清北学堂 高中数学-- 数列-等差与等比数列
(n = 1), ⎧ S1 an = ⎨ ⎩S n − S n −1 (n ≥ 2).
I．等差数列与等比数列 1．等差数列
（1）定义：
a n +1 − a n = d (常量)或a n +1 =
a n + a n+ 2 . 2
（2）通项公式：an=a1+(n－1)d .
（3）前 n 项和公式：
2 2 2 Sn − Sn −1 = 1( n ≥ 2), 且S 1 = a1 = 1, 所以数列 {S n } 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
即
2 Sn = 1 + (n − 1) ⋅ 1 = n, S n = n , 从而a n = S n − S n −1 = n − n − 1(n ≥ 2), 当 n=1 时，
【思路分析】 在 Sn 与 an 的混合型中，应整理成数列{Sn}的递推式或数列{an}的递推式，然 后用递推关系式先求出 Sn， 再求 an， 或直接求 an.本题容易得到数列{Sn}的递推式， 利用 an=Sn －Sn－1 先求出 Sn，再求 an 即可.
1 1 a S − S n −1 ,整理得 【解】n≥2 时，将 an=Sn－Sn－1 代入 2Sn=an+ n ,得 2Sn=Sn－Sn－1+ n
3 1 3 B=60°代入得 sinA· sinC= 4 ， 整理得 2 [cos(A－C)－cos(A+C)= 4 ， 即 cos(A－C)=1,所以 A=C，
且∠B=60°，故此△ABC 为正三角形. 【方法 4】将 60°－d, 60°, 60°+d 代入 sin2B=sinAsinC,
北京清北学堂 第三章：数列§3.1 等差数列与等比数列 数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是 a1, a2, …,an, …通常简记为{an}. 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个 数列的通项公式. 从函数的角度看， 数列可以看做是一个函数， 定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集， 函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{an}，把 Sn=a1+a2+…+an 叫做数列{an}的前 n 项和，则有
a n +1 = ± a n a n + 2 .
（5）任意两项：an=amqn－m. （6）无穷递缩等比数列各项和公式：
S= n =1
∑a
+∞
n
= lim S n =
n →∞
a1 (0 <| q |< 1). 1− q
（7）性质： ①设{an}是等比数列，如果 m、n、p、q∈N*，且 m+n=p+q，那么 am·an=ap·aq； ②设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，则 Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …， Spm－S(p－1)m(m>1, p≥3，m、n∈N*)仍为等比数列； ③设{an}是等比数列，则{λan}（λ是常数） 、{
当 b≠1，b≠－1 时，
b 由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n－1an－1+ 1 + b
1+ b n 1 + b n −1 1 ) an = ( ) a n −1 + . 有( b b (1 + b)b n −1 令c n = ( 1+ b n 1 ) a n , 则c n = c n −1 + . b (1 + b)b n −1
的常数，且 b≠－1.（1）求 an 与 an－1 的关系式； （2）写出用 n 与 b 表示 an 的表达式. 【思路分析】利用 Sn=an－an－1(n≥2)整理出数列{an}的递推关系式求 an.
a1 = S1 = −ba1 + 1 −
【解】 （1） 当 n≥2 时，an=Sn－Sn－1=
3 1 3 得 sin(60°－d)·sin(60°+d)= 4 ，即 2 [cos(2d)－cos120°]= 4 .
得 cos2d=1, d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC 为正三角形. 【评述】方法 1、2 着眼于边，方法 3、4 着眼于角.
1 a 例 3 各项都是正数的数列{an}中， 若前 n 项的和 Sn 满足 2Sn=an+ n ,求此数列的通ห้องสมุดไป่ตู้公式.
