对数函数练习题

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高考数学专题《对数与对数函数》习题含答案解析

专题3.6 对数与对数函数1．（2021·安徽高三其他模拟（理））函数()ln ||f x x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再由0x >时的单调性排除一个选项，得正确选项．【详解】易知()ln ||f x x x =+是非奇非偶函数，所以排除选项A ，C ；当x >0时，()f x 单调递増､所以排除选项B.故选：D ．2．（2021·江西南昌市·高三三模（文））若函数()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩．则()0f f ⎡⎤=⎣⎦（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()0f f ⎡⎤⎣⎦的值.练基础()3log ,12,1x x x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则()0021f ==，因此，()()301log 10f f f ===⎡⎤⎣⎦.故选：A.3．（2021·浙江高三其他模拟）已知a 为正实数，则“1a >”是“32212log log a a ->”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用充分、必要条件的定义，即可推出“1a >”与“32212log log a a ->”的充分、必要关系.【详解】因为32212log log a a ->等价于3222log log a a >，由a 为正实数且1a >，故有32a a >，所以3222log log a a >成立；由a 为正实数，3222log log a a >且函数2log y x =是增函数，有32a a >，故()210aa ->，所以1a >成立.故选：C ．4．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．5．（2021·江苏南通市·高三三模）已知1331311log 5,,log 26a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>【答案】D 【解析】由于1331log g 66lo c ==，再借助函数3log y x =的单调性与中间值1比较即可.【详解】1331log g 66lo c ==，因为函数3log y x =在()0,∞上单调递增，所以333131log 31log 5log 6log 6a c =<=<<=，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10312112b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，所以c a b >>故选：D6．（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（）（已知lg 20.3≈，结果取整数）A ．42小时B ．53小时C ．56小时D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050t m a =⋅，③ ③÷①可得205t a -=，所以202025t -=，即20lg 2lg 51lg 20.720t -==-=，解得67t ≈（小时）.故选：D7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知2log 3a =，34b =，22log 31c =+，则下列结论正确的是（）A ．a c ，即可判断A ；利用222log 3b a==判断B ；利用B 的结论判断C ；利用C 的结论判断D.【详解】因为2log 31a =>，所以22log 3112c a a c a =+=+<⇒<，即A 不正确；因为33222log 42log 2log 3b a====，所以2ab =，即B 正确；由2ab =可知，21abc c a ==+，C 正确；由1abc a =+可知，2ab c ab b =+，则22bc b =+，即D 正确．故选：BCD.8．【多选题】（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（）A ．2101x x <<【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误.【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<，因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x<所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确；因为1201x x <<<，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误.故选：BC9．（2021·浙江高三期末）已知2log 3a =，则4a =________．【答案】9【解析】把2log 3a =代入4a 可得答案.【详解】因为2log 3a =，所以222log 3log 34429a ===.故答案为：9.10．（2021·河南高三月考（理））若41log 32a =，则39a a +=___________；【答案】6【解析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值.【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=.故答案为：61．（2021·浙江高三专题练习）如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得ABC V 为等边三角形，则t 的值为（）ABCD．3+【答案】C 【解析】由题意得()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =，根据等边三角形的性质求得C点的横坐标x t =-，结合A ，B两点的纵坐标和中点坐标公式列方程t =，解方程即可求得t 的值.【详解】由題意()3,log A t t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC V 是等边三角形，所以点C 到直线AB所以t x -=，x t =-根据中点坐标公式可得练提升33333log log 11log log log 22t t t t ⎛+-==-= ⎝，所以t -=，解得t =故选：C2．（2021·安徽高三其他模拟（文））已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（）A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-；若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e -<<.综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭.故选：D.3．（2021·全国高三三模）已知函数()xxf x e e-=+，若()()4561log ,log 6,log 45a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据对数函数的性质，结合基本不等式、比较法进行判断即可.【详解】因为()()xx f x ee f x --=+=，所以()f x 为偶函数，()21x xxxe x ee f e --=='-，当0x >时，()0f x '>，函数单调递增，当0x <时，()0f x '<，函数单调递减，()()()()444561log log 5log 5,log 6,log 45a f f f b f c f ⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭，因为lg4lg6+>故2222lg4lg6lg 24lg25lg4lg6(lg5)242+⎛⎫⎛⎫⋅<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭245lg5lg6lg 5lg4lg6log 5log 60lg4lg5lg4lg5-⋅-=-=>⋅所以456log 5log 61log 40>>>>，则.a b c >>故选：B.4．【多选题】（2021·辽宁高三月考）若1a b >>，则（）A ．log 3log 3a b >，则333311log log 0log log a b a b>>⇒<，即log 3log 3a b <，A 正确；对于B 选项：函数y =x 3在R 上递增，则33a b >，B 错误；对于C 选项：1a b >>，则ab >1，a +b >2，11log ()log log ()1ab ab ab a ba b a b ab++==+-log 21ab >-，有11log (log 21ab ab a b+≥-成立，即C 正确；对于D 选项：1112a b a b >>⇒+>+>，而函数1y x =在(0,+∞)上递减，则有11+11a b <+，即D 正确.故选：ACD5．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（）A ．21a b ->B ．22log log 1a b ->C ．228a b +>D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a ab b -==<=，故B 错误；对C，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.6．【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（）A ．log 2log 2a b >B ．ln ln a a b b ⋅>⋅C ．122ab a b ++>D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可．【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确，故选：CD ．7．【多选题】（2021·山东临沂市·高三二模）若5log 2a =，1ln 22b =，1ln 55c =，则（）A ．a b >B ．b c>C ．c a>D ．2a b>【答案】AB 【解析】对四个选项一一验证：对于A ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于B ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；对于C ：利用不等式的传递性比较大小；对于D ：利用换底公式，化为同底结构，利用函数的单调性比较大小；【详解】对于A ：522221111ln o 21l g 2,log 522log log a b e e ====⨯=，又25e >，且2log y x =为增函数，所以222l l g 5og o e <，所以22251l og 1l og e <，即a b >.故A 正确；对于B：1ln 22b ==，1ln 55c ==因为101052232,525,ln y x =====为增函数，所以b c >；故B 正确；对于C ：因为a b >，b c >，所以a c >，故C 错误；对于D ：因为1ln 22b =，所以212ln 2log b e ==，而521log 2,log 5a ==又5e <，所以22log log 5e <，所以2211log log 5e >，所以2b a >，故D 错误.故选：AB.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，当(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，则13(log 19)f =__________．【答案】2719-【解析】由()(1)f x f x =-+得函数的周期为2，然后利用周期和()(1)f x f x =-+对13(log 19)f 化简可得13(log 19)f 33927(log 1)(log 1919f f =-+=-，从而可求得结果【详解】解：由题意，函数()f x 满足()(1)f x f x =-+，化简可得()(2)f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，又由(0,1)x ∈时，函数()3x f x =，且()(1)f x f x =-+，则133339(log 19)(log 19)(log 192)(log 19f f f f =-=-+=327log 193392727(log 1)(log 3191919f f =-+=-=-=-．故答案为：2719-．9．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为___________.【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据分段函数的定义，分段讨论即可求解.【详解】解：()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<，则a 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】通过作差将()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<转化为(1)log (1)log 0++-<a a a a ，利用换底公式计算可得[][](1)lg(1)lg lg(1)lg log (1)log lg lg(1)++-+++-=+a a a a a a a a a a ，分别判断每个因式的正负，最终转化为211()124+->a 成立，结合二次函数图像，即可求得a 的取值范围.【详解】∵(1)lg(1)lg log (1)log lg lg(1)a a a aa a a a +++-=-+22lg (1)lg lg (1)a aalg a +-=+[][]lg(1)lg lg(1)lg lg lg(1)a a a a a a +-++=+而当01a <<时，lg 0a <，g(0)l 1a +>，1lg(1)lg lglg10a a a a++-=>=211lg(1)lg lg (1)lg (24a a a a a ⎡⎤++=+=+-⎢⎥⎣⎦，所以()()()1log 1log 01a a a a a ++<<<即为211lg ()024⎡⎤+->⎢⎥⎣⎦a ，由于lg u 单调递增，所以211(124+->a .211()24u a =+-的图象如图，当1u =时，0a =，1a <<时，12u <<，lg 0u >，可得()()log 1log 10a a a a a +-+<.故答案为：⎫⎪⎪⎭1.（2020·全国高考真题（文））设3log 42a =，则4a-=（）练真题A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·天津高考真题）设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅲ卷理）设是定义域为R 的偶函数，且在单调递减，则A ．（log 3）＞（）＞（）B ．（log 3）＞（）＞（）C ．（）＞（）＞（log 3）D ．（）＞（）＞（log 3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，．，又在(0，+∞)上单调递减，∴，即.故选C ．5.（2020·全国高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（）()f x ()0,+∞f 14f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 322-f 232-f 14f 232-f 322-f 14()f x R 331(log (log 4)4f f ∴=223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ()f x 23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A 【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.6.（2019·天津高考真题（文））已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ,b ,c 的大小关系为（）A.c log 24=2；1<log 38<log 39=2.故c <b <a .故选A.。

