高一数学人教A版必修四课件：第三章 《三角恒等变换》3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1 课件资料
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一课件新人教版必修4ppt版本
提示 (1)α＝π2 ，β＝－π4 时，等式成立. (2)12cos α＋ 23sin α＝sin(30°＋α)
(3)sin x＋cos x＝ 2sinx＋π4 ∈[－ 2， 2]. (4)sin 15°＝14( 6－ 2).
2.sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )
(4)sinπ12－
π 3cos12.
解
(1)原式＝sin xcos
π 3
＋cos
xsin
π 3
＋2sin
xcos
π 3
－
2cos xsin
π 3
－
2π 3cos 3
cos
x－
2π 3sin 3 sin x
＝12sin
x＋
3 2 cos
x＋sin
x－
3cos
x＋
3 2 cos
x－32sin
x
＝12＋1－32sin
∴cos 2α ＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β )－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123－－35×153＝－3635， cos 2β ＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153＝－6635.
类型三 两角和与差的正弦、余弦公式在解三角形中的应用 (互动探究)
【例 3】 在△ABC 中，sin A＝35，cos B＝153，求 cos C. [思路探究] 探究点一 A、B、C 之间有怎样的关系？ 提示 A＋B＋C＝π. 探究点二 由 sin A＝35，求 cos A 的值，由 cos B＝153，求 sin B 的值，值确定吗？ 提示 应注意由三角函数值的符号，确定角 A、B 的范围.
高一数学必修4课件：3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦
第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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3．化简cos65° cos35° ＋sin65° sin35° 的结果( A．cos100° 3 C. 2 B．sin100° 1 D. 2
解答(1)可先用诱导公式再用两角和的正弦公式．(2)可提出2后 逆用两角和与差的正弦或余弦公式．
第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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[解析]
(1)sin14° cos16° ＋sin76° cos74°
＝sin14° cos16° ＋cos14° sin16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin30° 2 ＝
第三章
三角恒等变换
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第三章
第1课时 两角和与差的正弦、余弦
第三章
三角恒等变换
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
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第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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自主预习 阅读教材P128－131回答下列问题． 和角、差角公式如下表：
第三章
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名称
公式
简记 S(α－β) C(α－β) S(a＋β) C(α＋β)
差的正弦 sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ 差的余弦 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 和的正弦 sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ 和的余弦 cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ
高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1课件新人教A版必修4
探究一
探究二
探究三
变式训练1求值: (1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76°; (2)cos(θ+70°)cos(θ+10°)+sin(θ+70°)sin(θ+10°). 解(1)sin 46°cos 14°+sin 44°cos 76° =sin(90°-44°)cos 14°+sin 44°cos(90°-14°) =cos 44°cos 14°+sin 44°sin 14°
4.做一做:(1)cos 15°= . (2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=
.
2 3 2 1 × + × 2 2 2 2
解析(1)cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°= =cos 60°= .
1 2
=
(2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)
3 α= ,α 5
4 是第二象限角;cos β= ,β 是第四象限 5
1 3 α= ,cos(α+β)=- ,α,β 2 5
均为锐角,求 cos β 的值.
分析对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cos α,sin β的值, 然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表 示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.
1 2 3 1 2
6+ 2 . 4
(4)2cos 15°+ 2 sin 15°
=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15° =cos(60°-15°)=cos 45°= 2 .
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件-高一下学期数学人教A版必修4
OA ⋅ OB=|OA||OB| cos<a,b>=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
即：cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
LOGO
（2）cos(α+β)= cos(α-(-β))
=cosα⋅cos(-β)+sinα⋅sin(-β)
又因为cos(-β)=cosβ，sin(-β)=-sinβ
A B
3
3
1
,则
3
1
，则tanacot
3
-
3
4
β=
3. 1
4. 5
5.A
，则tana=
C
tan( a+β )=
D
3
4
LOGO
6.已知cosa=
3
- ，且0＜a＜π，则sina=
5
1
3
7.已知tan( a+β )= ,，tan β=-2，则tana的值为（）
1
7
A
B
1
7
C 7
A
B
1
4
C
3
4
7. C
D -7
求证：tan(A+B)=
1−tanA+tanB
证明：tan(A+B)
将B换成-B会得到什么？
tan（-a）=-tana
sin A+B
=
cos A+B
sin A cos B+cos A sin B
=
cos A cos B−sin AB
分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0,cosB不等于0)得：
11.在三角形ABC中，已知cosA=
高中数学第三章三角恒等变换3-1两角和与差的正弦余弦和正切公式第3课时教学课件新人教A版必修4
＝－ 2
2.
