第一章 行列式同步测试卷A卷
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第一章 行列式同步测试A卷
一、选择题（1-6小题，每小题3分，共18分）
(1)若13242553ikaaaaa是五阶行列式中带负号的一项，则,ik的值为（）
（A） 1,2ik（B）4,2ik（C）1,4ik（D）4,1ik
（2）如果111213212223313233aaaDaaaaaa，1112131212223313233222222222aaaDaaaaaa，则1D的值为（）（A）2D
（B）-2D （C）8D （D）-8D
（3）n阶行式nD为零的充分条件是（）
（A）零元素的个数大于n （B）nD中各行元素之和为零
（C）主对角线上元素全为零 （D）副对角线上元素全为零
（4）行列式12021kk的充分必要条件是（）
（A）1k （B）3k （C）1k且3k （D）1k或3k
（5）记四阶行列式D的第3列元素为1,2,0,1，它们的余子式的值依次分别为-2,-5,-9,4，
则=D（）
（A）-4 （B）8 （C）16 （D）12
（6）若行列式2341101abc，则+311303513abc的值为（）
（A）0 （B）1 （C）-1 （D）2
二、填空题（7-12小题，每题3分，共18分）
（7）排列482591763的逆序数是
（8）设行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDdaaa，则行列式212223132311211121nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa
2
（9）设行列式412=22222333abcbcaDcabbccaab，则4=D
（10）设五阶行列式5000000=,000000000ababDababba则5=D
（11）若1023145xx中代数余子式12=-1,A则21=A
（12）如果n阶行列式中零元素的个数大于2nn个，那么此行列式的值为
三、解答题（13-20题，每题8分，共64分）
（13）计算行列式2170-1243=.210-13221D
（14）计算行列式=.nabbbbabbDbbabbbba
3
（15）设1,abcd计算2222222211+1111=.111111aaaabbbbDccccdddd
（16）设10223()71043171xxxfxx，求()fx中2x的系数.
（17）设,,abc为互异实数，证明行列式2220abcDabcbccaab的充分必要条件为
0.abc
4
（18）设n阶行列式1352112001030100nnDn，求nD的第一行各元素的代数余子式之和
11121+++.n
AAA
（19）计算行列式111212122212111111111nnnnnnnxyxyxyxyxyxyDxyxyxy（其中2n）.
（20）解方程22112312-230.23152319xx
(完整版)行列式试题库1
一．判断题（易）1、n 阶行列式111212122212n nn n nna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由2n 个数构成的n 行n 列的数表（ ）．答案：×（较容易）2、62162100000000λλλ=λλλ．（ ）．答案：×（较容易）3、82182100000000k k k k k k=．（ ）．答案： √（较容易）4.若方阵A 的各行元素之和为零，则0A = ( ) 答案： √二．填空题（中等）1.设1234577733324523332246523=A ,313233++=A A A _________,3435+=A A ________答案：0，0（中等）2.1234243141321432=D , 求11213141+++A A A A =________答案：0（较容易）3. 5阶行列式D 的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为－1,3,－2,0,1，则=D ________. 答案：3（较容易）4.db acd b c a bd c a b d a c = ．答案：0（较容易）5.yx yx x y x y x y x x y x 323222 +++++=．答案：)(2y x xy +-（较容易）6. 6217213424435431014327427246-=答案：510294⨯-（中等）7．已知三阶行列式 987654321 =D ，它的元素ij a 的代数余子式为ij A （3,2,1,3,2,1==j i ），则与232221cA bA aA ++对应的三阶行列式为．答案： 987321 c b a（中等）8． 设行列式30402222,075322D =-- 则第四行各元素余子式之和的值为 .答案：–28（较容易）9．11110011110y y y x xx--= ．答案：22x y（中等）10． 行列式1111111111111111--+---+---x x x x = ．答案：4x（较容易）11． 当λ= 或μ= 时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解．答案：1，0（较容易）2. 设222233331111a bcdD ab c da b c d =,则D=______________答案：()()()()()()d c d b d a c b c a b a ------（较容易）13. 已知四阶行列式D 的第二行元素分别为3, 1, -1, 2, 他们对应的余子式分别为1, 2, 2, -1, 则行列式=D ______ 答案：-1（较容易）14. 设A 是三阶方阵, 且3||=A , 则|)2(|1-A =_______答案：124（容易）15. A 为正交矩阵, 则=||A _____________答案：1或-1 （较容易）16. 已知四阶行列式D 的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=________ 答案：5（容易）17. 行列式25613412a中元素a 的代数余子式 = _________ 答案：－４（较容易）18.四阶行列式D 的第二行的元素都是2，且第二行元素的代数余子式都是3，则D= _________ 答案：0（较容易）19.设A 是三阶行列式，且1A =，则2A A =______ 答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A 的行列式2A =-，则其伴随矩阵*A 的行列式*A = ____ 答案：16（容易）21. 已知三阶行列式251102321-=D , 则第3行第2列元素的代数余子式32A =_____________答案：7（容易）22. 按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 ．. 答案：1（容易）23. 当=i =k 时排列1274i 56k 9为偶排列． 答案：8，3（容易）24. 排列1 3 …（12-n ）2 4…（n 2）的逆序数为 _______ ． 答案：(1)2n n - （容易）25. 在五阶行列式中项5541322413a a a a a 前面应冠以 号（填正或负）． 答案：负（容易）26. 四阶行列式中含有因子2311a a 且带负号的项为_____ 答案：44322311a a a a -（容易）27. 设A 为n 阶矩阵,且T A A E =，则必有________A =答案：1 或－1（容易）28. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果2A =,则*A =________答案：12n -（容易）29. 设A 为n 阶可逆矩阵，如果 2A =- ,则*A =________答案：1(2)n --（容易）30. 设A 为n 阶矩阵,且TA A E =，则必有T A =________答案：1 或－1（容易）31.设A 是n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 若a A =||, 则||*A =__________答案：1n a-（容易）32.若2||44-=⨯A , 则=||*A _________ 答案：8（容易）33.设3211111410D -=-,则313233A A A ++=_____ 答案：0（较容易）34. 若0x a aax a a ax=，则a =_____答案：2a -或0（较容易）35.