6.生存年金解析
寿险精算学课件-生存年金
50:10
a
1A 50:10
1 0.55 7.5
50:10
0.06
0.5 0.55
连续给付延期生存年金
❖定义: m ax
❖ 种类
▪ 延期M年终身连续生存年金 ▪ 延期M年终身定期生存年金
❖ 适用领域
▪ 养老金
延期生存年金的计算
❖ 方法一：综合支付技巧
❖ 方法二：当期支付技巧
0
,0 T m
Y
a a ,T m
综合支付技巧
函数变换关系
期初支付定期生存年金
❖ 当期支付技巧
❖ 综合支付技巧
n1
a x:n
k Ex
k0
n1
vk 1 k px
k0
1
n
1
vk
1
lx k 0
lx k
a , K 0, , n 1
Y
K1
a ,K n
n
a E[Y ] x:n
n1
a k1
k qx
a n
n px
k0
期初支付终身 生存年金
期初支付定期 生存年金
与生存相关联的一次性给付
❖ n年定期生存
n Ex
A1 x:n
vn n px
❖ n Ex称为生存贴现因子，它具有如下性质 n Ex = t Ex E n t x t
❖ 延期寿险还可以表现为
m ax = m Ex ax m
m n ax = m Ex
a x:n
期初支付终身生存年金的概念
ax
x1
k Ex
Y
T
a ,T n
ax：n E(Y )
na
0T
t px
保险精算学-生存年金(2)
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0
相关公式
（ 1 ）ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
Байду номын сангаас
1 vt
0
t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
以终身寿险为例，
E (vT ) E (v K 1 ) E (v S 1 ) Ax Ax v s 1ds
0 1
i
Ax
例6.4（例6.3续）
已知个体(x)的未来生存时间T的密度为
1 , 0t fT (t ) t 0, 其他 100, 0.05, x 30
t
t
x t px e
s ds
xt
e t
综合支付技巧 t 1 v 0.04 ax p dt (1 e 0.06t )e 0.04t dt 10 t x x t 0 0.06 0
当期支付技巧
t 0.06t 0.04t 0 0
t 0 0 70 70 0.05 t
1 1 e 0.0570 dt 0.277 70 0.05 70
a30
1 A30
1 0.277 14.458 0.05
例4.3答案
(2)
2
A30 v fT (t )dt e 0.1t
2t 0 0
70
70
第六章 生存年金
第三节
连续生存保险
简介
寿险精算第六章生存年金
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元， 预定利率为6%，计算保单的趸缴净保费。
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
lim
m
1 vt i(m)
1 vt
1.连续终身生存年金
（1）ax
E(a T
)
0
a T
fT (t)d t
1 vt
0
t
pxxtd t
(2) ax
0
vt
t
pxd
t
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
f (t) 0.015e0.015t (t 0), 利息力为0.05，试计算精算现值 ax
a&& x:n
m 1(1 2m
n Ex )
3.延期生存年金
• 延期m年终身生存年金（UDD假定）
m
a(h) x
m
ax
h 1 2h
m Ex
m
a&&x(h)
m
a&&x
h 1 2h
m Ex
• 延期m年n年定期生存年金 （UDD假定）
a(h)
mn x
m n ax
h 1 2h
(
m
Ex
mn
Ex )
m n a&&x(h)
a x:n
n 0
生存年金的精算现值
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
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THANKS
研究不足与展望
《保险精算学》笔记：生存年金
《保险精算学》笔记：生存年金第一节生存年金简介一、生存年金的定义和分类1、生存年金的定义：以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型。
2、生存年金的分类（1）延付年金、初付年金（2）连续年金、离散年金（3）定期年金、终身年金（4）非延期年金、延期年金（5）被保险人支付的保费年金、保险人支付的保险赔付年金3、生存年金与确定性年金的关系（1）确定性年金：支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）。
（2）生存年金与确定性年金的联系：都是每隔一段时间的系列付款（3）生存年金与确定性年金的区别：确定性年金的支付期数是确定的，而生存年金的支付期数是不确定的（以被保险人生存为条件）二、生存年金的用途1、被保险人保费交付常使用生存年金的方式2、某些场合保险人理赔时支付的保险金采用生存年金的方式，特别在：养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合。
第二节与生存相关联的一次性支付一、年期生存保险定义现龄岁的人在投保年后仍然存活，可以在第年末获得生存赔付的保险称为年期生存保险。
这就是我们在第三章讲到的纯生存保险。
单位元数的年期生存保险的趸缴纯保费为。
在生存年金研究中习惯用表示该保险的精算现值二、相关公式及意义理解：一、连续生存年金简介1、定义：在保障时期内，以被保险人生存为条件，连续支付年金的保险。
2、分类：终身（永久）连续生存年金、定期连续生存年金延期连续生存年金、非延期连续生存年金3、连续生存年金精算现值估计方法u 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和u 综合支付技巧：考虑年金在因死亡或到期而结束时的总值。