答案：(1)193 (2)－ 2
给值求值的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结 合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建 立与待求式间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分 析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－ α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角 函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系， 从而求值．
答案：－3
(2)若 tanα－π4＝2，则 tan α＝______. 解析：tanα－π4＝1t＋antaαn－αtatannπ4π4
＝t1a＋n αta－n α1＝2，
∴tan α＝－3. 答案：－3
1．理解两角和与差的正切公式 (1)公式成立的条件
角 α，β 以及 α±β 不能等于 kπ＋π2(k∈Z)，
且 tan αtan β≠1(或 tan αtan β≠－1)．
(2)公式的结构特征 公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α 与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或 和．
(3)公式的符号规律 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
2．两角和的正切公式的常用变形形式 (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)1－tan αtan β＝tatnanα＋α＋taβnβ. (3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． (4)tan αtan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ.
(2)α＋β－π4＝α＋1π2＋β－π3.
解析：(1)∵α 为锐角，cos α＝45， ∴tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ ＝1＋34－34×－－1313＝193.
人教A版高中数学必修4课件：3-1-2-1角和与差的正弦、余弦公式
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两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式
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第三章·3.1·3.1.2·
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1．两角和与差的正弦公式与余弦公式有什么区别？ 答：余弦公式右边函数名的排列顺序为：余· 余± 正· 正，左右两边加减运算符号相反． 正弦公式右边函数名的排列顺序为：正· 余± 余· 正，左 右两边加减运算符号相同．
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重点难点
重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式； 难点：灵活运用公式化简三角函数式和求值
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预习篇01
新知导学
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通法提炼 观察所给角之间的关系，从形式上凑出公式，再利用 已知的特殊角的三角函数值来求值.
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(1)sin7° cos37° －sin83° sin37° 的值为(பைடு நூலகம்3 A．－ 2 1 C. 2 1 B．－2 3 D. 2
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课堂篇02
合作探究
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公式的简单应用
【例1】
化简求值：
(1)cos44° sin14° －sin44° cos14° ； (2)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ； (3)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋ x)．
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式更上一层楼基础•巩固1.tan10°·tan20°+3(tan10°+tan20°)的值等于( ) A.31B.1C.3D.6 思路分析:∵3330tan 20tan 10tan 120tan 10tan =︒=︒∙︒-︒+︒，∴tan10°+tan20°=33(1-tan10°·tan20°). ∴原式=tan10°·tan20°+1-tan10°·tan20°=1. 答案:B2.若sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( ) A.21m - B.21m -- C.12-mD.12--m思路分析:由条件，得sin ［(α-β)-α］=sin(-β)=-sin β=m ，∴sin β=-m. 又∵β为第三象限角，∴cos β=221sin 1m --=--β.答案:B3.若tan θ=31，则cos 2θ-21sin2θ的值等于( ) A.65- B.54- C.53 D.54思路分析:∵sin2θ=sin(θ+θ)=2sin θcos θ，tan θ=31，∴原式=53)31(1311tan 1tan 1sin cos cos sin cos 22222=+-=+-=+-θθθθθθθ. 答案:C4.若tan(α+β)=52，tan(β-4π)=41，那么tan(α+4π)等于( ) A.1613 B.223 C.2213 D.163思路分析:tan(α+4π)=tan ［(α+β)-(β-4π)］223415214152)4tan()tan(1)4tan()tan(=∙+-=-∙++--+πββαπββα. 答案:B5.函数y=2sin(3π-x)-cos(6π+x),(x∈R )的最小值是__________. 