平新乔课后习题详解(第7讲--要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数)

平新乔《微观经济学十八讲》第7讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数1．已知生产函数为()1212,0.5ln 0.5ln f x x x x =+，求利润函数()12,,w w p π，并用两种方法求供给函数()12,,y w w p 。

解：（1）由已知可得，厂商的利润函数为：11221211220.50.5ln ln p x pf w x p x x x x w w w π+--=--= 利润最大化的一阶条件为：11102pw x x π∂=-=∂ 22202pw x x π∂=-=∂ 解得：112p x w =，222p x w =。

把1x 和2x 的表达式代入目标函数式中就得到了利润函数：()()21121ln ln 42,,w w p pp w x p π=-- （2）方法一：根据霍太林引理：()()1212,,,,pw w p y w w p π∂=∂可知厂商的供给函数为：()()()22211121,ln ln 2,,,4w w p p py w p w w w π∂==-∂ 方法二：把1x 和2x 的表达式代入厂商的生产函数()1212,0.5ln 0.5ln f x x x x =+中，也可以得到供给函数：()()221211l n ,,n l 42y w w p p w w =-2．已知成本函数为()254C Q Q Q =++，求竞争性厂商供给函数()S p 与利润函数()p π。

解：厂商关于产量Q 的利润函数为：()()254Q pQ C Q pQ Q Q π=-=---利润最大化的一阶条件为：d 250d p Q Qπ=--= 解得厂商的供给函数为：()52p S p Q -==把()52p S p Q -==代入()Q π中，就得到了利润函数： ()()2544p p π-=-3．下列说法对吗？为什么？函数()0.5p p π=可以成为—个利润函数。

答：（1）题中说法不对。

（2）因为利润函数关于产品价格和要素价格是一次齐次函数，即对任意的0t ≥，都有()()1212,,,,p t tw tw t p w w ππ==。

对于函数()0.5p p π=，有()()0.50.50.5t p t p t p t p ππ=≠=，可知该利润关于价格不是一次齐次的，因此该函数不可以成为一个利润函数。

4．在一篇著名的论文里（J.Viner ：“Cost Curves and Supply Curves ”.Zeitschrift fur Nationalokonomie 3（September 1931）：23-46），维纳批评他的绘图员不能画出一组SATC 曲线，并令其与U 型AC 线的切点也分别是每一条SATC 线的最低点。

绘图员抗议说这种画法是不可能做出的。

在这一辩论中，你将支持哪一方？答：在这一辩论中，我会支持绘图员一方。

理由如下：假如可以按照维纳的意思作出一组短期平均成本线i SATC ，其中1i =，2，…，n ，使得它们和U 型的长期平均成本线AC 分别相切于点i x ，而且切点是i SATC 的最低点。

如果i x 不是AC 线的最低点，那么过该点作i SATC 的切线i l ，它应该是一条水平的直线。

同时过i x 点作AC 线的切线i L ，由于i x 不是AC 线的最低点，所以i L 必定不是水平的。

可是i SATC 和AC 相切于点i x 却意味着i l 和i L 是同一直线，所以它们有相同的斜率，这样的结果相互矛盾。

因此，如果i x 不是AC 线的最低点，那么它必然不是i SATC 的最低点。

但是，如果i x 是AC 线的最低点，那么它也是i SATC 的最低点。

5．施教授与纪教授将出版一本新的初级教科书。

作为真正的科学家，他们提供了写作本书的生产函数如下：1/21/2q S J =其中q 是完成本书的页码数，S 为施教授将要支出的工作时间（小时）数，J 为纪教授花费的工作小时数。

施教授认为其每小时工作价值为3美元，他花费了900小时准备初稿。

纪教授的每小时工作价值为12美元，并将修改施教授的初稿以完成此书。

（1）纪教授必须耗费多少小时，以完成一本具有下列页数的书：150页？360页？450页？（2）一本150页的成书的边际成本是多少？300页的书的边际成本是多少？450页的书的边际成本是多少？解：（1）由于施教授已经花费了900个小时准备初稿，所以生产函数就变为：1/230q J =这样本问题就变成了求解下面三个方程：1/2115030J =，1/2236030J =，1/2345030J =解得125J =小时，2144J =小时，3225J =小时。

（2）生产书的成本函数为：()2290031227003075q q c q ⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭相应的边际成本275MC q =。

把150q =、300q =、450q =分别代入边际成本的表达式得到：14MC =，28MC =，312MC =。

6．假定厂商生产函数为柯布一道格拉斯生产函数，有q K L αβ=（其中,0αβ>。

）厂商可以在竞争性投入市场购买租金价格分别为v 与w 的任意数量的K 与L 。

（1）证明成本最小化要求//vK wL αβ=该厂商的扩张线的形状是什么？（2）假定成本最小化，证明总成本可以表示为下述的关于q ，v 与w 的函数1// /TC Bq w v αββαβααβ+++=这里，B 是依赖于α与β的常量。

