2010复旦大学量子力学考研试题
2010年复旦大学 量子力学（回忆版）
1、 取无限深方势阱的中心为坐标原点，势阱宽为a ，求粒子的能级及波函数。
2、 1）估算一维谐振子的基态能量
2）估算类氢原子的基态能量
3、利用[a ,a+]=1, [a,a]=[a+,a+]=0, a|0>=0
证明 |n>=(a +)n |0>
4、 两个自旋为1/2,质量为m 的全同粒子，自旋平行，处于一个边长为a>b>c 的长方形盒子中，粒子间的相互作用势为V=A δ（r 1-r 2）;体系处于与下列条
件相容的最低能级，试用一阶微扰论计算体系能量
1） 两个粒子是自旋1/2的全同粒子
2） 两个粒子是自旋1/2的非全同粒子
3） 两个粒子自旋为零
5、 有一个自旋1/2，磁距μ，电荷0的粒子，置于磁场B 中，开始时（t=0）磁场沿z 方向，B =B 。
=（0，0，B 。
），粒子处于σz 的本征态（1
0）,即σz =-1，t>0时，再加上沿x 方向的较弱的磁场B 1=（B 1,0,0），从而
B =B 。
+B 1=（B 1,0, B 。
）
求t>0时粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”（σz =1）的概率。
《量子力学》22套考研自测题+答案
算符，以保证它的本征值为
。
对一个量子体系进行某一力学量的测量时，所得到的测量值肯定
是
当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的，除非
体系处于
。测量结果的不确定性来源于
。两个力
学量同时具有确定值的条件是
。
二、（本题 15 分）
1．设算符 aˆ 具有性质 aˆ 2 = 0,{aˆ, aˆ + }= 1 。求证：
ψ （1，2，），试证明交换算符 Pˆ12 是一个守恒量。 2．设Uˆ 是一个幺正算符，求证 Hˆ = i dUˆ ⋅Uˆ + 是厄米算符。
dt
3．设σ y 为 Pauli 矩阵， （1）求证： eiθσ y = cosθ + iσ y sinθ （2）试求：Treiθσ y
三、（本题 10 分）
求证：ψ (xyz) = x + y + z 是角动量平方算符 lˆ2 的本征值为 2 2 的本征
1 5
u
0
(
x)
+
1 2
u
2
(
x)
+
c3u
3
(
x)
式中 un (x) 是振子的第 n 个本征函数。
QQ：70499QQ：704999167
考研自测题精美汇总
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（1）试求 c3 的数值；（2）写出在 t 时刻的波函数；
（3）在 t = 0 时振子能量的期望值是多少？ t = 1秒时呢？
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量子力学自测题（１）
一、简答与证明：（共 25 分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全 同粒子体系的波函数。（4 分）
复旦大学量子力学考题3
(3.9)
=⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦ ly + ly ⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦ + [l z , px ] lz + [lz , px ] l z = i= ( p y l z + l z p y − p z l y − l y p z ) = i= ( p × l − l × p ) x
解出其本征值方程， 获得各个本征态， 再把 2,1 > 是先求得 Lx 在 L 、Lz 对角表象中的矩阵，
2
ˆ 照此也可获得。 往各个本征态投影，得到其几率，几率不为零的既为其可能取的值。 L Y
解
（1） E =
P 2 Ze 2 − ， 由不确定关系 ∆p∆r ～h r 2µ
(3.27)
因为 p =0 r =0，所以 ∆p =p, ∆r =r
(3.19)
（3.20）
由于
x →∞ ψ n ( x) ⎯⎯⎯ → 0 ，故
V ( x) ψ n ( x)
2 ∞ −∞
=0
(3.21)
=2 d 2 又由定态薛定谔方程 ( − + V ( x))ψ n ( x) = Enψ n ( x) ， 有 2m dx 2
