2log 2lg 2lg 2x --===,进而将条件代入求解即可. 【详解】522x=Q ,25lg5lg 212lg 2120.3010log 1.3222lg 2lg 20.3010x ---⨯∴====≈, 故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.5.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2232n S n n =-+，则11121a a a ++的值为（ ）A. 120B. 119C. 118D. 117【答案】B 【解析】 【分析】当2n ≥时,145n n n a S S n -=-=-,检验1n =,则1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,进而分别求得1121,a a ,即可求解.【详解】当2n ≥时,()()2212322131245n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦,当1n =时,114511a S =-=-≠=，不符合,所以1,145,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩, 1139a ∴=,2179a =,1112113979119a a a ∴++=++=,故选:B【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,注意检验当1n =时的情况.6.已知曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. a e =，1b =B. a e =-，1b =C. a e =，0b =D. a e =-，1b =-【答案】C 【解析】 【分析】先求导,再由1|x k y ='=,可得切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则可得到120e ab⎧+=⎪⎨⎪=⎩,即可求解.【详解】sin cos 222x e y x x x a πππ⎛⎫⎛⎫'=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q , 11x e y a=∴=+', ∴曲线sin 2x e y x x a π⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭在点1,1e a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线方程为()111e e y x a a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1e y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,120e a b⎧+=⎪∴⎨⎪=⎩, a e ∴=,0b =,故选:C【点睛】本题考查利用导数求在某点处的切线,考查由切线斜率求参数.7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 50-B. 50C. 51-D. 51【答案】B 【解析】 【分析】分析可得程序框图实现的功能是()()()()234100111213199S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯,进而求解即可.【详解】由题得,()()()()234100111213199123499S =-⨯+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯=-+-+⋅⋅⋅+=()()()123497989950-+-+⋅⋅⋅+-+=,故选:B【点睛】本题考查由程序框图求输出结果,考查分组求和法的应用. 8.函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案. 【详解】由3cos 1()x f x x+=，可得()()f x f x -=-， 故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A. 当π02x <<时，()0f x >；当11cos 3x -≤<-时，()0f x <，排除C,D. 故选B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.9.已知函数()f x 的图像关于原点对称，对于任意的1x ，2x R ∈，()()12120f x f x x x ->-.若()()()2600,0f m f n m n -+=>>，则mn 的最大值为（ ）A.92B. 9C. 5D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 关于原点对称及()()12120f x f x x x ->-可得()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,则()()()26f m f n f n -=-=-,即26m n +=,再利用均值不等式求得最值即可.【详解】由题意知()f x 是奇函数,且在R 上单调递增,又()()260f m f n -+=,()()()26f m f n f n ∴-=-=-, 26m n ∴-=-,26m n ∴+=,2222m n mn +⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭,即92mn ≥,当且仅当2m n ==3时取等号, mn ∴的最大值为92, 故选:A【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用,考查利用均值不等式求最值.10.过双曲线2213x y -=的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l ，交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则OAB V 的面积为（ ）A.B. 3C.D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由渐近线方程可得30FOB ∠=︒,由倾斜角可得60OFB ∠=︒,则90OBA OBF ∠=∠=︒,利用三角函数可得OB 和AB ,进而求解.【详解】不妨设点A 在第一象限,点B 在第四象限,由题,渐近线方程为y x =,则30FOB ∠=︒,2OF c ===,因为60OFB ∠=︒,所以90OBA OBF ∠=∠=︒,所以cos30OB OF =︒,又60AOB ∠=︒,则30OAB ∠=︒,所以2OA OB ==,所以3AB =,从而OAB V 的面积为122S OB AB =⋅⋅=, 故选:C【点睛】本题考查双曲线中的三角形面积,考查双曲线中渐近线方程的应用. 11.已知函数()22cos f x x x =+，则（ ）A. ()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()151sin 33lg 2f f f e ⎛⎫⎛⎫︒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()1512lg sin 33f f f e ⎛⎫⎛⎫<<︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()1512sin 33lg f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先利用导函数可判断()f x 在()0,∞+上单调递增,再根据()f x 为偶函数,且15110lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,进而得到结果.【详解】因为()22sin f x x x '=-,设()()g x f x ='，()22cos 0g x x '=-≥, 所以()f x '单调递增,当0x >时,()()00f x f ''>=, 所以()f x 在()0,∞+上单调递增,又()()22cos f x x x f x -=+=,即()f x 为偶函数,且15110lg lg sin 33122e e <=<=<︒<<,故()151lg sin 332f f f e ⎛⎫⎛⎫<︒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选:A【点睛】考查由函数单调性比较函数值的大小,考查利用导函数判断函数的单调性,考查奇偶性的应用. 12.函数()f x 和()g x 都是定义在(],t -∞上的单调减函数，且()()f t g t M ==，若对于任意k M >，存在1x ，()212x x x >，使得()()12f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”，若()2f x x =，下述四个结论中正确的是（ ）①()21g x x =--是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；②若()g x 和函数()21xh x =-关于y 轴对称，则()g x 是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”；③若()()ln g x x m =-+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”，则1m =； ④存在m 1≥，使得()1g x m x=+是()f x 在(],1-∞-上的“被追逐函数”. A. ①③④ B. ①②④C. ②③D. ①③【答案】D 【解析】 【分析】先判断()f x 与()g x 是否单调递减,并求得最小值,再根据若()g x 是()f x 在(],t -∞上的“被追逐函数”,()()12f x g x k ==,则12,x x 可用k 表示,利用12x x >,代入判断其是否恒成立,即可判断是否满足“被追逐函数”,由此依次判断①②③④【详解】对于①,()2f x x =和()21g x x =--在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()21g x x =--是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即21221x x k =--=,所以1212x k x ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩,12k +<,即()214k k +<,构造函数()()()2114x h x x x +=->,则()1102x h x +'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即()214x x +<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故①正确；对于②,依题意()112x g x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-,则()2f x x =和()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-在(],1-∞-上单调递减,且()()111f g -=-=,若()112xg x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f xg x k ==成立,即221112x x k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以()1212log 1,x x k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩当100=k 时,不存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故②错误；对于③,若()()ln g x x m =-+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,此时必有()()111fg -=-=,解得1m =,当1m =时,()()ln 1g x x =-+和()2f x x =在(],1-∞-上单调递减,若()()ln 1g x x =-+是()2f x x =在(),1-∞-上的“被追逐函数”,则对于任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,即()212ln 1x x k =-+=,所以112k x x e-⎧=⎪⎨=-⎪⎩,即1k e ->-,则22k k e -<,构造函数()22x h x x e -=-,则()22120x h x e -'=-<,则()h x 在()1,+∞上单调递减,又()10h =,则()0h x <恒成立,即22x x e -<,故对任意1k >,存在1x ,()212x x x >,使得()()12f x g x k ==成立,故③正确；对于④,当(],1x ∈-∞-时,()[)11,g x m m m x =+∈-+,而当(],1x ∈-∞-时,()[)21,f x x =∈+∞,由k 的任意性,不存在m 1≥,使得()1g x m x=+是()2f x x =在(],1-∞-上的“被追逐函数”,故④错误,故选:D【点睛】本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题.13.已知平面向量满足1a =r ，向量a r 与向量b r的夹角为135°，且1a b ⋅=-r r ，则()()2a b a b +⋅-=r r r r ______. 【答案】2- 【解析】 【分析】由1a b ⋅=-r r可得b =r 进而代入()()2a b a b +⋅-r r r r 求解即可.【详解】1a =r Q ,向量a r 与向量b r的夹角为135°,1a b ⋅=-r r ,cos135a b a b ∴⋅=⋅⋅︒=-1r rr r ,b ∴=r , ()()2222242a b a b a a b b ∴+⋅-=-⋅-=-=-r r r r r r r r ,故答案为:2-【点睛】本题考查向量的数量积的运算,考查运算能力. 14.已知n S 为递增等比数列{}n a 的前n 项和，其中1a ，92，4a 成等差数列，且238a a ⋅=，则5S =______. 【答案】31【解析】 【分析】由等差中项可得149a a +=,由等比中项可得14238a a a a ⋅=⋅=,根据递增数列可得1418a a =⎧⎨=⎩,即可求得公比q ,进而代入等比数列的前n 项和公式求解即可.【详解】14238a a a a ⋅=⋅=Q ,又149a a +=,且递增等比数列{}n a , 解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）, 设等比数列{}n a 的公比为q ,由341a a q =,得2q =,55123112S -∴==-,故答案为:31【点睛】本题考查等比数列的定义的应用,考查等差中项、等比中项的应用,考查等比数列的前n 项和公式的应用.15.已知()()2cos f x x θ=+，将()f x 的图象向右平移4π个单位得到()g x 的图象，且()()0g x g x -+=，若,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则θ=______. 【答案】4π- 【解析】 【分析】根据图象变换原则可得()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再根据()()0g x g x -+=可得()g x 是奇函数,则()2142k ππθ-=+⨯,进而求解.【详解】由题,()2cos 4g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 又因为()()0g x g x -+=,所以()g x 是奇函数, 所以()2142k ππθ-=+⨯,k Z ∈,即34k πθπ=+,k Z ∈,所以当1k =-时,4πθ=-,满足题意,故答案为:4π-【点睛】本题考查三角函数的图象变换,考查由三角函数的奇偶性求参数.16.已知直线l ：1y =与y 轴交于点M ，Q 为直线l 上异于点M 的动点，记点Q 的横坐标为n ，若曲线C ：2212x y +=上存在点N ，使得45MQN ∠=︒，则n 的取值范围是______.（用区间表示） 【答案】)(13,00,13⎡⎤--⋃+⎣⎦【解析】 【分析】设QN k k =,由45MQN ∠=︒可得1k =±,分别讨论Q 在第一象限与Q 在第二象限时的情况,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值或最小值,进而求解.【详解】由题,(),1Q n ,0n ≠, 设QN k k =,则QN l :()1y k x n =-+, 当Q 在第一象限时,则1k =,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最大值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩,则()()22341220x n x n n +-+-=,令0∆=,则13n =±,13n =-不符合题意,舍去；当Q 在第二象限时,则1k =-,当QN l 与椭圆相切时,n 取得最小值,联立()222201x y y x n ⎧+-=⎪⎨=--+⎪⎩,则()()22341220x n x n n -+++=, 令0∆=,则13n =-±,13n =-+不符合题意，舍去，综上,)(13,00,13n ⎡⎤∈--⋃+⎣⎦,故答案为:)(13,00,13⎡⎤--⋃+⎣⎦【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.今年，新型冠状病毒来势凶猛，老百姓一时间“谈毒色变”，近来，有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传，更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为：医治瘟疫要喝酒，为了调查喝白酒是否有助于预防病毒，我们调查了1000人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计，表格如下：规定：①每周喝酒量达到4两的叫常喝酒人，反之叫不常喝酒人；②每周喝酒量达到8两的叫有酒瘾的人.（1）求m值，从每周喝酒量达到6两的人中按照分层抽样选出6人，再从这6人中选出2人，求这2人中无有酒瘾的人的概率；（2）请通过上述表格中的统计数据，填写完下面的22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关？并对民间流传的说法做出你的判断.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）50人，25（2）见解析，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关. 【解析】 【分析】（1）由总人数减去各区间人数即可得到m ,则可知每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1,根据分层抽样可得所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B ,列出所有情况,判断出符合条件的情况,即可求解；（2）根据表格数据补充列联表,代入公式中,并与2.706比较即可判断. 【详解】解:（1）由题得,()100010030045010050m =-+++=（人）, 由表格可知,在每周喝酒量达到6两的人中无酒瘾与有酒瘾的人数之比为2:1, 则所选的6人中无酒瘾有4人,有酒瘾有2人,设无酒瘾的人为1A 、2A 、3A 、4A ,有酒瘾的人为1B 、2B , 设选出的2人无有酒瘾为事件M ,其概率为()P M ,则从6人中选2人共有如下:()12,A A ,()13,A A ,()14,A A ,()11,AB , ()12,A B ,()23,A A ,()24,A A ,()21,A B ,()22,A B ,()34,A A ,()31,A B ,()32,A B ,()41,A B ,()42,A B ,()12,B B ,共15种情况,其中事件M 有6种情况,所以()62155P M ==. （2）由表格可得常喝酒的有45010050600++=（人）, 则列联表如下:合计 600 400 1000则()221000200250400150 1.83 2.706600400650350K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,则在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能判断“是否得病与是否常喝酒”有关. 可见,民间的说法没有太强的科学性,对于医字繁体字的解读也属于笑谈.【点睛】本题考查分层抽样的应用,考查古典概型概率公式的应用,考查独立性检验处理实际问题. 18.