高一数学对数函数综合练习题答案doc

高一数学--对数函数综合练习题(答案).doc高一数学--对数函数综合练习题(答案)1.求以下函数的定义域：(1) y=log2(x-1) 对数函数的定义域为x-1>0，即x>1。

(2) y=log(x^2-4) 对数函数的定义域为x^2-4>0，即(x+2)(x-2)>0。

解这个不等式得到x<-2或x>2。

(3) y=log(3x+4)-log(x-1) 对数函数的定义域为3x+4>0且x-1>0，即x>-4/3且x>1。

综合得到x>1。

2.求以下函数的值域：(1) y=log2(x-1) 对数函数的值域为(-∞, +∞)。

(2) y=log(x^2-4) 对数函数的值域为(-∞, +∞)。

(3) y=log(3x+4)-log(x-1) 首先，对数函数的定义域为x>-4/3且x>1。

当x>1时，3x+4>0，x-1>0。

所以对数函数的值域为(-∞, +∞)。

3.已知函数y=log2(x-1)，求以下方程的解：(1) log2(x-1)=2 根据对数的定义，2=log2(x-1)可以转化为2^2=x-1，即4=x-1。

解方程得到x=5。

(2) log2(x-1)=-2 根据对数的定义，-2=log2(x-1)可以转化为2^-2=x-1，即1/4=x-1。

解方程得到x=5/4。

4.已知函数y=log(x^2-4)，求以下方程的解：(1) log(x^2-4)=1 根据对数的定义，1=log(x^2-4)可以转化为10^(1)=x^2-4，即10=x^2-4。

解方程得到x=±√14。

(2) log(x^2-4)=-1 根据对数的定义，-1=log(x^2-4)可以转化为10^(-1)=x^2-4，即1/10=x^2-4。

解方程得到x=±√(41/10)。

5.求以下不等式的解集：(1) log2(x-1)>3 根据对数的定义，log2(x-1)>3可以转化为2^3>x-1，即8>x-1。

对数运算练习题

对数运算练习题一、选择题1. 若log₂x = 3，则x等于（）A. 2B. 8C. 6D. 42. 已知log₃x = 2，则x的平方根是（）A. 3B. 6C. 9D. 123. 若log₅(x 1) = 0，则x等于（）A. 0B. 1C. 5D. 64. 已知log₂(x + 1) = log₂3 log₂2，则x等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题1. 若log₃x = 4，则x = _______。

2. 已知log₅10 + log₅x = 2，则x = _______。

3. 若log₂(x 2) = 3，则x = _______。

4. 已知log₄(x + 3) log₄3 = 1，则x = _______。

三、解答题1. 已知log₂x = 3，求log₄x的值。

2. 已知log₃(x 1) = 2，求log₃(x + 2)的值。

3. 已知log₂(x + 3) = log₂3 + log₂2，求x的值。

4. 已知log₅x = 2，求log₅(x²)的值。

5. 已知log₂(x 2) = 3，求log₂(x² 4)的值。

四、综合题1. 已知log₂x + log₂(y 1) = 3，log₂x log₂(y + 2) = 1，求x 和y的值。

2. 已知log₃(x 1) = 2，log₃(x + 2) = 4，求x的值。

3. 已知log₅(x² 1) = 2，log₅(x + 1) = 1，求x的值。

4. 已知log₂(x 2) = 3，log₂(x + 3) = 4，求x的值。

五、应用题1. 一个数的对数（以10为底）比它的平方少3，求这个数。

2. 如果log₂(x 1) = 4，求log₅(1 x)的值。

3. 一个数的对数（以e为底）等于它的平方根，求这个数。

4. 已知某数的对数（以10为底）的平方等于这个数本身，求这个数。

六、判断题1. 若logₐb = c，则a的c次方等于b。

指数函数对数函数专练习题含答案(1)

指数函数对数函数专练习题含答案(1)指数函数和对数函数是高中数学中的重要内容，在函数中成为了必学的一部分。

这两种函数在数学中应用非常广泛，除了在数学中，还常常运用于其他学科和实际生活中。

下面是介绍和练习这两种函数的一些题目及其答案。

一、指数函数：1. 求 f(x) = 2^(x+1) - 2^x 的零点。

答：f(x) = 2^(x+1) - 2^x = 2^(x+1) - 2^(x+1-1) = 2^(x+1) -2^x= 2^x * (2 - 1) = 2^x所以，f(x) = 0 时， x = 0。

