用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
非圆弧曲线计算公式
非圆弧曲线计算公式在数学和工程领域中，曲线是一种非常重要的概念，它们可以用来描述各种各样的现象和物体。
在实际应用中，我们经常会遇到各种各样的曲线，其中包括非圆弧曲线。
非圆弧曲线是指那些不能用圆弧来描述的曲线，它们可能是由多个不同的曲线段组成的，也可能是由一些特殊的曲线方程所描述的。
在本文中，我们将讨论一些常见的非圆弧曲线，并给出它们的计算公式。
1. 抛物线。
抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。
2. 椭圆。
椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。
椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。
通过这个方程，我们可以计算出椭圆上任意一点的坐标，从而可以对椭圆进行各种各样的分析和应用。
3. 双曲线。
双曲线是一种非常特殊的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
双曲线的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是双曲线的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是双曲线的中心点的坐标。
通过这个方程，我们可以计算出双曲线上任意一点的坐标，从而可以对双曲线进行各种各样的分析和应用。
4. 抛物线。
抛物线是一种非常常见的曲线，它的数学描述是一个二次方程。
一般来说，抛物线的标准方程可以写成，y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
根据这个方程，我们可以计算出抛物线上任意一点的坐标，从而可以对抛物线进行各种各样的分析和应用。
5. 椭圆。
椭圆是另一种常见的非圆弧曲线，它的数学描述是一个二次方程。
椭圆的标准方程可以写成，(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(a,b)是椭圆的半长轴和半短轴的长度，(h,k)是椭圆的中心点的坐标。
偶次非球面的公式
偶次非球面的公式
非球面是指形状不是球形的固体物体，可以是椭圆形、椎体形、抛物面等等的形状。
通常测量非球面物体表面的形状是使用平移型镜面来测量的，平移型镜面是一种可以把物体表面反射出来的反射面，这个反射面可以根据物体表面的形状来改变，使得反射出来的图像能够清楚地显示出实物表面形状的变化。
当测量偶次非球面物体的形状时，可以使用下面公式来描述：
R = R(0) + arcos[(1-cos)^n]
其中：
R：物体表面的曲率半径
R(0)：物体表面的最大曲率半径
a：物体表面曲率的幅度系数
cos：物体表面夹角的余弦值
n：物体表面曲率的偶次数
根据上面的公式，可以看出物体曲率的半径取决于最大曲率半径、幅度系数和物体表面夹角的余弦值，偶次数则是用来描述物体表面曲率的偶次性，可以通过对物体表面夹角的余弦值进行连续的变化来检测偶次数。
也就是说，当余弦值变化量越小时，物体曲率的偶次数越大，反之则越小。
- 1 -。
非圆曲线的等误差直线逼近
曲线 的起点, 为 编程许 用
误差。现以 P 0 为圆心、 为
半径作 一 个误 差圆, 然 后 作
一条与误差圆、非圆曲线 y =
f ( x ) 均相切的直线, 即公切
线 m m , 切 点 分 别 为: PS
图 1 线性非 圆曲 线逼近图
( xS , yS ) 、PT ( xT , yT ) , 由此可得:
The lapping and cutting experiment of the diamond tools
Song Jian Wu Minjing
Abstract In this paper, four types material of diamond( natural singe crystal、DEBEERS MONODITE、PCD、CVD) are applied in the ex periment. Some basic data is gained and emphatically discusses the experimental conclusion. In the lapping experiment, the lapping meth od and efficiency and integrity of diamond tool are comprised, While the super precise cutting is done. Key words: PCD tools CVD tools Natural diamond tools Surface finish