如图，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边，ABC V 外接圆的半径为2，3cos sin c b A b A =+.（1）求b ；（2）求ABC V 周长的最大值. 【答案】（1）3b =2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为弦可得3sin sin cos sin 3C B A B A =+,化简可得tan 3B =,则3B π=,进而由正弦定理求解即可；（2）由（1）,利用余弦定理可得2212a c ac +=+,再利用均值不等式求得a c +的最大值,即可求解. 【详解】解:（1）由正弦定理及3cos sin 3c b A A =+, 得3sin sin cos sin 3C B A B A =+, 由()C A B π=-+,得()sin sin cos sin 3A B B A B A +=+,cos sin sin sin 3B A B A ∴=, ()0,A π∈Q ,sin 0A ∴≠,tan B ∴=,()0,B π∈Q ,3B π∴=,又ABC V 外接圆的半径2R =,2sin bR B∴=,b ∴=（2）由（1）2221cos cos 322a cb B ac π+-===,2212a c ac ∴+=+,2a c+≥得()()2222121224a c a c a c ac ++≤+=+≤+,a c ∴+≤当且仅当a c ==,等号成立,又b =QABC ∴V 周长的最大值为【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,考查求三角形的周长的最值,考查均值不等式的应用.19.已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22PA AB BC ===，AC =E 是棱PB 的中点，AF PC ⊥.（1）求证：BP ⊥平面AEF ； （2）求三棱锥P AEF -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）321【解析】 【分析】（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,再根据PA ⊥平面ABC 可得平面PAC ⊥平面ABC ,则BC ⊥平面PAC ,可得BC AF ⊥,由等腰三角形的性质可得AE PB ⊥,进而得证；（2）由（1）PE 是三棱锥P AEF -的高,利用勾股定理求得,EF AF ,进而求解. 【详解】解:（1）由22AB BC ==,3AC =可得AC BC ⊥,PA ⊥Q 平面ABC ,PA ⊂平面PAC ,∴平面PAC ⊥平面ABC , Q 平面PAC I 平面ABC AC =,BC ∴⊥平面PAC ,又AF ⊂平面PAC ,BC AF ∴⊥, 又AF PC ⊥,PC BC C ⋂=,AF ∴⊥平面PBC ,由PB ⊂平面PBC ,得⊥AF PB ,又E 是等腰PAB △边PB 上的中点,AE PB ∴⊥, 又AE AF A ⋂=,PB ∴⊥平面AEF .（2）由（1）可得,AEF V 为直角三角形,PE 是三棱锥P AEF -的高, 在Rt PAC △中,2PA =,3AC =7PC ∴=,2322177PA AC AF PC ⋅===,在Rt PAB V 中,2PA AB ==,12PE AE PB ∴===在Rt AEF V 中,7EF ===, 1122777AEF S AF EF ∴=⋅=⨯⨯=△, 1133721P AEF AEF V S PE -∴=⋅=⨯=△. 【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查求三棱锥的体积.20.已知函数()2ln 2x f x x kx =++.（1）若()f x 在定义域内单调递增，求k 的取值范围；（2）若()()()121200f x f x x x ==<<，且满足0122x x x =+，问：函数()f x 在()()00,x f x 处的导数能否为0？若能，求出()()00,x f x 处的导数；若不能，请说明理由.【答案】（1）[)2,-+∞（2）函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0,理由见解析 【解析】 【分析】（1）由解析式易知定义域为()0,∞+,则转化问题为()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立,根据均值不等式可得12x x+≥,即可求解； （2）假设()00f x '=,则有()()2111122222120ln 02ln 02102x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②,由①-②整理可得()112212ln 02x x x x k x x +++=-,即12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,设12x u x =,()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+,利用导函数判断()h u 的范围,即可判断假设是否成立.【详解】解:（1）由题得,函数()f x 的定义域是()0,∞+,且在定义域内单调递增,所以()10f x x k x'=++≥在()0,∞+上恒成立, 因为12x x+≥,当且仅当1x x =时等号成立,所以12x k k x++≥+,所以20k +≥,解得2k ≥-,故k 的取值范围是[)2,-+∞. （2）不能,理由如下:假设()00f x '=,则由题得()()21111222220120ln 02ln 02102x f x x kx x f x x kx x k x x x x⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎨⎪++=⎪⎪⎪+=⎩①②, ①-②得()()()12121212ln ln 02x x x x x x kx x -+-++-=,即()112212ln02x x x x k x x +++=-,又因为120012122x x k x x x x +⎛⎫=--=-- ⎪+⎝⎭, 所以112122121212lnln 202x xx x x x k x x x x x x +++=-=--+,所以()1212122ln0x x x x x x --=+, 所以12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+,③ 设12x u x =,()0,1u ∈,则③式变为()()()21ln 00,11u u u u --=∈+,设()()()21()ln 0,11u h u u u u -=-∈+, 则()()()()()()()22'22221211411()0111u u u u u h u u u u u u u +--+--=-==>+++, 所以函数()21()ln 1u h u u u -=-+在()0,1上单调递增,()(1)0h u h <=即()21ln 01u u u --<+,也就是12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+,此式与③矛盾, 故函数()f x 在()()00,x f x 处的导数不能为0.【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围问题,考查利用导函数处理双变量问题,考查转化思想与运算能力.21.已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 是坐标原点，4OA OB ⋅=-u u u r u u u r.（1）求线段AB 中点M 的轨迹的方程； （2）设直线l 与曲线M 交于C 、D 两点，CD ABλ=，求λ的取值范围.【答案】（1）224y x =-（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ,()22,B x y ,由4OA OB ⋅=-u u u r u u u r可解得128y y =-,联立直线l :x my n =+与抛物线,根据韦达定理可得1248y y n =-=-,则2n =,进而可知直线l 恒过定点()2,0,设M 为(),x y ,由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-,将直线的斜率公式代入,即可求得点M 的轨迹方程,并检验12x x =时是否满足；（2）分别联立直线l 与点M 的轨迹方程,直线l 与抛物线24y x =,利用两点间距离公式和弦长公式分别求得2CD 和2AB ,由>0∆可得m 范围,进而求得2λ的范围,从而求解.【详解】解:（1）设()11,A x y ,()22,B x y , 4OA OB ⋅=-u u u r u u u r Q ,12124x x y y ∴+=-,即221212444y y y y ⋅+=-, ()21280y y ∴+=,128y y ∴=-,设直线l :x my n =+,代入24y x =,得2440y my n --=,则216160m n ∆=+>, 1248y y n ∴=-=-,解得2n =, l ∴:2x my =+, ∴直线l 过定点()2,0, 设线段AB 的中点坐标为(),x y , 由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,作差可得()()211212214y y y y x x x x -+=≠-, 0242y y x -∴⋅=-,即224y x =-, 当12x x =时,中点()2,0满足上述方程, 故轨迹M 的方程为224y x =-. （2）由（1）,由2224x my y x =+⎧⎨=-⎩可得220y my -=,解得0y =或2y m =, l Q 与曲线M 交于C ,D 两点,0m ∴≠, 当0y =时,2x =；当2y m =时,222x m =+, 设()2,0C ,()222,2D m m +, ()()()2222222241CD m m m m ∴=+=+,由242y x x my ⎧=⎨=+⎩可得2480y my --=,则216320m ∆=+>,所以124y y m +=,128y y =-,则AB ==,()()()()22222222224112142161242m m CD m m m m m AB λ+⎛⎫∴====- ⎪++++⎝⎭, 由l 交曲线M 于C ,D 两点,知0m ≠,2104λ∴<<,102λ∴<<, 故所求λ的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查弦长公式的应用,考查求轨迹方程,考查运算能力. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程12x y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2281sin ρθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点P 的坐标为()1,0，求PA PB ⋅的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=，直线l的普通方程为220x -=.（2）4911 【解析】【分析】（1）对曲线C 利用222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩转化极坐标方程,对直线l 消去参数t 即可转化为普通方程；（2）由题列出直线l 的标准参数方程,代入曲线C 的直角坐标方程中,由12PA PB t t ⋅=,利用韦达定理求解即可.【详解】解:（1）2281sin ρθ=+Q ,即222sin 8ρρθ+=, ()2228x y y ++=∴,即22184x y +=,又12x y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）,所以220x -=, ∴曲线C 的直角坐标方程为22184x y +=,直线l的普通方程为220x +-=. （2）过P 点的直线l 的标准参数方程为17x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,将直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得2212877⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即211490t --=,且>0∆,设A ,B 两点对应的参数分别为1t ,2t ,121249491111PA PB t t t t ∴⋅=⋅=⋅=-=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查参数方程与普通方程的转化,考查利用直线参数的几何意义求解弦的乘积.23.已知函数()|1||24|f x x x =-+-，记()f x 的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若a 、b 、c +∈R ，且a b c m ++=，149123N a b c =+++++.求N 的最小值. 【答案】（1）1（2）367. 【解析】【分析】（1）将()f x 写为分段函数的形式,进而根据函数的单调性求解；（2）由（1）1a b c ++=,利用柯西不等式可得()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭,则149361237a b c ++≥+++,再由取等条件求解即可. 【详解】解:（1）()35,11243,1235,2x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩,1x ∴<时,()f x 单调递减；12x ≤<时,()f x 单调递减；2x ≥时,()f x 单调递增； ()()min 21m f x f ∴===.（2）由（1）知1a b c ++=,又()()()()222212312312336123a b c a b c ⎛⎫+++++++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭, 149361237a b c ∴++≥+++, 当且仅当1231231a b c a b c ⎧==⎪+++⎨⎪++=⎩,即161312a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时等号成立, 即N 的最小值为367. 【点睛】本题考查分类讨论法求最值,考查柯西不等式的应用,考查运算能力.。
2020届高三数学上学期第二次质检试题文(含解析)
2020届高三数学上学期第二次质检试题文（含解析）一．选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若集合，，则=( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为，，所以，根据并集的定义：是属于或属于的元素所组成的集合，可得，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.3.已知，，，若，则（）A. -5B. 5C. 1D. -1【答案】A【解析】【分析】通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.【详解】由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.4.已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项和为A. 112B. 51C. 28D. 18【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和可得解.【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: ，解得：，则数列的前7项和为: ，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项公式，属于基础题.5.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( )A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】6.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.7.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B【此处有视频，请去附件查看】9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是侧面AA1D1D与底面ABCD的中心，则下列说法错误的个数为①DF∥平面D1EB1；②异面直线DF与B1C所成的角为；③ED1与平面B1DC垂直; ④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由可判断①；由，可得异面直线与所成的角即是直线与所成的角（或其补角），可判断②；由且可判断③；由，可判断④，得解.【详解】对于①，平面平面平面，所以①正确；对于②，因为，所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角（或其补角），因为为正三角形，所以，所以②正确；对于③，且平面，即平面，所以③正确；对于④，，所以④正确，故选A.【点睛】本题考查线面平行的判定、异面直线所成的角、线面垂直的判定和等体积法求三棱锥的体积，属于基础题.10.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【解析】【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：，本题正确选项：【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.11.若则的最小值为A. 4B. 5C. 7D. 6【答案】C【分析】由已知得代入中化简得，而，再利用基本不等式可得最小值，得解.【详解】由已知，，，，得，所以,那么，当且仅当时取得等号，所以，即的最小值为7，故选C.【点睛】本题主要考查基本不等式,关键于先化简已知表达式，巧用“1”构造基本不等式，属于基础题．12.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上一点，且．若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，且,由中位线的性质可知|AF2|＝2a，∵|PA|＝|PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a ＋c)2＋4a2，化简得，即，则双曲线的离心率为.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二．填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设，满足约束条件，则的最大值是______.【答案】7【解析】根据不等式组做出可行域，而表示直线在y轴上的截距，当直线过点A时，z取得最大值，由解得点A代入可得解.【详解】画出不等式组表示的可行域，如下图中的阴影部分所示，由得点，表示直线在y轴上的截距，当直线过点时，z取得最大值.故填：7.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，做出可行域、理解目标函数的几何意义、结合数形结合找到目标函数取得最值的最优解是解决此类问题的常用步骤，属于基础题.14.点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______【答案】3x－y＋3＝0【解析】【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0故答案为：3x−y+3=0【点睛】本题主要考查直线垂直斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题.15.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．【答案】【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果.【详解】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝.【点睛】本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的半径为______．【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图还原其直观图，由三视图以及边长可得出三棱锥的结构特征，底面是正三角形边长为,一个侧面垂直底面，再由棱锥的体积公式采用等体法即可求解.