2. 求解 3^x - 4^x + 3 = 0，其中 x 取值范围为 R。

答：将 4^x 用 2^x 表示，得到 3^x - (2^x)^2 + 3 = 0这是一个二次方程，需要使用求根公式解出 xD = b^2 - 4ac = 16 - 4*3*3 = 16 - 36 = -20由于 D < 0，因此无实数解。

3. 求解 2^(2x+1) - 2^(2x-2) = 12，其中 x 取值范围为 R。

答：将方程两边都取对数，得到(2x+1)log2 - (2x-2)log2 = log2(12)化简得到 2xlog2 + log2 - 4log2 + 3log2 = log2(12) 即 2xlog2 - log2 = log2(12) - 3log2即 2x = log2(4) + log2(3) - 3即 x = 1/2*log2(3) - 7/4二、对数函数：1. 解方程 log(a-1)x = logax + 1，其中 a>1。

答：由于 a>1，因此 a-1 > 0两边同时取指数，得到 x = a^2 / (a-1)2. 如果 a > 1，b > 1，且 a^logb = b，那么 loga b 是多少？答：将等式两边取对数，得到 loga (b^(logb a)) = loga a 即 (logb a) * loga b = 1即 loga b = 1 / logb a当 a^logb = b 时， loga b = 1 / logb a = 1 / (loga b / loga e)再次化简得到 loga b = logb a3. 求解方程 2log(x+1) + log(x-1) = log(x+2)，其中 x > 1。

高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可（1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立．即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围．（1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足；满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。

高中数学《对数函数图像与性质》精选练习(含详细解析)

高中数学《对数函数图像与性质》精选练习（含详细解析）一、选择题1.给出下列函数:(1)y=log2(x-1). (2)y=log x2x.(3)y=log(e+1)x. (4)y=4log33x.(5)y=log(3+π)x. (6)y=lg5x.(7)y=lgx+1.其中是对数函数的个数为( )A.1B.2C.3D.42.已知对数函数f(x)过点(2,4),则f()的值为( )A.-1B.1C.D.3.函数f(x)=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点( )A.(1,-1)B.(1,0)C.(-1,1)D.(0,1)4函数y=的定义域是( )A.(-∞,1]B.(0,1]C.[-1,0)D.(-1,0]5.如图所示,曲线是对数函数f(x)=log a x的图象,已知a取,,,,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为( )A.,,,B.,,,C.,,,D.,,,6.函数f(x)=的定义域是( )A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.[-1,1)∪(1,+∞)7.已知a>0且a≠1,则函数y=log a x和y=(1-a)x在同一直角坐标系中的图象可能是下列图象中的( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(2)(3)二、填空题(每小题5分,共15分)8若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= .9若对数函数f(x)=log a x+(a2-4a-5),则a= .10已知集合A={x|y=log2(x-1)},B={y|y=2x+1,x∈A},则A∩B= .11若函数y=log a+3的图象恒过定点P,则P点坐标为.12.函数f(x)=log2(1+4x)-x,若f(a)=b,则f(-a)= .三、解答题13.已知函数y=log a(x+3)-(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,求b的值.14已知函数f(x)=log2.(1)求证:f(x1)+f(x2)=f.(2)若f=1,f(-b)=,求f(a)的值.15若函数y=log a(x+a)(a>0且a≠1)的图象过点(-1,0).(1)求a的值.(2)求函数的定义域.16已知f(x)=|log3x|.(1)画出函数f(x)的图象.(2)讨论关于x的方程|log3x|=a(a∈R)的解的个数.参考答案与解析1【解析】选 B.由对数函数的概念可知(1)(2)(4)(6)(7)都不符合对数函数形式的特点,只有(3)(5)符合.2【解析】选B.设f(x)=logax,由f(x)过点(2,4),则loga2=4,即a4=2,解得a=,所以f(x)=lo x,所以f()=lo=1.3【解析】选C.当x+2=1时,f(x)=loga (x+2)+1=loga1+1=1,即x=-1时,f(-1)=1,故函数恒过定点(-1,1).4【解析】选B.要使函数有意义,必须lo(2x-1)≥0,则0<2x-1≤1,即1<2x≤2,解得0<x≤1,故函数的定义域为(0,1].5【解析】选A.先排C1,C2底的顺序,底都大于1,当x>1时图低的底大,C1,C2对应的a分别为,.然后考虑C3,C4底的顺序,底都小于1,当x<1时底大的图高,C3,C4对应的a分别为,.综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4的a值依次为,,,.故选A.6【解析】选C.解不等式组可得x>-1,且x≠1,故定义域为(-1,1)∪(1,+∞).7【解析】选B.当0<a<1时,1-a>0,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数.函数y=(1-a)x在R上是增函数.图(3)符合此要求.当a>1时,1-a<0,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数.函数y=(1-a)x在R上是减函数.图(2)符合此要求.8【解析】由题意知f(x)=loga x,又f(2)=1,所以loga2=1,所以a=2,f(x)=log2x.答案:log2x9【解析】由对数函数的定义可知,解得a=5.答案:510【解析】由题知x-1>0,解得x>1,所以y=2x+1>2+1=3,所以A∩B=(3,+∞).答案:(3,+∞)11【解析】因为y=logat的图象恒过(1,0), 所以令=1,得x=-2,此时y=3,所以该函数过定点(-2,3).答案:(-2,3)12【解析】因为f(a)=log2(1+4a)-a=b,所以log2(1+4a)=a+b,所以f(-a)=log2(1+4-a)+a=log2+a=log2(1+4a)-log222a+a=a+b-2a+a=b.答案:b13【解析】当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且a≠1都有y=loga1-=0-=-,所以函数y=loga(x+3)-的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则-=3-2+b,所以b=-1.14【解析】(1)左边=f(x1)+f(x2)=log2+log2=log2=log2.右边=log2=log2.所以左边=右边.(2)因为f(-b)=log2=-log2=,所以f(b)=-,利用(1)可知:f(a)+f(b)=f,所以-+f(a)=1,解得f(a)=.15【解析】(1)将(-1,0)代入y=loga (x+a)(a>0,a≠1)中,有0=loga(-1+a),则-1+a=1,所以a=2.(2)由(1)知y=log2(x+2),x+2>0,解得x>-2,所以函数的定义域为{x|x>-2}.16【解析】(1)函数f(x)=对应的函数f(x)的图象为:(2)设函数y=|log3x|和y=a.当a<0时,两图象无交点,原方程解的个数为0个.当a=0时,两图象只有1个交点,原方程只有1解.当a>0时,两图象有2个交点,原方程有2解.。

