代数复杂性理论影印版((瑞士)比尔吉斯尔(Bürgisser, P.)等著)思维导图
学习数学史的感受
学习数学史的感受第一篇：学习数学史的感受学习《数学史》的心得体会你知道毕达哥拉斯何许人？你能列举《几何原本》与《九章算术》的不同风格？你能列举几位著名中国籍的数学家？这些问题让我们学了十几年数学的学生不知所答，但随着上学期对《数学史》进行整合学习，对这些问题逐渐明朗与了解。
发现数学的发展伴随着人类的发展，上下五千年的人类文明蕴藏着十分丰富的数学史料。
通过学习让我们更加深入地了解数学的发展历程，历经数学萌芽期、初等数学时期、变量数学时期、近代数学时期、现代数学时期，这如同胎儿的发育过程，大体要经过从单细胞生物到人类的进化过程，要经过类似原生动物、腔肠动物、脊椎动物、灵长类等各阶段，最后才长成人类的样子。
作为人类智慧的结晶，数学不仅是人类文化的重要组成部分，而且始终是推动人类文明进步的重要力量。
在数学那漫漫长河中，三次数学危机掀起的巨浪，真正体现了数学长河般雄壮的气势。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。
线性代数
线性代数一、线性代数的形成和发展历史在代数学发展的第二个时期，即在19世纪时，线性代数就获得了光辉的成就。
线性代数内容广泛，而行列式、矩阵、线性方程组等只是线性代数的初等部分，线性代数还有更深入的内容，如线性空间、欧式空间、酉空间、线性变换和线性函数、 －矩阵、矩阵的特征值等等以及与其相关联的一系列理论。
有材料说，在代数学的所有分支中，线性代数的这些理论按其应用的重要性和广泛性来说，是第一位的，很难指出数学、理论力学、理论物理等学科中有不用到线性代数的结果和方法的。
例如，线性代数对于泛函分析的发展就有着决定性的影响。
下面着重对线性代数的初等部分的形成和发展简述如下：1．行列式最早引入行列式概念的，是十七世纪的日本的数学奠基人关孝和。
他1383年著《解优题之法》一书，对行列式及其展已经有了清楚的叙述。
但是在公元一世纪(东汉初年)。
中国古算术《九章算术》中已有用矩阵(当时称为“方程”)的初等变换来解线性方程组的内容了。
关孝和的思想的产生，大概多受惠于中国而非西方的影响。
1693年，莱不尼兹用指标数的子统集合表示含两个未知量和三个线性方程组所组成的系统，他从三个方程的系数中消去两个未知量，得到一个行列式，就是现在所称的方程组的法式。
用行列式去解含二、三、四个未知量的方程组，可能在1729年由马克劳林所首创，且于1748年发表在他的遗作《代数绝著》中，其法则基本就是现在所使用的法则。
瑞士数学家克莱姆(Cramer)于1750年把马克劳林的法则发表在他的《线性代数分析导言》中，这就是现在所谓的克莱姆法则。
1772年，范德蒙(Vander monde)把行列式脱离开线性方程组作为一个独立的理论研究。
给出行列式的定义与确立符号的法则，被认为是行列式理论的奠基人。
1812年，柯西(Cauchy)首先采取“行列式”(Determinant)这一名称。
他还于1815年把行列式的元素记为a ij，带双重足码。
他的著作给出行列式第一个系统的也几乎是近代的处理，其中一个主要结果之一是行列式的乘法规则。
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论任忠乌鲁木齐石化公司计控中心摘要：本文阐述了计算复杂性理论的产生、定义、研究内容和发展。
关键词：算法分析；计算复杂性；起源；发展1.计算法复杂性理论的起源在几千年的数学发展中，人们研究了各式各样的计算，创立了许多算法。
但是，以计算或算法本身的性质为研究对象的数学理论，却是在20世纪30年代才发展起来的。
1936年，为了讨论对于每个问题是否都有求解算法，数理逻辑学家提出了几种不同的计算模型的定义。
K.Godel和S.C.Kleene等人创立了递归函数论，将数论函数的算法、可计算性刻画为递归可枚举性。
A.M.Turing和E.L.Post提出了理想计算机的概念，将问题算法可解性刻画为在具有严格定义的理想计算机上的可解性。
40年代以后，随着计算机科学技术的发展，研究的焦点从理论可计算法转移到现实可计算性上。
人们不仅需要研究理论上的、原则上的可计算性，还要研究现实的可计算性，即研究计算一个问题类需要多少时间，多少存储空间，研究哪些问题是现实可计算的，哪些问题虽然原则上可计算，但由于计算的量太大而实际上无法计算等。
因而一般算法设计方法研究和对一类问题算法解的难度分析便成为计算机科学的热点。
此后，计算复杂性的研究等不断有所发展。
由此产生了算法学和计算复杂性理论等新兴研究领域。