V ( x)ψ n ( x) = (
=2 d 2 + En )ψ n ( x) 2m dx 2
(3.16)
E基 ≅
1 ( ∆x ) 2
=
即
2 n + 2 =2 = 2 − n+ ( )( ) 2 2 4mn 4mnA
(3.17)
n n + 2 = 2 A2 n n + E基 ≈ ( ) 2 2 4mn
，n ≠ 2
(3.18)
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
复旦数学物理试题及答案
复旦数学物理试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个选项是牛顿第二定律的数学表达式？A. F=maB. F=G*(m1*m2)/r^2C. F=q*ED. F=k*x答案：A2. 以下哪个选项是麦克斯韦方程组中的一个？A. ∇•E = ρ/ε₀B. ∇•B = μ₀*JC. ∇×E = -∂B/∂tD. ∇×B = μ₀*ε₀*∂E/∂t答案：C3. 以下哪个选项是量子力学中的波函数？A. ψ(x,t)B. E=mc²C. ∇²ψ = -k²ψD. S=k*ln(W)答案：A4. 以下哪个选项是相对论中的时间膨胀效应？A. t' = t/√(1-v²/c²)B. L' = L/√(1-v²/c²)C. m' = m/√(1-v²/c²)D. E' = E/√(1-v²/c²)答案：A5. 以下哪个选项是热力学第二定律的表述？A. 熵增原理B. 能量守恒定律C. 卡诺定理D. 热力学第一定律答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同的物体上。
7. 根据库仑定律，两个点电荷之间的静电力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
8. 根据薛定谔方程，一个量子系统的波函数随时间的演化可以通过以下方程描述：iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中H是哈密顿算符。
9. 根据相对论，一个物体的质量随着其速度接近光速而增加，这种现象称为相对论性质量增加。
10. 根据热力学第一定律，一个封闭系统的内能变化等于系统吸收的热量减去系统对外做的功，即ΔU = Q - W。
三、计算题（每题10分，共20分）11. 一个质量为m的物体以速度v在光滑水平面上滑行，求它在摩擦力作用下停止所需的时间。
1990-2010年__量子力学_中国科学院研究生院_招收攻读硕士学位研究生入学统一考试_试题及参考
Q
ˆ 的平均值。 时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
bi t.
场的作用， 磁场 B
ˆ 指向正 x 方向， 相互作用势为 H
5d
四、
有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动） ，受到均匀磁
b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。 试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论 矛盾何在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。
co
m
中国科学院－中国科技大学
(2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定 律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在 态中 1 和 2 态的几率如何表示？
iv
Q
bi t.
5d
（1990-2002 年的包括理论型和实验型） ，近几年的试题还配有
6d
本书收集了中国科学院 1900-2009 年研究生考试的真题。
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和气，最终能在考场上亮出自己的最好成绩。
m
家都能注重基础知识，多做试题(特别是真题) 夯实基础，平心
1
Q bi t.
5d
试题名称：
6d .