已知3021111xy z =，则33332222x y zx y z x y z ++=+++_____ 答案：2（较容易）36.设12234000000000a a D a a =121340000200003004a a D a a =，则1D =_____2D 答案:24（容易）37.120034000054045D --==-- ____答案:-18（容易）38.1200340000130051D ==- ____答案:32（较容易）39.1111001100111001D == ____答案:0（较容易）40.若齐次线性方程组03030x y z x y z x y z λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩有非零解,则λ=____答案:12λ=-（容易）41.行列式A 中元素ij a 的代数余子式ij A 与余子式ij M 之间的关系____ 答案:(1)i jij ij A M +=-（较容易）42.若n 阶方阵A 的秩为n-1,在A =____ 答案:0（较容易）43.设A,B 是两个三阶的方阵,且1A =-,2B =,那么133()TA B -=____答案:278-（容易）44.设三阶方阵A 的不同特征值为-1,2,4 ,则A =____ 答案:-8（较容易）45.若A,B 为n 阶方阵,且1,32A B ==-,则*12A B --=____ 答案:12(1)3n +- （容易）46.A 为三阶方阵,2A =,则12A =____ 答案:14（较容易）47.设行列式2345246812035643D =,则414243442468A A A A +++=____答案:0（较容易）48.若3022111xy z =-,则413111111x y z ---=____答案:2（较容易）49.8276412549162523451111= ____答案:12（较容易）50. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则11121321222331323332623a a a a a a a a a ---= ____ 答案:-18（较容易）51. 如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则111213212223313233222222222a a a a a a a a a = ____ 答案:24（容易）52.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，－2，3 ，则A =____ 答案：－6（容易）53. 010000200000100n D n n ==- 答案：1(1)!n n +-（容易）54. 0x y Dxz y z=---＝答案：0（容易）55.已知125328401390216D ----=,23A = 答案：－9（容易）56. efcfbf de cdbd aeacab ---= 答案：4abcdef（较容易）57. 33221111110011001b b b b b b D ------== 答案：1（较容易）行列式2001021*********＝答案：9三．选择题（容易）1. 如果⎩⎨⎧=-+=+-0)1(202)1(2121x k x x x k 仅有零解,则( ).A. 1≠k ,B. 1-≠k 或3≠k ,C. 3=k ,D. 1-≠k 且3≠k .答案：D（较容易）2. 设,,D αβγ=, ,,αβγ分别表示行列式D 的三个列，则D =（ ）A. ,,γβαB. ,,αββγγα+++C. ,,αβγ---D. ,,ααβαβγ+++答案：D（较容易）3．四阶行列式D=112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ） A. 12341234a a a a b b b b - B. 12341234a a a a b b b b +C. 12123434 ()()a a b b a a b b --D. 23231414()()a a b b a a b b --答案：D（容易）4.如果1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111213212223313233222222222a a a a a a a a a =（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 答案:D（较容易）5.已知4阶方阵A ，其第三列元素分别为1，3，－2，2，它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A =( )A. 5B. -5C. -3D. 3 答案:A（中等）6.设231111111()114118x f x x x -=-,则方程()0f x =的三个根分别为( )A. 1,-1,2B. 1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8 答案: A（较容易）7.行列式112233110a ba ca ba c ab ac ++++++=( )A. 0B. b c -C. 21()()c b a a --D. 21()b a a - 答案:C（容易）8.行列式132520103D -=--中元素32a 的代数余子式为( ) A. 0 B. -10 C. 10 D. 3 答案:B（容易）9.行列式21312201D -=中元素32a 的代数余子式为( ) A. 4 B. -4 C. 0 D. 2 答案:A（较容易）10.若1112132122233132331a a a a a a a a a = 则313233212223111213222333a a a a a a a a a ---=( ) A. -5 B. 6 C. -1 D. 1 答案: B（较容易）11.设22115()114723f x x x =+-,则方程()0f x =的根分别为( )A. 1,1,3,3B. -1,-1,3,3C. -1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-3答案：D (较容易)12.已知111213212223313233a a a a a a d a a a =,则行列式313233111213211122122313333232323a a a a a a a a a a a a ---=+++( )A. 6d -B. 6dC. 3d -D.3d 答案：A（较容易）13.1231231233a a a b b b c c c ⨯=( ) A. 123123123333a a a b b b c c c B. 123123123333333333a a a b b b c c c C. 123123123333a a a b b b c c c -D. 123123123333a a a b b b c c c 答案:D（较容易）14.行列式0003001002000100000002D -==--( ) A. -12 B. 12 C. -6 D. 6 答案:A（较容易）15.设det()n ij D a =,则0n D =的充分必要条件是( ) A. n D 中有两行(列)元素对应成比例 B. n D 中有一行(列)的元素均为零 C.11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+== D. 11220()i j i j in jn a A a A a A i j ++⋅⋅⋅+=≠ 答案:C（中等）16.1223()71043171xx x x f x x--=--是( )次多项式A. 4B. 3C. 2D. 1 答案:C （较容易）17.四阶行列式D 的某行元素依次为-1,0,k,6, 它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且9D =-,则k =( )A. 0B. 3C. 1D. -1 答案:B(较容易)18.若1112132122233132331a a a a a a a a a =,则131112112321222133313231454545a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 5 B. -5 C. 20 D. -20 答案:A（容易）19.222a ab acab bbc ac bc c =( ) A. abc B. 1 C. 0 D. 222a b c 答案:C（较容易）20. 设*1,A A -分别为n 阶方阵A 的伴随矩阵和逆矩阵,则*1A A -=（ ） A. nA B. 1n A- C. 2n A- D. 3n A-答案:C（较容易）21.