初中数学一次函数重难点题型归纳梳理

一次函数章末重难点题型汇编

【考点1 函数的概念】

【方法点拨】一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。.

【例1】（2019春?鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（）个．

A．1B．2C．3D．4

【答案】解：第一个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；

第二个图中，对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，不符合题意；

第三个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；

第四个图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意；故选：C．

【变式1-1】（2019春?新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．一天的气温和时间B．y2＝x中的y与x的关系

C．在银行中利息与时间D．正方形的周长与面积

【答案】解：A、一天的气温和时间的关系是函数关系，故本选项不合题意；

B、y2＝x中的y与x的关系不是函数关系，故本选项符合题意；

C、在银行中利息与时间是函数关系，故本选项不合题意；

D、长方形的周长与面积是函数关系，故本选项不合题意；

【变式1-2】（2019春?苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（）

A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）

【答案】解：A、B、C选项满足函数的概念，有两个变量，给x一个值，y有唯一的值与之对应，故A、

B、C中，y都是x的函数，D选项给x一个值，y可能会有两个值与x对应，不符合函数的

概念，故D中，y不是x的函数．故选：D．

【变式1-3】（2019春?如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确．故选：D．

【考点2 函数自变量的取值范围】

【方法点拨】函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

【例2】（2019春?资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（）

A．x≠2B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2

【答案】解：由题意知，

解得x≥0且x≠2，

【变式2-1】（2019秋?乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠2C．x＞﹣2D．x＞﹣2且x≠2

【答案】解：由题意得，x+2≥0且x2﹣4≠0，解得x≥﹣2且x≠±2，

所以，x＞﹣2且x≠2．故选：D．

【变式2-2】（2019?巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≥﹣2且x≠1D．x≥1

【答案】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣1≠0，解得：x≥﹣2且x≠1．故选：C．

【变式2-3】（2018秋?沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≠3且x≠﹣3C．x≥2且x≠3D．x≥2且x≠﹣3

【答案】解：根据题意得，，∴x≥2且x≠3，故选：C．

【考点3 一次函数的概念】

【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

【例3】（2018秋?锦江区校级期末）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．±2

【答案】解：∵函数y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，

∴2﹣|m|＝1，m﹣1≠0．解得：m＝﹣1．故选：B．

【变式3-1】（2019春?沧州期末）①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；（④y＝x2+1：⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】解：①y＝kx当k＝0时原式不是函数；②y＝x是一次函数；

③由于y＝x2﹣（x﹣1）x＝x，则y＝x2﹣（x﹣1）x是一次函数；

④y＝x2+1自变量次数不为1，故不是一次函数；⑤y＝22﹣x是一次函数．故选：B．

【变式3-2】（2019?芙蓉区校级模拟）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．0B．1C．±1D．﹣1

【答案】解：∵函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，∴，解得k＝1．故选：B．

【变式3-3】（2018春?定陶区期末）已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．无法确定

【答案】解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．所以|k|﹣2＝1，解得：k＝±3，因为k﹣3≠0，所以k≠3，即k＝﹣3．故选：C．

【考点4 一次函数图象的判定】

【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：

①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；

③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；

④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．

【例4】（2019春?孝义市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（）

A．B．C．D．

【答案】解：若m＞0，n＞0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是增函数，且都交y轴的正半轴；

若m＜0，n＞0，则一次函数y＝mx+n是减函数，交y轴的正半轴，y＝nx+m（mn为常数）是增函数，交y轴的负半轴；

若m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n是增函数，且交y轴负半轴，y＝nx+m（mn为常数）是减函数，且交y轴的正半轴；

若m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）都是减函数，且都交于y的负半轴；

故选：B．

【变式4-1】（2018秋?西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（）

A．B．C．D．

【答案】解：∵a+b+c＝0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），

∵a＜0，∴函数y＝﹣cx﹣a的图象与y轴正半轴相交，∵c＞0，

∴函数y＝﹣cx﹣a的图象经过第一、二、四象限．故选：B．

【变式4-2】（2018秋?温江区期末）如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（）A．B．C．D．

【答案】解：根据题意，ab＞0，bc＜0，则＞0，＜0，∴在一次函数y＝﹣x+中，有﹣＜0，＜0，故其图象过二三四象限，分析可得D符合，故选：D．

【变式4-3】（2018秋?沙坪坝区校级月考）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）

A．B．C．D．

【答案】解：A：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故A选项错误；

B：直线y1过第一、二、三象限，则a＞0，b＜0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，故B选项正确；