PCD 聚晶金刚石刀具、PCBN( 聚晶立方氮化硼) 切 削工具以及 CVD 薄膜与厚膜金刚石切削工具、类金刚 石膜( DLC) 、金刚石膜和 CBN 膜涂层切削工具有广阔 的应用前景, 尤其是精密和超精密加工技术发展对切 削工具的需求, 促使这些切削工具迅猛发展。
程序编制中的数学处理--非圆曲线节点的计算
程序编制中的数学处理－－非圆曲线节点的计算数控系统一般只有直线和圆弧插补功能，对于非圆曲线轮廓，只能用直线或圆弧去逼近它。
节点就是逼近线段与非圆曲线的交点，也是个逼近线段的起点和终点。
一个已知曲线方程的节点数与逼近线段的形状（直线还是圆弧）、曲线方程的特性以及允许的逼近误差有关。
节点计算，就是利用这三者之间的数学关系，求解出各节点的坐标。
一、等间距的直线逼近的节点计算已知非圆曲线方程 y=f（x）从曲线X轴的起点坐标开始，以等间距Δx来划分曲线起点到终点的区间，可得一系列X 轴的坐标点的值，设起点的X坐标值为x0=a，则有：x1=a+Δx，x2=a+2Δx，x3=a+3Δx，…. X i=a+iΔx，..将这些X坐标值代入方程 y=f（x），则求得一系列Y坐标值：y i=f（x i）（i=1，2，3，…..）那么（xi，yi）（i=1，2，3……）就是所求得的节点坐标值。
相邻两点的直线段就是逼近线段。
等间距法的关键是合理确定Δx，既要满足允许误差的要求，又要使节点尽可能少。
通常采用试算和校验的方法确定Δx，方法步骤如下：1．取Δx初值，一般取0.1。
2．计算（xi，yi）（i=1，2，3……）。
3．误差验算：设任一逼近直线MN，其方程为：ax+by+c=0，则与MN平行且距离为δ允的直线MˊNˊ的方程为：求解联立方程：若：只有一个解，则逼近误差等于δ允，Δx正好满足误差要求。
没有解，则逼近误差小于δ允，Δx满足误差要求，可适当增大其取值，返回2。
有两个解，则逼近误差大于δ允，Δx太大，应减小其取值。
返回2。
等间距法计算简单，但由于必须保证曲线曲率最大处的逼近误差小于允许值，所以程序可能过多。
二、等弦长直线逼近的节点计算使所有逼近线段的长度相等。
计算步骤如下：（1）确定允许的弦长。
用等弦长逼近，最大误差δmax一定在曲线的曲率半径最小Rmin处，则为：（2）求Rmin。
曲线任一点的曲率半径为：取dR/dx=0，即根据求得，并由式（2-3）求得x后，将x值代入式（2-2）求、得Rmin。
数控车床加工非圆曲线宏程序编程技巧
数控车床加工非圆曲线宏程序编程技巧机械加工中常有由复杂曲线所构成的非圆曲线(如椭圆曲线、抛物线、双曲线和渐开线等)零件，随着工业产品性能要求的不断提高，非圆曲线零件的作用就日益重要，其加工质量往往成为生产制造的关键。
数控机床的数控系统一般只具有直线插补和圆弧插补功能，非圆曲线形状的工件在数控车削中属于较复杂的零件类别，一般运用拟合法来进行加工。
而此类方法的特点是根据零件图纸的形状误差要求，把曲线用许多小段的直线来代替，根据零件图纸的形状误差，如果要求高，直线的段数就多，虽然可以凭借CAD软件来计算节点的坐标，但是节点太多也导致了加工中的不方便，如果能灵活运用宏程序，则可以方便简捷地进行编程，从而提高加工效率。
一、非圆曲线宏程序的使用步骤(1)选定自变量。
非圆曲线中的X和Z坐标均可以被定义成为自变量，一般情况下会选择变化范围大的一个作为自变量，并且要考虑函数表达式在宏程序中书写的简便，为方便起见，我们事先把与Z 坐标相关的变量设为#100、#101，将X坐标相关的变量设为#200、#201等。
(2)确定自变量起止点的坐标值。
必须要明确该坐标值的坐标系是相对于非圆曲线自身的坐标系，其起点坐标为自变量的初始值，终点坐标为自变量的终止值。
(3)进行函数变换，确定因变量相对于自变量的宏表达式。
(4)确定公式曲线自身坐标系的原点相对于工件原点的代数偏移量(△X和△Z)。
(5)计算工件坐标系下的非圆曲线上各点的X坐标值(#201)时，判别宏变量#200的正负号。
以编程轮廓中的公式曲线自身坐标原点为原点，绘制对应的曲线坐标系的X ′和Z ′坐标轴，以其Z ′坐标为分界线，将轮廓分为正负两种轮廓，编程轮廓在X ′正方向称为正轮廓，编程轮廓在X ′负方向为负轮廓。
如果编程中使用的公式曲线是正轮廓，则在计算工件坐标系下的X坐标值(#201)时，宏变量#200的前面应冠以正号;如公式曲线是负轮廓，则宏变量#200的前面应冠以负号，即#201=±#200+△X 。
非圆曲线轮廓数控车削标准化过程设计
