平衡二叉树-构造方法(绝妙)
第九章-数据结构与算法基础
解题思路多代入法二叉树度叶子结点就是没有孩子的结点，其度为0，度为二的结点是指有两个子数的结点。
注意树的度和图的度区别叶子结点二叉排序树完全二叉树若设二叉树的深度为h，除第h 层外，其它各层(1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；最优二叉树（就是哈弗曼树）平衡二叉树平衡二叉树，又称AVL树。
它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差之差的绝对值不超过1.。
满二叉树满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶结点都处在最底层的二叉树,。
除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点（最后一层上的无子结点的结点为叶子结点）。
也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。
节点数达到最大值。
所有叶子结点必须在同一层上.本题主要考查一些特殊二叉树的性质。
若二叉树中最多只有最下面两层的结点度数可以小于2，并且最下面一层的叶子结点都依次排列在该层最左边的位置上，则这样的二叉树称为完全二叉树，因此在完全二叉树中，任意一个结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。
二叉排序树的递归定义如下：二叉排序树或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：(1)若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；(2)若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；(3)左右子树也都是二叉排序树。
在n个结点的二叉树链式存储中存在n+1个空指针，造成了巨大的空间浪费，为了充分利用存储资源，可以将这些空链域存放指向结点在遍历过程中的直接前驱或直接后继的指针，这种空链域就称为线索，含有线索的二叉树就是线索二叉树。
最优二叉树即哈夫曼树。
排序各种排序的大致思路？各种排序适用于什么情况？各种排序的时间，空间复杂度？快速排序1.快速排序（Quicksort）是对冒泡排序法的一种改进，它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列；在对一个基本有序的数组进行排序时适合采用快速排序法。
数据结构 二叉排序树
9.6.2 哈希函数的构造方法
构造哈希函数的目标：
哈希地址尽可能均匀分布在表空间上——均 匀性好； 哈希地址计算尽量简单。
考虑因素：
函数的复杂度； 关键字长度与表长的关系； 关键字分布情况； 元素的查找频率。
一、直接地址法 取关键字或关键字的某个线性函数值为哈希地址 即： H(key) = key 或： H(key) = a* key + b 其中，a， b为常数。 例：1949年后出生的人口调查表，关键字是年份 年份 1949 1950 1951 … 人数 … … … …
9.4 二叉排序树
1．定义：
二叉排序树(二叉搜索树或二叉查找树) 或者是一棵空树；或者是具有如下特性的二叉树
(1) 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的 值均小于根结点的值；
(2) 若它的右子树不空，则右子树上所有结点 的值均大于等于根结点的值； (3) 它的左、右子树也都分别是二叉排序树。
例如:
H(key)
通常设定一个一维数组空间存储记录集合，则 H(key)指示数组中的下标。
称这个一维数组为哈希(Hash)表或散列表。 称映射函数 H 为哈希函数。 H(key)为哈希地址
例：假定一个线性表为： A = (18，75，60，43，54，90，46) 假定选取的哈希函数为
hash3(key) = key % 13
H(key) = key + (-1948) 此法仅适合于： 地址集合的大小 = = 关键字集合的大小
二、数字分析法
假设关键字集合中的每个关键字都是由 s 位数 字组成 (u1, u2, …, us)，分析关键字集中的全体， 并从中提取分布均匀的若干位或它们的组合作为 地址。 例如：有若干记录，关键字为 8 位十进制数， 假设哈希表的表长为100, 对关键字进行分析， 取随机性较好的两位十进制数作为哈希地址。
数据结构之二叉树（BinaryTree）
数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。
⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。
定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。
（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。
值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。
具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。
⽆序树的⼦树⽆左右之分。
2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。
这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。
完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。
如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。
性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。
证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。
树的种类和构造
树的种类和构造树是一种重要的数据结构，它具有分层结构和层次性的特点。
在计算机科学中，树的种类和构造非常丰富多样。
本文将介绍一些常见的树的种类和它们的构造方式，以及它们在实际应用中的一些应用场景。
一、二叉树二叉树是最简单、也是最常见的一种树结构，它由一个根节点以及每个节点最多有两个子节点组成。
二叉树的构造方式有多种，包括满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树等。
其中，满二叉树是一种特殊的二叉树，每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点；完全二叉树是一种二叉树，除了最后一层的叶子节点外，其他层的节点都是满的；平衡二叉树是一种二叉树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。
二叉树的应用非常广泛，例如在搜索算法中，二叉搜索树可以快速地定位某个节点；在编译原理中，语法分析树可以用于解析和分析代码的结构；在图像处理中，霍夫曼树可以用于对图像进行压缩等。
二、多叉树多叉树是一种每个节点最多有多个子节点的树结构。
它的构造方式和二叉树不同，可以有任意多个子节点。
多叉树的应用也非常广泛，例如在文件系统中，目录和文件的关系可以用多叉树来表示；在组织架构中，公司的部门和员工的关系也可以用多叉树来表示。
三、红黑树红黑树是一种自平衡的二叉查找树，它在插入和删除节点时会自动调整树的结构，保持树的平衡性。
红黑树的构造方式非常复杂，但它的性能非常优秀，能够在最坏情况下保持对数时间的复杂度。
红黑树的应用非常广泛，例如在C++的STL中，红黑树被用于实现set 和map等容器。
四、B树B树是一种自平衡的多路查找树，它的每个节点可以存储多个键值对。
B树的构造方式和红黑树类似，但它的每个节点可以有多个子节点。
B树的应用非常广泛，特别适合在磁盘等外存储设备上进行查找和插入操作，因为它可以最大限度地减少磁盘的I/O操作次数。
五、Trie树Trie树，也称为字典树或前缀树，是一种用于快速检索字符串的树结构。
它的每个节点包含一个字符，根节点表示空字符。
Trie树的构造方式非常简单，每个字符对应一个子节点。
中级软件设计师上午模拟试题及答案解析(7)
B.
