一个离散混沌系统的动力学性质
数学中的离散时间动力系统研究
数学中的离散时间动力系统研究数学中的离散时间动力系统研究是一门重要而又深奥的学科。
在数学领域中，离散时间动力系统以一种离散的时间步进来对系统的动力学行为进行研究，与连续时间动力学相对应。
本文将介绍离散时间动力系统的概念和基本性质，并探讨其在数学和其他领域中的应用。
一、离散时间动力系统的概念离散时间动力系统是指由一系列状态和状态之间的转移映射组成的动态系统。
在离散时间动力系统中，时间是离散的，状态在每个离散时间点上进行更新。
具体而言，一个离散时间动力系统可以用如下形式表示：x_{n+1} = f(x_n)其中x_n表示系统在第n个时间步的状态，x_{n+1}表示系统在下一个时间步的状态，f是一个确定性的映射函数，描述了状态之间的转移关系。
离散时间动力系统与连续时间动力系统相比，更适用于描述那些变化具有间断性或离散性的系统。
许多实际问题，例如种群动力学、信息传输、混沌系统等，都可以用离散时间动力系统来建模和分析。
二、离散时间动力系统的性质离散时间动力系统具有许多重要的性质，这些性质对于系统的行为和稳定性具有重要的影响。
以下是一些常见的离散时间动力系统性质：1. 不变性：离散时间动力系统中的不动点是指满足x_{n+1} = x_n 的状态点。
当系统的状态在不动点附近发生变化时，一些性质，如周期性和稳定性，可能会出现。
2. 周期性：离散时间动力系统中，当状态在一个时间周期内重复出现时，称其具有周期性。
周期性是离散时间动力系统中重要的动力学行为之一，其与稳定性和混沌现象有密切关系。
3. 稳定性：稳定性是指当系统的状态经过一段时间后，能够收敛到一个有限范围内的现象。
在离散时间动力系统中，稳定性分为吸引稳定和周期稳定两种类型，分别表示系统能够吸引其他状态或周期性地变化。
4. 混沌性：混沌是指离散时间动力系统中状态的无规则、不可预测和高度敏感的行为。
混沌现象在离散时间动力系统中经常出现，其具有重要的科学和应用价值。
混沌Hamilton系统的统计力学性质
混沌Hamilton系统的统计力学性质混沌系统是一类具有不确定性和高度敏感性的动力学系统，在长时间演化中表现出无序、混乱和随机的行为。
Hamilton系统是其中一种常见的动力学系统，它由哈密顿力学方程描述，具有能量守恒和相空间流体的特征。
本文将探讨混沌Hamilton系统的统计力学性质，包括熵增、吸引子、Liouville定理以及混沌系统的统计稳定性等方面。
1. 熵增在混沌系统中，熵增是描述系统演化的重要指标。
熵是描述系统无序程度的度量，可以通过系统的概率分布函数计算。
对于混沌系统，由于其非周期性和高度敏感性，系统的熵通常随时间增加。
混沌系统的熵增特性使得其在演化过程中趋向于无序，无法被简单的周期性或确定性模式所描述。
2. 吸引子吸引子是混沌系统中的重要概念，它描述了系统演化的稳定态。
对于一个混沌系统，其吸引子可以是一个有限维的奇异吸引子或一个无限维的奇异吸引子。
奇异吸引子通过吸引系统各个相空间轨迹使其局限于某一区域，从而使得系统在长时间演化中表现出有限范围内的稳定态。
混沌Hamilton系统的统计力学性质可以通过对吸引子的研究来揭示。
3. Liouville定理Liouville定理是描述Hamilton系统的守恒性质的重要定理。
根据Liouville定理，对于一个不可压缩的Hamilton系统，相空间中的体积在演化过程中保持不变。
这意味着在长时间演化中，系统的相空间轨迹虽然会发生复杂的变化，但相空间中的点密度保持恒定。
Liouville定理为混沌Hamilton系统的统计力学性质提供了重要的理论基础。
4. 统计稳定性混沌Hamilton系统的统计稳定性是指系统在经过足够长的演化后，其统计性质是否趋于稳定。