已知A 为三阶矩阵,其第三行元素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则A =( )A. 5B. -5C. 7D. -7 答案:C（较容易）22.如果1112132122233132331a a a a a a a a a =,则111112132121222331313233423423423a a a a a a a a a a a a --=-( ) A. 8 B. -12 C. 24 D. -24 答案：B（较容易）23.行列式103100204199200395301300600=（ ）A. 1000B. -1000C. 2000D.-2000 答案：C（较容易）24.行列式40105022*********D =的值为（ ）A. -12B. -24C. -36D. -72 答案：D（较容易）25.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则（ ） A. A 中必有两行(列)的对应元素成比例;B. A 中任意一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;C. A 中必有一行(列)向量是其余行（列）向量的线性组合;D. A 中至少有一行(列)向量为零向量答案：C（较容易）26. 已知三阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则行列式2A =( )A. 0B. 1C. 6D. 36 答案：D（较容易）27. 如果m a a a a a a a a a D ==333231232221131211，1312112322213332311333333333a a a a a a a a a D = 那么=1D （ ）．A.m 3；B.m 3-；C. m 9；D. m 27-．答案：D（较容易）28.已知0001001010001000001D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则D =（ ）A. 1B. -1C. (1)2(1)n n -- D. (1)(2)2(1)n n ---答案：D29.行列式D 非零的充要条件是（ ） A.D 的所有元素都不为零 B.D 至少有2n n -个元素不为零 C.D 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有惟一解 答案：D四．解答题（较难）1.123111111111111111(0,1,2,,)111111+++≠=+i na a a a i n a解：123111111111111111111111++++na a a a 11213111111000000+-=--na a a a a a a 112131111110000000+---na a a a a a a 11223111110000000=++=∑ni ina a a a a a 231120000100=⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦∑ni i n a a a a a a 111(1)===+∑∏nni i i i a a（较难）2．12323413452121-nnn 解：12323413452121-nnn ＝1223123411245212121++++++++++++-n n n n n n ＝123011113410111(1)(12)14522011111211121------++++=-----n n n n n n n n n＝1111111111(1)(1)211111111+---------+---------n n n n n n n n ＝11000(1)(1)20001111+-+----n n n nn n n＝12000(1)(1)(1)2n nn n n n n n+-+--＝(1)(4)11322(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22-++--++----=-n n nn n n n n n n n（较难）3．-=------n x a a a a a xa a a D a axa a a a aax解：00--=+-------n xa a x a a a axaaxaa D a a a x aa a aa＝111000()()()0000---+-+--+=-+++---n n n x a a x x a a x x a D x a D a x a x aaaaa由递推关系有1()()2⎡⎤=++-⎣⎦n n n D x a x a （较难）4．111111-=--n n D n n解：10100111001011111+----==+------n nnn nDn n n n＝111(1)(1)01010+---------n n n n n＝121(1)(1)(1)(1)010111+------------n n n n n n n＝254113112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)+-+----------=-+n n n n n n n n n＝222(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)++-----+=-+n nn n n n n n n（中等）5. 写出四阶行列式23740101201035--=D 中元素4,13323=-=a a 的代数余子式，并求其值.解： 23701135)1(3223-⨯-=+A 237013430---.96102623343=+-=--=2015)1()2(23020135)1(223333++-⨯-=--⨯-=A .2010)2(-=⨯-=.176)20(4960033332323-=-⨯+-=+++=A a A a D（中等）6. 计算行列式7325254346323214-----解:7325254346323214----- =13723103419503100010------1373103195010)1(121----⨯=+137231031500-----.310625)697(5723315=⨯=+-=--=（中等）7. 计算(2)≥n n 阶行列式000100000001000aa D a a = 解: 按第一行展开，得()1000000000001000010na aa a D aa a+=+-．再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到()()()()1112222111nn n n n n n D a a a a a a +-+---=+--=-=-（中等）8．计算行列式ab b b ba b b D bb a b bbba= 解: D =()()()()1111a n b b b b a n ba b b a n bb a b a n bbba+-+-+-+- []11(1)11b b ba b ba nb b a b bba=+-=[]1(1)b b ba ba nb a ba b-+---（较容易）9.计算行列式 .2143000012009687843415089715032-=D 解:231509750821001414437896823034(83)0340210141021020003400102141111(412)1116176.34D --===+⋅--=⋅=+=⨯=（较容易）10. k 取何值时，下列齐次线性方程组有非零解：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++.02,0,0321321321x x x x kx x kx x x 解: 方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零.2111111--=kk D kkk k --++2211011kk k --+2201111)1(11(1)011004k k k+-).4)(1(k k -+=即 .0)4)(1(=-+k k所以当1-=k 或4=k 时，齐次线性方程组可能有非零解.（中等）11. 计算行列式1314211311023351-----=D .解： 1192101110160551003351-----=D 1113200112033515----=112320011103351)5(-----=1300320011103351)5(------=211000320011103351)5(-----=55-=（中等）12. 