解高次方程的根的性质与求解策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略
一元二次方程整数根问题的几种思维策略一、利用判别式例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。
解：∵方程2440mx x -+=有整数根，∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥-. 综上所述，54-≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=123.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a .（1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系；（2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值；（3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根,∴ Δ=,04)2(22≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a ,∴ a+b ＞0,a －b ≥0.∴ b a ≥. …………………………2分（2） ∵ a ∶b，∴ 设2,a k b ==(k ＞0).解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=，得 -3x k k =-或.当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =.当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25k =-（不合题意，舍去）.∴ 4,a b ==. …………………………5分（3）当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）.设z ＝3x －y ，则3y x z =-.画出函数2812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分二、利用求根公式例2．设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。
超越方程根的问题解题策略
一
、
判 断 方 程 根 的个 数 问题
【 例１ 】 方程２ ＝ ｃ ｏ ｓ ０ ， ０ ∈［ ０ ， ２ 叮 ｒ ） 的根 的个数是
（ ）
【 解】 ｉ Ｅ ｃ 。 ： ｙ ） ， Ｃ ２ ： ｙ ＝ ｘ ＋ ａ 在 同 一 坐 标 系 中 画 出它们的 图像 ，欲使原方 程有 两个 不相 等 的实根 ， ￣ Ｕ ａ ＜ ｌ ， 选Ｂ 。 【 评】 注 意 函 数在 （ ０ ， ＋ ｏ 。 ） 上的性质 ， 画 出 函数 Ｃ ： ｙ ＝ ） 的 图像 ， 又 ： ｙ ： ＋ 。 是一组平行直线 ， 当ｎ ＜ １ ， 时它们 总有两个不 同交 点。 设定 义 域加 的 函 “ ’
’
则关 于 的方程厂 （ ） 舶厂 （ ） ＋ ｃ ＝ ０ 有７ 个不 同的实数根 的充 要 条 件 是 （ ）
Ａ． ｂ＜ ０， ｃ＞ ０ Ｃ． ｂ ＜０， ｃ ＝０ Ｂ． ｂ ＞０， ｃ ＜ ０ Ｄ． ｂ≥ ０． Ｃ －０
、 另 夕 。
【 解】 画出图像 ， 若关 于
这类问题涵盖知识点多综合性强能较好地考查数学思想方法学生们求解起来往往颇感困难本文就超越方程根问题常见类型结合平时教学中学生所问及高考中遇到的一些试题进行分析
０
考点聚焦
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超
程
题 解
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超越方程根问题是高考常考的知识点 。这类 问 题 涵盖知识点多 ， 综合性强 ， 能较好地考查数学思想 方法 ， 学生们求解起来往往颇感 困难 ， 本文就超越方 程根问题常见类型结合平 时教学中学生所 问及高考 中遇到的一些试题进行分析 ， 探寻解题策略 ， 以供参
Ｙ ＼：
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Ｏ １ ； ２ ３ ４ ５
九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》教案、教学设计
（1）通过分类讨论，让学生明确判别式的符号与方程根的关系，降低判断错误的可能性。
（2）利用数形结合的方法，将判别式与一元二次方程的图像相结合，帮助学生形象地理解判别式的符号意义。
（3）对学生在运用判别式时出现的常见错误进行剖析，引导学生总结经验，提高解题能力。
3.教学过程设想：
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。这些题目会涵盖判别式的计算、应用以及一元二次方程根的判断等各个方面。我会要求学生在规定时间内完成练习，并及时批改和反馈。