从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n 取 2，3，…，n 得
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1 1 , c3 − c 2 = ,K, (1 + b)b (1 + b)b 2 1 c n − c n −1 = , 上述n − 1个式子相加得 (1 + b)b n −1 1 1 1 1 1+ b 1 c n − c1 = a1 = ( + 2 + K + n −1 ), 且c1 = , b 1+ b b b 1+ b b 1 1 1 1 1− bn 所以c n = (1 + + 2 + K + n −1 ) = n −1 , b b 1+ b b b (1 − b)(1 + b) c 2 − c1 = 从而a n = bn 1 − bn bn b(1 − b n ) ⋅ = ⋅ c = , n (1 + b) n (1 + b) n b n −1 (1 − b)(1 + b) (1 − b)(1 + b) n +1
Sn =
n(a1 + a n ) n(n − 1) d. = na1 + 2 2
（4）等差中项：
a n +1 =
an + an+2 . 2
（5）任意两项：an=am+(n－m)d. （6）性质： ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为 n 的一次函数； ②公差为非零的等差数列的充要条件是前 n 项和公式为 n 的不含常数项的二次函数； ③设{an}是等差数列，如果 m、n、p、q∈N*，且 m+n=p+q，那么 am+an=ap+aq; ④设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和， 则 Sm, S2m－Sm, S3m－S2m, …, Spm－S(p－1)m(m>1,p ≥3，m、p∈N*)仍成等差数列；
m an }（m∈Z*）仍成等比数列；
④设{an}与{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列； ⑤设{an}是等比数列，{bn}是等差数列，bn∈Z*，则{abn}是等比数列（即等比数列中等距离 分离出的子数列仍为等比数列） ； ⑥设{an}是正项等比数列，则{logcan}(c>0, c≠1)是等差数列. 赛题精讲 例 1 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn=2an － 1(n=1, 2, … ) ， 数 列 {bn} 满 足 b1=3, bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求数列{bn}的前 n 项之和. （1996 年全国数学联赛二试题 1） 【思路分析】欲求数列{bn}前 n 项和，需先求 bn. 由 ak=bk+1－bk, 知求 ak 即可，利用 ak=Sk－Sk－1(k=2, 3, 4,…)可求出 ak. 【略解】由 Sn=2an－1 和 a1=S1=2a1－1,得 a1=1, 又 an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即 an=2an －1,因此{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则有 an=2n－1. 由 ak=bk+1－bk，取 k=1,2,…,n－1 得 a1=b2－b1, a2=b3－b2, a3=b4－b3, …, an－1=bn－bn－1,将上面 n－1 个等式相加，得 bn－ b1=a1+a2+…+an. 即 bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以数列{bn}的前 n 项和为 Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1. 【评述】求数列的前 n 项和，一般情况必须先研究通项，才可确定求和的方法. 例 2 求证：若三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则此三角形必是正三 角形. 【思路分析】由△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，知∠B=60°，三个角可设为 60° －d, 60°, 60°+d，其中 d 为常数；又由对应的三边 a、b、c 成等比数列，知 b2=ac，或将 三边记为 a、aq、aq2，其中 q 为正常数，由此知要证此三角形为正三角形只须证明 d=0 或 q=1 或 a=b=c. 2
1 a = n − n − 1 . a 由 2S1=a1+ n ,得 a1=1 也满足 n
故数列{an}的通项公式为
a n = n − n − 1 .
【评述】处理本例的思想方法，可用来求满足 Sn 与 an 混合型中的通项公式.
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1 (1 + b) n ，其中 b 是与 n 无关 例 4 设数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的关系为 Sn=－ban+1－
an
}（c>0, c≠1）是等比数列.
a n +1 a a = q (常量), 或 n + 2 = n +1 a a n +1 an （1）定义： n
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北京清北学堂 （2）通项公式：an=a1qn－1.
（3）前 n 项和公式： （4）等比中项：
北京清华大学附属中学高中等比数列知识点和相关练习试题doc
一、等比数列选择题1．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．20074．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ） A ．1B ．2±C ．2D ．2-5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．87．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．818．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．2059．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >B ．01q <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为7T11．正项等比数列{}n a 的公比是13，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1112．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1413．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >14．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，314a =，则q =（ ） A ．1- B ．4C ．12-D ．12±15．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为 （ ） A ．6B ．7C ．8D ．916．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列17．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．318．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定19．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 20．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．3二、多选题21．题目文件丢失！22．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40023．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） AB．12- C．12+ D．12-+ 24．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为125．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ）A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +<26．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8327．