高中三年级总复习直线与圆的方程知识点总结与典型例题

直线与圆的方程

一、直线的方程 1、倾斜角：

，范围0≤α＜π，

x l //轴或与x 轴重合时，α=00

。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0

已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜

>?k π

P 2（x 2,y 2） α=

κπ

不存在

?k=

212x x y y -- 022

当1x =2x 时，α=900

，κ不存在。当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点?横纵截距都为0。

几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0

③平行于x 轴：y=b

④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx

两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。

②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。

5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0）特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴）（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。 ②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系

（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①

AC BC AB =+，②K AB =K BC ，

③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。

二、两直线的位置关系

（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1

21tan k k k k ?+-=

θ（121-≠k k ）

3、夹角：1

21tan k k k k +-=

4、点到直线距离：2

00B

A c By Ax d +++=

（已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0）

①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2

221B A c c d +-=

②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C

±022

=+B A d

③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是

1=++

+C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'

一般方法：

如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则 Kpp 0﹡K L =－1

P, P 0中点满足L 方

程

解出P 0(x 0,y 0)

（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出

P 0(x 0,y 0)的坐标。 P

（3）直线关于点对称

L ：AX+BY+C=0关于点P （X 0、Y 0）的对称直线l '：A （2X 0-X ）+B （2Y 0-Y ）+C=0 （4）直线关于直线对称

①几种特殊位置的对称：已知曲线f(x 、y)=0

关于x 轴对称曲线是f(x 、-y)=0 关于y=x 对称曲线是f(y 、x)=0 关于y 轴对称曲线是f(-x 、y)=0 关于y= -x 对称曲线是f(-y 、-x)=0 关于原点对称曲线是f(-x 、-y)=0 关于x=a 对称曲线是f(2a-x 、y)=0

关于y=b 对称曲线是f(x 、2b-y)=0

一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划

不等式表示的区域 AX+BY+C=0

约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。要点：①作图必须准确（建议稍画大一点）。②线性约束条件必须考虑完整。

③先找可行域再找最优解。四、圆的方程

1、圆的方程：①标准方程 ()2

)(r b y a x =-+-，c （a 、b ）为圆心，r 为半径。

②一般方程：02

2=++++F EY DX y x ，

??--2,2E D C ，2

422F

E D r -+=

当042

=-+F E D 时，表示一个点。

当042

2<-+F E D 时，不表示任何图形。 ③参数方程： θcos r a x +=

θsin r b y += θ为参数

以A （X 1，Y 1），B （X 2，Y 2）为直径的两端点的圆的方程是（X-X 1）（X-X 2）+（Y-Y 1）（Y-Y 2）=0

2、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d ，然后与r 比较大小。

3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

判定：①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：△＞0?相交、△＝0?相切、△＜0?相离

②利用圆心c (a 、b)到直线AX+BY+C=0的距离d 来确定： d ＜r ?相交、d ＝r ?相切d ＞r ?相离

（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt △） 4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程

与圆2

r y x =+相切于点（x 1、y 1）的切线方程是2

11r y y x x =+ 与圆2

)()(r b y a x =-+-相切于点（x 1、y 1）的切成方程为：2

11))(())((r b y b y a x a x =--+--

与圆02

=++++F EY DX y x 相切于点（x 1、y 1）的切线是

0)2

()2(

111=++++++F y y E x x D y y x x （2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p 0(x 0，y 0)是圆