针对学生在练习中出现的典型错误，我会进行集中讲解，分析错误原因，并指导学生如何避免类似错误。这样的练习有助于巩固学生对判别式知识的掌握，并提高他们解决实际问题的能力。
（2）当判别式大于0、等于0和小于0时，分别对应方程的哪些根的情况？
（3）请举例说明在实际问题中如何运用判别式求解一元二次方程的根。
3.请同学们尝试解决以下拓展题目：
（1）已知一元二次方程的判别式，如何求解该方程的根？
（2）已知一元二次方程的根，如何反推判别式的值？
4.针对本节课的内容，请同学们撰写学习心得，内容包括：
4.设计分层练习，使学生在巩固基础知识的同时，提高解决问题的能力。
5.引导学生总结学习过程中的经验与教训，培养学生的自我反思和自我调整能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对方程根的判别式的兴趣，激发学生学习数学的热情。
2.培养学生勇于探索、积极思考的良好习惯，增强学生的自信心和自我效能感。
3.培养学生团结协作、互帮互助的精神，提高学生的沟通能力。
2.知识难点：理解判别式的符号意义，正确运用判别式判断方程根的情况。
《函数的零点与方程的解》教学设计
《函数的零点与方程的解》教学设计一、教学内容解析1．内容本节课是《普通高中教科书数学A版必修第一册》第四章第五节函数的应用（二）第一课时的内容．2.内容解析函数与方程是描述客观世界变化规律的基本数学模型，也是中学数学的重要数学思想之一，在高中数学教学中占有非常重要的地位．本节内容是学生在学习了函数的概念及性质、基本初等函数等知识的基础上，结合函数图象及性质，探究函数零点与方程的根之间的关系以及函数在某个区间上存在零点的条件是函数作为解决数学问题的工具在数学知识内部的应用，同时本节课的学习也是为下节“用二分法求方程的近似解”奠定基础，具有承前启后的作用．本节课要求学生通过二次函数的零点的定义抽象出一般函数的零点的概念，并通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的判断，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x轴交点横坐标、函数零点的等价关系，通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，结合其他函数零点所在区间的函数值特征，总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理，最后利用函数零点存在定理研究具体方程根的问题，并利用信息技术作出函数图像帮助学生直观形象地理解本节内容，体现函数的应用价值．函数作为解决数学问题的基本工具，把函数在解方程中加以应用，渗透了许多重要的数学思想，比如函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想．对培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模等学科核心素养，以及树立学数学、用数学的观念与信心具有至关重要的作用．故本节课的教学重点是：函数零点的概念、函数零点与方程的解的关系，以及函数零点存在定理．二、学生学情分析本节课的教学对象是刚进入高中的高一学生，在初中，学生已经对一元二次方程的根的三种情况有了深刻的认识，对二次函数的图象也比较熟悉，通过前面章节的学习，学生已经了解了一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法及函数的一些性质（如奇偶性、单调性、最值等）．本节内容是将函数的零点与方程的解的关系进行进一步讨论，通过几个学生熟悉的具体函数，抽象出零点的概念，归纳函数在某区间有零点的条件，从而得出函数零点存在定理．进一步从代数与几何两个角度判断零点的个数．从代数到几何,从几何到代数全方位理解函数的零点与方程的解之间的关系，几何与代数之间的转化对学生认知水平的要求属“最近发展区”，但学生对知识之间的有机联系把握不到位，应用意识不强，其观察、归纳能力还有待进一步提高．故函数零点的存在定理的生成过程对学生来说是一个难点．这种从学生已有的知识出发理解探究新知识的过程既符合学生的认知规律，也是解决数学问题的一般方法．故本节课的难点是：函数零点存在定理的导出，以及理解函数零点存在定理中的两个条件是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，借助函数图像判断函数零点的个数．三、教学目标设置1.根据二次函数零点的定义抽象出一般函数)(x f y =零点的定义．在此过程中培养学生的数学抽象核心素养；2.通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x 轴的交点的横坐标之间的关系的认识，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x 轴交点横坐标、函数零点的等价关系．在此过程中培养学生的逻辑推理能力以及对数形结合思想的应用；3.通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，再结合更多函数图像，通过观察、对比、分析、总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理。