提示：这部分可通过运用（1）中的结果去计算TC 作为L 的函数，以及TC 作为K 的函数并代入到生产函数中去。

（3）证明如果1αβ+=，则TC 与q 成比例。

证明：（1）厂商的成本最小化问题为：max K LvK wLq s t K Lαβ+..=，建立拉格朗日函数：()(),,L K vK wL q K L αβψλλ=++-拉格朗日函数分别对K 、L 和λ求导，就得到：0qv K K ψαλ∂=-=∂ ① 0q w L L ψβλ∂=-=∂ ② 0q K L αβψλ∂=-=∂ ③ 从①式和②式中消去λ就得到：v wK L αβ= ④ 生产扩张线是指在技术水平和投入要素价格不变的条件下，由投入总成本的变化而引起的最优要素比例的变动的轨迹。

在本题中，由于最优的要素组合满足④式，从而得到wK L v αβ=，这说明生产扩张线是一条经过原点的射线。

（2）从④式中解出K 关于L 的表达式后，代入③式中，就可以解出K 的表达式：1w K qv βαβαβ++⎛⎫= ⎪⎝⎭⑤把⑤式代入④式中，就有：1v L qw ααβαββα++⎛⎫= ⎪⎝⎭⑥把⑤、⑥两式代入目标函数式中，就得到了总成本函数：1TC Bqwvβααβαβαβ+++=其中B βααβαββα++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

（3）如果1αβ+=，那么总成本的表达式就变为TC Bv w q αβ=，即TC 和q 成比例。

7．假定厂商固定要素比例的生产函数为{}min 5,10q K L =。

资本与劳动的租金价格分别为1v =，3w =。

（1）计算厂商的长期总成本、平均成本与边际成本。

（2）假定K 在短期内固定为10，计算厂商的短期总成本、平均成本与边际成本。

第10单位的边际成本是多少？第50单位呢？第100单位呢？解：（1）由生产函数的形式{}min 5,10q K L =可以知道，两种生产要素是互补的。

厂商的成本最小化问题为：{}min 5,n 10mi 3K Ls t K L LK q..+=，对于最优的K 和L ，必有510K L q ==成立，从中解得5q K =，10qL =。

把这两个式子代入目标函数式中，得到成本函数()0.5LTC q q =，相应的平均成本函数和边际成本函数分别为0.5AC =，0.5M C =。

（2）当10K =时，厂商的生产函数为：10 0550 5L L q L ≤≤⎧=⎨>⎩ 因此厂商的成本函数为（如图7-1所示）：图7-1 总成本，边际成本和平均成本曲线0.31005025 50q q STC q +≤≤⎧=⎨=⎩任意不小于的数相应的边际成本和平均成本为：0.3050 50q SMC q ≤≤⎧=⎨+∞=⎩0.310 0500.550qq SAC q +≤≤⎧=⎨=⎩任意不小于的数总成本，边际成本和平均成本曲线如图7-1所示。

所以第10个单位的产品边际成本为0.3，第50个单位的产品边际成本为+∞。

由于在固定投入K 的限制下，厂商的产量上限就是50，第100个单位的产品边际成本不存在。

8．假定某厂商的生产函数是2q KL =100K =。

K 的租金价格为1v =元，L 的工资率为4w =元。

（1）计算厂商的短期总成本曲线及短期平均成本曲线。

（2）厂商的短期边际成本函数是什么？如果生产25个曲棍球棒，则厂商的STC 、SATC 与SMC 是什么？若生产数量分别为50、100、200时，这些曲线是什么样的？（3）画出厂商的SATC 与SMC 曲线，标出（2）中所求得的点。

（4）SMC 曲线与SATC 曲线在何处相交？解释为什么SMC 曲线将通常交于SATC 线的最低点。

解：（1）短期内，固定投入的数量为100K =，所以厂商的生产函数为：20q L =所以厂商的短期总成本为()22100410020100q q STC q ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭；相应的短期平均成本为()100100qSAC q q =+。

（2）短期边际成本为()50qSMC q =，由此可知，当厂商的产量分别为25个、50个、100个、200个时，短期总成本分别为106.25元、125元、200元、500元，短期边际成本分别为0.5、1、2、4，短期平均成本分别为4.25元、2.5元、2元、2.5元。

（3）如图7-2所示。

图7-2 短期总成本和短期平均成本曲线（4）SMC 与SATC 相交于SATC 曲线的最低处。

当多生产一单位的产品所增加的成本低于平均成本时，平均成本下降；当多生产一单位的产品所增加的成本高于平均成本时，平均成本上升。

因此，当多生产一单位的产品所增加的成本等于平均成本时，平均成本最低。

9．一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品。

每个工厂生产相同产品而且每个工厂的生产函数都是i i q K L 1i =，2）。

每个工厂在各自拥有的资本存量方面却不同。

工厂1拥有125K =，工厂2拥有2100K =。

K 与L 的租金价格由1w v ==元给出。

（1）如果该企业家试图使短期生产总成本最小，则产出应如何在两个厂间分配？（2）给定在两个工厂间的最优产量分配，计算短期总成本、平均成本与边际成本曲线。