对数函数的_值域与最值练习题含答案

对数函数的值域与最值练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合A ={x|ln x <1}，B ={y|y =√x −20}，则A ∪B =（）A.(0, e)B.(0, +∞)C.[0, +∞)D.(0, e)∪[20, +∞)2. 定义域为R 的函数y ＝f(x)的值域为[a, b]，则函数y ＝f(x +a)的值域为（）A.[2a, a +b]B.[a, b]C.[0, b −a]D.[−a, a +b]3. 若函数f(x)=log a (x +1)的定义域和值域都为[0, 1]，则a 的值为（）A.2B.12C.3D.134. 已知函数f(x)={log 3x,x ＞0x 2,x ≤0，若f(−1)=2f(a) ，则a 的值为( ) A.−√22 B.√3 C.√3或−√22 D.±√225. 已知函数y =lg [(a 2−1)x 2−2(a −1)x +3]的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.[−2, −1]B.[−2, 1]C.(−2, 1)D.(−∞, −2)∪[1, +∞)6. 已知a ，b 为正实数，且a +2b =4，则log 2a +log 2b ( )A.当a =2，b =1时，取得最大值1B.当a =b =43时，取得最大值2log 243C.当a =2，b =1时，取得最小值1D.当a =b =43时，取得最小值2log 2437.已知函数f(x)=log 2(ax 2+2x +2)(a ∈R)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. [0，12]B. (0，12]C. [12，+∞)D.(12，+∞)8. 已知函数f(x)=log2x−4,x∈[1,4]，则函数y=f(x2)⋅log√2(2x)的值域是( )A.[−4,0]B.[−2,0]C.[−9,−8]D.[−94,−2]9. 若不等式log2x−m≥0(x≥4)恒成立，则实数m的取值范围是________．10. 函数的值域是________，的值域是________.11. 函数y=log12(x2+2)的最大值为________，单调递增区间是________．12. 函数y＝log12(x2−6x+11)的值域为________．13. 已知函数f(x)=log32x2+bx+cx2+1的值域为[0, 1]，则b2+c=________．14. 已知函数f(x)＝log a(2x−a)在区间[12,23]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．15. 给出下列四个命题：（1）函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0；（2）函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)；（3）若函数f(x)＝1g(x2+ax−a)的值域是R，则a≤−4或a≥0；（4）若函数y＝f(x−1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称其中所有正确命题的序号是________．16. 己知函数f(x)=log12(2x−1);(1)求函数f(x)的定义域，及f(1);(2)若x ∈[1,92]，求函数f (x )的值域．17. 已知函数. （1）若的定义域，值域都是，求的值；（2）当时，讨论在区间上的值域.18. 设，且. （1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的值域.19. 已知函数f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为−2，求a 的值．20. 已知函数f(x)=log a x−5x+5(a >0且a ≠1)．(1)当a =2，x ∈[10,15]时求f(x)的值域；(2)设g(x)=log a (x −3)，若方程f(x)−1=g(x)有实根，求a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1）．(1)若f (2a +2)≤f (5a )，求a 的取值范围；(2)若y =f (x 2+x +12)的最大值为2，求f (x )在区间[18,4]上的值域．22. 已知函数f(x)=1+log2x，x∈[1, 16]．(1)求函数f(x)的值域；(2)设g(x)=[f(x)]2−f(x4)，求g(x)的最值及相应的x的值．23. 已知f(x)=(log2x)2−2a log2x−3(a∈R).(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0；(2)若x∈[2,8]，求函数f(x)的最小值.24. 已知函数g(x)=a2x+ta x(a>0,a≠1)是奇函数．(1)求实数t的值；(2)若g(1)>0，求使不等式g(kx−x2)+g(x−1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；(3)设f(x)=logb [a2x+a−2x−bg(x)](b>0,b≠1)，若g(1)=32，问是否存在实数b使函数f(x)在[1,log23]上的最大值为0？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析对数函数的值域与最值练习题含答案一、选择题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】C【考点】对数函数的值域与最值函数的定义域及其求法并集及其运算【解析】化简集合A、B，再计算A∪B．【解答】解：集合A={x|ln x<1}={x|0<x<e}=(0, e)，B={y|y=√x−20}={y|y≥0}=[0, +∞)；则A∪B=[0, +∞)．故选C.2.【答案】B【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】考虑函数的三要素，只要2个函数的定义域和值域相同，函数的值域也就相同．【解答】∵定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a, b]，而函数y＝f(x+a)的定义域也是R，对应法则相同，故值域也一样，3.【答案】A【考点】对数函数的值域与最值【解析】分当a>1和0<a<1两种情况，分别利用函数的单调性和已知条件，求得a的值．【解答】(x+1)的定义域和值域都为[0, 1]，解：当a>1时，由函数y=loga2=1，解得a=2．可得当x=1时，函数取得最大值为loga2=0，a无解．当0<a<1时，由条件可得当x=1时，函数取得最小值为loga综上可得，a=2，4.【答案】C【考点】分段函数的应用对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(−1)=1，且f(−1)=2f(a)，所以f(a)=12.当a>0时，由log3a=12，得a=√3；当a≤0时，由a2=12，得a=−√22，所以a=√3或a=−√22.故选C.5.【答案】A【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系对数函数的值域与最值【解析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【解答】解；∵函数y=lg[(a2−1)x2−2(a−1)x+3]的值域为R，∴当a2−1=0时，a=1或a=−1，验证a=1时不成立；当a2−1≠0时，{a2−1>0，Δ=4(a−1)2−12(a2−1)≥0，解得−2≤a<−1.综上，−2≤a≤−1，∴实数a的取值范围是[−2, −1]．故选A．6.【答案】A【考点】基本不等式对数函数的值域与最值【解析】【解答】解：已知a>0，b>0，a+2b=4，∴a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab（当且仅当a=2b时取等号），∴2√2ab≤4，∴ab≤2，∴ab的最大值为2，∴当a=2，b=1时，log2a+log2b=log2ab取得最大值1.故选A.7.【答案】A【考点】对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意函数y=ax2+2x+2能取遍所有正数,分两种情况讨论：①当a=0时，y=2x+2显然满足题意；②当a≠0时，必须有{a>0，Δ≥0，即4−8a≥0，解得0<a≤12.综上，a的取值范围是[0，12].故选A.8.【答案】C【考点】对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得：f(x)=log2x−4,x∈[1,4]，则f(x2)=log2(x2)−4，x2∈[1,4]，所以x∈[1,2].y=f(x2)⋅log√2(2x)=[log2(x2)−4]⋅log√2(2x)=(2log2x−4)⋅2(log22+log2x)=4(log2x−2)(1+log2x)=4[(log2x)2−log2x−2]log2x∈[0，1]，函数y=f(x2)⋅log√2(2x)的值域为[−9,−8] .故选C.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）9.【答案】m≤2【考点】对数函数的值域与最值【解析】问题转化为m≤log2x在[4, +∞)恒成立，结合对数函数的性质求出m的范围即可．【解答】若不等式log2x−m≥0(x≥4)恒成立，则m≤log2x在[4, +∞)恒成立，而y＝log2x在[4, +∞)递增，故y的最小值是y＝log24＝2，故m≤2，10.【答案】[0．+∞),(∼m．4]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值复合函数的单调性【解析】根据偶次方根为非负数求得f(x)的值域，根据g(x)的定义域和单调性求得g(x)的值域．【解答】对于f(x)=√1−x≥0对任意x≤1成立，故f(x)的值域是[0,+∞)对于g(x)=x−2√1−x+3，由于函数g(x)在(−∞,1]上为增函数，且g(1)=4，故g(x)∈(−∞,4]故填：（1）[0,+∞)；(2)(−∞,1)11.【答案】−1,(−∞, 0)【考点】对数函数的值域与最值函数的单调性及单调区间【解析】根据对数函数的性质结合函数的单调性，从而得出答案．【解答】解：当x=0时，函数y=log122=−1，函数y=x2+2在(−∞, 0)递减，∴函数y=log1(x2+2)在(−∞, 0)递增，故答案为：−1，(−∞, 0)．12.【答案】(−∞, −1]【考点】对数函数的值域与最值【解析】先求y ＝x 2−6x +11的取值范围，再根据对数函数单调性求值域．【解答】∵ x 2−6x +11＝(x −3)2+2≥2，∴ log 12(x 2−6x +11)≤log 122=−1， 13.