思路分析:y=2sin 3πcosx-2cos 3πsinx-cos 6πcosx+sin 6πsinx=3cosx-sinx 23-cosx+21sinx=23cosx 21-sinx=cos(x-6π). 所以函数的最小值为-1.答案:-16.设tan α=71，tan β=31，α、β均为锐角，则tan(α+2β)=_________.思路分析:∵tan β=31，∴tan2β=tan(β+β)=43)31(1312tan 1tan 222=-⨯=-ββ. 又∵tan α=71，∴tan(α+2β)=14371143712tan tan 12tan tan =⨯-+=∙-+βαβα. 答案:1 综合•应用7.已知锐角三角形ABC 中，sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， (1)求证：tanA=2tanB ；(2)设AB=3，求AB 边上的高. (1)证明：∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51， ∴2tan tan 51sin cos 52cos sin 51sin cos cos sin 53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A . ∴tanA=2tanB.(2)解：∵2π＜A+B ＜π,sin(A+B)=53,∴tan(A+B)=43-，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将tanA=2tanB 代入上式并整理得 2tan 2B-4tanB-1=0.解之,得tanB=262±,舍去负值得tanB=262+. ∴tanA=2tanB=62+.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=623tan tan +=+CDB CD A CD . 由AB=3，得CD=62+.所以AB 边上的高等于62+.8.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它(如图3-1-8)，小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ等于多大时，用力最小？图3-1-8思路分析:作出小车的受力分析如右图，由平衡条件得关于各力的方程，消元求解即可.解:由小车的受力分析可得⎪⎩⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G f N f F μϕϕ 解得)cos(1)sin sin cos (cos 1sin cos 22ϕαμμϕαϕαμμϕμϕμ-+=++=+=GG G F . 要使F 最小，分母应最大，即cos(α-φ)=1，α=φ. 又tan α=μ，所以当φ=arctan μ时，F 最小，最小值为F min =21μμ+G=Gsin α=Gsin φ.9.tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，试求sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β)的值.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和两角和与差的正切公式的应用.在解题过程中，要利用两角和的正切公式统一角，再用同角三角函数间的基本关系统一函数.在解决三角函数问题里，常需要遵循这样的原则：化简、计算、证明.解:由已知tan α、tan β是方程x 2-3x-3=0的两个根，根据韦达定理，有tan α+tan β=3，tan α·tan β=-3. 所以tan(α+β)=43)3(13tan tan 1tan tan =--=-+βαβα.所以sin 2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos 2(α+β))(cos )(sin )(cos 3)cos()sin(3)sin(2222βαβαβαβαβαβα++++-++-+=1)(tan 3)tan(3)(tan 22++-+-+=βαβαβα〔分子、分母同时除以cos 2(α+β)可得此式〕 31)43(3433)43(22-=+-∙-=. 10.如图3-1-9，扇形薄铁板的半径是1 m ，中心角为60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，如何截取才能使得矩形PQRS 的面积最大？图3-1-9思路分析:可以设∠POS=α，然后将矩形的两边用α的三角函数式来表示，经过适当变形转化成一个三角函数，进而求出最大面积.解:令∠POS=α，在Rt△POS 中，PS=OP·sin α=sin α，OS=OP·cos α=cos α； 在Rt△ROQ 中，OR=QR·cot60°=33QR=33PS=33sin α. RS=OS-OR=cos α-33sin α. S 矩形=PS·RS=(cos α-33sin α)sin α=sin αcos α-33sin 2α632cos 632sin 212)2cos 1(332sin 21-+=-∙-=αααα 63)302sin(3363)2cos 212sin 23(33-︒+=-+=ααα. 当α=30°时，上式有最大值，最大值为63.回顾•展望11.(2006苏州统考) 是否存在锐角α、β，使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=2-3同时成立？若存在，求出锐角α、β的值；若不存在，请说明理由.思路分析:对于探索存在性问题，通常先假设存在，然后求解，如果能求出结果，则说明存在，否则就说明不存在.解:假设存在锐角α、β使得①α+2β=32π，②tan 2αtan β=32-同时成立. 由①得2α+β=3π，所以tan(2α+β)=3tan 2tan1tan 2tan=-+βαβα. 又tan2αtan β=32-，所以tan 2α+tan β=33-. 于是tan 2α、tan β可以看成是方程x 2-(3-3)x+2-3=0的两个根.解得x 1=1，x 2=32-.若tan2α=1，则α=2π，这与α为锐角矛盾.所以tan 2α=32-，tan β=1.所以α=30°，β=45°.所以存在满足条件的α、β且α=30°，β=45°. 12.(2006安徽高考) 已知0＜α＜2π,sin α=54, (1)求αααα2++2cos cos 2sin sin 2的值； (2)求tan(α-45π)的值. 思路分析:化复角为单角，利用公式展开. 解:(1)由0<α<2π,sin α=54，得cos α=53，所以201cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++αααααααα. (2)∵tan α=34cos sin =αα，∴tan(α-45π)=71tan 11tan =+-a α.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 和角公式 3.1.2 两