小学数学课件三个二次的求解的策略-文档资料
类
别
最小值
最大值
y
b x ) f( n ) m f( x ) f( m ) f( m ax min 2a b b m n f (x )min f ( ) f (m )与 f (n )最大者 2a 2 a b x ) f( n ) f( x ) f( m ) n f( min max 2a
O
方程ax2 bx c＝0的根
二 次 不 等 式 的 解 集
x1 x2
x
O
xO
无实根
x
b b b2 4 ac x ＝ x 1 2 x ＝ 1 、 2 2a 2 a
b x| x R ,x x | x x 或 x x 1 2 2 a (a 0)的解集
b , 2a
b , 2a
3.三个“二次”的基本关系：
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr126
§1.3三个"二次"的求解策略
2 b 4 ac
高2019级数学复习课件
Hale Waihona Puke 0y y0
y
0
y ax2 bx c (a 0)的图象
2 最大值为 f ( 3) 0 ,最小值为 f (1) 3 3
2 f (1 ) 3,最小值为 f (0 ) 1 3
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr126
最大值为
§1.3三个"二次"的求解策略
y
O
x
3 1 a （a ） 综上所述: 4 2 1 1 2 函数 f(x) 的最小值f(x)min = a 1 （ a ） 2 2 3 1 a （a ） 4 2
九年级数学上册《一元二次方程求根公式及其应用》教案、教学设计
1.通过对一元二次方程的引入，使学生掌握从实际问题中抽象出一元二次方程的一般方法。
2.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生发现一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.利用求根公式解决实际问题时，引导学生分析问题、建立数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程求根公式的推导及其应用。
2.难点：理解求根公式的推导过程，以及如何运用求根公式解决实际问题。
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引出一元二次方程的实际背景，激发学生的学习兴趣。
-对比一元一次方程，引导学生发现一元二次方程的特点，为新课的学习做好铺垫。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：利用多媒体展示一个实际问题，如“一个学生从地面上抛出一个球，球的最高点离地面2米，问学生抛球的高度和初速度分别是多少？”
2.提出问题：引导学生思考如何解决这个问题，从而引出一元二次方程的求解。
3.引入新课：通过对比一元一次方程，强调一元二次方程的特点，即未知数的最高次数为2，且方程的根可能有0个、1个或2个。
1.必做题：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题，包括直接求解一元二次方程和运用求根公式解决实际问题。
-从练习中挑选两道具有代表性的题目，要求同学们写出完整的解题过程，包括解题思路、步骤和最终答案。
2.选做题：
-针对课堂上的抛物线运动实例，请同学们设计一个类似的实际问题，并运用一元二次方程求根公式进行求解。
1.学生对一元二次方程的概念理解可能不够深入，需要通过实例引入，帮助学生建立直观的认识。
七年级数学下册《平方根立方根》教案、教学设计
1.基础作业：针对平方根、立方根的基本概念和计算方法，布置以下作业：
（1）计算以下各数的平方根和立方根：2、9、16、-1、0、27。
（2）判断以下各命题的真假，并说明理由：
①一个正数的平方根有两个。
②一个负数有一个平方根。
③ 0的平方根是0。
④一个正数的立方根是正数。
⑤一个负数的立方根是负数。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：平方根、立方根的性质和计算方法。
2.教学方法：采用小组合作交流的方式，让学生在讨论中加深理解。
3.教学实施：
（1）将学生分成小组，每个小组针对平方根、立方根的性质和计算方法进行讨论。
（2）教师巡回指导，解答学生在讨论过程中遇到的问题。
（3）小组代表分享讨论成果，其他小组进行补充。
4.培养学生的创新意识，鼓励学生敢于质疑、敢于挑战，培养独立思考和解决问题的能力。
5.通过数学学习，引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了提高自己的能力，更是为了服务社会、造福人类。
二、学情分析
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的算术运算和简易方程，对于数学符号和概念也有了一定的理解。在此基础上，学习平方根、立方根这一章节，学生需要在新知识的基础上进行拓展和深化。然而，由于平方根、立方根的概念较为抽象，学生可能会在理解上存在困难，特别是在求解过程中可能会出现混淆。因此，在教学过程中，教师需关注以下几点：