计算复杂性大的进展始于50年代末、60年代初，当时在美国有两个并行的中心，一个是通用电气公司设立于纽约州Schenectady的研究实验室，核心人物是J.Hartmanis和R.Stearns。
1964年11月，他们在普林斯顿举行的第五届开关电路理论和逻辑设计学术年会上发表了论文"Computational Complexity of recursivese quences"，论文中首次使用了"计算复杂性"这一术语，由此开辟了计算机科学中的一个新领域，并为之奠定了理论基础。
他们两人是1993年度图灵奖获得者。
数学著作列表-维基百科，自由的百科全书（2）
数学著作列表-维基百科，自由的百科全书Please read:a personal appeal fromWikipedia founder Jimmy Wales目录[隐藏]1早期手稿1.1莱因德数学纸草书(Rhind Mathematical Papyrus)1.2算数书1.3阿基米德重写本(Archimedes Palimpsest)1.4沙计算手册(The Sand Reckoner)2几何2.1周髀算经2.2几何原本2.3海岛算经2.4La Géométrie(几何学)3算术3.1九章算术4代数4.1孙子算经4.2缉古算经4.3《议古根源》4.4《数书九章》4.5《测圆海镜》4.6《四元玉鉴》5逻辑5.1概念文字(Begriffsschrift)5.2数学公式汇编(Formulario mathematico)5.3数学原理(Principia Mathematica)5.4哥德尔不完备定理6信息论7数论7.1算术研究(Disquisitiones Arithmeticae,或译整数论研考)7.2关于小于给定值的质数(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)7.3数论讲义(Vorlesungenüber Zahlentheorie)7.4数论，从汉默拉比到勒让德的历史的方法(Number Theory,An approach through history fromHammurapi to Legendre)7.5数论导引(An Introduction to the Theory of Numbers)8数值分析8.1流数法(Method of Fluxions)9博弈论9.1博弈的演变和理论(Evolution and the Theory of Games)9.2博弈和经济行为的理论(Theory of Games and Economic Behavior)9.3论数字和博弈(On Numbers and Games)9.4数学玩家的制胜之道(Winning Ways for your Mathematical Plays)10分形10.1英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度11抽象代数11.1近世代数(Moderne Algebra)12线性代数12.1三部抄13代数几何13.1代数凝聚层(Faisceaux Algébriques Cohérents)13.2代数几何和解析几何(Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique)13.3代数几何基础(Éléments de géométrie algébrique)13.4代数几何研讨会(Séminaire de géométrie algébrique)13.5代数几何14泛代数15群论16单群17拓扑17.1拓扑学18图论19范畴论19.1数学工作者的范畴(Categories for the Working Mathematician)19.2计算科学的范畴论(Category Theory for Computing Science)20序理论21三角学22微积分22.1自然哲学的数学原理(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)22.2普通读者的牛顿原理(Newton's Principia for the Common Reader)23微分几何24微分拓扑24.1微分观点看拓扑(Topology from the Differentiable Viewpoint)25代数拓扑25.1代数拓扑26分形几何27离散数学28组合论29集合论29.1简单集合论(Naive Set Theory)29.2基数和序数(Cardinal and Ordinal Numbers)29.3连续统假设的一致性(The Consistency of the Continuum Hypothesis)29.4集合论和连续统假设(Set Theory