数学分析之数项级数
09第九讲拉贝判别法
09第九讲拉贝判别法数学分析第⼗⼆章数项级数拉贝判别法第九讲数学分析第⼗⼆章数项级数由于⽐式和根式判别法的⽐较对象是⼏何级数,如果级数的通项收敛速度较慢,它们就失效了, 如p 级数.这类级数的通项收敛于零的速度较慢,因此较⽐式法或根式法在判断级数收敛时更精细.*拉贝判别法拉贝(Raabe)判别法是以p 级数为⽐较对象,数学分析第⼗⼆章数项级数定理12.10（拉贝判别法）+??-≥> ??111,n n u n r u ;n u 则级数收敛∑>0(ii),n N 若对⼀切成⽴不等式+??-≤ ?? 111,n n u n u .n u ∑则级数发散>0(i),n N 若对⼀切成⽴不等式设n u ∑为正项级数, 且存0.N r 在某正整数及常数数学分析第⼗⼆章数项级数.1p p r <<选使得故存在正数N , 111pr n n ，?>--证(i)111,n n u n r u +??-≥> ??由11.n n u ru n +≤-得111lim pn n r n →∞?-- ()101lim p x p x r -→-=p r=,1<使对任意n >N ，都有由于()011limpx x rx→--=1pn n -??≤111.pr n n 或??-<-数学分析第⼗⼆章数项级数1111n n N n N n n Nu u u u u u u u +++-=于是, 当n >N 时，有1211p p pNn n N u n n N ---≤ ? ? ?- >∑∑11,,.n p p u n因为时收敛所以是收敛的这样11n n u r u n +<-11p n ??<- 1.p n n -??=()1pNpN u n-=()11.pp NN u n-=数学分析第⼗⼆章数项级数131212n n n n n u u u u u u u u ++-= 212112n n u n n -->- 21.u n=∑∑1,.n u n因为发散故是发散的1(ii)11,n n u n u +??-≤ ??由1111,n n u n u n n +-≥-=得于是数学分析第⼗⼆章数项级数推论（拉贝判别法的极限形式）设∑nu为正项级数,且极限+→∞??-= ??1lim 1n n n u n r u 存在, 则(i)1,;n r u 当时级数收敛>∑(ii)1,.n r u 当时级数发散<∑数学分析第⼗⼆章数项级数(21)!!.(0(14)(2)!!Sn s n ）->∑的敛散性.例14 讨论下⾯级数解由于1lim 1n n nu u ，+→∞=所以考虑⽤拉贝判别法.洛必达法则因为121lim 1lim 122sn n n n u n n n u n +→∞→∞+??-=-?? ? ?+012lim 122st t t t →??+??=-?? ?+12022lim 22(22)s t t s t t -→??+-??=-??? ?++?? .2s =数学分析第⼗⼆章数项级数当s = 2时, 由于由拉贝法的⾮极限形式知级数(14)发散.11n n u n u +??- ??()()24322n n n +=+2243484n n n n +=++,1<(21)!!(14)(2)!!Sn n ??-∑由此可知当s > 2时，原级数收敛；当s < 2时，原级数发散；数学分析第⼗⼆章数项级数或根式法更⼴泛,13似乎可以得出这样的结论：的收敛级数.的收敛问题,⽽不能解决所有级数的收敛问题.我们还可以建⽴⽐拉贝判别法更为精细有效的判别法,但这个过程是⽆限的.从上⾯看到,拉贝判别法虽然判别的范围⽐⽐式法但当r =1时仍⽆法判别.⽽从例没有收敛得“最慢”因此任何判别法都只能解决⼀类级数当然。
数学分析-第十三章函数列与函数项级数3-精品文档
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
设 幂 级 数 n n x n a 1 的 收 敛 半 径 为 R ． RR, n 1
将 此 幂 级 数 nna xn1在 [0,x](xR)上 n1
逐 项 积 分 即 得anxn, n1
因 逐 项 积 分 所 得 级 数 的 收 敛 半 径 不 会 缩 小 ，
所R 以 R, 于R 是 R.