【详解】几何体是三棱锥,如图：底面是正三角形边长为,一个侧面垂直底面,高为,,,,,几何体的表面积为：,几何体的体积为：,内切球的半径为r,所以,解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及棱锥的体积公式，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，此题也考查了学生的计算能力，综合性比较强.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长. 【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．【详解】（1）圆C的普通方程为，又，所以圆C的极坐标方程为.（2）设，则由解得，，得；设，则由解得，，得；所以【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.【此处有视频，请去附件查看】18.设数列的前项和，满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列前项和，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件满足，求得数列为等比数列，且公比，再根据成等差数列，求得首项的值，进而可得数列的通项公式；（2）根据，利用等比数列的前项和公式求得数列的前项和为.【详解】（1）由已知，由，即，从而，又因为成等差数列，所以，所以，解得.所以数列是首项为，公比为的等比数列所以 .（2）由（1）得，所以. 19.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象，写出变换过程;（3）若，求的值.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．【详解】解：（1）.（2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.法2：先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象.（3）由,得：，而.20.如图，四棱锥中，底面是边长为 4的菱形，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用条件可证明，再利用线面平行的判定即可得证；（2）根据线面垂直的判定可证明平面，再根据面面垂直的判定即可得证；（3）利用求得底面积和高即可求解．【详解】（1）设，连结，∵为中点，为中点，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面；（2）连结，∵,为中点，∴，又∵底面为菱形，∴，∵,∴平面，又∵平面，∴平面平面；（3）21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A （x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离为定值．综上可知：点O到直线AB距离d=为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22.已知函数．（1）求曲线在点处切线方程；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围【详解】（1），，（1），又（1），即切线的斜率，切点为，曲线在点处的切线方程；（2）令，，则，令，则．当时，，函数在上为增函数，故（1）；从而，当时，（1）．即函数在上为增函数，故（1）．因此，在上恒成立，必须满足．实数的取值范围为，．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.2020届高三数学上学期第二次质检试题文（含解析）一．选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若集合，，则=( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据并集的定义求解即可.【详解】因为，，所以，根据并集的定义：是属于或属于的元素所组成的集合，可得，故选C.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.3.已知，，，若，则（）A. -5B. 5C. 1D. -1【答案】A【解析】【分析】通过平行可得m得值，再通过数量积运算可得结果.【详解】由于，故，解得，于是，，所以.故选A.【点睛】本题主要考查共线与数量积的坐标运算，考查计算能力.4.已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项和为A. 112B. 51C. 28D. 18【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和可得解.【详解】由等差数列的通项公式结合题意有: ，解得：，则数列的前7项和为: ，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项公式，属于基础题.5.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( )A. 10B. 9C. 8D. 5【答案】D【解析】【详解】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.【此处有视频，请去附件查看】6.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】由题设，则A. 若，则，错误；B. 若，，则错误；D. 若，，当时不能得到，错误.故选C.7.函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B【此处有视频，请去附件查看】9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是侧面AA1D1D与底面ABCD的中心，则下列说法错误的个数为①DF∥平面D1EB1；②异面直线DF与B1C所成的角为；③ED1与平面B1DC垂直; ④A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由可判断①；由，可得异面直线与所成的角即是直线与所成的角（或其补角），可判断②；由且可判断③；由，可判断④，得解.【详解】对于①，平面平面平面，所以①正确；对于②，因为，所以异面直线与所成的角即是直线与所成的角（或其补角），因为为正三角形，所以，所以②正确；对于③，且平面，即平面，所以③正确；对于④，，所以④正确，故选A.【点睛】本题考查线面平行的判定、异面直线所成的角、线面垂直的判定和等体积法求三棱锥的体积，属于基础题.10.已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，根据圆的性质可知最小值为；根据抛物线方程和圆的方程可求得，从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：，本题正确选项：【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.11.若则的最小值为A. 4B. 5C. 7D. 6【答案】C【解析】【分析】由已知得代入中化简得，而，再利用基本不等式可得最小值，得解.【详解】由已知，，，，得，所以,那么，当且仅当时取得等号，所以，即的最小值为7，故选C.【点睛】本题主要考查基本不等式,关键于先化简已知表达式，巧用“1”构造基本不等式，属于基础题．12.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上一点，且．若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】取线段PF1的中点为A，连接AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则AF2⊥PF1，∵直线PF1与圆x2＋y2＝a2相切，且,由中位线的性质可知|AF2|＝2a，∵|PA|＝|PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得，即，则双曲线的离心率为.本题选择B选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二．填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设，满足约束条件，则的最大值是______.【答案】7【解析】【分析】根据不等式组做出可行域，而表示直线在y轴上的截距，当直线过点A时，z取得最大值，由解得点A代入可得解.【详解】画出不等式组表示的可行域，如下图中的阴影部分所示，由得点，表示直线在y轴上的截距，当直线过点时，z取得最大值.故填：7.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，做出可行域、理解目标函数的几何意义、结合数形结合找到目标函数取得最值的最优解是解决此类问题的常用步骤，属于基础题.14.点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为_______【答案】3x－y＋3＝0【解析】【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【详解】对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线，A、B的中点坐标(1,6)，AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y−6=3(x−1)即：3x−y+3=0故答案为：3x−y+3=0【点睛】本题主要考查直线垂直斜率之间的关系，考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题.15.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________．【答案】【解析】【分析】根据和项与通项关系得结果.【详解】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝.【点睛】本题考查和项与通项公式关系，考查基本分析求解能力.16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的内切球的半径为______．【答案】【解析】【分析】根据几何体的三视图还原其直观图，由三视图以及边长可得出三棱锥的结构特征，底面是正三角形边长为,一个侧面垂直底面，再由棱锥的体积公式采用等体法即可求解.