计算行列式x a a a x a aa x D n=．解： xa a a x a a n x D n r r r n111])1([)(21-+=+++ax a x a n x ---+=00111])1([1)]()1([---+=n a x a n x（中等）13. 计算行列式的值1118101711101325--=D解：10113-D=1181107113521101--0217015501101---==8200712055100111---8201790055100111--410017900551001112--=1794100551001112---=38194100551001112-=----=（难）4. 计算n 阶行列式的值52 (00)35...000... 00 (5200) (35)200...035=n D解 按第一行展开，得：21116552 (00)35...000..................00...52000 (350)00 (0323)5-----=-=n n n n n D D D D 按第一列展开得到递推式：2165---=n n n D D D写作）（211232----=-n n n n D D D D ，可得）（1221232D D D D n n n -=--- 写作）（211323----=-n n n n D D D D ，可得）（1221323D D D D n n n -=---而195235,521===D D⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴--nn n nn n D D D D 233211 解之得1123++-=n n n D （中等）15. 计算n 阶行列式xyy x y x yxy x D 0 (00)...0000 00 (000) (00)00...00=的值解 按照第一列展开nn n n n n n n n y x y y x x y y xy x y y x x y x y xx D 111111111)1()1(...000 0...00...00...00)1(...000 0...00...00...0)1(+-+--+-+-+=⨯-⨯+⨯=-⨯+-⨯=（较容易）16. 问λ，μ取何值时，齐次线性方程组 1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故11011111111(1)012200λλμλλμλμμμλμμμ----===--即0μ=或1λ=齐次线性方程组有非零解。
第一章 行列式 习题及答案
第一章 行列式习题1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。
（1(1)n c --）2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。
（(1)n c -）3. 2(1)(2,1,21,2,,1,)(21)0(23)0122k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+?。
4. 由行列式的定义计算行列式413331233626xx x x xx展开式中4x 和3x 的系数。
（3412, 12x x -）（分析：4x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。
第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四行只能取22a 和44a ，则此项为(1234)411223344(1)4312N a a a a x x x x x -=⋅⋅⋅=。
3x 的系数：(2134)(4231)3331221334441223314(1)(1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。
）5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式17033159097510959的值，证明他是13的倍数。
证明：12341701703170170341000131531593153159410021309709750979754103109510959109510959l c c l c c l c c l +⋅+⋅=⋅+⋅，能被13整除。
注意，以下两个行列式：170317037033159315915909759759751095910959959≠，所以一定要加到最后一列上。
6. 设行列式311252342011133--=--D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。
（0和-5）解：112131412112423424301011333A A A A -+--==----。
考研高数之线性代数自我检测试题(附详细答案解析)第一章行列式答案
第一章 行列式1.利用对角线计算下列行列式（1） 381 1 4 11 0 2- - - 4 -= （2） ba c a c bcb a 33 3 3 a b c abc - - - = 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数 （1） 1 2 34 0 （2） 4 1 3 2 4 （3） 3 4 2 15（4） 2 4 1 33（5） 1 3 ┈（2n1） 2 4 ┈（2n ） 2) 1 ( nn - (6) 1 3 ┈(2n1)(2n)(2n2)┈2 )1 ( - n n 3.写出四阶行列式中含有因子 23 11 a a 的项 4432 23 11 a a a a - 3442 23 11 a a a a 4.用行列式的定义计算下列行列式（1） nn n n a a a a a D 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1 2 2 1 L L L M M M L M M L L - - =( )nn n a a a L 2 1 2)1 )(2 ( 1 - - - （2） 443332 23 21 1211 4 00 0 0 0 0 0 a a a a a a a D =4432 23 11 44 33 21 12 a a a a a a a a - - 5.计算下列各行列式（1） 07 1 1 02 5 10 2 0 2 1 4 2 1 4= =D 【解析】71120 2 15 4 2 7 711202 15 0 2 0 2 1 4 2 7 0= - - - - - = - - - -（2） abcdef efcfbfde cd bdaeac abD 4 = - - - = （3） ( ) [ ]( )11 - - + - = = n na x x a n xa aa x a aa xD L L L L L L L （4） n D na a a a + + + + =1 1111 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 21 L LLL L L L L L na a a a a a a L L L L L L L L L 0 00 0 00 1 1 1 1 13 121 1 - - - + = nni ia a a a L 2 1 1 ) 1 1 ( å = + = （其中 0 2 1 ¹ n a a a L ）6.证明 322) ( 1 1 1 2 2 b a b b a a b aba - = + 利用对角线法则可得证7.