有
rn(x)
. ba
于 是 ， 当 n N 时 有
x x 0s(x)d xx x 0sn(x)dx xx0 rn(x)dx
bq(xx0). 根据极限定义，有
x
x
nx
x 0s (x )d x ln ix m 0s n (x )d x ln ii m 1x 0u n (x )dx
s n ( x ) 是 有 限 项 连 续 函 数 之 和 ，
故sn(x)(nN)在点x0连续，
0 当 x x 0时 总 有 s n (x ) s n (x 0 ) 3(3) 由(1)、(2)、(3)可见, 对 任 给 0 ， 必 有 0 ，
当xx0 时，有s(x)s(x0).
即nnaxn1与anxn的 收 敛 半 径 相 同 ．
n1
n1
再见
n2
在任何区间[a,b]上都是一致收敛的.
逐项求导后得级数
c x c o 2 2 x o s c s n 2 x o ,s 因其一般项 ,所不 以趋 对于 于 x零 都 任是 意值 发散 . 的
01-阿贝尔判别法,狄利克雷判别法
交错级数
绝对收敛级数及其性质
定理12.16（狄利克雷判别法）
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
若数列{an}单调递减,且
lim
n
an
0,
又级数
bn
的部分和数列有界, 则级数 anbn 收敛.
n
证 由于 bn 部分和数列 Vn bn有界, 故存在正
k1
数M, 使 |Vn | M , 因此当 n, p为任何正整数时,
2
n
cos
kx
sin
n
1 2
x
1.
k 1
2sin x
2
(21)
2
所以级数cos nx 的部分和数列当 x (0, 2π) 时有
界，由狄利克雷判别法得级数 an cos nx 收敛. 同
理可证级数 an sin nx 也是收敛的.
作为例3 的特例, 级数 sin nx 和 cos nx 对一切
| bn1 bn2 bn p ||Vn p Vn | 2M .
又由于数列{an } 单调递减, 且 lniman 0, 对 0, N , 当n N时，有 an . 于是根据(19)式得到
| an1bn1 an pbn p | 3 2M 6M .
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
n
kvk 3 A.
(19)
k 1
证 由(i)知 1 2 , 2 3 , , n1 n 都是同号的.
于是由分部求和公式及条件(ii)推得
n
kvk (1 2 )1 (2 3 ) 2 (n1 n ) n1 n n
k1
A (1 2 ) (2 3 ) (n1 n ) A n
01-根式判别法
n2ห้องสมุดไป่ตู้
lim n
1
2
n
*拉贝判别法
1 1, 2
由根式判别法, 原级数收敛.
注 由于极限lim n (n!)2 很难求, 所以上例中的 (i) n (2n)!
采用比式法更方便.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
*推论2
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
设
un 为正项级数,
且
lim
n
n
un
l,
(i) l < 1 时级数收敛;
(ii) l > 1 时级数发散.
则当
*例10考察级数b c b2 c2 bn cn 的敛 散性，其中 0 b c 1.
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
第七讲
正项级数的根式判别法
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
定理12.8（柯西判别法，或根式判别法）
设 un 为正项级数, 且存在某正数 N0 及常数l,
2
(1)n 2n
的敛散性.
解 由于
n 2 1
lim n un lim
n
n
2
n
1， 2
所以级数是收敛的.
若在(11)式中 l =1,则根式判别法仍无法对级数的敛
散性做出判断.
