2-1-5牛顿定律的应用

o
− kt / m
v x = v 0 cos αe mg −kt / m mg v y = ( v0 sin α + )e −
k k
2-1-5 5 牛顿定律的应用举例 2 – 牛顿定律的应用举例
− kt / m
第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
y v x = v 0 cos αe mg −kt/ m mg v0 k =0 vy = (v0 sinα + )e − F A r k k dx = v x dt dy = v y dt P v α k >0 m − kt / m x = (v0 cos α )(1 − e ) o x k m mg mg − kt / m y = ( v0 sin α + )(1 − e )− t
一般认为
t ≥ 3 m b , v → vL
o
2-1-5 5 牛顿定律的应用举例 2 – 牛顿定律的应用举例 若球体在水面上是具有竖直向 下的速率 v0 ，且在水中的重力与 浮力相等， 浮力相等， 即 FB = P . 则球体在 水中仅受阻力 Fr = −bv 的作用
第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
例1 阿特伍德机 （1）如图所示滑轮和绳子的质量均 不计， 不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计. 轴间的摩擦力均不计.且 m1 > m2 . 求 重物释放后，物体的加速度和绳的张力. 重物释放后，物体的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系 画受力图、 画受力图、选取坐标如图
dv b F0 ) = − (v − dt m b
∫
v
0
dv b =− v − ( F0 b ) m
∫
t
0
dt
F F r B
F0 −(b / m )t v = ［1 − e ］ b 极限速度） t →∞, vL → F0 / b（极限速度）
当
v
y
F0 b
P
t = 3m b 时
v
t
v = vL (1 − 0.05) = 0.95vL
n FT − mg cosθ = mv 2 / l et θ dv − mg sin θ = m dt v 0 mg dv dv dθ v dv 2 = = v = v0 + 2lg (cos θ − 1) dt dθ dt l dθ 2 v θ v0 ∫v0 v d v = − gl ∫0 sin θ d θ FT = m( l − 2g + 3g cosθ )
第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
的轻绳， 的小球, 例2 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, 时小球位于最低位置， 另一端系于定点 o ， t = 0 时小球位于最低位置，并具 求小球在任意位置的速率及绳的张力. 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解
FT − mg cos θ = ma n − mg sin θ = ma t
y
v0
α
F r
A
P
v
x
o
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
dv x k = − dt vx m kdv y k = − dt mg + kv y m t=0
y
v0
α
F r
A
P
v
x
v0 x = v0 cos α v0 y = v0 sin α
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； 确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图） 隔离物体，画受力图） 2）取坐标系； 取坐标系； 3）列方程（一般用分量式）； 列方程（一般用分量式）； 4）利用其它的约束条件列补充方程； 利用其它的约束条件列补充方程； 5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果. 先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
F F r B
dv m = −bv dt
v
y
v
v0
P
dv b t ∫v 0 v = − m ∫0 d t
v
v = v0e
− (b / m )t
o
t
m1
m2
a m1 g − FT = m1a − m2 g + FT = m2 a a m1 − m2 2m1m2 a= g FT = g P2 0 P y 1 m1 + m2 m1 + m2
0 FT
FT
y
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
dv x ma x = m = −kv x dt dv y ma y =dt vx m
k = − dt mg + kv y m kdv y
设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比， 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比， Fr = −kv 为比例系数 . 抛体的质量为 即 ， 、 k . 求抛体运动的轨迹方程 . 初速为 、抛射角为 v0 m α 解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
mg − FB − 6 πη rv = ma 令 F0 = mg − FB b = 6 πηr
dv F0 − b v = m dt F0 b dv = − (v − ) dt m b
F F r B
v
y
P
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
（2）若将此装置置于电梯顶部，当 若将此装置置于电梯顶部， 相对地面向上运动时， 电梯以加速度 相对地面向上运动时， 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力. 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系 设两物体相对于地面的加速度分别 为 a1、 2 ，且相对电梯的加速度为 ar a
a
ar
k k k
mg m g k y = (tan α + ) x + 2 ln(1 − x) kv0 cos α k mv0 cos α
2
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
例5 一质量 m ，半径 r 的球体在水中静止释 放沉入水底. 为粘滞系数， 放沉入水底.已知阻力 Fr = −6 πrηv , η为粘滞系数， 求 v(t ) . F 为浮力 解 取坐标如图 B
l
en
r
o
m
2
P et
v
ω m
FT cosθ = P FT = mω l mg g cosθ = = 2 2 mω l ω l
θ = arccos
g
ω 越大， θ 也越大 越大，
ω l
2
利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示） 利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）.
2-1-5 5 牛顿定律的应用举例 2 – 牛顿定律的应用举例 例4
o FT e v
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
如图所示（圆锥摆）， ），长为 例3 如图所示（圆锥摆），长为 l 的细绳一端固 定在天花板上， 的小球， 定在天花板上，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球经 推动后， 推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度 为 ω 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角 为多少？空气阻力不计. 度 θ 为多少？空气阻力不计.
a ar
m1 m 2
m1 g − FT = m1a1
a1 = ar − a
− m2 g + FT = m2a2
m1 − m2 ar = ( g + a) m1 + m2
2m1m2 FT = ( g + a) m1 + m2
FT
0
a2
F T
y
a1
Py 1
a2 = ar + a
P0 2
2-1-5 5 牛顿定律的应用举例 2 – 牛顿定律的应用举例
o
解
FT + P = ma
v2 F FT sin θ = man = m = mrω 2 T r A FT cosθ − P = 0
l
θ
en
r
o
r = l sin θ
P et
v
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第二章 第二章 牛顿定律 对称性与守恒定律
l
F T
A
θ
l θ θ