计算下列各行列式：（1） ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 0 11 0 1 1 1 014+ + + + = - - - = d a cd ab d cb aD 【解析】 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 1 1 0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 0 1 1 1 1 1 0 011 0 11 1 01 12 + + + + = - - - - + - - = - - -+ d a cd ab dc d c b a d cb a（2） aa aD nL M M M M L L0 1 0 0 10 = ，其中对角线上的元素都是a ，未写的元素都为零【解析】 )1 ( ) 1 ( 1 )1 ( ) 1 ( 0 0 0 0 1 0 0 1 ) 1 ( 0 00 0 0 0 0 10 01 0 - ´ - + - ´ - ´ ×× - + = n n n n n nn aa a a a aa a aLM LO M L L L MLM M L L L MMMM L L 2- - = n n a a（4） b a c a cb ac b c b a cb a D 2 2 2 + + + + + + =( )32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b a ba c a cb a b ac b c b a b a c b a D + + = + + + + + + + + + + = （5）125 343 27 64 573425 49 9 16 1 1 1 1- - =D ( ) ( ) 1036812 12 8 9 573 4 573457 3 4 11 1 1 3 3 3 3 2222 - = ´ ´ ´ - = - - - =D 8.解下列方程（1）9 1 32 5 13 2 32 2 1 32 11 22= - - x x 【解析】( )( )( ) 0 31 4 4 0 00 5 1 3 2 0 0 1 0 32 1 1 9 1 32 5 13 2 3 2 2 1 3 2 1 1 2 2222 2= - - - = - - =- - x x x x x x 故可得 1 ± = x 或 2± = x （2）0 00 0 0 = a x a a a x x a a a x a 【解析】 ( )0 0 1 1 1 1 2 00 0 2 2 2 2 00 0 0 a x a aa x xa a x a axaa a x x a a x a x a x a x a a x a a a x x a a a x a + = + + + + =( )( ) ( ) 0 4 0 02 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 = - = - - - - - - - + = - - - - - - - + = a x xxx xa x x a x x x a a a x x a x x a ax a x a 故可得 0 = x ，或者 ax 2 ± =。
第一章 行列式要求与练习
第一章 行列式 一、要求：1、了解排列、逆序、对换的概念，会求排列的逆序数。
2、掌握行列式的概念及行列式的性质。
3、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算简单的行列式。
二、练习 (一)、单项选择题1. 排列32514的逆序数为（）.A.0；B.1；C.2；D.5. 2.设四阶行列式中含有因子1123a a 的项为（）.A. 11243342a a a a 和11233244a a a a -；B. 11233342a a a a 和11233244a a a a -；C. 11223344a a a a 和11233244a a a a -；D. 11233442a a a a 和11233244a a a a -.3.若 =0ij a a ≠，则线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ì+++=ïïïï+++=ïíïïïï+++=ïïî 的有（） A ．无解； B ．无穷多解； C ．唯一解； D ．不能确定. 4. 在六阶行列式中， 233142561465a a a a a a 与324314516625a a a a a a 两项所带符号为（）.A.正，负；B.负，正；C. 负，负；D. 正，正.5. 四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值是（）.()()()()12341234123412341212343423231414. ...A a a a a b b b bB a a a a b b b bC a a b b a a b bD a a b b a a b b -+----，.，，(二)、填空题1.三阶行列式30453221--中元素2和-2的代数余子式分别是 ， .2.行列式1224314300000000000a a a a ＝3. 如果3021111xy z=，则33332111xy zx yz x y z ++=+++4.行列式9234214331124321---------的第四行各元素余子式之和的值为(即9234561443142143141307133112131200121111101------------==-------)5. 1111123414916182764＝(三)、计算1.计算四阶行列式0000001111a ab bc c ---2. 计算四阶行列式31111311113111133.计算行列式41241202105201174. 计算行列式1111111111111111aa Db b+-=+-5. 计算4阶行列式()()()()()()()()()()()()2222222222222222123123123123a a a a b b b b D cc c cd d d d ++++++=++++++6.已知5阶行列式1234522211312451112243150D =求()()313233343512A A A A A +++；. 7.解方程()()()21212111111222011111n n n f x n n n xx x ---==---(四)、证明1．证明 任一奇数阶反对称行列式的值为零.2. 证明()22322111x xy y xx y y x y +=-3. 证明 当0a b c >>>时，22320a a bc D bb ac cc ab=<. 4. 证明 1100010001 0001n n n D αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-==+-+。
高一数学上学期同步检测第一章单元检测(A卷)
高一数学同步检测 第一章单元检测(A 卷)第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题,每小题3分,共30分）1.设集合A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x|x ∈Z 且|x|≤5},则A ∪B 中的元素的个数是( )A.11B.10C.16D.15 答案：C解析：A={x|x ∈Z 且-10≤x ≤-1}={-10, -9,…, -2,-1},B={x|x ∈Z 且|x|≤5}={-5,-4,…,4,5}. ∴A ∪B={-10,-9,…,-1,0,1,…,5},即A ∪B 中元素个数为16.2.( 2007黑龙江哈尔滨第九中学高一期末考试，4)若A 、B 、C 为三个集合，A ∪B=B ∩C ，则一定有（ ）A.A ⊆CB.C ⊆AC.A ≠CD.A=∅ 答案：A解析：由条件知A ∪B ⊆B ∩C,故有A ∪B ⊆B,A ∪B ⊆C,从而有A ⊆B ⊆C.选A.3.设全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,7},集合B={3,5},则( )A.U=A ∪BB.U=(A)∪B C.U=A ∪(B) D.U=(A)∪(B)答案：C解析：由题意B={1,2,4,6,7},又A={1,3,5,7},∴A ∪B={1,2,3,4,5,6,7}=U. 4.已知命题p 、q,则“命题p 或q 为真”是“命题p 且q 为真”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B解析：命题p 或q 为真，则p 和q 中至少有一个为真，并不能说明p 和q 都为真，即p 且q 不一定为真，而命题p 且q 为真，则p 和q 都为真，所以命题p 或q 为真.所以应是必要不充分条件.5.方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( ) A.m>-41 B.m<-41 C.m ≥41 D.m>-41且m ≠0答案：D解析：由题意⎩⎨⎧>-+≠04)12(0m 22m m ⇒m>-41且m ≠0.6.(2006福建高考，理4)已知全集U=R ，且A={x||x-1|>2},B={x|x 2-6x+8<0},则（A ）∩B 等于（ ）A.［-1,4)B.(2,3)C.(2,3］D.(-1,4) 答案：C解析：由已知得A={x|x<-1或x>3},B={x|2<x<4}. ∴A={x|-1≤x ≤3}.∴(A)∩B={x|2<x ≤3}.7.