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++28．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T30．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路31．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 32．已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ） A ．0＜a1＜1B ．1＜b 1C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n33．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列34．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =35．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．D 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D 4．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B 5．B【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案.【详解】解：根据题意得该单音构成公比为因为第六个单音的频率为f，141422ff-==.661122ff-==.所以第五个单音的频率为1122f=.所以第八个单音的频率为1262f f=故选：B.6．A【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d，由此求得{}n a的前6项的和.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，由2a、3a、6a成等比数列可得2326a a a=，即2(12)(1)(15)d d d+=++，整理可得220d d+=，又公差不为0，则2d=-，故{}n a前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选：A7．C【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可【详解】设数列{}n a的公比为q，因为341a a q=，所以3q=，所以24352299a a q q+=+=.故选C8．C【分析】由题意可得1021031a a>，1021031,1a a><，利用等比数列的性质即可求解.【详解】由10210310a a->，即1021031a a>，则有21021a q⨯>，即0q>。
高一寒假(清北班)资料3(数列的概念)
专题三：数列的概念序：本章注意培养：观察归纳思想、递推思想、等价转化思想、函数思想解决数列问题。
实例引入：①印度国王奖励象棋发明者时，对象棋各格子里放麦粒，各格子里的麦粒数按位置放置的先后排成一列数：234631,2,2,2,2,,2L ②正整数从小到大依次排成一列：1,2,3,4,5,6,L③正整数的倒数排成一列：111111,,,,,,23456L的精确到1,0.1,0.01,0.001,L 的不足近似值排成一列：1,1.4,1.41,1.414,L⑤1-的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、…，排成一列：1,1,1,1,1,1,1,1,----L⑥无穷多个1排成一列：1,1,1,1,1,1,L一、数列的概念1．数列的定义：___________________________________叫做数列。
（这列数可“有限”也可“无限”） 注意：①数列的一列数是有次序性的，注意“数列”与“数集”的区分! ②数列中的项：数列中的每个数。
③数列的项数：数列中项的序号。
如：Ⅰ）234631,2,2,2,2,,2L ； Ⅱ）111111,,,,,,23456L 。
2．函数观点下“数列”的定义：数列实质上可以看做一个定义域为_________________________的函数()f n ，当自变量n 从1开始从小到大依次取正整数值时对应的一列函数值(1),(2),(3),,(),f f f f n L L （或(1),(2),(3),,()f f f f n L ）。
注意：数列视为正整数为自变量的函数值，与普通的函数有区别，它是离散的。
3．①数列的表示：123,,,,,n a a a a L L ，简记为{}n a 。
其中n a 叫数列的第n 项。
如数列：111111,,,,,,23456L ，简记为1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
n a ——数列{}n a 的第n 项（通项），n 为项数；{}n a ——数列123,,,,,n a a a a L L 。
高考数学-等差数列、等比数列与数列求和
（4）{an}是等差数列则{Sn/n}也是等差数列，首项与 相同，公差是 的1/2
2．数列求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝ ＝na1＋ d；
②等比数列的前n项和公式：
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
【考点3】裂项相消法求和
【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S ＝an .
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝ ，求{bn}的前n项和Tn.
[方法总结]使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
(1)若qk＝2(k∈N*)，求a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1；
(2)若对任意的k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等差数列，其公差为dk，设bk＝ .
求证：{bk}是等差数列，并指出其公差；
【变式】数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
15．已知数列{an}是首项为a1＝ ，公比q＝ 的等比数列，设bn＋2＝3log an(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{cn}的前n项和Sn.
16．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
高三数学等差等比数列1(教学课件201908)
专题知识整合
一般数列
数列
等差数列
等比数列 数列求和
概念 通项公式 概念
性质 求和 概念
性质 求和
等差、等比数 列的基本运用
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使王公已下制奴婢限数 齐疏而弱 外当三方英豪严敌 愚以告下之事 帝哭之恸 臣所陈封建 此例既多 虓入翼州发兵 父曜 然后乃欢 此制度大事 邑三千四百户 而求益吏者相寻矣 讴吟乐生必十倍于今也 参佐皆内叙 出为安南将军 皎皎瑚器 舜后姚虞 固子志嗣爵 并忠国爱主 议立其后 以弟息识为嗣 然公私宪制 默辄开仓振给 以年老 今宜豫开此地 魏武帝崩 自今已往 是以士多归焉 初封广晋伯 领宗正 以为群 播 光禄大夫 初 各不能以根其心也 古者封国 会帝寝疾 秦 无绩于官 乘苇茭车 建兴末 以勋封关内侯 卒于洛阳 三子 君以为如何 犹愈侵枉之害 望隆惟新 之化 深衔任恺 以年小获免 一人之身 越 示不遗故旧也 谤书盈箧 将诛齐王冏 以父孚年高 其酗虐如此 惠训播流 尚武帝女荥阳长公主 所遇不同 务农节用 陛下宜反而求之 礼同三司 致垂拱之化 因遂听之 道子后为会稽王 大罪必诛 臣以为古之养老 初无阙失 遐迩酸怀 是以授臣以方 牧之任 儒宗知退 臣数参访吴楚同异 其荀冯之谓也 勒率众来距 齐王以两献之亲 求乐毅之嗣 帝亲观之 当率由诏书 国除 一皆仰成 以为功伐乎 然朝廷器重之 太傅如故 时太尉贾充 岂郡多罪人 责嵩而不能罪之也 卒官 汉朝之诛诸吕 兼统军戎 孔颢共删改旧文 举者知在上者察不能审 帝问曰 能属文 论者嘉其志节 而了无愧心 品不校功 钟会并见亲待 追赠太保 楙走还国 奉充后 其达者辑 都督扬州诸军事 以此为疑 愿陛下明臣赤心而已 宣帝每器之 王恂 以翼佐大化 除员外散
第1讲 等差数列与等比数列
q
，
所
以
a2＋a3＋a4 a1＋a2＋a3
＝
（aa11＋＋aa22＋＋aa33）q＝q＝2，由 a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解
得 a1＝17，所以 a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2
＋22)＝32，故选 D.
a1＝1，故 S6＝6＋6×2 5×2＝36，选 A.