C：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第一、二、四象限，则b＜0，a＜0，前后矛盾，故C选项错误；

D：直线y1过第一、三、四象限，则a＞0，b＞0，直线y2过第二、三、四象限，则b＜0，a＞0，前后矛盾，故D选项错误；故选：B．

【考点5 一次函数动点问题】

【例5】（2019春?昌平区期中）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（）

A．当x＝2时，y＝5 B．矩形MNPQ的周长是18C．当x＝6时，y＝10D．当y＝8时，x＝10

【答案】解：由图象可知，四边形MNPQ的边长，MN＝5，NP＝4，点R的速度为1单位/秒

选项A，x＝2时，△MNR的面积＝＝5，正确

选项B，矩形周长为2×（4+5）＝18，正确

选项C，x＝6时，点R在QP上，△MNR的面积＝＝10，正确

选项D，y＝8时，高＝8，则高＝，点R在PN或QM上，距离QP有个单位，对应的x 值都不为10，错误故选：D．

【变式5-1】（2019春?建宁县期中）如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，它沿A→D →C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映变量y与变量x的关系图象的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根据动点P在正方形各边上的运动状态分类讨论△APD的面积即可．

【答案】解：有点P运动状态可知，当0≤x≤4时，点P在AD上运动，△APD的面积为0

当4≤x≤8时，点P在DC上运动，△APD的面积y＝×4×（x﹣4）＝2x﹣8

当8≤x≤12时，点P在CB上运动，△APD的面积y＝8

当12≤x≤16时，点P在BA上运动，△APD的面积y＝×4×（16﹣x）＝﹣2x+32故选：B．

【变式5-2】（2019春?锦江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A为直角，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D，在这个过程中，△APD的面积S随时间的变化址程可以用

图象近似地表示为（）

A．B．C．D．

【答案】解：设点P到直线AD的距离为h，∴△APD的面积为：S＝AD?h，

当P在线段AB运动时，此时h不断增大，S也不端增大当P在线段BC上运动时，

此时h不变，S也不变，当P在线段CD上运动时，此时h不断减小，S不断减少，

又因为匀速行驶且CD＞AB，所以在线段CD上运动的时间大于在线段AB上运动的时间．故选：B．【变式5-3】（2019春?镇平县期末）如图①，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝90°，点P从A点出发，沿折线AB→BC→CD运动，到点D时停止，已知△P AD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图

②所示，则点P从开始到停止运动的总路程为（）

A．6B．9C．10D．11

【分析】根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，作辅助线AE⊥AD，从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以解决．

【答案】解：作CE⊥AD于点E，如下图所示，

由图象可知，点P从A到B运动的路程是3，当点P与点B重合时，△ADP的面积是，由B到C运动的路程为3，∴＝＝，解得，AD＝7，

又∵BC∥AD，∠A＝90°，CE⊥AD，∴∠B＝90°，∠CEA＝90°，

∴四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝3，∴DE＝AD﹣AE＝7﹣3＝4，

∴CD＝＝＝5，∴点P从开始到停止运动的总路程为：AB+BC+CD＝3+3+5＝11．故选：D．

【考点6 求一次函数解析式】

【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。

【例6】（2019春?上蔡县期末）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（2，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则这个一次函数的解析式是．

【答案】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（2，0），∴2k+b＝0，b＝﹣2k，

∴y＝kx﹣2k，令x＝0，则y＝﹣2k，

∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为1，∴×2×|﹣2k|＝1，即|2k|＝1，

解得：k＝±，

则函数的解析式是y＝x﹣1或y＝﹣x+1．故答案为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．

【变式6-1】（2018春?上饶县期末）一次函数y＝kx+b（k、b是常数）当自变量x的取值为1≤x≤5时，对应的函数值的范围为﹣2≤y≤2，则此一次函数的解析式为．

【答案】解：当k＞0时，y值随x的增大而增大，∴，解得：，

∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；当k＜0时，y值随x的增大而减小，∴，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3．综上所述：一次函数的解析式为y＝x﹣3或y＝﹣x+3．

故答案为：y＝x﹣3或y＝﹣x+3．

【变式6-2】（2019秋?崂山区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且和y＝2x﹣3平行，则函数解析式为．

【答案】解：由一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝2x﹣3，可知k＝2 则一次函数为y＝2x+b，将A的坐标（1，3）代入，得：2+b＝3，解得：b＝1故答案为：y＝2x+1．