C.
D.
上一题下一题
(5/75)选择题
第5题
______是由权值集合{8,5,6,2}构造的哈夫曼树(最优二叉树)。
A.
B.
C.
D.
上一题下一题
(6/75)选择题
第6题
在______中，任意一个结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。
A.完全二叉树
B.二叉排序树
下面关于图(网)的叙述，正确的是______。
A.连通无向网的最小生成树中，顶点数恰好比边数多1
B.若有向图是强连通的，则其边数至少是顶点数的2倍
C.可以采用AOV网估算工程的工期
D.关键路径是AOE网中源点至汇点的最短路径
上一题下一题
(31/75)选择题
第31题
______的邻接矩阵是一个对称矩阵。
C.完全图适合采用邻接矩阵存储
D.完全图适合采用邻接表存储
上一题下一题
(26/75)选择题
第26题
无向图中一个顶点的度是指图中与该顶点相邻接的顶点数。若无向图G中的顶点数为n，边数为e，则所有项点的度数之和为______。
A.n*e
B.n+e
C.2n
D.2e
上一题下一题
(27/75)选择题
第27题
设一个包含N个顶点、E条边的简单无向图采用邻接矩阵存储结构(矩阵元素A[i][j]等于1/0分别表示顶点i与顶点j之间有/无边)，则该矩阵中的非零元素数据为______。
A.2n
B.2n-1
C.2n+1
D.2n+2
上一题下一题
(10/75)选择题
第10题
用关键字序列10、20、30、40、50构造的二叉树排序(二叉查找树)为______。
二叉树结构的特点
二叉树结构的特点二叉树是一种常见的数据结构，它具有以下特点：1. 结构简单：二叉树是一种有序树结构，每个节点最多只有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
这种结构的简洁性使得二叉树在实际应用中得到广泛使用。
2. 层次性：二叉树具有明显的层次性，即树的每一层都可以通过节点间的父子关系来确定。
根节点是第一层，根节点的子节点是第二层，以此类推。
3. 有序性：在二叉树中，每个节点的左子节点小于它，右子节点大于它。
这种有序性使得二叉树在查找和排序方面具有很高的效率。
4. 高度平衡：二叉树的高度平衡性是指树的左右子树的高度差不超过1。
高度平衡的二叉树可以保证查找、插入和删除操作的平均时间复杂度为O(log n)。
5. 递归性：二叉树的定义是递归的，即每个子树都是二叉树。
这种递归性质使得在二叉树上的操作可以通过递归算法来实现。
6. 存储结构灵活：二叉树的存储结构可以采用顺序存储和链式存储两种方式。
顺序存储是将二叉树的节点按照层次顺序存储在一维数组中，链式存储是通过每个节点的指针来连接各个节点。
在二叉树的基础上，还可以扩展出以下几种特殊的二叉树结构：1. 完全二叉树：完全二叉树是指除了最后一层外，其他层的节点个数都达到最大值，并且最后一层的节点依次从左到右排列。
完全二叉树的特点是高度平衡，可以用数组来存储。
2. 满二叉树：满二叉树是指每个节点都有两个子节点的二叉树，即除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
满二叉树的特点是节点个数达到最大值，高度平衡。
3. 平衡二叉树：平衡二叉树是指任意节点的左右子树的高度差不超过1的二叉树。
平衡二叉树的特点是高度平衡，可以保证各种操作的时间复杂度较低。
4. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它具有以下性质：对于树中的任意节点，其左子树中的节点值都小于它，右子树中的节点值都大于它。
二叉搜索树的特点是可以高效地进行查找、插入和删除操作。
5. 线索二叉树：线索二叉树是对二叉树的一种扩展，它的特点是在每个节点上增加了指向前驱节点和后继节点的指针。
二叉树知识点总结
二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
以下是关于二叉树的知识点总结。
1. 二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成。
每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称其为叶子节点。
二叉树可以为空。
2. 二叉树的遍历方式遍历是指按照一定顺序访问二叉树中的所有节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历：先访问当前节点，然后递归访问左子树和右子树。
中序遍历：先递归访问左子树，然后访问当前节点，最后递归访问右子树。
后序遍历：先递归访问左子树和右子树，最后访问当前节点。
3. 二叉搜索树二叉搜索树（Binary Search Tree）也称为有序二叉树或排序二叉树。
它是一种特殊的二叉树，在满足以下条件的情况下被称为“搜索”：对于任意节点，其左子树中的所有节点的值都小于该节点的值。
对于任意节点，其右子树中的所有节点的值都大于该节点的值。
左右子树也分别为二叉搜索树。
二叉搜索树支持快速查找、插入和删除操作。
它还有一些变种，如平衡二叉搜索树（AVL Tree）和红黑树（Red-Black Tree）等。
4. 二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它分为最大堆和最小堆两种类型。
最大堆满足父节点的值大于等于其子节点的值，最小堆满足父节点的值小于等于其子节点的值。
在最大堆中，根节点是整个堆中最大的元素；在最小堆中，根节点是整个堆中最小的元素。
二叉堆常用来实现优先队列（Priority Queue），即按照一定优先级顺序处理元素。