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第二部分 专题三 数 列
9
2．(2020·湖北八校第一次联考)已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－18，
若 Sk＝－181，则 k＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a2＝1，a5＝－18，所以 q3＝－18，解
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第二部分 专题三 数 列
16
(2)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两个根， 所以 a3a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以 a3<0，a15<0，则 a9＝－ 2，所以a2aa916 ＝aa299＝a9＝－ 2. 【答案】 (1)D (2)B
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第二部分 专题三 数 列
13
(2)在等比数列{an}中，a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两个根，则a2aa916的值 为( )
A．－2＋2 2
B．－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
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第二部分 专题三 数 列
14
【解析】
(1) 方 法 一 ： 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为
高中数学知识点：等差等比数列的综合及数列求和
等差等比数列的综合及数列求和知识要点：1、等差数列、等比数列的综合 （1）等差数列通项公式有如下求法：a a d a a d a a d n n N n n n 213211212-=-=-=-∈≥-…（）…（）………，且()()()()()dn a a n n 11211-=--+++有，…∴()a a n d n =+-11当()()n a n d a n N a a n d n =+-=∈=+-111111时，知，，成立。
由此，这种“累加法”适用于如下数列{}a n ：()a a f n n n +-=1的数列求通项公式。
（2）等比数列通项公式有如下求法：a a q a a q a a q n n N n nn 213211212===-∈≥-…（）…（）………，且()()()()12111⨯⨯⨯-=-……，得n a a q nn∴·a a q n n =-11 当n a q a n N a a q n n n ==∈=--111111时，·，知，·成立。
由此，这种“累乘法”知用于如下数列{}a n ，()a a g n n n+=1的数列求通项公式。
（3）“错位相减法”求“差比数列”的前n 项和 等比数列前n 项和公式采用的是“错位相减法”求得，用此方法还可以求符合条件的“差比数列”求前n 项和：a b C n n n =·，其中{}b n 是等差数列，{}C n 是等比数列，公差为d ，公比为q ()q ≠1。
设S a a a n n =+++12… =+++b C b C b C n n 1122··…·……（1） 两边同乘以q ，得qS b C q b C q b C q n n n =+++1122··…·=+++b C b C b C n n 12231 (2)（1）－（2），得：()()()()()()1112212231112121111231-=+++-+++=+-++--=++++-+-++q S b C b C b C b C b C b C b C b C C b b C b C b C d C C C b C n n n n n n n n n n n n n …………∴()[]S b C q dq C q C q qb n d C q n n n =-+----+-1111111111··· 2、数列求和求()S a a a f n n n =+++=12…的方法有如下几种 （1）公式法：等差数列中()()S na n n dn a a n n =+-=+11122等比数列中()()()S na q a a q qa q q q n nn ==--=--≠⎧⎨⎪⎩⎪11111111()()121216222+++=++…n n n n（2）错位相减法：如果一个数列的通项是由一个等比数列相应项乘积构成其前n 项和公式可以采用“错位相减法”求得。
高中自主招生数学知识讲解-函数 不等式 数列等 20131201
2）柯西不等式 设 a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , 当且仅当 bi 0(i 1, 2, 证明： 若 ai i 1, 2,
, bn 是实数，则有
2 2 an )(b12 b2 2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2
2 2 (a1 a2
anbb )2
, n) 或存在一个数 k ，使得 ai kbi (i 1, 2,
, n) 时，等号成立。
n 全部为零，则不等式显然成立；
2 f ( x) (a12 a2 2 an ) x 2 2(a1b1 a 2 b2 2 anbn ) x (b12 b2 2 bn )
(m 1)m
m 1 m 1
而且
m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 2
所以有
1 m
3
1 m 1
1 m 1
所以
1 1 2
3
1 3
3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 n 1 n 1 n
3
2
1 tan 2 sec2
1 cot 2 csc 2
三倍角公式
sin 3 3sin 4sin 3
cos 3 4 cos3 3cos
万能公式
2sin cos 2 tan 2 2 2 sin 2sin cos 2 2 sin 2 cos 2 1 tan 2 2 2 2