【答案】6【考点】对数函数的值域与最值对数函数的定义域函数的值域及其求法【解析】根据f(x)的值域为[0, 1]，及对数函数的单调性便可得到1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3，可设y =2x 2+bx+cx 2+1，可整理成关于x 的一元二次方程的形式：(y −2)x 2−bx +y −c =0，方程有解，从而便有△≥0，从而得到4y 2−(4c +8)y +8c −b 2≤0，根据1≤y ≤3便知1，3为方程4y 2−(4c +8)y +8c −b 2=0的两实数根，由韦达定理即可求出b ，c ，从而可以得出b 与c 的和．【解答】解：由0≤f(x)≤1得：1≤2x 2+bx+c x 2+1≤3，即{2x 2+bx+cx 2+1≥1，2x 2+bx+cx 2+1≤3，解得：{x 2+bx +c −1≥0，x 2−bx +3−c ≥0，即{Δ1=b 2−4(c −1)≥0，Δ2=b 2−4(3−c)≥0，当{Δ1=0Δ2=0时，0≤log 32x 2+bx+c x 2+1≤1取等号. 解得{b =±2，c =2， ∴ b 2+c =6.14.【答案】(13,1)【考点】对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值【解析】先利用对数函数的图象性质，即“底、真同，对数为正”的特点，将数f(x)＝loga(2x−a)在区间[12,23]上恒有f(x)>0问题转化为{a>12x−a>1在区间[12,23]上恒成立或{0<a<1 0<2x−a<1在区间[12,23]上恒成立，通过解决一次不等式恒成立问题即可得解【解答】由对数函数的图象性质，f(x)＝loga (2x−a)>0⇔{a>12x−a>1或{0<a<10<2x−a<1由{a>12x−a>1在区间[12,23]上恒成立，得{a>12×12−a>1即a∈⌀由{0<a<10<2x−a<1在区间[12,23]上恒成立，得{0<a<12×23−a<12×12−a>0即a∈(13,1)15.【答案】∵y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c ＝0，故成立；由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)，故①②③【考点】反函数对数函数的值域与最值命题的真假判断与应用【解析】①由y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，知函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c ＝0；②由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)；③根据对数函数的值域为R，则R+为y＝x2+ax−a值域的子集，将问题转化为二次函数问题后，可判断③的真假；④y＝f(x−1)是偶函数，它的图象关于y轴(x＝0)对称．y＝f(x)是由y＝f(x−1)向左平移1个单位得到，故可判断④的真假．∵y＝x|x|，y＝bx均为奇函数，故函数f(x)＝x|x|+bx+c为奇函数的充要条件是c＝0，故成立；由y＝2−x(x>0)，知0<y<1，x＝−log2y，x，y互换，得函数y＝2−x(x>0)的反函数是y＝−log2x(0<x<1)，故成立；（1）若函数f(x)＝lg(x2+ax−a)的值域是R，则y＝x2+ax−a的图象与x轴有交点，即a2+4a≥0，故a≤−4或a≥0，故（2）成立；（3）y＝f(x−1)是偶函数，它的图象关于y轴(x＝0)对称．y＝f(x)是由y＝f(x−1)向左平移1个单位得到．故：y＝f(x)关于x＝−1对称，故（4）不成立．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）16.【答案】解：(1)根据对数函数的定义可得:2x−1>0，解得x>12，所以函数f(x)的定义域是(12,+∞)，值域是R．(2)令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；因为函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，所以f(x)=log12u∈[−3,0]所以函数f(x)在x∈[1,92]上的值域为[−3,0]．【考点】函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】（1）根据对数函数的真数部分大于0，即可求出定义域，对于值域，直接根据对数函数的定义即可得到．（2）令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；接下来根据对数函数的性质，可知函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，据此可求出f(x)=log12u的值域，据此即可完成本题．【解答】解：(1)根据对数函数的定义可得:2x−1>0，解得x>12，所以函数f(x)的定义域是(12,+∞)，值域是R．(2)令u=2x−1，则由x∈[1,92]知，u∈[1,8]；因为函数f(x)=log12u在[1,8]上是减函数，所以f(x)=log12u∈[−3,0]所以函数f(x)在x∈[1,92]上的值域为[−3,0]．17.【答案】（1）实数α不存在在；（2）当0<b<1时，值域为：[log2(b2−2b+1),0]当1<b≤2，值域为(−∞,0]当b>2时，值域为：(−3,log2(b2−2b+1)]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值对数函数的定义域【解析】（1）根据对数的真数大于零，结合已知和一元二次不等式解集的性质、对数函数的单调性进行求解即可；（2）根据复合函数的单调性，结合所给的区间，分类讨论进行求解即可．【解答】（1）因为f(x)的定义域是R，所以x2−ax+1>0在实数集上恒成立，故一元二次方程x2−ax+1=0的根的判别式Δ=a2−4<0⇒a2≤4f(x)的值域是R，说明y=x2−ax+1能取遍所有的正实数，因此一元二次方程x2−ax+1=0的根的判别式Δ=a2−4≥0⇒a2≥4，显然这与刚得到a2<4矛盾，故不存在这样的实数α；（2）因为a=2，所以f(x)=log2(x2−2x+1)=log2(x−1)2，函数的定义域为不等于1的全体实数，故区间[0,b]的右端点不能等于1，即b>0且b≠1，显然函数在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．当0<b<1时，函数在[0,b]上是减函数，故函数的最大值为f(0)=log21=0，函数的最小值为：f(b)=log2(b2−2b+1)，因此函数的值域为：[log2(b2−2b+1),0]当1<b≤2，函数没有单调性，故函数的最大值为f(0)=log21=0，而x≠1，所以函数的值域为(−∞,0]当b>2时，函数的最大值为：f(b)=log2(b2−2b+1)，而x≠1，所以函数的值域为：(−∞,log2(b2−2b+1)]18.【答案】（1）a=2,(−1,3)；（2）[log23,2]【考点】函数的值域及其求法函数的定义域及其求法对数函数的值域与最值【解析】（1）由f (1)=2代入可得α的值，列出不等式组{1+x >03−x >0可得定义域；（2）根据复合函数的单调性判断f (x )在区间[0,32]的单调性即可得结果【解答】（1）f (1)=2，∴ log a 4=2(a >0,a ≠1)，…a =2由{1+x >03−x >0，得x ∈(−1,3)，∴ 函数f (x )的定义域为(−1,3) （2）f (x )=log 2(1+x )+log 2(3−x )=log 2(1+x )(3−x )=log 2[−(x −1)2+4] ．当x ∈(−1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在[0,32]上的最大值是f (1)=log 24=2 函数f (x )在[0,32]上的最小值是f (0)=log 23．f (x )在区间[0,32]上的值域是[log 23,2]19.【答案】解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.【考点】对数函数的定义域对数及其运算对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析解：(1)要使函数f (x )有意义，则有{1−x >0，x +3>0，解得−3<x <1，∴ 函数f (x )的定义域为(−3,1)．(2)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a [(1−x )(x +3)]=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ −3<x <1，∴ 0<−(x +1)2+4≤4．∵ 0<a <1，∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f (x )min =log a 4，又∵ 函数f (x )的最小值为−2，∴ log a 4=−2，∴ a −2=4，∴ a =12.20.【答案】解：(1)∵ x−5x+5=1−10x+5，x ∈[10,15]，∴ x−5x+5∈[13,12]．当a =2时，f(x)=log 2x−5x+5，∴ f(x)∈[−log 23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：log ax−5x+5=1+log a (x −3)有实根．由x−5x+5>0且x −3>0，得：x >5，即方程x−5x+5=a(x −3)有大于5的实根．∵ x >5，∴ a =x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10) =x −5(x −5)2+12(x −5)+20=1x −5+20x −5+12 ≤2√20+12=3−√516，∴ a ∈(0, 3−√516]．对数函数的值域与最值由函数零点求参数取值范围问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）利用导数法判断内函数的单调性，结合对数函数的单调性和复合函数单调性“同增异减”的原则，可判定f(x)在x∈(−∞, −5)上的单调性；（2）通过g(x)=1+loga(x−3)，求出方程f(x)=g(x)的表达式，利用方程有实根，求出函数的定义域；法一：求出方程中a的表达式，通过变形，利用基本不等式求出a的取值范围．法二：转化方程为二次函数，通过二次方程根的分布，求出a取值范围．【解答】解：(1)∵x−5x+5=1−10x+5，x∈[10,15]，∴x−5x+5∈[13,12]．当a=2时，f(x)=log2x−5x+5，∴f(x)∈[−log23,−1]．(2)若f(x)−1=g(x)有实根，即：loga x−5x+5=1+loga(x−3)有实根．由x−5x+5>0且x−3>0，得：x>5，即方程x−5x+5=a(x−3)有大于5的实根．∵x>5，∴a=x−5(x−3)(x+5)=x−5(x−5+2)(x−5+10)=x−5(x−5)2+12(x−5)+20=1x−5+20x−5+12≤2√20+12=3−√516，∴a∈(0, 3−√516]．21.