【变式6-3】（2018春?保定期末）已知y+2和x成正比例，当x＝2时，y＝4，则y与x之间的函数关系式是．

【答案】设函数解析式为y+2＝kx，∴2k＝4+2，解得：k＝3，∴y+2＝3x，即y＝3x﹣2．

【考点7 一次函数与二元一次方程】

【方法点拨】方程(组)的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程(组)的解，反之一样。对于不等式(组)的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。

【例7】（2018?会宁县模拟）如图，一次函数y＝ax+b和y＝kx+c交于点P（2，4），则关于x的一元一次方程ax+b＝kx+c的解是．

【答案】解：∵一次函数y＝ax+b和y＝kx+c的图象交于点P（2，4），

∴关于方程ax+b＝kx+c的解为x＝2．故答案为：x＝2

【变式7-1】（2018春?胶州市期中）如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A （a，1），则关于x的不等式（k﹣）x+3＞0的解集为．

【答案】解：把点A（a，1）代入正比例函数y＝x，可得：a＝3，即点A的坐标为（3，1），所以关于x的不等式（k﹣）x+3＞0的解集为x＜3；故答案为：x＜3

【变式7-2】（2019春?顺义区校级期中）直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为．

【答案】∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，

∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，∴y＝nx+4n＝0时，x＝﹣4，

∴不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为4＜x＜﹣2．故答案为：﹣4＜x＜﹣2．

【变式7-3】（2018春?江汉区期末）如图，已知直线y＝mx+n交x轴于（3，0），直线y＝ax+b交x轴于点（﹣2，0），且两直线交于点A（﹣1，2），则不等式0＜mx+n＜ax+b的解集为

【答案】解：在x轴的上方，直线y＝ax+b的图象在直线y＝mx+n的图象上方部分对应的自变量的取值范围即为不等式0＜mx+n＜ax+b的解集，观察图象可知：不等式的解集为：﹣1＜x＜3，

故答案为﹣1＜x＜3

【考点8 一次函数的性质】

【例8】（2018春?青龙县期末）已知：一次函数y＝（2a+4）x+（3﹣b），根据给定条件，确定a、b的值．（1）y随x的增大而增大；

（2）图象经过第二、三、四象限；

（3）图象与y轴的交点在x轴上方．

【答案】（1）∵y随x的增大而增大∴2a+4＞0∴a＞﹣2

（2）∵图象经过第二、三、四象限∴2a+4＜0，3﹣b＜0∴a＜﹣2，b＞3

（3）∵图象与y轴的交点在x轴上方∴3﹣b＞0∴b＜3

【变式8-1】（2018春?镇原县期末）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；

（1）若函数图象经过原点，求m的值；

（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；

（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；

（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．

【答案】解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，解得：m＝3；

（2）∵函数图象在y轴的截距为﹣2，∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，解得：m＝1；

（3）∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，∴2m+1＝3，解得：m＝1；

（4）∵y随着x的增大而减小，∴2m+1＜0，

解得：m＜﹣．

【变式8-2】（2019秋?天心区校级期末）已知一次函数y＝（m+2）x+（3﹣n），求：（1）m，n是什么数时，y随x的增大而减小？

（2）m，n为何值时，函数的图象经过原点？

（3）若函数图象经过二、三、四象限，求m，n的取值范围．

【答案】解：（1）由题意得：m+2＜0，∴m＜﹣2

∴当m＜﹣2且n为任意实数时，y随x的增大而减小．

（2）由题意得：m+2≠0且3﹣n＝0，∴m≠﹣2且n＝3∴当m≠﹣2且n＝3时函数的图象过原点．（3）由题意可得：，解之得：，

∴当m＜﹣2且n＞3时，函数的图象过二、三、四象限．

【变式8-3】（2019秋?当涂县校级期中）已知一次函数y＝（2m+3）x+m﹣1，

（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴上的截距为﹣3，求m的值；

（3）若函数图象平行于直线y＝x+1，求m的值；

（4）若该函数的值y随自变量x的增大而减小，求m的取值范围；

（5）该函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．

【答案】解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣1＝0，解得m＝1；

（2）∵函数图象在y轴上的截距为﹣3，∴当x＝0时，y＝﹣3，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2；