4.通过学习平方根、立方根，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流的学习方式，引导学生发现平方根、立方根的性质，培养学生自主学习和合作学习的能力。
2.通过举例、练习、总结等教学环节，让学生在实践中掌握平方根、立方根的计算方法，提高学生的实际操作能力。
高考数学冲刺：解析几何难题突破与得分攻略
高考数学冲刺：解析几何难题突破与得分攻略一、解析几何难题特点剖析1.知识点综合强o往往将直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等多种曲线知识融合，同时涉及代数运算、向量、三角函数等多领域内容。
例如在一道题中，既要求根据椭圆方程求出焦点坐标，又要用直线与之联立，借助向量关系得出某点坐标满足的条件，对知识的全面掌握程度要求极高。
1.计算量大o联立方程后化简求解过程复杂，常常出现高次方程、分式方程等。
像求解直线与双曲线交点坐标，消元后的方程可能含有二次项系数不为1 的二次方程，需要运用求根公式仔细计算，稍不留意就会出错，且耗费大量时间。
1.图形条件隐蔽o题目给出的几何条件需要巧妙转化为代数表达式。
比如两直线夹角为定值，要联想到斜率关系；图形中的对称点，需通过中点坐标公式与垂直条件来构建等式，若不能敏锐捕捉这些隐含条件，解题就会陷入僵局。
二、突破策略1.夯实基础，构建知识网络o熟练掌握各类曲线的标准方程、基本性质，如椭圆中a、b、c 的关系，双曲线的渐近线方程等。
梳理各知识点之间的联系，形成知识体系，做到看到题目条件能迅速联想相关知识模块。
o定期回顾错题，分析错误根源是概念不清、公式记错还是计算失误，针对性强化薄弱环节。
1.强化运算能力o日常练习中注重计算的准确性与速度，养成良好运算习惯，书写工整，步骤清晰，避免跳步导致错误。
o学习一些简便运算技巧，如利用韦达定理简化联立方程后的根与系数关系计算，对于复杂分式化简先观察分子分母特点再通分或约分等。
1.巧用几何性质解题o培养“几何直观”，画图要规范、精准，从图形中挖掘等量关系、特殊三角形、平行四边形等几何特征，将其转化为代数方程求解。
o例如涉及圆的问题，利用圆心到直线距离与半径关系判断位置关系，比单纯联立方程求解交点更简洁高效。
三、得分攻略1.分步得分o对于复杂的解析几何解答题，即使最终结果求不出，只要写出关键步骤，如正确列出联立方程、求出判别式、表示出韦达定理结果等，都能得到相应分数。
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解高次方程的根的性质与求解策略
高次方程是数学中一个重要的研究领域，它们在各个科学领域中都有广泛的应
用。解高次方程的根的性质和求解策略是数学中的一个重要课题，本文将探讨这个
主题。
在解高次方程之前，我们先来了解一下高次方程的一些基本概念。高次方程是
指方程中最高次项的指数大于1的方程。例如，二次方程是最常见的高次方程，它
的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c都是实数，且a不等于0。解二次方程
的根的性质和求解策略已经被广泛研究和应用。
而对于高于二次方程的高次方程，解的性质和求解策略则更加复杂。首先，我
们来看看高次方程的根的性质。对于一个高次方程，它的根的个数和性质与方程的
最高次项的指数有关。根据代数基本定理，一个n次方程最多有n个根，包括重根。
而对于实系数的高次方程，根的个数和性质则更加丰富。根据奇偶性定理，实系数
的奇次方程至少有一个实根，而偶次方程则可能没有实根。此外，实系数的高次方
程的复数根一定是成对出现的，即如果a+bi是方程的一个复数根，那么a-bi也是
方程的一个复数根。
在解高次方程时，我们需要根据方程的性质选择合适的求解策略。对于一些特
殊的高次方程，我们可以直接应用一些已知的公式或方法进行求解。例如，对于三
次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，我们可以使用卡尔达诺公式来求解。卡尔达诺公式给
出了三次方程的根的表达式，但由于其复杂性，实际应用时往往不太方便。
对于一般的高次方程，我们可以尝试使用一些数值方法来求解。数值方法通过
迭代的方式逐步逼近方程的根，直到满足一定的精度要求。其中，最常用的数值方
法包括二分法、牛顿法和割线法等。这些数值方法在实际应用中具有较高的效率和
精度，可以有效地求解高次方程的根。
除了数值方法外，还有一些近似求解的方法可用于解高次方程。例如，我们可
以通过将高次方程转化为低次方程来求解。这种方法被称为代数方法，其基本思想
是通过变量替换或配凑的方式将高次方程转化为低次方程，从而简化求解过程。代
数方法在解高次方程中起到了重要的作用，它不仅可以帮助我们求解根，还可以帮
助我们研究根的性质和关系。
总之，解高次方程的根的性质和求解策略是数学中的一个重要课题。通过研究
高次方程的根的性质，我们可以更好地理解高次方程的解的情况。而求解高次方程
的策略则可以帮助我们有效地求解方程的根。不同的高次方程可能需要不同的求解
策略，我们可以根据方程的性质和特点选择合适的方法。通过深入研究和应用解高
次方程的根的性质和求解策略，我们可以更好地理解和应用数学的知识。