【答案】解：(1)当0<a<1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的减函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≥5a,解得0<a≤23．当a>1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≤5a,解得a>1．故a的取值范围为(0,23]∪(1,+∞)．(2)因为x2+x+12=(x+12)2+14≥14，且loga (x2+x+12)有最大值2，所以0<a<1，且loga 14=2，解得a=12．因为f(x)=log12x是(0,+∞)上的减函数，且f(18)=3，f(4)=−2，所以f(x)在区间[18,4]上的值域为[−2,3]．【考点】对数函数的图象与性质对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当0<a<1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的减函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≥5a,解得0<a≤23．当a>1时，f(x)=logax是(0,+∞)上的增函数．因为f(2a+2)≤f(5a)，所以{2a+2>0, 5a>0,2a+2≤5a,解得a>1．故a的取值范围为(0,23]∪(1,+∞)．(2)因为x2+x+12=(x+12)2+14≥14，且loga (x2+x+12)有最大值2，所以0<a<1，且loga 14=2，解得a=12．因为f(x)=log12x是(0,+∞)上的减函数，且f(18)=3，f(4)=−2，所以f(x)在区间[18,4]上的值域为[−2,3]．22.【答案】解：(1)∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]. (2)g(x)=[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]. g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x，设log2x=t，∴y=t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t=0即x=1时，g(x)有最大值0，当t=1即x=2时，g(x)有最小值−1.综上：当x=1时，g(x)有最大值0；当x=2时，g(x)有最小值−1．【考点】对数函数的值域与最值函数的值域及其求法【解析】（1）x∈[1, 16]，log2x∈[0, 4]，进而求解；（2）由题意x∈[1, 16]，所以1≤x4≤16，g(x)的定义域为[1, 2]，进而求解；【解答】解：(1)∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]. (2)g(x)=[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]. g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x，设log2x=t，∴y=t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t=0即x=1时，g(x)有最大值0，当t=1即x=2时，g(x)有最小值−1.综上：当x=1时，g(x)有最大值0；当x=2时，g(x)有最小值−1．23.【答案】解：(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0，得，(log2x)2+2log2x−3<0.即−3<log2x<1，故不等式的解集为{x|18<x<2}.(2)令t=log2x∵ x∈[2,8]:t∈[1,3]函数f(x)换元得：y=g(t)=t2−2at−3,t∈[1,3]此二次函数开口向上，对称轴为t轴=a.分类如下：①当a≤1时，y min=g(1)=1−2a−3=−2a−2，②当1<a≤3时，y min=g(a)=a2−2a2−3=−a2−3，③当a>3时，y min=g(3)=9−6a−3=6−6a.综上，当a≤1时，y min=−2a−2；当1<a≤3时，y min=−a2−3；当a>3时，y min=6−6a.【考点】其他不等式的解法对数函数的值域与最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=−1时，解不等式f(x)<0，得(log2x)2+2log2x−3<0，即−3<log2x<1，故不等式的解集为{x|18<x<2}.(2)令t=log2x∵ x∈[2,8],t∈[1,3]函数f(x)换元得：y=g(t)=t2−2at−3,t∈[1,3]此二次函数开口向上，对称轴为t轴=a.分类如下：①当a≤1时，y min=g(1)=1−2a−3=−2a−2，②当1<a ≤3时，y min =g(a)=a 2−2a 2−3=−a 2−3，③当a >3时，y min =g(3)=9−6a −3=6−6a .综上，当a ≤1时，y min =−2a −2；当1<a ≤3时，y min =−a 2−3；当a >3时，y min =6−6a .24.【答案】解：(1)函数g (x )=a 2x +ta x (a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数，所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．(2)由(1)得g (x )=a x −a −x ，由g (1)>0得a −1a >0，a >0，∴ a >1，由g (kx −x 2)+g (x −1)<0得g (kx −x 2)<−g (x −1)，∴ g (x )为奇函数，∴ g (kx −x 2)<g (1−x )，∵ a >1，∴ g (x )=a x −a −x 为R 的增函数，∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ=(k +1)2−4<0，解得−3<k <1 .(3)假设存在正数b (b ≠1)符合题意，因为g (1)=32(a >0)，代入可得a −1a =32，解得a =2或a =−12（舍），则g (x )=2x −2−x ，f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]=log b [22x +2−2x −b (2x −2−x )]=log b [(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2]，设t =2x −2−x ，则(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2=t 2−bt +2，∵ x ∈[1,log 23]，∴ t ∈[32,83]，记p (t )=t 2−mt +2，∵ 函数f(x)=log b [a 2x +a −2x −bg(x)]在[1,log 23]上的最大值为0， (i)若0<m <1，则函数p (t )=t 2−mt +2在[32,83]上有最小值为1， ∵ 对称轴t =m 2<12，∴ p min (t )=p (32)=174−32m =1⇒m =136，不合题意；(ii)若m >1，则函数p (t )=t 2−mt +2>0在[32,83]上恒成立（最小值大于0），且最大值为1，① {12<m 2≤2512,p (t )max =p (83)=1,⇒{1<m ≤256,m =7324,⇒m =7324，又此时m 2=7348∈[32,83]，又p (t )min =p (7348)<0，故g (x )无意义，所以m =7324应舍去． ② {m 2>2512,p(t)max =p (32)=1,⇒{m >256,m =136,⇒m 无解，综上所述．不存在正数b (b ≠1)，使函数f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]在[1,log 23]的最大值为0 .【考点】奇函数奇偶性与单调性的综合对数函数的值域与最值【解析】（1）函数g (x )=a 2+ta 2(a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．【解答】解：(1)函数g (x )=a 2x +ta x (a >0,a ≠1)的定义域为R ，且为奇函数，所以g (0)=0，即1+t =0．解得t =−1．(2)由(1)得g (x )=a x −a −x ，由g (1)>0得a −1a >0，a >0，∴ a >1，由g (kx −x 2)+g (x −1)<0得g (kx −x 2)<−g (x −1)，∴ g (x )为奇函数，∴ g (kx −x 2)<g (1−x )，∵ a >1，∴ g (x )=a x −a −x 为R 的增函数，∴ kx −x 2<1−x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2−(k +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ=(k +1)2−4<0，解得−3<k <1 .(3)假设存在正数b (b ≠1)符合题意，因为g (1)=32(a >0)，代入可得a −1a =32，解得a =2或a =−12（舍），则g (x )=2x −2−x ，f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]=log b [22x +2−2x −b (2x −2−x )]=log b [(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2]，设t =2x −2−x ，则(2x −2−x )2−b (2x −2−x )+2=t 2−bt +2，∵ x ∈[1,log 23]，∴ t ∈[32,83]，记p (t )=t 2−mt +2，∵ 函数f(x)=log b [a 2x +a −2x −bg(x)]在[1,log 23]上的最大值为0， (i)若0<m <1，则函数p (t )=t 2−mt +2在[32,83]上有最小值为1，试卷第21页，总21页 ∵ 对称轴t =m 2<12，∴ p min (t )=p (32)=174−32m =1⇒m =136，不合题意；(ii)若m >1，则函数p (t )=t 2−mt +2>0在[32,83]上恒成立（最小值大于0），且最大值为1，① {12<m 2≤2512,p (t )max =p (83)=1,⇒{1<m ≤256,m =7324,⇒m =7324，又此时m 2=7348∈[32,83]，又p (t )min =p (7348)<0，故g (x )无意义，所以m =7324应舍去． ② {m 2>2512,p(t)max =p (32)=1,⇒{m >256,m =136,⇒m 无解，综上所述．不存在正数b (b ≠1)，使函数f (x )=log b [a 2x +a −2x −bg (x )]在[1,log 23]的最大值为0 .。