对于混沌系统而言，由于系统的高度敏感性和非周期性，统计分布函数通常不会呈现典型的正态分布或其他简单的分布形式。
然而，经过足够长的时间演化后，系统的统计分布函数往往会趋于稳定，并且可以用一些概率分布模型来描述。
一个新混沌系统的动力学分析
由图 ６可知 ： 系统 由一 周期 运 动 状态 阵 发 过
［ ］ ｈｎＧ， ｅ ．Ｙ ｔ ｎ ｔ ｒｃａｔ ｔａｔｒ Ｊ ．ｎ ２ Ｃ ｅ Ｕ ｔ Ｔ ｅ ａ ｏ ｅ ｈｏｃａｒｃ ［ ］ Ｉ— ａ ｈ ｉ ｔ ｏ
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图 ２ 系统 的 典 型 混 沌 吸 引 子
从 三维 空 间 中的 相 图及 在 不 同平 面上 的投 影 可 以看 出 ， 系统 的混 沌吸 引子具 有 复杂 的折 叠 和拉伸轨 线和复杂 的几何 形状 ， 统 的轨线 是有 系 界的， 有很 强 的吸引性 ．
座 桥梁 ， 此 拉 开 了混 沌 研 究 的 帷 幕 从
． 本
文 以三维 混沌 系统 为 例 ｊ 画 出了处 于混 沌 状态 ， 时 的时 间 响 应 图 和 相 图 ， 用 系 统 的分 岔 图 和 利 Ｌａｕｏ ｙ ｐ ｎｖ指数 图 ， 明了 系统状 态 随参 数 变 化表 说 现 出丰 富的动 力学 行为 ．
－ － －
１／ ０ ３厂＝４时 ， 用数值模 拟方法计算 得到混沌 系统 的 吸 引 子 的 ３个 Ｌａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ指 数 分 别 为 Ａ ＝
一个新混沌系统的动力学性质讨论
生 混沌不仅 是混 沌 理 论 研 究 的 需 要 ， 且 已成 为 而
混 沌应用 的关键 问题 ．
３ 系 统 的基 本 动 力 学 分 析
（ ）３ 一 一涡 卷混沌 吸 引子
近几 年来 ， 利用 混沌 反控 制方 法 ， 在三维 微分 系统 中 ， 多 新 的 连 续 混 沌 系 统 陆 续 被 发 许
了Ｌ ｎ系统和 统一 混沌 系 统［ ３ 这 样使 人们 把工 ４ ． 程 中的混沌 现象 从 当初作 为一 种科 学探 索逐 步转
移 到极具潜 力 的工程 应用 上来 ． 因此 ， 目的地产 有
．
当参 数 ｎ ｂ ｃｄ， 一 定 范 围 内变化 时 ， ， ，， 在 这 个 系统 能产 生混 沌 吸 引子 ， 并且 有 一 些 复杂 的动
混 沌吸 引子 ．
［ 键 词 ］ 沌吸 引子 ； 力 学 ； ｙ ｐ ｎ ｖ指 数 关 混 动 Ｌ ａｕ ｏ
［ ｏ］Ｏ ３ ６／．ｓｎ １ ０ —６ ７ ． ０ １０ ． １ ｄ ｉｌ． ９ ９ｊｉ ． ０ ８ ０ ２ ２ １． ３ ０ ２ ｓ
［ 图 分 类 号 ］ ０ ９３ 中 Ｆ １．
［ 收稿 日期］ ０ ｌ ０ －０ ２１－ ４ ６ ［ 基金项 目］ 湖北省教育厅科 学技 术研 究重点项 目（ ０ ０ ０ １ ， 阳师专科研项 目（ ０ ０ ０ ） Ｄ２ １５ ０ ） 郧 ２ １Ｂ ６
［ 者 简 介 ］徐 玉 华 （ ９５ ） 男 ， 北 仙 桃 人 ， 阳 师 范 高等 专科 学校 数 学 与 财 经 系 副教 授 ， 士 。 作 １７－ ， 湖 郧 博 主要 从 事 混 沌 控 制 的
研究．
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Ｙ 。Ｂ ４ ＿’ ＿ ＿ 。’ Ｙ－。 ’＿ ＾ — ・Ｚ —４ －＿ Ｓ。 ‘Ｘ
离散系统动力学【共28张PPT】
哈密顿的力学体系
• 哈密顿原理 • 辛空间 • 哈密顿函数 • 一般的动力系统
发展趋势
– 落体偏东 – 河岸冲刷
• 电梯中的运动
广义相对论
• 改造牛顿引力理论的动力
– 不能解释水星近日点进动； – 不能研究大范围宇宙学； – 不符合狭义相对论