3.1.2 两角和与差的正弦21．两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(Sα＋β)两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(Sα－β)【自主测试1－1】sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°的值是( )A．－12B．12C．32D．－32答案：A【自主测试1－2】sin 105°＝________.答案：6＋242．旋转变换公式已知点P(x，y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转θ角到点P′(x′，y′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x cos θ－y sin θ，y′＝x sin θ＋y cos θ.【自主测试2－1】已知点M(－1,6)，与坐标原点保持距离不变，按顺时针旋转90°得到点M′的坐标为________．答案：(6,1)【自主测试2－2】已知向量OBuuu r＝(1,3)，绕原点按逆时针旋转60°得到向量'OBu u u u r的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－332，3＋323．辅助角公式形如a sin x＋b cos x(a，b不同时为0)的式子可以化为一个三角函数式．即a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cos φ＝aa2＋b2，sin φ＝ba2＋b2.【自主测试3－1】函数y＝sin x＋cos x的最小正周期是( )A．π2B．π C．2π D．4π解析：∵y＝sin x＋cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x＋22cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫cosπ4sin x＋sinπ4cos x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4，∴最小正周期为T ＝2π1＝2π.答案：C【自主测试3－2】已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝( ) A ．45 B ．－45 C ．35 D ．－35 答案：D1．对两角和与差的正弦公式的正确理解 剖析：(1)公式中的α，β均为任意角． (2)与两角和与差的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sinβ.(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如sin(2π－α)＝sin 2πcos α－cos 2πsin α＝0×cos α－1×sin α＝－sin α，当α或β中有一个角是π2的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便． (4)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式．如化简sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而是采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α，这也体现了数学中的整体原则．(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相同．归纳总结两角和与差的正、余弦公式虽然形式、结构不同．但它们的本质是相同的：cos(α＋β)cos(α－β)sin(α＋β),sin(α－β)，所以在理解公式的基础上，只要记住中心公式cos(α＋β)的由来及其表达方式就可掌握其他三个公式了．这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会．2．解读辅助角公式剖析：(1)a sin x ＋b cos x (a ，b 不同时为0)中的角x 必须为同一个角，否则不成立． (2)通过化单角(x )为复角(x ＋θ)，达到减少函数名称，合二为一的目的．最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质．(3)化简的形式不唯一． 由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的．如f (x )＝3sin x ＋cos x 可以写成f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6还可以写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.3．有关三角函数的最值问题的求法剖析：一般地，三角函数的求最值问题可归结为以下几种情况： (1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的函数，利用sin α的值域求最值；(2)形如y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的函数，可通过数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率，确定斜率的最值即可；(3)可化为形如y ＝a (sin x －b )2＋c 或y ＝a (cos x －b )2＋c 的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)求形如f (x )＝a sin x ＋b cos x (ab ≠0)的函数的最值，通常化归为求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 的最值．题型一 利用两角和与差的正弦公式求值【例题1】已知cos φ＝45，在下列情况下，分别求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ的值． (1)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；(2)φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 分析：在已知cos φ＝45和φ的取值范围的前提下，要求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，只需把sin φ求出再应用公式即可得出．