二、终身连续生存年金精算现值的估计1、综合支付技巧步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支付的年金的现值之和步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，记作：2、当期支付技巧步骤一：计算在时刻所支付的当期年金的现值步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值3、相关公式1、综合支付技巧2、当期支付技巧3、相关公式四、延期连续生存年金精算现值的估计1、延期年终身生存年金：当活到岁之后，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作也等价于2、延期年年定期生存年金：当在岁与岁之间存活时，每年可获1单位元数的连续支付的延期年金，其精算现值记作也等价于第四节离散生存年金一、离散生存年金简介1、定义：在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时间支付一次年金的保险。
生存年金的趸缴纯保费
适用人群
经济状况稳定的人群
趸缴保费适用于那些经济状况稳定，能够一次性支付全部保费的人 群。
需要长期保障的人群
对于那些需要长期保障，且希望通过一次性投入获得持续保障的人 群来说，趸缴保费是一个不错的选择。
对利率不敏感的人群
对于那些对利率不敏感，愿意承担一定利率风险的投保人来说，趸 缴保费可能是一个合适的选择。
趸缴纯保费
指投保人在购买生存年金保险时 一次性缴纳的全部保费，不包含 任何附加费用。
特点
定期给付
生存年金保险通常按照合同约定的时间间隔定 期给付保险金，如按月、按季度或按年给付。
生存条件
被保险人必须满足一定的生存条件才能获得保 险金的给付。
长期性
生存年金保险通常为长期保险，投保人需要长 期缴纳保费。
相关法规与政策的影响
法规监管
关注相关法规和监管政策的变化，分析对生存年 金产品的影响，确保保险公司的合规经营。
税收政策
研究税收政策对生存年金产品的影响，合理规划 税收策略，降低保险公司的税收负担。
社会经济发展
分析社会经济发展对生存年金产品的影响，把握 市场机遇，促进保险公司的可持续发展。
THANKS
趸缴纯保费的研究方向
精算定价
研究趸缴纯保费的精算定价方法，提高保险 产品的定价精度，降低保险公司风险。
风险管理
探讨趸缴纯保费的风险管理策略，包括风险识别、 评估和控制等方面，提高保险公司的风险管理水平 。
保险市场发展
研究趸缴纯保费在保险市场中的发展状况， 分析市场趋势和竞争格局，为保险公司制定 营销策略提供依据。
定义
01
趸缴纯保费是指投保人在购买保 险时一次性缴纳的保费，不包含 任何附加费用或投资回报。
生存年金是人寿保险中一种基本产品形态
生存年金是人寿保险中一种基本产品形态，是以被保险人在年金期内生存为领取条件的年金。
同时，人寿保险的保费交付也多采取生存年金的方式，以被保险人在保费交付期内生存为条件定期交付。
nx E 是在利率和生者利下n 年的折现系数，1nxE 是在利率和生者利下n 年的累积系数。
理论上，按照年金的时期，分为定期年金和终身年金；按照年金的起付点和购买日的关系，可以分为即期年金和延期年金；按照年金起付点和计算精算现值时点的关系，可以分为首期付年金和期末付年金；按照年金给付额是否变动，分为等额年金和变额年金等。
另外，年金和寿险精算现值存在某种关系，掌握这种关系对精算计算很有帮助。
年付一次生存年金的精算现值(1) 终身生存年金 期首付0k x kxk avp ∞==∑ 期末付1x kxk a E ∞==∑(2) 定期生存年金 期首付11:0n n k x x nkx nx x nk k xN N a vp E D --+==-===∑∑期末付11:x x n x n xN N a D +++-=(3) 延期终身年金 期首付 x n x n xN a D += 期末付1x n x n xN a D ++=(4) 延期定期年金 期首付:x m x m nmx nxN N a D +++-= 期末付11:x m x m n mx n xN N a D +++++-=(5) 标准终身递增年金 期首付 ()x x xS Ia D = 期末付 ()1x x xS Ia D +=(6) 标准定期递增年金 期首付():x x n x nx nxS S n N Ia D ++--⨯= 期末付()111:x x n x n x nxS Sn NIa D +++++--⨯=。
保险精算学-生存年金培训课件(ppt 55页)
100 15 ,164 , 500 960 , 036
1579 . 58（元）
6.2.3 其它形式的生存年金的 趸交净保费的费率
1、n 年定期生存年金
2、n 年延期生存年金
3、n 年延期 m 年定期期末付生存 年金
6.2.4 生存年金 的终值
回顾：确定年金的终值计算
n-2
回顾：确定年金的终值计算
• 也就是我们在第三章讲到的n年期纯粹生存 保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯 保费为 A 1
x :n
• 在生存年金研究中习惯用n E x 表示该保险的
精算现值 nEx Ax:1n vnnpx
t
例6.1
• 计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸 缴纯保费。已知 40p250.78765825
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
nEx
现时值
1
E n t x t
1
S
tE x
1
第2节
离散生存年金
简介
• 离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。
a30 60000
N 30 D30
60000 91,698 ,459 3,905 ,782
140865 .7（1 元）
(3) 终身生存年金的趸交净保费
• 保险公司的收费原理是期望意义下的现 值或终值的收支相等，这样计算出来的 费用称为净保费.