0, r a (V0 0) V (r ) V0 , r a
co
m
中国科学院－中国科技大学
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？
(2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
复旦大学2010年研究生考试物理化学试卷
一简答题（每题5分，共30分）- 热力学第一定律及其微观解释。
2 化学势的表达式及其物理意义3 晶胞定义及以对称性为晶体分类，具体说明4 分子轨道及LCAO-MO。
6 电极极化，极化原因。
二计算题（每题12分，共120分）1 1mol水在100摄氏度、101kpa情况下，从打破的玻璃球中蒸发到体积恰好的真空容器中，压力位101kpa。
过程中保持温度恒定。
求U、Q、W、S、G、A的变化量，同时判断是否自发完成，根据是？2 0.645g萘加入43.25g的某个物质中（88g/mol,100.8摄氏度沸点），沸点升高0.364摄氏度；物质A0.784g加入45.35g中，沸点升高0.255摄氏度。
求Kb；求某个物质的摩尔汽化热，给出了一个相关的公式，代入即可；求物质A的摩尔质量。
碳氢氧原子必为7：5:1,求其分子式。
3 题目给出了两种类型的溶解度、生成热，规定溶液的溶质符合定律，为标准且理想。
求两种糖类型在溶液中的平衡常数。
4 能级分布问题。
给出的情况包括：3个能级，能级间隔，简并度，分布数目2000、200、20.求是否符合波尔兹曼能级分布；求微观状态数目。
5 He2+离子的薛定谔方程及相关物理意义。
7 关于晶体结构。
NiO的与NaCl同构型，求其晶胞数d100、d110，还有一问是求NixO的晶格相关，。
8 NO的两个竞争反应，分别生成N2、N2O，给出反应式，k，初始条件，说明均为二级反应。
求0.1s后的N2、N2O浓度。
9给出一个总包反应的基元反应及相应的k和活化能E，根据稳态近似求其用产物表示的速率方程；并且根据E求其表观活化能。
10 电极的计算。
锌汞电极，给出非标准状态的电动势（锌离子浓度不标准），及相关的单电极的电动势。
共5问，一写电极反应及总反应，二写能斯特方程，三求G及标准G的改变，四求反应K，五求极化电势。
复旦考试题及答案
复旦考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据量子力学原理，一个粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这是由于：A. 测量设备的精度限制B. 量子力学的不确定性原理C. 粒子的波粒二象性D. 观察者效应答案：B2. 在经济学中，GDP是指：A. 国内生产总值B. 国内生产净值C. 国民生产总值D. 国民收入答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述牛顿第二定律的内容及其在物理学中的应用。
答案：牛顿第二定律指出，物体的加速度与作用在其上的净外力成正比，与物体的质量成反比，数学表达式为 \( F = ma \)。
这一定律在物理学中有着广泛的应用，例如在分析物体在不同力作用下的运动状态，设计机械结构，以及在航空航天等领域的计算中。
2. 什么是市场经济？它有哪些基本特征？答案：市场经济是一种经济体制，其中商品和服务的生产和分配主要由市场机制决定，即通过供求关系来调节价格和产量。
市场经济的基本特征包括私有财产权、自由竞争、价格机制、市场准入和退出自由等。
三、论述题（每题25分，共50分）1. 论述中国改革开放以来取得的主要成就及其对世界的影响。
答案：自1978年改革开放以来，中国在经济、政治、文化、科技等多个领域取得了显著成就。
经济上，中国成为世界第二大经济体，数亿人口摆脱贫困；政治上，中国积极参与国际事务，推动构建人类命运共同体；文化上，中国文化软实力不断提升，对外文化交流日益频繁；科技上，中国在航天、通信、人工智能等领域取得突破。
这些成就不仅提升了中国的国际地位，也对全球经济格局和国际关系产生了深远影响。
2. 请论述可持续发展的概念及其在现代社会中的重要性。
答案：可持续发展是指在满足当代人需求的同时，不损害后代人满足其需求的能力。
这一概念强调经济、社会和环境三者的平衡发展。
在现代社会中，可持续发展的重要性日益凸显，因为资源的有限性、环境的恶化和气候变化等问题对人类的生存和发展构成了威胁。
历年量子力学考研真题试卷
历年量子力学考研真题试卷历年量子力学考研真题试卷量子力学是现代物理学的重要分支，也是考研物理专业的必考内容之一。
历年来，考研真题试卷中的量子力学部分涵盖了许多重要的概念和原理，对于考生来说是一项重要的挑战。
本文将对历年的量子力学考研真题试卷进行回顾和分析，帮助考生更好地准备考试。
首先，我们来看一道经典的考研真题：2015年考研物理专业真题中的一道量子力学选择题。
题目如下：在一个一维无限深势阱中，一束波长为λ的平面波入射，其入射角为θ。
已知势阱宽度为a，求波函数在势阱内的形式。
这道题目考查了量子力学中的一维无限深势阱问题。