非圆曲线轮廓数控车削标准化过程设计作者：刘丰来源：《外语学法教法研究》2014年第11期【摘要】本文基于宏程序的运用，提出了一种标准化过程用于非圆曲线的数控车削加工。
读者可通过固定化的格式：曲线函数分析、加工类型选择、宏程序模板填空三个步骤，编辑出适应于实际生产加工的函数曲线加工程序。
由于笔者能力有限，该过程并不十分完善，但这一过程体系比较开放，读者可在其中任何环节作补充修改。
希望本文的构思能得到大家的批评指正，使得该标准化过程在实际生产中得到推广运用。
【关键词】数控车削函数曲线标准化过程宏程序【中图分类号】G640 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11-0021-02＼一、前言数控车削加工现在已在生产领域中被广泛应用，其轮廓控制的加工方式使得曲线轮廓的加工变得简单而准确。
但除圆以外的曲线目前都只能用宏程序来实现，而宏程序的编写对于普通的操作者来说都比较困难，若没有一定的编写经验积累很难写出合理的宏程序。
本文设想提出一种标准化过程，操作者可通过简单的判断、选择和计算，按流程步骤操作，最终就能得到适应于实际生产加工的函数曲线加工程序。
该过程应具有普遍实用性，能够适应多种函数曲线以及曲线轮廓在不同象限的情况。
下面我将通过标准化过程提出和实例分析两个部分来讲述本文设计内容。
二、非圆曲线轮廓数控车削标准化过程本文所设计的标准化过程主要分三个部分，分别是标准化流程、常用曲线函数分析表和宏程序模板。
其中标准化流程是主线，具有较好数学基础（函数部分）和宏程序基础知识的读者可直接根据该流程完成加工程序。
若读者数学基础较差，则可参照常用函数分析表完成函数分析和数据采集。
最后宏程序模板可以为不懂宏程序的读者提供方便，读者只需做好模板中的填空便能完成加工程序。
三部分相互关系如图一所示。
图一（一）非圆曲线的数控车削标准化流程如图二所示，标准化流程分为函数曲线分析准备和宏程序模板分类两部分。
函数曲线分析准备是根据零件轮廓曲线进行分析，完成作三个方面的准备工作：1、得出曲线方程表达式；2、得出工件原点与函数原点的坐标差值（注：x方向按半径差值计算）；3、计算出曲线轮廓起点和终点的函数坐标。
用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。
非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。
一个已知曲线)(x f y =的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。
将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。
下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。
（1）等间距直线逼近的节点计算 1）基本原理等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，然后求出曲线上相应的节点。
如图3.1所示，已知曲线方程为)(x f y =，沿X 轴方向取Δx 为等间距长。
根据曲线方程，由i x 求得i y ，ix ＋１＝i x ＋Δx ，)(1x x f y i i ∆+=+，如此求得的一系列点就是节点。
2） 误差校验方法由图3.1知，当x ∆取得愈大，产生的拟和误差愈大。
设工件的允许拟合误差为δ，一般δ取成零件公差的1/5～1/10，要求曲线)(x f y =与相邻两节点连线间的法向距离小于δ。
实际处理时，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。
其校验方法如下：设需校验mn 曲线段。
n m 和的坐标分别为（m m y x ,）和（n n y x ,），则直线mn 的方程为：nm n m nn y y x x y y x x --=--令A=n m y y -，B=m n x x -，C=n m n m y x x y -,则上式可改写为A x +B y =C 。
表示公差带范围的直线n m ''与mn 平行，且法向距离为δ。
n m ''直线方程可表示为：22B AC By Ax +±=+δ式中，当直线n m ''在mn 上边时取“+”号，在mn 下边时“-”号。
数控加工非圆曲线轮廓的简单方法
数控加工非圆曲线轮廓的简单方法
包轩庭
【期刊名称】《机械制造》
【年(卷),期】2004(042)008
【摘要】以数控加工一个轮廓为非圆曲线的工件为例,介绍一种利用控制系统的自身功能,进行非圆曲线轮廓加工的简单方法,并进行了误差计算.为加工类似的复杂形状的工件提供了一种解决的思路.