and the Continuum Hypothesis)30优化原理30.1新变分法(The New Variational Method)30.2线性规划分解原理(Decomposition Principle for Linear Programs)30.3网络流和一般匹配(Network Flows and General Matchings)30.4路径，树和花(Paths,trees and Flowers)30.5定理证明过程的复杂度(The complexity of theorem proving procedures)30.6组合问题中的可归约性(Reducibility among combinatorial problems)30.7单纯形算法有多好?(How good is the simplex algorithm?)30.8线性规划和多项式时间算法(Linear Programming and Polynomial timealgorithms)30.9线性规划的新多项式时间算法(New polynomial-time algorithm for linearprogramming)30.10凸规划的内点多项式算法(Interior Point Polynomial Algorithms in ConvexProgramming)31教科书31.1校长的助手，实用和理论算术的综述31.2纯数学教程(Course of Pure Mathematics)31.3问题求解艺术(Art of Problem Solving)31.4原逻辑:标准一阶逻辑的元理论入门32流行读物32.1算术:或者说，艺术的基础(Arithmetick:or,The Grounde of Arts)32.2《哥德尔、埃舍尔、巴赫》32.3数学世界[编辑]早期手稿这些是不一定和现在的数学家相关的出版物，但是对于数学史很重要的著作。
国外数学名著系列
国外数学名著系列一、欧几里得的《几何原本》二、卡尔·弗里德里希·高斯的《算术研究》《算术研究》是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1801年发表的一部关于数论的著作。
该书首次提出了同余理论，并系统研究了二次互反律、二次剩余等数论问题。
高斯在书中提出的许多理论和方法，对后来的数论研究产生了重要影响，奠定了现代数论的基础。
三、大卫·希尔伯特的《几何基础》《几何基础》是德国数学家大卫·希尔伯特于1899年出版的一部关于几何学的著作。
该书对欧几里得的《几何原本》进行了深刻的反思和改进，提出了几何学公理系统，并探讨了欧氏几何、非欧几何以及拓扑学等几何学分支的基本问题。
希尔伯特在书中提出的许多理论和方法，对20世纪数学的发展产生了重要影响。
四、约翰·冯·诺伊曼的《量子力学的数学基础》《量子力学的数学基础》是美国数学家约翰·冯·诺伊曼于1932年出版的一部关于量子力学的著作。
该书系统阐述了量子力学的数学原理，提出了希尔伯特空间、自伴算符等概念，并解决了量子力学中的许多基本问题。
冯·诺伊曼在书中提出的许多理论和方法，对量子力学的发展产生了重要影响，奠定了现代量子力学的基础。
五、安德烈·魏尔斯特拉斯的《函数论》《函数论》是德国数学家安德烈·魏尔斯特拉斯于19世纪中期发表的一系列关于函数论的论文。
这些论文系统研究了实数域上的连续函数、可微函数和解析函数，提出了魏尔斯特拉斯级数、魏尔斯特拉斯函数等概念。
魏尔斯特拉斯在书中提出的许多理论和方法，对现代分析学的发展产生了重要影响，奠定了实分析的基础。
本系列将陆续介绍更多国外数学名著，敬请期待。
希望这些著作能激发读者对数学的兴趣，为数学学科的发展贡献自己的力量。
六、勒内·笛卡尔的《几何学》《几何学》是法国哲学家、数学家勒内·笛卡尔于1637年发表的一部著作。
复杂性理论在教育技术学中的研究分析与评述
线性 是 一种 多维 度 、 多 结构 、 多水 平 的关 系 。 （ ３ ） 涌 现 。 系统 整 体 具 有 ， 部 分 或 者 部 分 和 所 不具 有 的特 征 、 属性 、 功能 等 特 性称 之 为 涌 现 。
糊、 非 线性 关 系 。单 一 的 理论 或 技 术 已经 不 能够 支 撑 教育技 术 学 学科 的发 展 ， 而在 学 科 发 展 过程
和认知整体 ， 并通 过认识整体来把握和深化对局 部 的认 识 。 此外 ， 复杂性学科作为一个发展中的学科 ， 还
有一 些 具 有 争议 的基 本 概 念 ， 如分叉 、 分形、 无 尺 度等 。
张 清 ， 徐
摘
晓