例如对
1 n2
数学分析ch10-1函数项级数的一致收敛性
时，和函数 S(x) = un (x) 也在 D 上连续，并且成立
n 1
lim
x x0
n 1
u
n
(
x)
=
n1
lim
x x0
un
(
x)
，
即极限运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数 un (x) 可
n 1
以逐项求极限）。
(1) 将性质(a)推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在 D 上连续
(c)
b a
[u1
(
x)
u
2
(
x)
u
n
(
x)]
d
x
=
b
a u1
(
x)
d
x
+
b a
u
2
(
x)
d
x
b a
u
n
(
x)
d
x
。
这些性质给我们带来了很大的方便。
对于函数项级数，我们面对的是无限个 un (x)（n = 1,2,3,…），它 们的和函数 S(x)大多是不知道的，因此只能借助 un (x)的分析性质来间 接地获得 S(x)的分析性质。那么很自然地，我们希望在．一．定．条．件．下．，
n 1
n 1
函数
S(x) = un (x) ， xD 。 n 1
S(x)称为 un (x) 的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的， n 1
因此称 un (x) 在 D 上点态收敛于 S(x)。 n 1
例 10.1.1 利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的 Cauchy
判别法，D'Alembert 判别法等）和定义 10.1.1，可知下述结论：
数学分析-级数求和的常用方法及例题解答
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料— 10） 例 10：请计算下面的级数式子：记 将级数各项转化为其它函数式 t t2 t3 tn 子化简级数并求原级数和， 关键在于 s =（ 1-t）( 2 3 +... n ...) t 1 t 1 t 1 t 1 各项的化简函数是否基本统一， 如何 选择函数式子才能有效化简， 将级数 ，其中 t 1- . 参数化为函数式子中的未知数， 并无 一般的通用函数， 选择函数视具体情 况而定. 1.13 级数讨论其子序列（例 11） 引理： 数列 {sn } 收敛的充分必要条件 是 {sn } 的任一子序列都收敛且有相 同的极限.特别的： 数列 {sn } 收敛于 s 的充分必要条件是两个互补的子列
1.11 三角型数项级数转化为复数系 *例 9：设 s = q cos q 2 cos 2 ... q n cos n ， 级数（例 9） 将三角型数项级数转化为复数 求 s. 域上的级数， 由于复数的实部对应于 数项级数， 从而转化为求复数系级数 进而求原级数和.
级数求和的常用方法-4
级数求和的常用方法-5
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
1.14 裂项法求级数和（例 12） 例 12：计算（g 是乘号） 针对级数是分数形式， 且满足分 1 1 1 . s ... 母为多项乘积形式， 且各项之间相差 1g2g 3 2g 3g4 ng( n 1)g( n 2) 一个相同的整数， 裂项后各项就独立 出来， 而原来各项之间相差整数则裂 项后新级数等价于求解某一个级数， 其余新级数照此可求出， 从而原级数 和可以求出. 裂项一般形式：
1 1 1 1 1 1 1+ +（ -1） + + +（ - ） + + +（ - ） +... 2 3 4 5 6 2 7 8 9 3
第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念
也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9
数学分析中的级数理论
数学分析中的级数理论数学分析是研究数学中的连续和极限概念的一个分支学科，而级数理论则是其中的一个重要内容。
本文将围绕数学分析中的级数理论展开讨论，深入探究级数的定义、性质以及收敛与发散等问题。
一、级数的定义与性质级数是由无穷多个实数或复数按照一定顺序相加而得到的数列。
一般来说，级数的一般形式可以表示为：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，ai为级数的第i项。
级数是一个重要的数学工具，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学以及金融学等。
在级数的研究中，我们首先需要关注级数的部分和。
部分和Sn表示级数前n项的和，即Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。
通过求解部分和，我们可以判断级数的收敛性与发散性。
如果存在一个实数S，使得对于任意正数ε，都存在正整数N，使得当n > N时，|Sn - S| < ε成立，那么我们称级数收敛于S。
否则，级数被称为发散。
在研究级数的收敛性时，我们常用到级数的必要条件和充分条件。
级数的必要条件是级数收敛的充分条件，而级数的充分条件是级数发散的必要条件。
对于必要条件，我们可以根据级数的收敛性来探究级数的性质。
二、级数的收敛与发散1. 绝对收敛与条件收敛级数的收敛性可分为两种情况：绝对收敛和条件收敛。
如果级数的每一项都是非负的，并且级数收敛，那么我们称这个级数为绝对收敛。
绝对收敛的级数具有良好的性质，如部分和的次序可以变换，级数的项可以逐项相乘等。
如果级数的每一项不一定非负，但是经过重新排列后收敛，那么我们称这个级数为条件收敛。
条件收敛的级数的性质较为复杂，排列的次序会对级数的和产生影响。
2. 收敛级数的性质对于收敛级数，我们有以下性质：（1）级数的和具有唯一性。
即如果一个级数收敛，那么它的和是确定的。
（2）收敛级数的任意子级数也是收敛的，并且具有相同的和。
（3）连续对收敛级数进行加、减、乘运算得到的新级数仍然收敛，并且和等于原级数的和与运算数的和之间的运算。
数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)
即
un vn un vn .