5. 二叉树常见问题5.1 判断是否为平衡二叉树平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是指任意节点左右子树高度差不超过1的二叉搜索树。
判断一个二叉搜索树是否为平衡二叉树可以通过递归遍历每个节点，计算其左右子树的高度差。
5.2 判断是否为完全二叉树完全二叉树（Complete Binary Tree）是指除了最后一层外，其他层都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列的二叉树。
【数据结构】二叉树
【数据结构】⼆叉树【⼆叉树】 ⼆叉树是最为简单的⼀种树形结构。
所谓树形结构，其特征（部分名词的定义就不明确给出了，毕竟不是学术⽂章。
）在于： 1. 如果是⾮空的树形结构，那么拥有⼀个唯⼀的起始节点称之为root（根节点） 2. 除了根节点外，其他节点都有且仅有⼀个“⽗节点”；除此外这些节点还都可以有0到若⼲个“⼦节点” 3. 树中的所有节点都必须可以通过根节点经过若⼲次后继操作到达 4. 节点之间不会形成循环关系，即任意⼀个节点都不可能从⾃⾝出发，经过不重复的径路再回到⾃⾝。
说明了树形结构内部蕴含着⼀种“序”，但是不是线性表那样的“全序” 5. 从树中的任意两个节点出发获取到的两个任意⼦树，要不两者⽆交集，要不其中⼀者是另⼀者的⼦集 限定到⼆叉树，⼆叉树就是任意⼀个节点⾄多只能有两个⼦节点的树形结构。
也就是说，某个节点的⼦节点数可以是0,1或2。
由于可以有两个⼦节点，所以区别两个⼦节点可以将其分别定义为左⼦节点和右⼦节点。
但是需要注意的是，若⼀个节点只有⼀个⼦节点，那么也必须明确这个⼦节点是左⼦节点还是右⼦节点。
不存在“中⼦节点”或者“单⼦节点”这种表述。
由于上述规则对所有节点都⽣效，所以⼆叉树也是⼀个递归的结构。
事实上，递归就是⼆叉树⼀个⾮常重要的特点，后⾯还会提到很多通过递归的思想来建⽴的例⼦。
对于左⼦节点作为根节点的那颗⼆叉树被称为相对本节点的左⼦树，右⼦树是同理。
■ 基本概念 空树 不包含任何节点的⼆叉树，连根节点也没有 单点树 只包含⼀个根节点的⼆叉树是单点树 ⾄于兄弟关系，⽗⼦关系，长辈后辈关系是⼀⾔既明的就不说了。
树中没有⼦节点的节点被称为树叶（节点），其余的则是分⽀节点。
⼀个节点的⼦节点个数被称为“度数”。
正如上所说，⼆叉树任意节点的度数取值可能是0，1或2。
节点与节点之间存在关联关系，这种关联关系的基本长度是1。
通过⼀个节点经过若⼲个关联关系到达另⼀个节点，经过的这些关联关系合起来被称为⼀个路径。
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平衡二叉树构造方法
平衡二叉树
对于二叉查找树，尽管查找、插入及删除操作的平均运行时间为O(logn)，但是它们的最差运行时间都是O(n),原因在于对树的形状没有限制。
平衡二叉树又称为AVL树，它或者是一棵空树，或者是有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左右子树的深度之差的绝对值不超过1。
二叉树的的平衡因子BF为：该结点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树的所有结点的平衡因子为只可能是：-1、0和1
一棵好的平衡二叉树的特征：
（1）保证有n个结点的树的高度为O(logn)
（2）容易维护，也就是说，在做数据项的插入或删除操作时，为平衡树所做的一些辅助操作时间开销为O(1)
一、平衡二叉树的构造
在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。
若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。
首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。
然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。
当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树
（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点
（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。
（1）LL型
LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转
由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。
此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。
（2）RR型
RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转
由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。
此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。
（3）LR型
LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，第二次再调整最小不平衡子树。
由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。
第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。
（4）RL型
RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转再左旋转；处理情况与LR类似。