解：(1)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin φ＝1－cos 2φ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32×45－12×35＝43－310. (2)∵cos φ＝45，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， ∴sin φ＝－1－cos 2φ＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝sin π3cos φ－cos π3sin φ＝32×45－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝43＋310. 反思在cos φ已知的前提下，sin φ要根据φ的取值范围才能唯一确定．如果φ不能确定，则一定要分情况讨论．题型二 三角函数式的化简【例题2】化简：sin A ＋2Bsin B－2cos(A ＋B )．分析：解答本题若用两角和与差的正余弦公式展开，则计算复杂．对题中各角之间的关系进行分析后，我们选定(A ＋B )和B 作为基本量，则有A ＋2B ＝(A ＋B )＋B ，抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了．解：原式＝sin[A ＋B ＋B ]－2cos A ＋B sin Bsin B＝sin A ＋B cos B －cos A ＋B sin B sin B＝sin[A ＋B －B ]sin B ＝sin A sin B.反思在做三角函数题时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样来变换，我们主要是分析它们之间的关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．这其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键．题型三 公式在三角形中的应用【例题3】在△ABC 中，若sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C ．分析：借助C ＝π－A －B 转化，再利用公式求解．解：∵cos B ＝513，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1213.∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45，此时cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665，当A 为钝角时，sin A ＝35＜32，∴A ＞120°.又∵cos B ＝513＜12，∴B ＞60°，∴A ＋B ＞180°与三角形内角和等于180°矛盾．∴cos C ＝1665.反思解决与三角形有关的问题时要注意： (1)三角形的内角和等于180°；(2)创设条件使之能运用两角和与两角差的三角函数公式； (3)常用结论：A ＋B ＋C ＝180°，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tan C ．〖互动探究〗若把本例中的“cos B ”改为“sin B ”，结果又如何？解：∵sin A ＝35，0＜A ＜π，∴当A 为锐角时，cos A ＝1－sin 2A ＝45.∵sin B ＝513＜35＝sin A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×513－45×1213＝－3365， 当A 为钝角时，cos A ＝－45，cos B ＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝35×513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213＝6365.题型四 辅助角公式的应用【例题4】已知函数f (x )＝sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．分析：解答本题时，可把a sin x ＋b cos x 化简成a 2＋b 2sin(x ＋θ)的形式求解．解：f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈R . (1)T ＝2π1＝2π，f (x )的值域为[－2,2]．(2)由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 反思研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质，都要先把其化为整体角的正弦函数形式或余弦函数形式，方法是提取a 2＋b 2，逆用公式S α±β，C α±β，特别注意角的范围对三角函数值的影响．题型五 易错辨析 【例题5】已知向量MN u u u u r＝(3，－1)，将此向量绕其始点，顺时针旋转30°后所得向量MN ′→的坐标为________．错解：由旋转变换公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos 30°－y sin 30°，y ′＝x sin 30°＋y cos 30°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33＋12，y ′＝3－32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋12，3－32.错因分析：没有考虑到是顺时针旋转30°，在代入公式时，角的度数为－30°. 正解：由旋转变换公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3cos －30°－－1sin －30°，y ′＝3sin －30°＋－1cos －30°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝33－12，y ′＝－3＋32，所以MN ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－12，－3＋32.1．(2012·山东邹城质检)sin 75°cos 30°－cos 75°sin 30°的值为( )A ．1B ．12C ．22D ．32答案：C2．已知sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，则tan α∶tan β＝( )A ．