要： 复 杂性理论 改变了人们原 有简单、 线性思考 问题的方式 ， 将 事物间的关 系与 内部 的本质呈现 了出来 。教 育 技 术学作 为一门交叉学科 迫切 需要 复杂性理论提供 理论 支持 与方法 支撑 。通过梳理 国内现 有研 究文献 ，
对教 育技 术的设计 、 开发、 利 用、 管理和评价五大领域 中复杂性理论的研 究现 状进行分析 与评述 ， 发现在教
原 有 的线 性 、 均衡、 简 单还 原 的传统 范 式 ， 致 力 于 研究 和解决非 线 性 、 非 均 衡 与 复 杂 系统 带 来 的 种 种 问题 ， 并 主张新 的研 究 方 法 是从 整 体 上 加 以研
作用 ， 能 够 自主从无 序 到有序 自发 组织 活动 ， 从低 级有 序 向高级 有序 发展 。如 人体 的新 陈代 谢是 成
《复杂性理论》讲义2
第二章算法问题及其复杂性2.1 什么是算法问题?1.算法问题(可解的问题)——简单地说，就是存在求解算法的问题。
例子（见书）2. 算法问题定义(1) 一个可行的（即语法正确的）输入集的描述——每个输入可表为在一个有限字母表上的有限字母串；(2)一个函数的描述——将每个输入映射到一个非空的正确输出集，每个输出也是一个有限字母表上的有限序列。
3. 问题和问题实例4. 关于算法问题的输入好算法的计算时间与问题的输入形式有关。
然而，一个问题的所有合理的输入形式往往导出的算法问题是类似的。
因此一般可以忽略问题的具体输入形式。
例如，一个图使用邻接表表示和用邻接矩阵表示看作是没有太大区别。
5. 算法问题的几种形式搜索问题、优化问题、求值问题、判定问题（形式语言）2.2 一些重要的算法问题1. 旅行商问题 (TSP)——有多种变型2. 0/1背包问题3. 划分问题4. 监控（覆盖）问题5. 团问题6. 组队问题7. 网络中的最优流问题8. 运动联盟的冠军问题9. 验证问题10. 数论问题（素数测试、分解质因数）2.3 如何度量算法的计算时间?1．什么是算法?——直观地讲，算法就是一个无歧义的指令集，它规定了根据输入如何一步步得出一个正确输出的步骤。
确定性算法——对于同一输入而言，算法每一时刻下一计算步骤都是唯一确定的。
随机算法——对同一输入而言，每一时刻算法下一计算步骤可能依一个随机数来定。
2．一个算法的计算时间如何度量?算法的计算时间依赖于诸多因素：输入、计算机、程序设计语言、算法的实现…但是有些因素的影响是有限的并且也是可控的。
算法的计算时间可以简化为仅仅依赖于算法本身和输入大小。
计算时间是用运算步骤而不是具体时间来度量。
3．计算模型寄存器机（Register Machine），即随机存取机(Random Access Machine).对数成本模型(Logarithmic Cost Model)——认为在数n上的算术运算的成本为O(log n)。
复杂性理论复杂性理论
复杂性理论复杂性科学/复杂系统耗散结构理论协同学理论突变论(catastrophe theory)自组织临界性理论复杂性的刻画与“复杂性科学”论科学的复杂性科学哲学视野中的客观复杂性Information in the Holographic Universe“熵”、“负熵”和“信息量”-有人对新三论的一些看法复杂性科学/复杂系统复杂性科学是用以研究复杂系统和复杂性的一门方兴未艾的交叉学科。
1984年，在诺贝尔物理学奖获得盖尔曼、安德逊和诺贝尔经济学奖获得者阿若等人的支持下，在美国新墨西哥州首府圣塔菲市，成立了一个把复杂性作为研究中心议题的研究所-圣塔菲研究所（简称SFI），并将研究复杂系统的这一学科称为复杂性科学（Complexity Seience）。
复杂性科学是研究复杂性和复杂系统的科学，采用还原论与整体论相结合的方法，研究复杂系统中各组成部分之间相互作用所涌现出的特性与规律，探索并掌握各种复杂系统的活动原理，提高解决大问题的能力。
20世纪40年代为对付复杂性而创立的那批新理论，经过50-60年代的发展终于认识到：线性系统是简单的，非线性系统才可能是复杂的；“结构良好”系统是简单的，“结构不良”系统才可能是复杂的；能够精确描述的系统是简单的，模糊系统才可能是复杂的，等等。
与此同时，不可逆热力学、非线性动力学、自组织理论、混沌理论等非线性科学取得长足进展，把真正的复杂性成片地展现于世人面前，还原论的局限性充分暴露出来，科学范式转换的紧迫性呈现了。
这些新学科在提出问题的同时，补充了非线性、模糊性、不可逆性、远离平衡态、耗散结构、自组织、吸引子（目的性）、涌现、混沌、分形等研究复杂性必不可少的概念，创立了描述复杂性的新方法。
复杂性科学产生所需要的科学自身的条件趋于成熟。
另一方面，60年代以来，工业文明的严重负面效应给人类造成的威胁已完全显现，社会信息化、经济全球化的趋势把大量无法用现代科学解决的复杂性摆在世人面前，复杂性科学产生的社会条件也成熟了。