自招的数学学习有很大不同。 首先备考时间较短，只有一到两个月时间； 第二，可供参考的真题非常有限，只有 10 套左右，无法进行大量练习； 第三，每年的自招题目在考察范围和难度上波动性较大。 因此在自招备考时，对真题的利用要更高效，对每道题尽可能多挖掘一些东西； 解答完一道题后，要重新理一下题目的思维过程，找到题目思路的“触发点” ，争取遇到 类似的题目能举一反三。
高一春季(清北班)资料4(等比数列、数列求和、递推数列及不等式放缩)
专题四：等比数列、数列求和、递推数列及不等式放缩选讲一、等比数列、数列求和、递推数列1.（10山东理数9）设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 2．（12湖北理）定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数:①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x =④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3.（10安徽理）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A.2X Z Y += B.()()Y Y X Z Z X -=- C.2Y XZ =D.()()Y Y X X Z X -=-4.（10天津文数）设{}n a是等比数列，公比q =n S 为{}n a 的前n 项和。
记*2117,.n nn n S S T n N a +-=∈设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = 。
5.(11年江苏)设1271a a a =≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________。
6．（12上海理）设251sin πn n n a =,n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．1007.(11湖南理)对于*∈N n ，将n 表示为0112211022222⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=---k k k k k a a a a a n ，当0=i 时， 1=i a ，当ki ≤≤1时，i a 为0或1.记()n I 为上述表示中i a 为0的个数（例如：0211⨯=，0122020214⨯+⨯+⨯=，故()01=I ，()24=I ），则（1）()=12I ；（2）()=∑=12712n n I 。
高一数学等差等比知识点
高一数学等差等比知识点等差数列和等比数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在各个数学分支以及实际应用中都有着广泛的应用。
本文将从基本概念、性质、应用等方面介绍等差数列和等比数列的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻项的差值都相等的数列。
数列中的每一项称为等差数列的项，差值称为公差。
1. 基本概念等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
通过这个通项公式，可以方便地求解等差数列的任意一项。
2. 性质等差数列具有以下性质：- 任意三项可以构成一个等差数列；- 等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=(a1+an)n/2来计算；- 等差数列的前n项和与项数n成正比；- 等差数列的项数n与首项a1、末项an、公差d之间满足关系式an=a1+(n-1)d。
3. 应用等差数列广泛应用于数学和实际问题中，如等差数列在数列求和、数学推理、金融利息计算、物理学运动学、经济学等方面都有应用。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项的比值都相等的数列。
数列中的每一项称为等比数列的项，比值称为公比。
1. 基本概念等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
通过这个通项公式，可以方便地求解等比数列的任意一项。
2. 性质等比数列具有以下性质：- 任意三项可以构成一个等比数列；- 等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算；- 等比数列的前n项和与项数n成正比；- 等比数列的项数n与首项a1、末项an、公比r之间满足关系式an=a1*r^(n-1)。
3. 应用等比数列也具有广泛的应用，常见的应用包括复利计算、几何级数求和、生物学种群增长模型、物理学波动模型等。
综上所述，等差数列和等比数列是高中数学中重要且实用的概念。
通过了解它们的基本概念、性质和应用，我们可以在解决各种数学问题的过程中更加灵活和高效。
清北学堂 2012年暑假数学高端班(精品班、特训一)数列、不等式、多项式导学
模拟真题：
题 1：对于所有实数 x 1.证明： 解析：
1 ( x 1) 2 x 1 2 x 1 x 1 x2 x x2
1 x 1 x 1 x 1 2
x 1 x tan 2 x
( x 1) 2 x 1 x 1 2 x 1 由 x 1 x 1
a b c 3 bc ca a b 2
1 1 1 ,b ,c m n p np pm mn 3 mn pm np nm pm pn 2 1 1 1 3 2 2 2 2 2 m n pm n p n m p m p n 2mnp
n n 1 题 2：正数列 an 满足: ai ai . n 1.求证: <3. i 1 i 1 k 1 ak k
n 3 2
解析： an =n, n k n=k+1
k k 1 ak 1 . 2
2
a
x1 x2 x3 .... xn 400 ， x12 x2 2 x32 .... xn 2 104
求证： x1 x2 10 解析：若证 x1 x2 10 只需证 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 x2 2 x1 3x2 100 因为 x12 x2 2 x32 .... xn 2 104 且 xi 2 xi ....x2 i 2
an1 an an1 an an1 an
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an1 an 1
又 a1 1
an n