• 广义相对论
– 研究时间、空间中引力相互作用的理论 – 联系物质与时空的弯曲性质
基本原理
• 等效原理
– 引力质量与惯性质量相等（缶厄实验） – 局部惯性系无法区分引力的存在 – 引力与物质的关系
• 区别于牛顿绝对时空观的新时空观； • 适用于惯性系的理论，低速运动时与牛
顿力学一致；
基本假定
• 相对性假定：一切物理定律在所有惯性 系中形式保持不变；
– 力学适用的惯性系中，电动力学、光学定律 也适用；
• 光速不变假定：光的传播与光源运动与 否无关，与所处惯性系无关；与频率无 关；光速各向同性；（可以校准空间各 点的时钟，确定同时性）；
刚体动力学ห้องสมุดไป่ตู้
变质量体力学
• 密歇尔斯基方程
• 动量定理
• 动量矩定理
• 火箭速度公式
• 能量定理
• 宇宙速度
应用（1）
• 人造卫星运动
– 符合开普勒定律 – 空气阻尼 – 引力非均匀 – 光压 – 相对论效应
应用（2）
• 振动
改造牛顿引力理论的动力
– 简谐振动 不能研究大范围宇宙学；
改造牛顿引力理论的动力 光速不变假定：光的传播与光源运动与否无关，与所处惯性系无关； 不能研究大范围宇宙学；
Lorenz 变换
狭义相对论的结论
• 长度变短 改造牛顿引力理论的动力
动力学中的混沌理论研究
动力学中的混沌理论研究“混沌”这个词在日常生活中经常被用来形容一种无序、混乱的状态，但在物理学中，混沌理论却有着严谨的定义和数学模型。
动力学中的混沌现象指的是一种看似无规律的、高度敏感的系统行为，引发了研究人员的极大兴趣。
1. 系统的敏感性和确定性混沌混沌现象的出现通常和系统内部的敏感性有关。
我们知道，在一个确定性系统中，初始状态的微小变化可以引起系统产生激烈的反应，比如万有引力场中行星的运动轨迹。
但在普通的确定性系统中，这种敏感性通常会逐渐衰减，最终转化为可预测的运动轨迹。
然而，在某些特殊的情况下，系统内部的微小变化会被逐渐放大，进而导致系统行为的不确定性和复杂性。
这种现象也被称为“确定性混沌”。
“确定性混沌”在动力学中是一种特殊现象，它表现出了系统的极高敏感度和不可预测性。
2. 混沌系统模型和常见应用混沌现象的研究是非常复杂和严峻的，通常需要构建出适当的混沌系统模型以及运用高度复杂的数学方法进行分析。
早期的混沌系统研究主要集中于天体力学以及其他物理学领域的基础研究领域，比如流体力学、量子力学等。
随着混沌研究的深入，这一理论开始在更多的领域得到应用，比如经济学、社会科学等。
在经济学中，混沌理论有着广泛的应用，尤其是在预测股票价格和研究经济波动等方面。
社会科学方面则主要应用于人类行为和集体行为的建模。
3. 混沌理论的意义和展望混沌理论的出现和发展对于人类认识自然的深度和广度有着重要的影响。
混沌现象的探索，让我们重新认识到了自然界的复杂性和多样性。
许多此前认为是随机、无序现象的自然现象，比如气象、生物进化等，现在都可以用系统动力学的方法进行建模和研究。
同时，混沌理论也对人类社会的发展产生了深远影响。
混沌系统模型和相关的数学方法具有广泛的应用潜力，可以用于分析和优化复杂系统，比如城市交通、食物供应、能源消耗等。
这些应用不仅能够提高系统的效率和可持续性，还有助于人们对社会和环境问题的更深入认识。
在未来，混沌理论的研究还将继续深入，同时也将不断涌现出越来越多的应用场景。
一个离散混沌系统的动力学性质
一个离散混沌系统的动力学性质
李勇;贾贞;王俊;汪贺
【期刊名称】《桂林理工大学学报》
【年(卷),期】2010(030)002
【摘要】讨论了立方混沌系统在不同参数下的动力学性质,并进行了严格的理论证明.分别用代数和数值的方法分析了该系统由倍周期分岔通向混沌的过程,同时借助Lyapunov指数证明了混沌的存在性,并得到其临界值搿9175….