（3）∵函数图象平行于直线y＝x+1，∴2m+3＝1，解得m＝﹣1；

（4）∵该函数的值y随自变量x的增大而减小，∴2m+3＜0，解得m＜﹣；

（5）∵该函数图象不经过第二象限，∴，解得﹣＜m≤1．

【考点9 一次函数的应用—方案最优化问题】

【例9】（2019春?道里区校级期中）为促进青少年体育运动的发展，某教育集团需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．

（1）求篮球和足球的单价；

（2）根据实际需要，集团决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于40个，若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y（元），求y与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，由于集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，求购买篮球和足球各多少个时，能使总费用y最小，并求出y的最小值．

【答案】（1）设篮球和足球的单价分别为x元、y元，，得，

答：篮球和足球的单价分别为120元、90元；

（2）∵购买篮球x个，购买篮球和足球共100个，∴购买足球（100﹣x）个，

∴y＝120x+90（100﹣x）＝30x+9000，即y与x的函数关系式为y＝30x+9000；

（3）∵集团可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元，

∴30x+9000≤10500，解得，x≤50，又∵x≥40，∴40≤x≤50，

∵y＝30x+9000，∴当x＝40时，y取得最小值，此时y＝10200，100﹣x＝60，

答：购买篮球和足球分别为40个、60个时，能使总费用y最小，y的最小值是10200．

【变式9-1】（2019春?普宁市期中）学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的单价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．

（1）求篮球和足球的单价分别为多少元？

（2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学

校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？

（3）若学校购买这批篮球和足球的总费用为W（元），在（2）的条件下，求哪种方案能使总费用W最小，并求出W的最小值．

【答案】解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，由题意得：

2x+3（x﹣30）＝510，解得：x＝120，

答：一个篮球120元，一个足球90元；

（2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个，由题意可得：，解答40＜x＜50，∵x为正整数，∴x＝40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，

∴共有11种购买方案．；

（3）由题意可得y＝120x+90（100﹣x）＝30x+9000（40≤x≤50），∵k＝30＞0，

∴y随x的增大而增大，∴当x＝40时，y有最小值，y最小＝30×40+9000＝10200（元），

所以当x＝40时，y最小值为10200元．

【变式9-2】（2018春?孟津县期中）某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调，彩电共30台，根据市场需要，这些空调，彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于1.5万元，其中空调、彩电的进

价和售价如下表所示：

项目空调彩电

进价（月/台）54003500

售价（月/台）61003900

设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．

（1）试出y与x之间的函数关系式；

（2）商场有哪几种进货方案可以选择？

（3）根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？

【答案】解：（1）由题意可得，y＝（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）＝300x+12000，即y与x之间的函数关系式是y＝300x+12000；

（2）由题意得，，解得，10≤x≤，

∵x为整数，∴x＝10，11，12，∴有三种购买方案，

方案1：购买空调10台，彩电20台，

方案2：购买空调11台，彩电19台，

方案3：购买空调12台，彩电18台；

（3）∵y＝300x+12000，∴该函数y随x的增大而增大，

∴当x＝12时，y取得最大值，此时y＝300×12+12000＝15600，

答：x＝12时，利润最大，最大利润为15600元．

【变式9-3】（2018春?天心区校级期中）湖南洞庭湖区盛产稻谷和棉花，销往全国各地，湖边某货运码头，有稻谷和棉花共3000吨，其中稻谷比棉花多500吨．

（1）求稻谷和棉花各是多少吨；

（2）现有甲、乙两种不同型号的集装箱共58个，将这批稻谷和棉花运往外地，已知稻谷35吨和棉花15吨可装满一个甲型集装箱；稻谷25吨和棉花35吨可装满一个乙型集装箱．在58个集装箱全部使用的情况下，共有几种方案安排使用甲、乙两种集装箱？

（3）在（2）的情况下，甲种集装箱每箱收费1000元，乙种集装箱每箱收费1200元，乙种集装箱老板想扩大市场，提出惠民措施：每箱可优惠m元（m＜250）．问怎么安排集装箱这批货物总运输费最少？

【答案】解：（1）设稻谷为x吨，棉花为y吨解得答稻谷1750吨，棉花1250吨（2）设甲种集装箱a个，乙种集装箱（58﹣a）个

解得：30≤a≤39且a为正整数∴共有10个方案．

（3）设总运费为w元，w＝1000a+1200（58﹣a）﹣（58﹣a）m＝（﹣200+m）a+69600﹣58m 当0＜m＜200时∵﹣200+m＜0∴w随a的增大而减小，∴a＝39时，w最小值为（61800﹣19m）元∴甲种集装箱39个，乙种集装箱19个。当m＝200时，w＝69600﹣58m＝58000元