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因此， n E x 也称为1元n年纯生存保险的趸缴净保费。
与在复利下的现值系数vt和累积系数(1+i)t的作用类似， 1 为在利率 E 是在利率和生者利下 n 年的折现系数， n x n Ex 和生者利下n年的累积系数。
1 1 n lx n n px (1 i ) lx n n Ex
被保险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停止缴 费。
一般类型：终身年金、定期年金、延期年金
由首次支付的起点不同分为期首付年金和期末付年金
8
一、终身生存年金
终身生存年金的支付期没有限制，只要被保险人存活，每隔 一定时期就会发生一次给付。 生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴净保费，是未来给 付支出在投保时的现值，决定于保险金额、领取每次给付的概 率和利率。
第六章 生存年金 第六章 生存年金
•了解生存年金的基本产品类型
•掌握各类生存年金精算现值的计算方法
•掌握各类生存年金的递推公式及其应用
生存年金是人寿保险中的一种基本形态，是以被保险人在年 金期内生存为领取条件的年金。
同时，人寿保险的保费交付也多采取生存年金的方式，以被 保险人在保费交付期内生存为条件定期交付的。
kn px n 0n qx n
以 n E x 表示1单位元n年纯粹生存保险现值，即 Ax:
n n n E 1 v p 0 v q v n px n x n x n x
1 n
变换上式得，
lx n Ex (1 i)n lxn
表明现在x岁的人有lx个，每人存入 n E x 元，到年末在利率i的作用 下，形成的资金正好满足n年末存活的人每人1元的给付。
l60 877 671 0.89195 40 p20 l20 983 992
4
所以，这笔给付的现值是：1 000×0.89195×1.06-40=86.72（元）。
纯生存保险
一般地：假设某人 x岁时开始投保，经过n年后如果仍然存活将得 到k单位元的保险金，（x）存活n年的概率为n p x ，得到给付金的 期望现值为：
(2)
将 n Ex t Ex nt Ext
两边同乘
有
1
n
Ex nt Ext 1 t Ex n Ex n t Ex t
7
第三节 年付一次生存年金的精算现值
定义：生存年金是以生存为条件发生给付的年金。如果
被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否 则，停止收付。
终身和定期寿险的缴费通常也采取生存年金的方式，在
期首付终身生存年金
一般地，对(x)的每年1单位元期首终身生存年金，其精算现 x 表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险 值以 a 之和，如下图所示：
1
Ex 2 Ex 3 Ex
ax 1 1 Ex 2 Ex …… k Ex＝ k k px
k 0 k 0
10
可以证明，(6.2)和(6.3)是相等的：
a
k 0
k 1
k| qx ak 1 ( k px k 1 px )
它是利率累积因子(1+i)t与生存累积因子
lx 1 之积。 p l n x解释下面两个式子：
(1)
(2)
n
E x t Ex nt Ext
Ex n Ex
t
1 n t E x t
证明：
(1)
n n t E v p v nt px t t Ex nt Ex t n x n x
ax E (aK 1 ) ak 1 k| qx
k 0
(6.3)
11
ax 1 1 Ex 2 Ex …… k Ex＝ k k px
(6.2)
ax E (aK 1 ) ak 1 k| qx
k 0
k 0
k 0
(6.3)
1
第一节
生存年金产品
生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付，
保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一 定时期内的均衡缴付的方式。
生存年金形式：
即期年金（immediate annuities） 延期年金(deferred annuities) 定期确定的生存年金 指数化年金 联合生存年金
给付的期望值是：
1000 40 p20 0 (1 40 p20 ) 1000 40 p20
这笔给付在李明20岁时的现值通过利率折现得到：
1000 40 p20 1.0640
根据附表中国人寿保险业经验生命表（1990～1993年）（男女混合 表）的资料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以计算得,
2
第二节 纯生存保险
纯生存保险：在约定的保险期满时，如果被保险人
存活将得到规定的保险金额的保险。
A
x:n ｜
1
3
【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，将能从保险公 司得到1 000元的一次性给付。设利率i=6%，试写出这笔给付 在李明20岁时的现值。 解：李明从20岁活到60岁的概率是 40 p20 ，他在60岁获得这笔
【例6.3】 张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以每
年年初获得1000元的给付。计算这一年金的精算现值。
解：
1 000+1 000 p30 1.09 1 000 2 p30 1.09
9
1
2
=1 000 k p30 1.09 k
k 0
代入相应的存活概率和利率，就可以计算出这一年金的精算现值。
(6.2)
其中， 0Ex=1，求和上限实际是ω-x-1，为方便通常写成∞。
从余寿的角度分析，也可以得出上述公式。 生存年金的精算现值正是依赖于被保险人整值余寿的期望值。 设(x)的整值余寿为K，它是离散随机变量，期首付终身生存 年金正是在K+1年内的确定年金 aK 1 的期望值。 也就是说，一个x岁的人如果活过k岁，且在第x+k年死亡， 则他可获得现值为 ak 1 的年金，而获得这一年金的概率 为 k | qx ，因此这笔年金的期望值是：