对数加减法练习题(打印版)

对数加减法练习题（打印版）# 对数加减法练习题## 一、基础对数加减法1. 计算以下对数表达式的值：- \( \log_{2}8 - \log_{2}4 \)- \( \log_{10}100 + \log_{10}1 \)- \( \log_{3}27 + \log_{3}3 \)- \( \log_{5}125 - \log_{5}5 \)2. 简化下列对数表达式：- \( \log_{2}32 + \log_{2}2 \)- \( \log_{7}49 - \log_{7}7 \)- \( \log_{8}64 - \log_{8}2 \)3. 将下列对数表达式转换为指数形式：- \( \log_{2}16 \)- \( \log_{10}100 \)- \( \log_{3}9 \)## 二、对数运算法则应用4. 使用对数的乘法法则简化以下表达式：- \( \log_{4}16 + \log_{4}4 \)- \( \log_{5}25 + \log_{5}20 \)5. 使用对数的除法法则简化以下表达式：- \( \log_{3}8 - \log_{3}2 \)- \( \log_{6}36 - \log_{6}6 \)6. 使用对数的幂法则简化以下表达式：- \( 2\log_{2}8 \)- \( 3\log_{5}25 \)## 三、对数方程求解7. 解以下对数方程：- \( \log_{2}x = 3 \)- \( \log_{10}y = 2 \)- \( \log_{7}z = 1 \)8. 将下列对数方程转换为指数方程：- \( \log_{3}x = 4 \)- \( \log_{5}y = 1 \)9. 解以下对数不等式：- \( \log_{2}x < 4 \)- \( \log_{10}y > 1 \)## 四、对数函数图像分析10. 根据对数函数的图像，确定以下函数的增减性：- \( y = \log_{2}x \)- \( y = \log_{10}x \)11. 描述对数函数 \( y = \log_{a}x \) 的图像如何随着底数 \( a \) 的变化而变化。