n 1 n 1 n 1
D
4.设级数 un 各项是正的, 把级数的项经过组合而得到的新级数 U n ,即
n 1 n 1
U n 1 ukn 1 ukn 2 ukn1 , n 0,1, 2, , 其中k0 0, k0 k1 k2 kn kn 1 . 若级数 U n收敛,证明原来的级数也收敛。
(2)
n 1
1 4n 2 1
1 1 1 2 n 1 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1 2 n 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 1 1 1 lim 1 . 2 n 2n 1 2
n
于是可得 Sn 由于 r 1,因此有
r
n 1
n
r cos x r 2 . 1 r 2 2r cos x
2.讨论下列级数的敛散性： (1) n ; n 1 2n 1
lim
n 1 0, 故原级数发散。 n 2n 1 2 由于级数 lim cos
第十章 数项级数
§1 级数问题的提出
1.证明：若微分方程xy '' y ' xy 0有多项式解 y a0 a1 x a2 x 2 an x n ; 则必有ai 0, i 1, 2, , n. 证明：若y a0 a1 x a2 x 2 an x n 微分方程的一个解, 那么 y ' a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y '' 2a2 6a3 x n(n 1)an x n 2 ; 于是可得 xy '' 2a2 x 6a3 x 2 n(n 1)an x n 1 xy a0 x a1 x 2 a2 x 3 an x n 1. 因此可知 xy '' y ' xy a1 (4a2 a0 ) x (9a3 a1 ) x 2 (n 2 an an 2 ) x n 1 an x n 0 那么由多项式相等可知有 a1 0 2 n an an 2 0 a 0 n 递推可知有ai 0, i 1, 2, , n成立。 n 2.
《数学分析》课件 (完整版)
第十章 数项级数
§5 无穷级数与代数运
小结
第十一章 广义积分
§1 无穷限广义积分
§2 瑕积分
第十二章 函数项级数
第十三章 幂级数
§1 幂级数的收敛半径与收敛区域 §2 幂级数的性质
§3 函数的幂级数展开
小结
第十四章 傅立叶级数
§1 三角级数与傅立叶级数
§2 傅立叶级数的收敛性
§3 任意区间上的傅立叶级数
排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19
若级数
u n 绝对收敛，其和为 S ，设
n 1
u n k
为
un
的任意重排，则
u nk
k 1
n 1
k 1
亦绝对收敛，且和仍为 S .