已知p:|3x-4|>2,q:,0212>--x x ⌝p 是⌝q 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：由|3x-4|>2,得3x-4>2或3x-4<-2,即x>2或x<32. ∴非p 为32≤x ≤2.由0212>--x x ,得x>2或x<-1. ∴非q 为-1≤x ≤2.∴⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件.8.有以下命题:①如果x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根,且x 1<x 2,那么不等式ax 2+bx+c<0的解{x|x 1<x<x 2};②当Δ=b 2-4ac<0时,二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是∅; ③bx a x --≤0与(x-a) (x-b)≤0解集相同; ④122--x x x <3与x 2-2x<3(x-1)的解集相同. 其中正确命题的个数是( )A.3B.2C.1D.0答案：D解析：①a<0不成立;②a>0不成立;③考虑分母为0;④x-1符号为负不成立.9.设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a ∈P,b ∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q 中元素的个数是( )A.9B.8C.7D.6答案：B解析：P+Q={a+b|a ∈P,b ∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11},共 8个元素.10.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数,不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别为集合M 和N,那么“2121b b a a ==21c c ”是“M=N ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案：D解析：用特殊值法.不等式-x 2+2x+3>0和x 2-2x-3>0的同类项系数的比等于-1,但它们的解集显然不同.不等式(x-1)2+1>0和(x-1)2+2>0的解集都是R,即M=N=R,但不等式整理成标准形式后它们的同类项系数之比不相等.第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上）11.命题“若x 2+y 2=0，则x 、y 全为0”的否命题是_____________.答案：若x 2+y 2≠0,则x 、y 不全为0解析：“全”的否定为“不全”.12.设A 、B 为两个集合,下列四个命题:①A B ⇔对任意x ∈A,有x ∉B;②A B ⇔A ∩B=∅;③A B ⇔A B;④A B ⇔存在 x ∈A,使得x ∉B.其中真命题的序号是.(把符合要求的命题序号都填上)答案：④解析：特例法.如A={0,1,2},B={1,2},满足AB.但1∈A 且1∈B,∴①是假命题.而A ∩B={1,2}≠∅,∴②是假命题.而A B,但B ⊆A,∴③是假命题. ∵x=0∈A 但x ∉B,∴④是真命题.13.已知关于x 的方程x 2-2(m-1)x+2m+1=0的两个根小于零,则实数m 的取值范围是. 答案：-m <21≤0 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆020)1(20m m ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-><≤≥21104m m m m 或⇒-21<m ≤0. 14.设［x ］表示不超过x 的最大整数,则关于x 的不等式2［x ］2-11［x ］-6≤0的解集是_____________.答案：{x|0≤x ≤6}解析：由2［x ］2-11［x ］-6≤0,得21≤［x ］≤6.∴0≤x ≤6.三、解答题（本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.(本小题满分10分)(2007湖北襄阳一中高一月考，16)若集合M={x|x 2+x-6=0},N={x|ax-1=0}，且N ⊆M,求实数a 的值.解：由x 2+x-6=0⇒x=2或-3,因此，M={2，-3}.(1)若a=0时，得N=∅,此时，N ⊆M; (2)若a ≠0时，得N={a1}, 若N ⊆M,满足a 1=2或a 1=-3,即a=21或a=-31. 故所求实数a 的值为0或21或-31. 16. (本小题满分10分)写出命题“当abc=0时，a=0或b=0c=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解：原命题:若abc=0,则a=0或b=0或c=0,是真命题.逆命题:若a=0或b=0或c=0,则abc=0,是真命题.否命题:若abc ≠0,则a ≠0且b ≠0,且c ≠0,是真命题.逆否命题:若a ≠0且b ≠0且c ≠0,则abc ≠0,是真命题.17. (本小题满分10分)集合A={x|x 2-x-2>0},集合B={x|x 2+4x+p<0},若A ∩B=B,求实数p 的取值范围.解：A ∩B=B,则B ⊆A.由条件可知A={x|x<-1或x>2}.①若B ≠∅,则Δ=16-4p ≤0,则p ≥4.满足B ⊆A.②若B ≠∅,由于f(x)=x 2+4x+p 的对称轴x=-2<-1,要使B ⊆A,则⎩⎨⎧≥+-=->-=∆.03)1(,0416p f p ∴3≤p<4. 综合①②可得p ≥3.18.(本小题满分12分)设集合S 中的元素为实数,且满足条件:①S 内不含1;②若a ∈S,则必有a-11∈S. (1)证明若2∈S,则S 中必存在两个元素并求出这两个元素;(2)S 中的元素能否有且只有一个?为什么?解：(1)∵2∈S,∴211-=-1∈S. ∴)1(11--=21∈S,即S 中必存在-1和21这两个元素. (2)若S 中有且仅有一个元素a,则a -11∈S.从而有a=a-11,即a 2-a+1=0.又a 2-a+1=0无实解,S 中不能仅有一个元素.19. (本小题满分12分)已知集合A={x|x 2-2x-3>0},B={x|x 2+ax+b ≤0},且A ∪B=R ,A ∩B={x|3<x ≤4},求a 、b 的值.解：由条件得A={x|x<-1或x>3},设x 2+ax+b=0无实根,则不等式x 2+ax+b ≤0的解集为∅,A ∩B=∅,不合题意;若方程x 2+ax+b=0两实根相等,则B={x|x=-2a },A ∩B={-2a },不合题意. 由A ∪B=R 知,x 1≤-1,x 2≥3;由A ∩B={x|3<x ≤4}得x 1=-1,x 2=4.∴a=-(x 1+x 2)=-3,b=x 1·x 2=-4.。
第一章 行列式典型例题
第一章 行列式一．行列式的定义和性质1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义例1行列式11110111101111------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2测试点 余子式和代数余子式的概念解析11110111101111------,212121111111(1)10101211101A M +--=-=--=--=--- 答案 B2．行列式按一行或一列展开的公式 1）11,1,2,;(,1,2,)nnijij ij ijij ij nni j A a a A j n A a a A i n ========∑∑2）11 ; 00nn ij ik ij kj i j k j k i A Aa A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 . 测试点 行列式按行(列)展开的定理解 212223212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-34310=---=-例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = .测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 解 因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+=所以1x =-3．