【详解】几何体是三棱锥,如图：底面是正三角形边长为,一个侧面垂直底面,高为,,,,,几何体的表面积为：,几何体的体积为：,内切球的半径为r,所以,解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及棱锥的体积公式，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，此题也考查了学生的计算能力，综合性比较强.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．【详解】（1）圆C的普通方程为，又，所以圆C的极坐标方程为.（2）设，则由解得，，得；设，则由解得，，得；所以【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.【此处有视频，请去附件查看】18.设数列的前项和，满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列前项和，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件满足，求得数列为等比数列，且公比，再根据成等差数列，求得首项的值，进而可得数列的通项公式；（2）根据，利用等比数列的前项和公式求得数列的前项和为.【详解】（1）由已知，由，即，从而，又因为成等差数列，所以，所以，解得.所以数列是首项为，公比为的等比数列所以 .（2）由（1）得，所以.19.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象，写出变换过程;（3）若，求的值.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．【详解】解：（1）.（2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.法2：先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象.（3）由,得：，而.20.如图，四棱锥中，底面是边长为 4的菱形，，，为中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用条件可证明，再利用线面平行的判定即可得证；（2）根据线面垂直的判定可证明平面，再根据面面垂直的判定即可得证；（3）利用求得底面积和高即可求解．【详解】（1）设，连结，∵为中点，为中点，∴∥，又∵平面，平面，∴∥平面；（2）连结，∵,为中点，∴，又∵底面为菱形，∴，∵,∴平面，又∵平面，∴平面平面；（3）21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形周长为8，结合椭圆的定义可知，，利用，即可求得和的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系，利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.【详解】（1）由题意知，4a=8，则a=2，由椭圆离心率，则b2=3．∴椭圆C的方程；（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，∴，∴点O到直线AB的距离，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．由已知△＞0，x1+x2=，x1x2=，由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，∴．∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．∴点O到直线AB的距离为定值．综上可知：点O到直线AB距离d=为定值．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.22.已知函数．（1）求曲线在点处切线方程；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对求导得到，代入切点横坐标得到斜率，再写出切线方程；（2）令，证明其导函数在上恒为正，即在上恒增，而要满足在上恒成立，从而得到的取值范围【详解】（1），，（1），又（1），即切线的斜率，切点为，曲线在点处的切线方程；（2）令，，则，令，则．当时，，函数在上为增函数，故（1）；从而，当时，（1）．即函数在上为增函数，故（1）．因此，在上恒成立，必须满足．实数的取值范围为，．【点睛】本题考查利用导数求函数在某一点的切线，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，属于常规题.。
2020届江苏省“百校大联考”高三上学期第二次考试数学试题(解析版)
2020届江苏省“百校大联考”高三上学期第二次考试数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =，则实数a 的值为____________． 【答案】2【解析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解. 【详解】解：由{}2A B ⋂=，得212a a =+=或经检验，当2a =时，}{2A B ⋂=，符合题意， 当12a +=时，}{1,2A B ⋂=，不符合题意， 故a 的值为2． 【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2．函数()f x =_______.【答案】(1,2]【解析】根据幂函数与对数函数的定义域列不等式可得结果. 【详解】要使函数()f x =则()12log 10x -≥,即011x <-≤, 即12x <≤,故函数的定义域为(]1,2,故答案为(]1,2. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的性质，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =与向量(2,3)b m =-平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ． 【答案】充分必要【解析】由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解. 【详解】解：当1m =-时，(1,1),(3,3)ab =-=- ，即3b a =，所以a b ；当a b 时，31(2)0m m ⨯-⨯-=，解得1m =-， 故“1m =-”是“a b ”的充分必要条件． 【点睛】本题考查了共线向量及充分必要条件，属基础题. 4．已知幂函数22()m mf x x -=在区间(0,)+∞上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________． 【答案】1【解析】由幂函数的单调性可得：220m m -<，运算可得解. 【详解】解：由题意，得220m m -<，解得02m <<， 故整数m 的值为1． 【点睛】本题考查了幂函数的单调性，属基础题. 5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()πα-的值是____________． 【答案】2-【解析】由诱导公式可得tan 2α=，再运算可得解. 【详解】解：由题意可得2cos sin αα-=-，所以tan 2α=， 故tan()tan 2παα-=-=-． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及诱导公式，属基础题.6．设向量,,a b c 均为单位向量，且||2||a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________． 【答案】90【解析】由平面向量模的运算可得a b ⋅ ＝0，即可得解. 【详解】解：由题意，得22()2a b c +=，即22222a b a b c ++⋅=，又a b c ==， 故a b ⋅ ＝0，故a ，b 的夹角为90°． 【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题. 7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称，则()4f π=____________．【答案】12【解析】由三角函数图像的平移可得()sin(2)3g x x πϕ=-+，由函数的奇偶性可得3πϕ=，再运算即可得解.【详解】解：将函数()y f x =的图像平移后得到()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数，则(0)g ＝sin()3πϕ-+＝0，又2πϕ<，所以3πϕ=，故1()sin()cos 42332f ππππ=+==．【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，属基础题.8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．【答案】9【解析】由分段函数求值问题，将自变量代入解析式中求解即可. 【详解】解：1395133()()2()4()6()8sin()89222222f f f f f π=+=+=+=-+=-+=． 【点睛】本题考查了分段函数及函数求值问题，属基础题.9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S ，且S BA BC =，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．【解析】由正弦定理可得B 3π=，又4cos A 5=，所以3sin A 5=， 再结合两角和的余弦公式求值即可. 【详解】BA BC=⋅1sin B cos B 2ac ca =，即sin B =，tan B =所以B 3π=．又4cos A 5=，所以3sin A 5=，故4cosC cos(A B)cos A cos B sin Asin B 10=-+=-+=． 【点睛】本题考查了正余弦定理与解三角形，属中档题.10．设函数()1x x f x e e -=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．【答案】1-12⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】先研究函数()1y f x =-的单调性与奇偶性，再利用函数的性质求解不等式的解集即可. 【详解】 解：令()()1x x g x f x e e -=-=-，显然()g x 为单调递增的奇函数．