2021/6/18
5
定理 10.21（Riemann)
若级数
u n 条件收敛，则经适当重排
n 1
后，可使其和为任意的实数 ，或
若级数
un
收敛，其和为 S ，
0 p 0 p n1 1 p 2 p k p k 1 为自然数列，
则
p k 1
u j
亦收敛于
S.
k 0 j pk 1
2021/6/18
4
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立 而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重
a
a
（2）若 B0，当 xB时，f(x)(x)0,
则
a
(
x)d
x发散
a
f (x)dx发散。
2021/6/18
14
比较判别法II（用极限比较）
设函数 f (x) 在 [a,)有定义，在任意有限区间
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第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。
教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。
教学时数：18学时§1 级数的收敛性一．概念：1．级数：级数，无穷级数; 通项( 一般项, 第项), 前项部分和等概念( 与中学的有关概念联系). 级数常简记为.2.级数的敛散性与和: 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 .以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 .例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时, . 级数收敛;时, 级数发散;时, , , 级数发散;时, , , 级数发散 .综上, 几何级数当且仅当时收敛, 且和为( 注意从0开始).例2讨论级数的敛散性.解（利用拆项求和的方法）例3讨论级数的敛散性.解设,,=, ., .因此, 该级数收敛.例4 讨论级数的敛散性.解, . 级数发散.3.级数与数列的关系:对应部分和数列{}, 收敛{}收敛;对每个数列{}, 对应级数, 对该级数, 有=. 于是,数列{}收敛级数收敛.可见, 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .4. 级数与无穷积分的关系:, 其中. 无穷积分可化为级数;对每个级数, 定义函数, 易见有=.即级数可化为无穷积分.综上所述, 级数和无穷积分可以互化, 它们有平行的理论和结果 . 可以用其中的一个研究另一个 .二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则 .Th ( Cauchy准则) 收敛和N,.由该定理可见, 去掉或添加上或改变( 包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性 . 但在收敛时, 级数的和将改变 . 去掉前项的级数表为或.系( 级数收敛的必要条件) 收敛.例5证明级数收敛 .证显然满足收敛的必要条件 . 令, 则当时有应用Cauchy准则时，应设法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.例6判断级数的敛散性.( 验证. 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7( 但级数发散的例) 证明调和级数发散 .证法一( 用Cauchy准则的否定进行验证)证法二证明{}发散. 利用已证明的不等式. 即得，.三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1 收敛，—Const 收敛且有=( 收敛级数满足分配律)性质2 和收敛，收敛, 且有=.问题: 、、三者之间敛散性的关系.性质3 若级数收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变 . ( 收敛数列满足结合律)例8考查级数从开头每两项加括号后所得级数的敛散性 . 该例的结果说明什么问题?§2 正项级数一. 正项级数判敛的一般原则:1.正项级数: ↗; 任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th 1 设. 则级数收敛 . 且当发散时, 有, . ( 证)正项级数敛散性的记法 .3.正项级数判敛的比较原则:Th 2 设和是两个正项级数, 且时有, 则ⅰ> <, <;ⅱ> =, =.( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题)例1考查级数的敛散性 .解有例2设. 判断级数的敛散性 .