行列式的性质 1）.T A A =2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4 已知1112132122233132333a a a a a a a a a =，那么111213212223313233222222a a a a a a a a a =---（ ） A.24- B.12- C.6-D. 12测试点 行列式的性质解析 1112131112132122232122233132333132332222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a++=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3测试点 行列式的性质解111111122222223a b c a b ac a b c a b a c +=+=+ 故应选 D 答案 D二．行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式例6求4阶行列式1111112113114111的值.测试点 行列式的计算解111411140231131002302103(3)6121101031000311110003--==-=-=---例7计算3阶行列式 .767367949249323123解 (1)(1)(2)(2)(1)(3)1232331002331002032494992004992004090.367677300677300607+-+-=== 例8 计算行列式：x a a aa x a a a ax a a a ax测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 333000300030x a a ax a a a a x a a a a a x a a x ax a a x a D a ax a x a ax a x a a a a xx a a axx a+++-====+-+-3(3)().x a x a =+-例9计算行列式000000000 000000n a b a ba D ab b a=测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解111111110000000000 ==+(1)(1) 000000n n n n n n n a b a ba D aA bA aMb M a ba bb a++=+-=+-例10计算行列式60001002005006000D =解 36(1)(6)(2)(5)(3)(4)0001100000200200(1)6!0500005060000006D ↔↔↔==-=- 例11设2311248()139********x x x D x =问（1）()D x 中，3x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。
线性代数第一章行列式训练题解
线性代数第一章行列式训练题一、单项选择题1．二阶行列式1221−−k k ≠0的充分必要条件是（ ）A ．k ≠–1B ．k ≠3C ．k ≠–1且k ≠3D ．k ≠–1或≠3答案：C2．设行列式2211b ab a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．–3B ．–1C ．1D ．3 注22112211222111c a c a b a b a c b a c b a +=++答案：D3.如果方程组=+=−=−+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ ） A.–2 B.–1C.1D.2 注：使04014013=−−kk答案：B4．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．–15 B ．–6 C ．6D ．15答案：C 5．3阶行列式ji a =011101110−−−中元素21a 的代数余了式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2 0111)1(12−−+ 答案：C6.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a −−−=（ ） A.–24 B.–12 C.–6D.12答案：B 7．行列式11110111111110−−−−−−第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．2答案：B 8.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m–nB.n–mC.m+nD.–（m+n ）答案：B二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数数学答案
第一章 行列式
f ( x) 1 x 1
3 2 x
二、用行列式定义计算下列行列式
1．0 0 L 0 a1
0 0 L a2 0 (1)N (n(n1)L 21) a1L an
M 0
M an1
M L
M 0
M 0
n( n1)
(1) 2
a1
L
an
an 0 L 0 0
习题四 行列式的性质
2． 0 0 L 0 a1 0
2．917368542 N(917368542)=23 奇排列
3．nn 1n 2L 321
nn 1
N
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
4．246L (2n)135L (2n 1)
nn 1
N 1 2 3L n
,
2
当 n 4k,4k 3 时为偶排列；
m,n 之值及该项的符号为
.
（A）m 2,n 4, 符号为正；（B）m 2,n 4, 符号为负；
（C）m 4,n 2, 符号为负；（D）m 4,n 2, 符号不定；
2．在 D | aij |66 展开式中，项 a61a52a43a34a25a16
的符号为 负 .
3．在 n 1 阶行列式中，项 a a a L (n1)1 (n1)2 (n2)3 a a a a 3(n2) 2(n1) 1n n(n1) n2 n2 的符号为 (1) 2 .
第一章行列式(学生题目简单答案版)
第二部分 线性代数第一章 行列式题型1.1 行列式的计算（88年，数学一）设4阶矩阵234234(,,,)(,,,)A B αγγγβγγγ==,,其中，234,,,,αβγγγ均为4维列向量，且已知行列式41A B ==,,则行列式A B += ．【答案】40.（88年，数学三/数学四）1110110110110111= ． 【答案】3-．（89年，数学五）行列式1111111111111111x x x x ---+-=--+-- ． 【答案】4x ．（90年，数学五）设A 为1010⨯矩阵 10010000010000001100000A ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式A E λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数．【解析】101010A E λλ-=-．（91年，数学五）n 阶行列式0000000000000000a b a b a a b b a=．【答案】1(1)n n n a b ++-．（96年，数学一）四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于()． （A ）12341234a a a a b b b b -． （B ）12341234a a a a b b b b +．（C ）12123434()()a a b b a a b b --． （D ）23231414()()a a b b a a b b --． 【答案】（D ）．（96年，数学五）5阶行列式1000110001100011011a aaa D a a a a a---==------ ． 【答案】23451a a a a a -+-+-．（97年，数学四）设n 阶矩阵0111110111110111110111110A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭，则A = ．【答案】1(1)(1)n n ---．（99年，数学二）记行列式212322212223333245354435743x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------为()f x ，则方程()0f x =的根的个数为()．