222)()(r b y a x =-+- 外一点

2121)()(r b y a x =-+-

①设切点是p 1(x 1、y 1)解方程组

21010))(())((r b y b y a x a x =--+--

先求出p 1的坐标，再写切线的方程

②设切线是)(00x x k y y -=-即000=+--y kx y kx 再由

r k y kx b ka =++--1

0，求出k ，再写出方程。

（当k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线）

③已知斜率的切线方程：设b kx y +=（b 待定），利用圆心到L 距离为r ，确定b 。 5、圆与圆的位置关系

由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切） 6、圆系

①同心圆系：2

)()(r b y a x =-+-，（a 、b 为常数，r 为参数）或：02

=++++F EY DX y x （D 、E 为常数，F 为参数） ②圆心在x 轴：2

)(r y a x =+- ③圆心在y 轴：2

)(r b y x =-+

④过原点的圆系方程2

)()(b a b y a x +=-+- ⑤过两圆0:1112

1=++++F Y E X D y x C 和

0:222222=++++F Y E X D y x C 的交点的圆系方程为

0(2222211122=+++++++++F Y E X D y x F Y E X D y x 入（不含C 2），其中

入为参数

若C 1与C 2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。

类型一：圆的方程

例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为2

)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2

)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．

∴?????=+-=+-2

24)3(16)1(r

a r a 解之得：1-=a ，202

=r ．

所以所求圆的方程为20)1(2

=++y x ．

解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为

4-=--=

AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．

又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2

++==AC r ．

故所求圆的方程为20)1(2

=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为

r PC d >=++==254)12(22．

∴点P 在圆外．

说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

例2 求半径为4，与圆04242

=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．

分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．

解：则题意，设所求圆的方程为圆2

22)()(r b y a x C =-+-：

．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆04242

=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．

(1)当)4,(1a C 时，2

7)14()2(=-+-a ，或2

1)14()2(=-+-a (无解)，故可得

1022±=a ．

∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2

224)4()1022(=-++-y x ．

(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2

221)14()2(=--+-a (无解)，故

622±=a ．

∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．

说明：对本题，易发生以下误解：

由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如

2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆

心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2

7)14()2(=-+-a ，解之得

1022±=a ．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．

上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．

例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．

解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．

∴

2y x y x +=

-．

∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，

∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C

∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，

∴

22)53(5

32-+=+t t t t ．

化简整理得0562

=+-t t ．解得：1=t 或5=t

∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．

∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(2

2=-+-y x ．

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．

例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．

解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．

由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为?90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴2

2b r =

又圆截y 轴所得弦长为2． ∴12

+=a r ．

又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为

2b a d -=

∴2

25b a d -=

ab b a 4422-+= )(242222b a b a +-+≥ 1222=-=a b

当且仅当b a =时取“=”号，此时5

5min =

d ．这时有??

?=-=1

a b b a

∴??

?==11b a 或???-=-=1

b a 又222

==b r

故所求圆的方程为2)1()1(2

=-+-y x 或2)1()1(2

=+++y x 解法二：同解法一，得

2b a d -=

．

∴d b a 52±=-．

∴2

5544d bd b a +±=．将122

-=b a 代入上式得：

01554222=++±d bd b ．

上述方程有实根，故

0)15(82≥-=?d ，

∴5

5≥

d ．将5

d 代入方程得1±=b ．又122

+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．

故所求圆的方程为2)1()1(2

=-+-y x 或2)1()1(2

=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5 已知圆42

=+y x O ：，求过点()42，

P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，

P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴

21422

=++-k

解得 43=

k 所以 ()424

+-=x y

即 01043=+-y x

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．

说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏

解）．还可以运用2

00r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．

例 6 两圆01112

1=++++F y E x D y x C ：与02222

2=++++F y E x D y x C ：相交于

A 、

B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．

分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐

标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．

解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：

0101012

020=++++F y E x D y x ① 0202022

020=++++F y E x D y x ②

①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．

∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．

∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．

说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没

有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．

例7、过圆12

=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、

B ，求直线AB 的方程。

练习：

1．求过点(3,1)M ，且与圆2

(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=，

∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，

=，解得

k=-，

∴切线方程为

1(3)

y x

-=--，即34130

x y

+-=，

当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为3

x=，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3

x=也适合题意。

所以，所求的直线l的方程是34130

x y

+-=或3

x=．

2、过坐标原点且与圆0

x相切的直线的方程为

解：设直线方程为kx

y=，即0

-y

kx.∵圆方程可化为

(

-y

x，∴圆心

为（2，-1），半径为

.依题意有

，解得3

k或

k，∴直线方程为x

=或x

3、已知直线0

x与圆0

-y

x相切，则a的值为 .

解：∵圆1

-y

x的圆心为（1，0），半径为1，∴1

，解得8

a或18

类型三：弦长、弧问题

例8、求直线0

3:=

-y

l被圆0

C截得的弦AB的长.

例9、直线0

x截圆4

x得的劣弧所对的圆心角为

解：依题意得，弦心距3

d，故弦长2

AB，从而△OAB是等边三角形，

故截得的劣弧所对的圆心角为

∠AOB.

例10、求两圆0

x和5

x的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

例11、已知直线0

x和圆4

x，判断此直线与已知圆的位置关系. 例12、若直线m

=与曲线2

=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围. 解：∵曲线2

=表示半圆)0

2≥

x，∴利用数形结合法，可得实数m的

取值范围是22<≤-m 或22

=m .

例13 圆9)3()3(2

=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(2

=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324

311

34332

<=+-?+?=

d ．

如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又123=-=-d r ．

∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的

交点．设所求直线为043=++m y x ，则14

3112

=++=

m d ，

∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即

06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．

设圆9)3()3(2

1=-+-y x O ：

的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34

34332

1=+-?+?=

d ，14

316

34332

2=+-?+?=

d ．

∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324

311

34332

<=+-?+?=

d ．

∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．

练习1：直线1=+y x 与圆)0(022

>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是解：依题意有

a a >-2

1，解得1212-<<--a .∵0>a ，∴120-<

练习2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(2

2=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围

是 . 解：依题意有

122<+-k k ，解得3

练习3、圆03422

=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（）．

（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

分析：把03422