推论1 ( 比较原则的极限形式) 设和是两个正项级数且,则ⅰ> 时, 和共敛散;ⅱ> 时, <, <;ⅲ> 时, =, =. ( 证)推论2 设和是两个正项级数, 若=，特别地，若～,，则<=.例3判断下列级数的敛散性:⑴; ( ～) ; ⑵;⑶ .二.正项级数判敛法:1．检比法：亦称为D’alembert判别法 .用几何级数作为比较对象, 有下列所谓检比法 .Th 3 设为正项级数, 且及时ⅰ> 若, <;ⅱ>若, =.证ⅰ> 不妨设时就有成立, 有依次相乘, , 即. 由, 得, <.ⅱ>可见往后递增, .推论( 检比法的极限形式) 设为正项级数, 且. 则ⅰ> <, <; ⅱ> >或=, =. ( 证)註倘用检比法判得=, 则有.检比法适用于和有相同因子的级数,特别是中含有因子者.例4 判断级数的敛散性.解, .例5讨论级数的敛散性.解.因此, 当时, ; 时, ; 时, 级数成为, 发散.例6判断级数的敛散性 .注意对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定 . 例如对级数和, 均有，但前者发散, 后者收敛 .2. 检根法( Cauchy判别法): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设为正项级数, 且及, 当时,ⅰ>若, <;ⅱ>若, =. ( 此时有.) ( 证) 推论( 检根法的极限形式) 设为正项级数, 且. 则, <; , =. ( 证)检根法适用于通项中含有与有关的指数者 . 检根法优于检比法.例7研究级数的敛散性 .解, .例8判断级数和的敛散性 .解前者通项不趋于零, 后者用检根法判得其收敛 .3．积分判别法：Th 5 设在区间上函数且↘ . 则正项级数与积分共敛散.证对且.例9 讨论级数的敛散性.解考虑函数0时在区间上非负递减 . 积分当时收敛, 时发散. 级数当时收敛,时发散. 时, , 级数发散.综上, 级数当且仅当时收敛 .例10 讨论下列级数的敛散性:⑴; ⑵.习题课一．直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时, 常用下列不等式:⑴ .⑵对, 有.⑶; 特别地, 有, .⑷时, 有.⑸.⑹充分大时, 有.例1判断级数的敛散性.解时, , ( 或). ……例2判断级数的敛散性, 其中.解时, 有;时, .例3设数列有界 . 证明.证设 .例4设且数列有正下界 . 证明级数.证设.例5 . 若, 则.证; 又.例6 设. 若级数和收敛,则级数收敛.例7 设. 证明⑴, , ;⑵和之一或两者均发散时, 仍可能收敛;⑶, , .证⑴充分大时, .⑵取.⑶.二. 利用同阶或等价无穷小判敛:例8 判断下列级数的敛散性:⑴; ⑵; ⑶;⑷; ⑸.例9 判断下列级数的敛散性:⑴; ⑵.註设正项级数的通项为的有理分式 . 当为的假分式时, 由于, ; 若为的真分式, 倘用检比法, 必有. 有效的方法是利用等价无穷小判别法.例10 设函数在点有连续的二阶导数, 且. 试证明:⑴若, 则级数发散.⑵若, 则级数收敛.（2002年西北师大硕士研究生入学试题）解把函数在点展开成带二阶Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有, 介于与之间.⑴若,则当充分大时不变号, 可认为是同号级数. 有∽, 发散.⑵若注意到在点连续,在点的某邻域内有界, 设, 有||=., 收敛.如例10所示，当时，常用Maclaurin公式确定的等价无穷小.例11 判断级数的敛散性, 其中且.解三．利用级数判敛求极限：原理: 常用判定级数收敛的方法证明或.例12 证明.例13 证明.例14 设↘. 若, .证对, 由, 有, 即;,即.于是, 时总有. 此即.§3 一般项级数一. 交错级数: 交错级数, Leibniz型级数 .Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型级数必收敛, 且余和的符号与余和首项相同, 并有.证( 证明部分和序列的两个子列和收敛于同一极限 . 为此先证明递增有界. ), ↗;又, 即数列有界.由单调有界原理, 数列收敛 . 设.. .由证明数列有界性可见, . 余和亦为型级数, 余和与同号, 且.例1判别级数的敛散性.解时, 由Leibniz判别法, 收敛; 时, 通项, 发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1.绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明收敛绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系) , 收敛.证( 用Cauchy准则).一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性 .2. 绝对收敛级数可重排性:⑴同号项级数：对级数，令则有ⅰ> 和均为正项级数, 且有和; ⅱ> , .