（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4． 【答案】（B ）．（00年，数学四）设(1,0,1)T α=-，矩阵T A n αα=,为正整数，则n aE A -= ． 【答案】2(2)n a a -．（01年，数学四）设行列式3040222207005322D =--，则第四行各元素余子式之和的值为 ．【答案】28-．（14年，数学一/数学二/数学三）行列式00000000a b abc d c d=()． （A ）2()ad bc -．（B ）2()ad bc --．（C ）2222a d b c -．（D ）2222b c a d -．【答案】（B ）．（15年，数学一）n 阶行列式200212020022012-=-． 【答案】122n +-．（16年，数学一/数学三）行列式10001=0014321λλλλ---+ . 【答案】43223 4.λλλλ++++题型1.2 行列式的计算（二）矩阵的性质（87年，数学一）设A 为n 阶方阵，且A 的行列式0A a =≠，而*A 是A 的伴随矩阵，则*A =()．（A ）a ． （B ）1a． （C ）1n a -． （D ）na ． 【答案】（C ）．（87年，数学四）设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =．()【答案】（×）．（88年，数学四）设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式12A =．求行列式1*(3)2A A --的值．【解析】31*12(3)23A A A --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1627=-．（90年，数学五）设A 为n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*A =()．（A ）1n A-． （B ）A ． （C ）n A ． （D ）1A-．【答案】（A ）．（92年，数学四）设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且00A A a B b C B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,，则C = ．【答案】(1)mn ab -．（92年，数学五）已知实矩阵33()ij A a ⨯=满足条件：（Ⅰ）(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式； （Ⅱ）110a ≠． 计算行列式A ．【解析】1A =．（93年，数学五）若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1231,,,,m αααβ=1223,,,,n ααβα=则四阶行列式32112,,,()αααββ+等于()．（A ）m n +． （B ）()m n -+． （C ）n m -． （D ）m n -． 【答案】（C ）．（94年，数学一）设A 为n 阶非零方阵，*A 是A 的伴随矩阵，T A 是A 的转置矩阵，当*T A A =时，证明0A ≠．【证明】略. ．（95年，数学一）设A 是n 阶矩阵，满足T AA E =（E 是n 阶单位矩阵，T A 是A 的转置矩阵），0A <，求A E +．【解析】0A E +=．（98年，数学四）设,A B 均为n 阶矩阵，23A B ==-,,则*12A B -= ．【答案】2123n --．（03年，数学二）设三阶方阵,A B 满足2A B A B E --=，其中E 为三阶单位矩阵，若101020201A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则B = ．【答案】12．（04年，数学一/数学二）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B = ．【答案】19．（05年，数学一/数学二/数学四）设123,,ααα均为三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(2439)B ααααααααα=++++++，，．如果1A =，那么B = ．【答案】2．（06年，数学一/数学二）设矩阵2112A E ⎛⎫=⎪-⎝⎭，为二阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = ．【答案】2．（06年，数学四）已知12,αα为二维列向量，矩阵1212(2,)A αααα=+-,12(,)B αα=．若行列式，6A =，则B = ．【答案】2-．（10年，数学二/数学三）设,A B 为3阶矩阵，且1322A B A B -==+=,,，则1A B -+= ．【答案】3．（12年，数学二/数学三）设A 为3阶矩阵，且*3A A =,为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得矩阵B ，则*BA = ．【答案】27-．（13年，数学一/数学二/数学三）设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ijA 为ij a 的代数余子式．若0(123)ij ij a A i j +==，，，，则A = . 【答案】1-．题型1.3 行列式的计算（三）秩数，特征值的性质（91年，数学一）设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1． 【证明】略.（98年，数学三）齐次线性方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，，，的系数矩阵记为A ，若存在3阶矩阵B O ≠，使得AB O =，则()．（A ）2λ=-且0B =． （B ）2λ=-且0B ≠． （C ）1λ=且0B =． （D ）1λ=且0B ≠． 【答案】（C ）．（99年，数学一/数学二）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则()．（A ）当m n >时，必有行列式0AB ≠． （B ）当m n >时，必有行列式0AB =．（C ）当n m >时，必有行列式0AB ≠． （D ）当n m >时，必有行列式0AB =． 【答案】（B ）．（00年，数学三）若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1111,,,2345，则行列式1B E --= ．【答案】24．（00年，数学四）已知四阶矩阵A 相似于,B A 的特征值为2,3,4,5.E 为四阶单位矩阵，则B E -= ．【答案】24．（08年，数学三）设3阶矩阵A 的特征值是1,2,2,E 为3阶单位矩阵，则14A E --= ．【答案】3．（15年，数学二/数学三）设3阶矩阵A 的特征值为2221B A A E -=-+,,,，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = ．【答案】21．。
第一章 行列式 习题
0 2 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 . 0 0 10
0
0 0 8 0 0
0 2 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 . 0 0 10
•
2.(P32, 10)
计算D
0
0 0
解：D 按第10行展开( 1)
10 10
0 0 8 0
a2 b2 . c2
•
5.(P35 ,第27题)
计算:D =
a1 0 0 b4
a2
0 a2 b3 0
b2 a3 0
0 b2 a3 0
0
b1 0 0 a4
.
0
0 b2 a3
b1 0 0 b2 a3
解：D 按第1列展开a1 b3 0
0 b4 a2 a4 b3
前一个行列式按 3列展开 后一个行列式按1行展开 1 4
1 1
按第1列展开-2 0 0
0 n3 0 0
上三角行列式-2 (n-2)!
•
7.(P37 ,第42题)
a1 1 a1 a1 a1 a1
a2 a2 2 a2 a2 a2
a3 a3 a3 3 a3 a3 a3 a3
an 1 an 1 an 1
0 0
3
n 2 0
n 1 n 1 n
•
7.(P37 ,第42题)
按第n列展开( 1) n 1 an ( 1) n 1 12 n 1 n Dn 1 j
j 1 n
n
an n Dn 1
可用数学归纳法证明：
Dn j (1
第一章 习题