∴任意安排都可以．当200＜m＜250时，

∵﹣200+m＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝30时，w最小值为（63600﹣28m）元

∴甲种集装箱30个，乙种集装箱28个

【考点10 一次函数的应用—行程问题】

【例10】（2019春?长春期中）甲车从A地出发匀速驶向B地，到达B地后，立即按原路原速返回A地；

乙车从B地出发沿相同路线匀速驶向A地，出发1小时后，乙车因故障在途中停车1小时，然后继续按原速驶向A地，乙车在行驶过程中的速度是80千米/时，甲车比乙车早1小时到达A地，两车距各自出发地的路程y千米与甲车行驶时间x小时之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

（1）写出甲车行驶的速度，并直接写出图中括号内正确的数．

（2）求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）．（3）直接写出乙车出发多少小时，两车恰好相距80千米．

【答案】解：（1）乙车从B地到A地用的时间为：400÷80＝5（小时），

甲车的速度为：400÷[（3+5+1﹣1）÷2]＝100（千米/小时），

图中括号内正确的数是3+5+1＝9，故答案为：9；

（2）设甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式为y＝kx+b，

∵点D（4，400），点E（8，0）在线段DE上，∴，得，

即甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数关系式是y＝﹣100x+800；

（3）当乙出发1小时时，乙走的路程是1×80＝80（千米），此时甲乙的距离是：

100×（3+1）﹣80＝320（千米），

当乙出发2小时时，乙走的路程是1×80＝80（千米），此时甲乙的距离是：

﹣100×（3+2）+800﹣80＝220（千米），

设乙车出发t小时，两车恰好相距80千米，

（t﹣1）×80+100（t+3）﹣400＝400﹣80或（t﹣1）×80+100（t+3）﹣400＝400+80，

解得，t＝或t＝，即乙车出发小时或t＝小时时，两车恰好相距80千米．

【变式10-1】（2019春?成都期中）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、

y2关于x的图象如图所示：

（1）根据图象，分别写出y1、y2关于x的关系式（需要写出自变量取值范围）；

（2）当两车相遇时，求x的值；

（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．

【分析】（1）直接运用待定系数法就可以求出y1、y2关于x的函数图关系式；

（2）分别根据当0≤x＜时，当≤x＜6时，当6≤x≤10时，求出即可；

（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种情况列出方程求解即可．【答案】解：（1）设y1＝k1x，由图可知，函数图象经过点（10，600），

∴10k1＝600，解得：k1＝60，∴y1＝60x（0≤x≤10），

设y2＝k2x+b，由图可知，函数图象经过点（0，600），（6，0），则，

解得：，∴y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；

（2）由题意，得60x＝﹣100x+600，x＝，

当0≤x＜时，S＝y2﹣y1＝﹣160x+600；当≤x＜6时，S＝y1﹣y2＝160x﹣600；

当6≤x≤10时，S＝60x；即S＝；

（3）由题意，得①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（﹣100x+600）﹣60x＝200，解得x＝，此时，A加油站距离甲地：60×＝150km，

②当B加油站在甲地与A加油站之间时，60x﹣（﹣100x+600）＝200，

解得x＝5，此时，A加油站距离甲地：60×5＝300km，

综上所述，A加油站到甲地距离为150km或300km．

【变式10-2】（2019春?南关区期中）快车和慢车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，快车到达乙地后，慢车继续前行，设出发x小时后，两车相距y千米，图中折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中y与x之间的函数关系式，根据图中信息，解答下列问题．

（1）甲、乙两地相距千米，快车从甲地到乙地所用的时间是小时；

（2）求线段PQ的函数解析式（写出自变量取值范围），并说明点Q的实际意义．

（3）求快车和慢车的速度．

【答案】解：（1）根据题意得，甲、乙两地相距640千米，快车从甲地到乙地所用的时间是6.4小时；

故答案为：640；6.4；

（2）设线段PQ的解析式为y＝kx+640，将（，440）代入，得，解得k＝﹣160，∴线段PQ的解析式为y＝﹣160x+640，当y＝0时，﹣160x+640＝0，解得x＝4，

故点Q的坐标为（4，0），故Q的实际意义为出发4小时后两车相遇；

（3）快车的速度：640÷6.4＝100（千米/时）；两车的速度和：640÷4＝160（千米/时），故慢车的速度为：160﹣100＝60（千米/时）．