多面体和旋转体

第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。

2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。

3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。

2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。

3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。

（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。

2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。

3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。

二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。

2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。

（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。

（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。

（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。

让学生就图2-2，图2-3分析是否也有以上两条特点，请一位同学叙述棱柱的定义（注意纠正学生的表达）然后由师板书。

请同学们阅读课文P.51第7行到P.52第3行。

就图2-4请同学们说出部分点、线、面的名称（或说出名称请学生找点、线、面）（三）棱柱的表示法师：棱柱的表示方法有两种，一种用底面各顶点的字母表示，如图2-4中的棱柱可表示为棱柱A1B1C1D1-ABCD，或者用表示一条对角线的两个端点的字母表示，如图2-4中的棱住也可表示为棱柱D、B（强调一定要冠以“棱柱”两字）（四）棱柱的分类师：棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱，直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱。

即：斜棱柱（侧棱与底面不垂直）棱柱直接柱（侧棱与底面垂直）正棱柱直棱柱让学生就图2-1到图2-4说明哪些是直棱柱，哪些是斜棱柱，哪些是正棱柱。

问题 1.有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？有两个侧面是矩形的棱柱是不是直棱柱？有两个相邻是矩形的棱柱是不是直棱柱？师：我判断一个棱柱是否是直接棱柱主要看侧棱与底面是否垂直，引导学生从线面垂直的判定了发，就问题中所给三个不同条件进行论证，得出结论。

生：第一种情况不一定是直棱柱；第二种情况也不一定是直棱柱；第三种情况一定是直棱柱。

师：根据棱柱多边形的边数棱柱又可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱……问题2.哪一种棱柱的表示法只能有一种？生：三棱柱（因为三棱柱没有对角线）问题 3 如果五棱柱的底面是正五边形，那么它是正五棱柱吗？生：不一定师（强调）：正棱柱首先要是直棱柱（五）棱柱的性质师：请同学们就图2-4考虑侧棱长有何关系？为什么？生：相等，因为夹在平行平面间的平行线段相等。

师：棱柱的侧面是否平行四边形？为什么？生：是平行四边，因为侧棱平行且平相等。

师：棱柱的上、下底面多边形是否全等？为什么？用一个平行底面的平面去截棱柱截面与上、下底面的关系如何？（引导学生考虑对应角、对应边的关系，讨论后回答）。

生：全等师：图2-4中过AA1，CC1的截面是什么图形？为什么？生：平行四边形，因为AA1 CC1根据以上讨论总结棱柱的三条性质。

（六）小结本节课我们通过观察特殊的棱柱所具有的特点，得到棱柱两大共性，因而给出棱柱的定义，又通过棱柱的分类给出直棱柱、斜棱柱及正棱柱的概念，最后由定义出发还得到棱柱的三条性质，这些概念及性质，都是我们解题的依据。

希望大家要记好。

（七）练习课本P、53中的练习1、3。

五、作业课本P、57中习题七1、2、3。

六、板书设计1、用小黑板画好图2-1，图2-2，图2-3，图2-4。

第二课时长方体一、教与学过程设计（一）复习提问1、棱柱的定义中，强调了棱柱的二个特点，它们分别指什么？2、棱柱分为斜棱柱、直棱柱的依据是什么？3、棱柱有三条性质，它们所涉及的对象各是什么？生1：有二个面互相平行，其余各面均为四边形；侧棱互相平行。

生2：侧棱与底面是否垂直。

生3：第一条性质是侧棱、侧面；第二条是上下底面与平行于底面的截面；第三条是过不相领的棱的截面。

（二）新课引入师：今天我们专门来研究最常见的棱柱长方体，首先请同学们阅读课文P、53中倒第5行到第2行。

（三）长方体的概念师：请同学们根据刚才阅读的内容在以下横线上方的括号内填上相应的内容。

棱柱（）四棱柱（）平行六面体（）直平行六面体（）长方体（）正方体（请一位同学板演。

）师：刚才我们从棱柱这个图形出发逐步附加条件最后得到正方体。

这一过程中每后面的图形都是前面图形的子集。

大家不难发现附加条件越多图形所涉及的范围就会越小。

解题时可根据已知图形的定位往箭头相反方向推出它所具备的性质。

例1 设M={正四棱柱}，N={直四棱柱}，P={长方体}，Q={直平行六面体}，这些集合的关系是（）（A）MCPCNCQ，（B）MCPCQCN，（C）PCMCNCQ，（D）PCMCQCN师：抓住各图形底面形状来考虑。