－17B ．17C ．－7D ．7解析：由sin(α＋β)＝14，sin(α－β)＝13，得sin αcos β＋cos αsin β＝14，①sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①＋②，得2sin αcos β＝712.③由①－②，得2cos αsin β＝－112.④故由③④，得tan αtan β＝－7.答案：C3．(2012·山东鱼台期末)在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 答案：C4．sin α＋30°－sin α－30°cos α＝________.解析：sin α＋30°－sin α－30°cos α＝sin αc os 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°－cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.答案：15．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.解析：3sin x －3cos x ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝23sin(x ＋φ)，∴cos φ＝32，sin φ＝－12.又φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.答案：－π66．是否存在x 使得函数y ＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋40°)存在最小值？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由．解：∵x ＋40°＝(x ＋10°)＋30°，∴y ＝sin(x ＋10°)＋cos[(x ＋10°)＋30°]＝sin(x ＋10°)＋cos(x ＋10°)cos 30°－sin(x ＋10°)sin 30° ＝12sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝sin 30°sin(x ＋10°)＋cos 30°cos(x ＋10°) ＝cos(x ＋10°－30°)＝cos(x －20°)．∵－1≤cos(x －20°)≤1，∴函数的值域为[－1,1]， ∴当y min ＝－1时，x －20°＝k ·360°＋180°，k ∈Z ， 此时，x ＝k ·360°＋200°，k ∈Z .。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦课件 b必修4b高一必修4数学课件
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2．已知向量 a＝(cos θ，sin θ)，b＝( 3，－1)，求|a－b|的最大、 最小值．
解：因为 a－b＝(cos θ－ 3，sin θ＋1)， 所以|a－b|2＝(a－b)2＝(cos θ－ 3)2＋(sin θ＋1)2 ＝5＋2(sin θ－ 3cos θ)
第三章 三角(sānjiǎo)恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦
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第三章 三角(sānjiǎo)恒等变换
1.了解两角和与差的正弦公式的推导过程． 2.理解两 角和与差的正弦公式的结构特征． 3．会运用公式化简与求值． 4.掌握辅助角公式的应用．
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1．两角和与差的正弦公式
名称
公式
两角和
sin(α＋β)＝
的正弦 __si_n__α_c_o_s_β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β____
两角差
sin(α－β)＝
的正弦 __si_n__α_c_o_s_β_－__c_o_s_α_s_i_n_β____
简记符号 Sα＋β Sα－β
()
A．12
B．
2 2
C．
3 2
D． 以上都不对
解析：选 A.原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.
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2．若 M＝sin 12°cos 57°－cos 12°sin 57°，
N＝cos 10°cos 55°＋sin 10°sin 55°，则以下判断正确的是
＝212cos
x＋
23sin
x
＝2sinx＋π6.
高中数学 第三章 三角恒等变换 3_1_2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课件 新人教版必修4
1－3 1 ＝－ . 2 1＋3
答案 B
3.已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(
A.1 C.－2 解析 (1＋tan A)· (1＋tan B) ＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B B.2 D.不确定
)
＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B
³ )
3＋ 3 (3)tan 15°＝ .( ³ ) 3－ 3 5 (4)当 α＋β＝4π 时，(1＋tan α )(1＋tan β )＝－2.( ³ )
提示 k∈Z.
π (1)T(α＋β)中α，β，α＋β都不能等于 ＋kπ， 2
(2)利用两角差的正切公式化简即可. 3－ 3 (3)tan 15°＝ . 3＋ 3 5 (4)当 α＋β＝4π时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2. 答案 B
1 4.已知 tan α ＝－2，tan(α＋β)＝7，则 tan β 的值为______. tan α＋tan β 解析 ∵tan α ＝－ 2 ，∴ tan(α ＋ β) ＝ ＝ 1－tan αtan β
－2＋tan β 1 ＝ ， 1＋2tan β 7 解得 tan β＝3.
π π 4 1.已知 cos α ＝－5，且 α∈ ，π ，则 tan －α 等于( 2 4
)
1 A.－ 7
B.－7
1 C. 7
D.7
3 3 解析 由已知：sin α＝ ，∴tan α＝－ . 5 4 π 3 tan 4 －tan α 1＋4 π ∴tan ＝ 3＝7. 4 －α＝ π 1＋tan 4 tan α 1－4