不等式2(21)()2f x f x -+<，可转化为不等式2(21)1[()1]f x f x --<--，即可得2(21)()()g x g x g x -<-=-．所以221x x -<-，解得112x -<<， 故原不等式解集为(﹣1，12)． 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，属中档题. 11．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【解析】由不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，可转化为213()ln 22f x x a a x =+--的最小值大于0，再求函数()f x 的最小值即可得解. 【详解】解：设213()ln 22f x x a a x =+--，则1()x f x x'-=， 得2min 13()(1)122f x f a a ==+-，所以213122a a +-＞0，解得a ＞2或a ＜1，故a 的取值范围是(-∞，1)(2，+∞)．【点睛】本题考查了函数与不等式的关系及不等式恒成立问题，属中档题.12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ 的取值范围为____________．【答案】()0,4【解析】先设∠BAQ ＝θ，再将AP AQ 表示为θ 的函数，再利用三角函数求值域即可得解. 【详解】解：设∠BAQ ＝θ，θ∈(0，6π)，则∠BAP ＝θ＋3π． 在Rt △ABP 和Rt △ABQ 中，可得AQ ＝4cos θ，AP ＝4cos(θ＋3π)， 则AP AQ 4cos 4cos()cos8cos cos()333πππθθθθ⋅=⋅+=+2c o s 8c o s (c o s c o ss i n s i n )s i n c o s )332ππθθθθθθ=-=c o s 234(s i n 2)4c o s (2)2223θπθθ+=-=++ 由θ∈(0，6π)，得23πθ+∈(3π，23π)，所以11cos(2)232πθ-<+<． 故AP AQ ⋅∈(0，4)． 【点睛】本题考查了平面向量数量积及三角函数的辅助角公式，属中档题. 13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan α的值为____________． 【答案】2π 【解析】由导数的几何意义可得：曲线在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又由曲线过点(απ-，sin()απ-)，运算可得解.【详解】解：因为()cos f x x '=，所以在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-， 又因为直线l 经过点(απ-，sin()απ-)，所以sin()sin ()cos απααπαα--=--，即2sin cos απα-=-， 故tan 2πα=．【点睛】本题考查了导数的几何意义，属基础题.14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________． 【答案】351444⎛⎫⎧⎫⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，【解析】方程221()2()016f x af x a -+-=实根的个数等价于函数()t f x =的图像与直线12,tt t t == 的交点个数，其中12,t t 为方程 2212016t at a -+-=的根，作图观察即可得解. 【详解】解：令()t f x =，方程221112[()][()]01644t at a t a t a -+-=-+--=， 得114t a =+，214t a =-，根据()y f x =的图像，得如下简图：由104a -=，得14a =，此时11142t a =+=，符合题意； 由1141014a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得3544a <<．综上，a 的取值集合为(34，54){14}．【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了数形结合的思想方法，属中档题.二、解答题15．已知m 为实常数.命题2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=命题:q 函数()ln f x x mx=-在区间[1,2]上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）26m <<；（2）()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由命题的真假可得2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=再由方程有解问题求解即可；（2）由复合命题的真假，结合不等式恒成立问题最值法,列不等式组求解即可得解. 【详解】解：（1）当命题p 为真命题时，即2(1,2),0,x x x m ∃∈+-=因为函数()1,2y f x =在（）为增函数，则(1)0(2)0f f <⎧⎨>⎩，则26m m >⎧⎨<⎩故26m <<，（2）当命题q 为真时，即函数()ln f x x mx =-在区间[1,2]上是单调递增函数．即'1()0f x m x=-≥ 在区间[1,2]恒成立， 即'1(2)02f m =-≥，即12m ≤，又命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，则命题 p ，q 一真一假，①当p 为真，q 为假时，2612m m <<⎧⎪⎨>⎪⎩则26m <<，②当p 为假，q 为真时，2612m m m ≤≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或，则12m ≤， 综上可得实数m 的取值范围为()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查了命题的真假及不等式有解与恒成立问题，属中档题. 16．已知向量(sin,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()f a =，求sin(2)6πα+的值．【答案】（1）3,2,2,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）或0【解析】（1）由平面向量数量积的运算可得：()f x=)24x π- ，再结合三角函数的单调区间的求法可得解；（2）先由已知求出7212x k ππ=+或11212x k ππ=+（k Z ∈）， 再代入运算即可得解. 【详解】（1）解：因为()f x a b =⋅， 所以()sin cos sin()sin()222424x x x x f x ππ=++-=11sin cos sin()2224x x x π-=- ，令22242k x k πππππ-≤-≤+，解得：32244k x k ππππ-≤≤+， 故函数()f x 的单调递增区间为32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）因为()f a =，所以sin()244x π-=，即sin()4x π-=即7212x k ππ=+，或11212x k ππ=+（k Z ∈）；所以sin(2)6πα+=4sin(4)3k ππ+=或sin(2)6πα+=sin(42)0k ππ+=故sin(2)6πα+的值为02-．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数的单调性及三角求值问题，属中档题. 17．在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点． （1）若43CB CA ==，，求AB CD ⋅； （2）若2AB AC CA CD ??，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1）72；（2）直角三角形 【解析】（1）由平面向量基本定理可得：AB CD ⋅ =221()2CB CA -=72;得解；（2）由平面向量数量积运算可得：2,AB ACCA CA CB ?+?即2cos cos AB AC A CA CA CB C =+，再结合余弦定理求解即可得解.【详解】(1)解：因为AB CD ⋅=1()()2CB CA CB CA -⋅- =221()2CB CA -=1692- =72; (2)因为2AB ACCA CD ??，所以22=(),AB AC CA CD CA CA CB CA CA CB ?鬃+=+?所以2cos cos AB AC A CA CA CB C =+， 由余弦定理可得222222222AB AC BCCA CB ABAB ACCA CA CBAB ACCA CB+-+-=+，化简得：222AB AC BC =+ ， 故ABC ∆为直角三角形． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.18．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，12AD cm =，在线段AB 上取一点M ，沿着过M 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ．（1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式； （2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．【答案】（1）23,,sin cos 124l ππθθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）24⎡⎤-⎣⎦；（3）当4BM =时，翻折后重叠部分的图形面积最小【解析】（1）由图可知l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，再求函数定义域的范围即可；（2）由三角函数的性质求函数在区间上的值域即可；（3）由均值不等式求函数的最值，由取等的条件求出BM 的值即可. 