（选B）例2 斜面棱柱的侧面最多可有几个面是矩形（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个师：可以有两个相对的侧面为矩形，故选（C）例3 一个棱柱是正四棱柱的条件是（）（A）底面是正方形，有两个侧面是矩形（B）底面是正方形，有两个侧面垂直于底面（C）底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直（D）每个侧面都是全等的矩形的四棱柱师：我们要紧紧抓住正四棱柱的底面是正方形，侧检与底面垂直这两个特点来逐个答案进行考试（让学生讨论后，帮助总结）条件（A）无法保证侧棱与底面垂直；条件（B）一样无法保证侧棱与底面垂直；条件（C）的后半部分可以保证侧棱与底面垂直，前后两部分结合可得底面是正方形，故选（C）；条件（D）的底面可以是菱形，故不能选。

（四）长方体的性质例4 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中A1A=a,A1D1=b,A 1B1=c,求对角线A1C的长。

师：要求对角线A1C的长，必须把它纳入某一个三角形中，为此我们连结AC，则得Rt△A1AC?(∵A1A⊥面AC,且ACC面AC,∴A1A⊥AC.)在△RtABC中AC2=AB2+BC2=c2+b2。

故可求得A1C2=a2+b2+c2（具体求解由学生自己完成）师：例题4写成命题的形式就是课本P、54的定理，请同学阅读。

例5 已知长方体的对角线AC1与三条棱AD、AB、AA1所成的角分别为a、β、γ，求证：cos2+cos2β+cos2γ=1。

师：（分析）要证cos2a+cos2β+cos2γ=1，首先就当考虑将cos2a、cos2β、cos2γ表示成线段比的形式，为此应把a、β、γ分别纳入Rt△C1 DA，Rt△C1，BA，Rt△C1A1A中（它们为什么是Rt△？）然后得cos2a=AD2/AC21cos2β=AB2/AC21 cos2γ=AA1/AC21，再利用长方体的性质定理，即可得证。

小结：由例4、例5可得在立体几何中，求线段长及角的三角函数问题时，总是先拭到它纳入三角形，再通过解三角形来处理，这一规律，望大家能很好的去体会。

（五）总结1、本节课从四棱柱出发，通过附加条件得到平行六面体、直平行六面全、长方体、正方体、我们判断特殊四棱柱应从它们的底面，侧棱与底面的关系以及棱长等三个方面进行综合分析。

2、长方体对角线的长的平方是等于同一个顶点的三条棱的平方和。

3、立体几何中求角的三角函数值问题，求线段长问题，总是归结到三角中去处理。

（六）练习P.54练习1、2二、作业课本P.58中4、5、9补充：已积压长方体的对角线与过其一个端点的三个面所成的角分别为a、β、γ，求证：cos2+cosβ+cos2γ=2第三课时直棱柱直观图的画法及侧面积一、教与学过程设计（一）复习引入师：在第一章中我们学过水平放置的平面图形的直观图的画法，所采用的方法叫做斜二测画法，它有三条规则，请同学们一起回忆一下。

（请一位同学回答，其他同学补充）生：（1）在已知图形中的互相垂直的轴ox、oy，画直观图时，把它画成对应的轴oˊxˊ，oˊyˊ，使∠xˊoˊyˊ=45º（或135º）。

（2）已知图形中平行于X轴或Y轴的线段，在直观图中分别画成平行于Xˊ轴或Y轴ˊ的线段。

（3）已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于Y轴的线段，长度为原来的一半。

（二）直棱柱直观图的画法师：请同学们画一个边长为2cm的正六边形的直观图。

（教师以放大10倍后，同时在黑板上画出。

）师：请同学们在所画的图形中再画上一条轴Oˊzˊ使∠zˊoˊxˊ=90º, ∠zˊoˊyˊ=45º,然后分别过A′，B′，C′，D′，E′，F′作Oz′轴的平行线，并在其上截取3cm长的线段，最后依次过线所得的点。

师：（待学生画好后），大家所画的图形就是底面边长为2cm，高为3cm的正六棱柱的直观图。

下面请一位同学来总结直棱柱直观图的画法，让学生举手挑选程度高的同学回答。

（只要说出方案即可）生：先画底面的直观图，接着画O′z′轴，使∠xˊoˊzˊ=90º，再过底面各顶点作O′z′轴的平行线并截取等于高的线段长，最后依次连结各截点，并去掉辅助线，所遮挡部分为虚线。

（学生表示不清时教师可提示。

）思考题：如何画斜棱柱的直观图。

（Oz′轴不垂直于oˊXˊ）（三）直棱柱的侧面积师：下面我们来学习怎样计算直棱柱的侧面积。

大家思考直棱柱的侧面都是些什么样的图形。

为什么？（学生回答“矩形”，因为侧棱垂直于底面），如果我们沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，将得到一个什么样的图形（矩形）？请同学们看课本P、56的图2-8，所得矩形的长和宽各为多少？（长等于棱柱的底周长，宽等于直棱柱的高），请一位同学说说直棱柱侧面积的计算公式。