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对数与对数函数练习题
一．选择题：
1.函数x x f 4log )(=与x x f 4)(=的图象（）
A 关于x 轴对称
B 关于y 轴对称
C 关于原点对称
D 关于直线x y =对称
2.已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为（）
A 2-a
B 25-a
C 2)(3a a a +-
D 132
--a a
3.已知10<<a ，0log log <<n m a a ，则（）
A m n <<1
B n m <<1
C 1<<n m
D 1<<m n 4.有以下四个结论 ① l g(l g10)=0 ② l g(l n e )=0 ③若10=l g x ,则x=10 ④ 若e =ln x,则x =e 2, 其中正确的是
（）
A. ① ③
B.② ④
C. ① ②
D. ③ ④
5.若y=log 56·log 67·log 78·log 89·log 910,则有（）
A. y ∈(0 , 1) B . y ∈(1 , 2 ) C. y ∈(2 , 3 ) D. y =1
6.已知f (x )=|lgx |,则f (41)、f (31
)、f (2) 大小关系为（）
A. f (2)> f (31)>f (41)
B. f (41)>f (31)>f (2)
C. f (2)> f (41)>f (31)
D. f (3
1
)>f (41)>f (2)
7.若f (x )是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且f （lg x ）>f (1),则x 的取值范围是（）
A. (
110，1) B. (0，110) (1，+∞) C. (1
10
，10) D. (0，1) (10，+∞) 8.函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（） A.[)+∞,2 B.（3，＋∞） C.[)+∞,3 D.（－∞，＋∞） 9.已知(10)x f x =，则()100f = （）
A 、100
B 、100
10
C 、lg10
D 、2
10.已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（）
A 、52a -
B 、2a -
C 、2
3(1)a a -+ D 、 2
31a a --
11.函数log (2)1a y x =++的图象过定点（） A.（1，2）
B.（2，1）
C.（-2，1）
D.（-1，1）
12.设0,1,,0x x x a b a b ><<>且，则a 、b 的大小关系是（）
A.b ＜a ＜1
B. a ＜b ＜1
C. 1＜b ＜a
D. 1＜a ＜b
13．函数y= | lg （x-1）| 的图象是（）
14.函数|
log |)(2
1x x f =的单调递增区间是
( ) A 、]2
1
,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞ 15.函数y = （）
（A ）[1,+∞] (B) (23,)
+∞ (C) [23,1] (D) (23,1] 16.设a,b,c 都是正数，且346a b c
==，则下列正确的是（）
(A) 111c a b
=+ (B) 221C a b =+ (C) 122C a b =+ (D) 212
c a b =+ 17.已知14log <a , 则a 的取值范围是（）
A ．),4(+∞ B. )4,1()1,0(⋃ C. (1, 4) D. (0, 1)⋃),4(+∞ 18.设,02log 2log <b>1 C. 0<b<a<1 D. b>a>1
19.已知4
8
23,log ,23
x
y x y ==+则的值为（） A 、3 B 、4 C 、8 D 、32
20.若x=60,则
x
x x 543log 1
log 1log 1++的值为 ( )
A 、1
B 、
2
1
C 、2
D 、以上结果都不对 C
21.在(2)log (5)a y a -=-中，实数a 的取值范围是（）
A 、52a a ><或
B 、2335a a <<<<或
C 、25a <<
D 、34a << 22.三个数a=0.8-1 , b=log 3πc=log 0.83,则a, b, c 的大小关系是_________ A ．a>b>c
B. c>a>b
C. b>a>c
D. c>b>a 23.若=-=-3
3
)2
lg()2
lg(,lg lg y x a y x 则
（）
A ．a 3
B ．a 23
C ．a
D ．2
a
24.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A. 01ln 10
==与e B. 3
121log 218
8)3
1(-==-与 C. 3929log 2
13==与 D. 7717log 17==与
25.已知函数⎩⎨⎧≤>=)
0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1
[()]4f f 的值是（）
A. 9
B. 91
C.－9
D.－9
1
26.对于a>0, a ≠1, 下列结论正确的是（）
A. 若M=N , 则 log log a a M N =
B. 若log log a a M N =, 则M=N
C. 若22log log a a M N =, 则M=N
D. 若M=N, 则22log log a a M N = 27.已知函数)
1(log )(++=x a x a x f 在]1,0[上的最大、最小值之和为a ，则a 值为（）
A 、
41 B 、2
1
C 、2
D 、4 一、填空题：
28.= 29.若2log 2,log 3,m n a a m n a +===
30.已知函数⎩⎨⎧<+≥=-),
3)(1(),
3(2)(x x f x x f x 则=)3(log 2f _________
31.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是减函数，则a 的取值范围是_________
32.若定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞）上是增函数，且f （
2
1
）＝0，则不等式f （l og 4x ）＞0的解集是______________． 33.函数21
()log (2)
f x x =
-的定义域是
34.函数)x 2x (log y 22
1-=的单调递减区间是_______________
35.若log a 23<1, 则a 的取值范围是
36.
16
log 32
log 381的值为
二、解答题：
37.求下列函数的定义域：（1）
3
)1(log 1
)(2-+=
x x f （2）2
31
2log )(--=
x x x f
（3）y =
(4)y =
38.求值(1)02
13
log )1
21
(
01.02
2--+; （2）3log 7
242
2135
log 13log 253log (log 13log 25)13
+++-⋅
（3）50lg 2lg )5(lg 2
⋅+ （4） 82715
lg
lg lg12.5log 9log 828
-+-⋅
39.解方程:
(1)14414
x
x
-+=+ (2)log (31)log (1)log (3)x x x πππ-=-++
已知()()1,011log ≠>-+=a a x
x
x f a
且（1）求()x f 的定义域; （2）证明()x f 为奇函数;
（3）求使()x f >0成立的x 的取值范围.
已知函数()log (1)(0,1)a f x x a a =+>≠在区间[1，7]上的最大值比最小值大1
2
，求a 的值。

已知函数2|log (1)|y x =+，
（1）作出函数的图像，并说明作图过程；（2）由函数图像写出函数的单调区间；
对于任意实数x,y ，已知函数()y f x =满足()()()f x y f x f y +=+，当0()x f x >时，>0
（1）求证：(0)0f =；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；
（3）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（4）解不等式2
(3lg )(lg lg )0f x f x x ++-<。