⑵同号项级数的性质:Th 3 ⅰ> 若，则，.ⅱ>若条件收敛, 则, .证ⅰ> 由和, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真, 即和中至少有一个收敛, 不妨设.由= , =以及和收敛, .而, ,与条件收敛矛盾 .⑶绝对收敛级数的可重排性:更序级数的概念.Th 4 设是的一个更序 . 若, 则, 且=.证ⅰ> 若，则和是正项级数, 且它们的部分和可以互相控制.于是, , , 且和相等 .ⅱ>对于一般的, = , = .正项级数和分别是正项级数和的更序 . 由, 据Th 1 , 和收敛 . 由上述ⅰ>所证, 有, , 且有=, =, =.由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律 .是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢? 回答是肯定的 .Th 5 ( Riemann ) 若级数条件收敛, 则对任意实数( 甚至是) , 存在级数的更序, 使得=.证以Leibniz级数为样本, 对照给出该定理的证明 .关于无穷和的交换律, 有如下结果:ⅰ>若仅交换了级数的有限项, 的敛散性及和都不变 .ⅱ>设是的一个更序 . 若, 使在中的项数不超过,则和共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy积.[1] P20—21.2．级数乘积的Cauchy定理:Th 6 ( Cauchy ) 设, , 并设=,=. 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为. ( 证略)例3 几何级数是绝对收敛的. 将按Cauchy乘积排列, 得到.四. 型如的级数判敛法：1．Abel判别法：引理1 （分部求和公式，或称Abel变换）设和（）为两组实数.记. 则.证注意到, 有.分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,.可见Abel变换式中的相当于上式中的, 而差相当于, 和式相当于积分.引理2 ( Abel ) 设、和如引理1 .若单调, 又对,有，则.证不妨设↘..系设↘, (). 和如. 有.( 参引理2证明)Th 7 (Abel判别法) 设ⅰ> 级数收敛，ⅱ> 数列单调有界 . 则级数收敛 .证( 用Cauchy收敛准则, 利用Abel引理估计尾项)设, 由收敛, 对时, 对, 有. 于是当时对有.由Cauchy收敛准则, 收敛.2. Dirichlet判别法:Th 8 ( Dirichlet) 设ⅰ> 级数的部分和有界, ⅱ> 数列单调趋于零 . 则级数收敛 .证设, 则, 对, 有.不妨设↘0 , 对. 此时就有.由Cauchy收敛准则, 收敛.取↘0 , , 由Dirichlet判别法, 得交错级数收敛 . 可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.由Dirichlet判别法可导出Abel判别法 . 事实上, 由数列单调有界, 收敛, 设. 考虑级数,单调趋于零, 有界, 级数收敛, 又级数收敛,级数收敛.例4 设↘0. 证明级数和对收敛.证，时，，.可见时, 级数的部分和有界 . 由Dirichlet判别法推得级数收敛 . 同理可得级数数收敛 .习题课例1判断级数的敛散性 .解注意到, 所论级数绝对收敛, 故收敛. ( 用D-判法亦可).例2 考查级数的绝对及条件收敛性 .解时为Leibniz型级数, ……, 条件收敛;时, 绝对收敛 .例3 若. 交错级数是否必收敛?解未必. 考查交错级数.这是交错级数, 有. 但该级数发散 . 因为否则应有级数收敛 . 而.由该例可见, 在Leibniz判别法中, 条件单调是不可少的.例4 判断级数的敛散性.解从首项开始,顺次把两项括在一起, 注意到, 以及级数, 所论级数发散.例5设级数收敛. 证明级数收敛.证 . 由Abel或Dirichlet判法, 收敛.例6, 判断级数的敛散性.解., 现证级数收敛: 因时不,又↘, 由Dirichlet判法, 级数收敛.故本题所论级数发散.例7判断级数的绝对收敛性.解由Dirichlet判法,得级数收敛.但.仿例6 讨论,知本题所论级数条件收敛.例8 设级数绝对收敛,收敛. 证明级数收敛.证先证数列收敛 . 事实上,收敛,收敛.令, 则数列收敛,故有界 . 设, 于是由Abel变换, 有, ( 或而,收敛. 又数列和收敛, 数列收敛, 部分和数列收敛.例9设数列收敛, 级数收敛 . 证明级数收敛 .证注意到,收敛 .例10设↘,.证明级数收敛.证法一由↘,↘,. 因此,所论级数是Leibniz型级数, 故收敛.证法二, ↘,. 由Dirichlet判法, 收敛.第十三章函数列与函数项级数教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。