【详解】解：（1）设顶点B 翻折到边AD 上的点为'B ，由题意可得'sin BM B M l θ==,sin cos2AM l θθ=，因为sin sin cos26l l θθθ+=，所以()6sin 1cos 2l θθ=+=23sin cos θθ，即l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，由题意有0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，首先利用sin 6l θ≤，可知21cos 2θ≥，解得cos 2θ≥，所以0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又由cos 12,l ≤，可知1sin 22θ≥，即12πθ≥， 即,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）223sin 3(1tan )cos x l θθθ===+，当,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan 2θ⎡⎤∈-⎣⎦，所以246x -≤≤，故x 的取值范围为24⎡⎤-⎣⎦；（3）319sin cos 22sin cos S l l θθθθ=⋅= ， 又3sin cos θθ=16≤=（当且仅当23sin θ=2cos θ 即6πθ=时取等号，故当23sin46sin cos 66BM πππ=⋅=时，S=故 4BM =时，S取最小值【点睛】本题考查了三角函数的值域及利用均值不等式求函数最值问题，属难度较大的题型. 19．已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0a ≥时，试求函数()f x 的最小值； （2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围． 【答案】（1）155ln 52a--+；（2）[)0,+∞ 【解析】（1）讨论0a =或0a >，判断函数的单调性，求最值即可； （2）由导数的应用，分别讨论 ①当1a =-时，②当10a -<<时， ③当1a <-时， ④当0a ≥时，函数()f x 的单调性，最值即可得解. 【详解】解：（1）由21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，， 则2'(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x-+-++-==-， ①当0a =时，'(1)()x f x x-=-， 当[1.5]x Î时，'()0f x ≤，函数为减函数，所以min ()(5)5ln5f x f ==-+ ，②当0a >时，当[1.5]x Î时，'(1)(1)()0ax x f x x+-=-≤，函数为减函数，即min 15()(5)5ln 52af x f ==--+ ， 综上可得当[1.5]x Î，且0a ≥时，函数()f x 的最小值为155ln 52a--+； （2）①当1a =-且(1,)x ∈+∞ 时，2'(1)()0x f x x-=> ，即函数在()1,+∞为增函数，()1(1)1022a af x f +->+-=，不合题意，②当10a -<<时，函数的单调增区间为()10,1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24144444()1()(1)()ln()13ln()2222a a af a a a a a a a a -+-=--+--+-+-=--+--， 由10a -<<，141,4a a->-> ，所以4430,ln()0,02aa a -->->->，故 ()102af x +->，不合题意， ③当1a <-时，函数的单调减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1()1(1)1022a af f a -+->+-=，不合题意， ④当0a ≥时，函数的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞， 所以()1(1)1022a af x f +-?-=，符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型. 20．已知函数32()3f x x x px q =-++，其中,p q R ∈．（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求,p q 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列；（3）若函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，对任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，求p 的取值范围．【答案】（1）2p q ==；（2）见解析；（3）[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由导数的几何意义可得解； （2）由等差数列的判定，只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，代入运算即可；（3）由导数的综合应用，求函数的单调性，再求函数的最值，解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 得'(1)2,()1f f x ==- ，又'2()36f x x x p =-+，即22,31p q p +-=-+=-， 故2p q ==；（2）要证12()2()f x p q f x +-，，成等差数列， 只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，又函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，则12122,3px x x x +==，3212111()()3f x f x x x px q +=-+++322223x x px q -++==22121212121212()()33()2()22(2)x x x x x x x x x x p x x q p q ⎡⎤⎡⎤++--+-+++=+-⎣⎦⎣⎦ ， 命题得证；（3）由函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，得(0)0f =，解得0q =且230xx p -+=有两个根为,m n ，于是有9400p p ∆=->⎧⎨≠⎩ ，即()9,00,4p ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭，'2()36f x x x p =-+有两个相异的实根，不妨设为1,212()t t t t <，①当90,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20m t n <<<，函数在[]2,m t 为减函数，在[]2,t n 为增函数，又()()0f m f n == 所以max ()()()0f x f m f n ===，故不等式()14f x p ≤+恒成立， ② 当(),0p ∈-∞时，120m t t n <<<< ，函数()f x 在[]12,t t 为减函数，在[]1,t m ， []2,t n 为增函数，由()()0f m f n ==，211360t t p -+=故32max 111()3f x t t pt =-+=12233p p t ⎛⎫-+⎪⎝⎭，对于任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，于是12233p p t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14p ≤+，又1t =，故2233p p⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭14p ≤+，令ϕ=()3ϕ>，则22(3)97279ϕϕϕ---≤+， 解得36ϕ<≤，解得36<≤，即90p -≤<， 即[)9,0p ∈-综上可得p 的取值范围为[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了函数的综合应用，属综合性较强的题型.。
2020届四省名校高三第二次大联考数学(理)试题(PDF版,含答案解析)
2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。
2020年浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期12月第二次联考数学试题(解析版)(精编)
第 1 页共 23 页2020届浙江省名校新高考研究联盟（Z20联盟）高三上学期12月第二次联考数学试题
一、单选题1．设集合{0,1}A，2Ba，若ABA，则实数a允许取的值有（）
A．2个B．3个C．4个D．无数个【答案】B
【解析】由ABA，得BA,所以集合B可能为0或1，从而得出答案. 【详解】由ABA，可得得BA.
则集合B可能为0或1
当0B时，0a=. 当1B时，1a.
所以实数a允许取的值有3个. 故选：B 【点睛】本题考查利用集合的子集关系求参数的值，属于基础题.
2．双曲线22132xy的焦点坐标是（）A．(1,0)，(1,0)B．(0,1)，(0,1)C．(5,0)，(5,0)D．(0,5)，(0,5)【答案】C 【解析】根据双曲线的方程可得,ab的值，再计算出c，可得其焦点的坐标. 【详解】
由双曲线22132
xy，可得3,2ab.
所以222cab5，所以5c第 2 页共 23 页
则双曲线22132xy的焦点坐标是(5,0)，(5,0).
故选：C 【点睛】本题考查根据双曲线的方程求焦点坐标,属于基础题.
3．若复数11iz
i（i为虚数单位），则3z的值是（）
A．1B．1 C．iD．i【答案】D 【解析】先利用复数的除法运算求出复数z，然后再求3z的值. 【详解】11+1211+12iiii
zi
iii，所以
33zii
故选：D 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，属于基础题.
4．设,ab是两条直线，,是两个平面，则ab
rr的一个充分条件是（）
A．,//,abB．
,,//ab
C．,,//abD．,//,ab【答案】C 【解析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出abrr成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案. 【详解】
A. 由,//,ab，还可能得到//ba，如图（1），所以不正确. B. 由,,//ab，还可能得到//ba，如图（2），所以不正确. C. 由,//b，可得b，又