解答这道题目需要运用波函数的性质和边界条件来分析。
首先，我们可以根据波函数的性质得出波函数在势阱内的形式是一个定态波函数。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
接下来，我们来看一道稍微复杂一些的考研真题：2018年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。
题目如下：考虑一个束缚在一维势阱中的粒子，势阱宽度为a。
已知粒子的质量为m，势阱内的势能为V_0，势阱外的势能为0。
求粒子在势阱内的能级。
这道题目考查了量子力学中的束缚态问题。
解答这道题目需要运用定态薛定谔方程和边界条件来分析。
首先，我们可以根据定态薛定谔方程得到粒子在势阱内的波函数形式。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
然后，我们需要将波函数在势阱两侧的形式进行匹配，并利用边界条件得到粒子在势阱内的能级。
通过求解定态薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱内的能级为：E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}，其中n为能级的量子数。
复旦大学量子力学考题4
p p ' = δ ( p − p ')
（4.4） （4.5）
∫
p ' p ' dp ' = 1
利用式（4.5） ，可将 ψ 表示成
ψ = ∫ p ' p ' ψ dp ' = ∫ p ' ϕ ( p ')dp '
代入（4.1） ，即
（4.6）
(T + V ) ∫ p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p ' ϕ ( p ')dp '
（4.26）
（4.27）
S=
B 算符到 B 表象的变换： Nhomakorabea（4.28）
⎛1 0 ⎞ B ' = S † BS = ⎜ ⎟ ⎝ 0 −1⎠
（4.29）
4.3 求自由粒子的坐标算符在海森伯图景中的表示 解题思路：在薛定谔图景中，坐标算符不含时间，而在海森伯图景中算符一般都含时间，其 间的转换是由演化算符联系的。 解： 薛定谔图景与海森伯图景的联系是：
ˆ † (t )ψ S (t ) ψ H (t ) = U F H = U † (t ) F SU (t )
其中，
i ˆ − Ht h i p2 t h 2m
（4.30） （4.31）
U (t ) = e
所以，
i p2 t h 2m
=e
−
（4.32）
x =e
H
xe
−
i p2 t h 2m
= x+
p t m
H ψ = (T + V ) ψ = E ψ
其中 T = p / 2m 为动量算符。以 p ， p ' 表示动量算符的本征函数，即
量子考试题及答案
量子考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学的创始人是：A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 薛定谔答案：C2. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C3. 海森堡不确定性原理表明：A. 粒子的位置和动量可以同时准确测量B. 粒子的位置和动量不能同时准确测量C. 粒子的位置和能量可以同时准确测量D. 粒子的动量和能量可以同时准确测量答案：B4. 量子力学中的泡利不相容原理适用于：A. 电子B. 质子C. 中子D. 所有基本粒子答案：A5. 量子纠缠是指：A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子之间的引力相互作用D. 两个粒子之间的电磁相互作用答案：B6. 量子力学中的薛定谔方程是一个：A. 线性方程B. 非线性方程C. 微分方程D. 代数方程答案：C7. 量子力学中的隧道效应是：A. 粒子通过势垒的概率不为零B. 粒子通过势垒的概率为零C. 粒子通过势垒的概率为一D. 粒子通过势垒的概率为负答案：A8. 量子力学中的叠加态是指：A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子处于确定的状态D. 粒子处于随机的状态答案：A9. 量子力学中的测量问题涉及：A. 粒子的测量结果B. 粒子的测量过程C. 粒子的测量设备D. 粒子的测量结果和过程答案：D10. 量子力学中的退相干是指：A. 量子态的相干性消失B. 量子态的相干性增强C. 量子态的相干性不变D. 量子态的相干性随机变化答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出______的性质，也表现出______的性质。
答案：波动；粒子2. 量子力学中的德布罗意波长公式为：λ = ______ / p，其中λ表示波长，p表示动量。
答案：h / p3. 量子力学中的能级是______的，这是由量子力学的______决定的。