【总页数】2页(P59-60)
【作者】包轩庭
【作者单位】常熟理工学院,江苏·215500
【正文语种】中文
【中图分类】TG51.06
【相关文献】
1.数控加工中非圆曲线轮廓的三圆弧逼近方法 [J], 金艳玲;杨东武;姚东成
2.非圆曲线轮廓数控加工编程误差的控制 [J], 何其宝
3.非圆曲线轮廓的数控加工方法研究 [J], 陈艳红
4.数控加工非圆曲线轮廓的节点坐标优化算法 [J], 庞琳;宋利
5.非圆曲线轮廓零件数控加工的研究 [J], 董广强;范希营
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用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算
数控加工中把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。
非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。
一个已知曲线)(x f y =的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或圆弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误差。
将这三个方面利用数学关系来求解，即可求得相应的节点坐标。
下面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。
（1）等间距直线逼近的节点计算
1）基本原理
等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，
然后求出曲线上相应的节点。
如图3.1所示，已知曲
线方程为)(x f y =，沿X 轴方向取Δx 为等间距长。
根
据曲线方程，由i x 求得i y ，i x ＋１＝i x ＋Δx ，
)(1x x f y i i ∆+=+，如此求得的一系列点就是节点。
2） 误差校验方法
由图3.1知，当x ∆取得愈大，产生的拟和误差愈大。
设工件的允许拟合误差为δ，一般δ取成零件公差的1/5～1/10，要求曲线)(x f y =与相邻两节点连线间的法向距离小于δ。
实际处理时，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。
其校验方法如下：
设需校验mn 曲线段。
n m 和的坐标分别为（m m y x ,）和（n n y x ,），则直线mn 的方程为：
n
m n m n n y y x x y y x x --=-- 令A=n m y y -，B=m n x x -，C=n m n m y x x y -,则上式可改写为A x +B y =C 。
表示公差带范围的直线n m ''与mn 平行，且法向距离为δ。
n m ''直线方程可表示为：
22B A C By Ax +±=+δ
式中，当直线n m ''在mn 上边时取“+”号，在mn 下边时“-”号。
联立求解方程组：
()⎪⎩⎪⎨⎧+±=+=22B
A C By Ax x f y δ 上式若无解，表示直线n m ''不与轮廓曲线)(x f y =相
交，拟合误差在允许范围内；若只有一个解，表示直线n m '
'图3.1 等间距直线逼近
图3.2 等步长直线逼近
与)(x f y =相切，拟合误差等于δ；若有两个解，且m x ≤x ≤n x ，则表示超差，此时应减小x ∆重新进行计算，直到满足要求为止。
（2） 等步长直线逼近的节点计算
这种计算方法是使所有逼近线段的长度相等，从而求出节点坐标。
如图3.2所示，计算步骤如下：
1） 求最小曲率半径min R 曲线)(x f y =上任意点的曲率半径为： y y R '''+=2
/32)1( 取0/=dx dR ，即：
0)1(322=''''--'''y y y y
根据)(x f y =求得y '、y ''、y '''，并代入上式得x ，再将x 代入前式求得min R 。
2）确定允许的步长l 由于曲线各处的曲率半径不等，等步长后，最大拟合误差m ax δ必在最小曲率半径min R 处。
因此步长应为：
δδmin 2min 2min 8)(2R R R l ≈--=
3）计算节点坐标 以曲线的起点),(a a y x a 为圆心，步长l 为半径的圆交)(x f y =于b 点，求解圆和曲线的方程组：
⎩⎨⎧==-+-)
()()(2
22x f y l y y x x a a 求得b 点坐标),(b b y x 。
顺序以b 、c ……为圆心，即可求得c 、d ……各节点的坐标。
由于步长l 决定于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过密过多，所以等步长法适用于曲率半径相差不大的曲线。
（3）等误差直线逼近的节点计算
等误差法就是使所有逼近线段的误差δ相等。
如图3.3所示，其计算步骤如下：
1）确定允许误差δ的圆方程 以曲线起点)
,(a a y x a 为圆心，δ为半径作圆，此圆方程式为：
222)()(δ=-+-a a y y x x
2）求圆与曲线公切线PT 的斜率k
P T P T x x y y k --= 图3.3 等误差直线段逼近
其中T x 、P x 、T y 、P y 由下面的联立方程组求解：
a
P a P
P T P T y y x x x x y y ---=-- （圆切线方程） a a P P y x x y +--=22)(δ （圆方程）
)(T P
T P T x f x x y y '=-- （曲线切线方程） )(T T x f y = （曲线方程）
3）求弦长ab 的方程 过a 作直线PT 的平行线，交曲线于b 点，ab 的方程为：
)(a a x x k y y -=-
4）计算节点坐标 联立曲线方程和弦长方程即可求得b 点坐标),(b b y x 。
)()
(x f y x x k y y a a =-=-
按上述步骤顺次求得c 、d 、e ……各节点坐标。
由上可知，等误差法程序段数目最少，但计算较复杂，可用计算机辅助完成。
在采用直线逼近非圆曲线的拟合方法中，是一种较好的方法。