【总页数】5页(P316-320)
【作者】李勇;贾贞;王俊;汪贺
【作者单位】桂林理工大学,理学院,广西,桂林,541004;桂林理工大学,理学院,广西,桂林,541004;桂林理工大学,理学院,广西,桂林,541004;桂林理工大学,理学院,广西,桂林,541004
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.一类新离散混沌系统动力学性质的差异演化仿真 [J], 高飞
2.数字人体离散动态系统的离散动力学与离散混沌 [J], 毕思文
3.一个新混沌系统的动力学性质讨论 [J], 徐玉华;杨涛;易华丽;韩元彬
4.一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步 [J], 黄苏海;田立新
5.一个周期性强迫的四维超混沌系统的复杂动力学性质 [J], 陈熙统;鲍江宏
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数学中的动力系统与混沌现象
数学中的动力系统与混沌现象在数学研究中，动力系统是一个重要的研究领域。
动力系统研究的是随时间变化而变化的物体的运动规律。
而混沌现象则是这个运动规律中的一类特殊现象。
本文将探讨数学中的动力系统与混沌现象。
一、动力系统的基本概念动力系统是一个物理系统或数学模型，它由一组描述系统状态演化的微分方程或差分方程组成。
简单来说，动力系统研究的就是物体在不同时间下的运动状态。
动力系统可以分为离散动力系统和连续动力系统两种。
离散动力系统是指系统的状态在时间上是离散的，即系统状态从一个点跳到另一个点。
连续动力系统则是指系统的状态在时间上是连续的，即状态变化是连续的。
二、混沌现象的引入混沌现象是动力系统中的一种特殊现象，它指的是系统的行为对初始条件极为敏感，微小的初始差异可能会导致系统朝完全不同的方向演化。
混沌现象最早由美国数学家洛伦兹在研究对流问题时发现。
他发现，即使微小的初始偏差也会导致天气预报的结果产生巨大的误差。
混沌现象的引入使得动力系统的研究变得更加有趣和复杂。
混沌现象不仅存在于自然界中，也可以在数学模型中通过数值计算的方式重现。
三、混沌现象的特征混沌现象具有以下几个基本特征：1. 灵敏依赖于初始条件：即使微小的初始差异也会导致系统的行为完全不同。
这种依赖于初始条件的特性使得我们无法预测系统的长期行为。
2. 非周期性：混沌系统的行为是非周期性的，即系统不会在某个时刻重复之前的状态。
3. 广义随机性：混沌系统的行为是随机的，但并不是真正的随机。
混沌系统的行为可以通过确定性的方程描述，但由于初始条件的微小差异，使得系统的行为表现出看似随机的特性。
四、混沌现象的应用混沌现象在科学研究和应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 加密技术：混沌系统的灵敏依赖于初始条件和参数的特性，使得其可以用于加密和解密的过程中。
基于混沌现象的加密方法相对传统加密方法更加安全。
2. 数据压缩：混沌系统的广义随机性特性可以用于数据压缩技术。
数学中的离散动力系统研究
数学中的离散动力系统研究在数学领域中，离散动力系统是指由一系列离散时间步骤组成的动力系统，其中状态变量在这些时间步骤中按照特定的动力学规律进行演化。
离散动力系统的研究对于深入理解自然界和社会现象的动态行为提供了理论基础。
本文将介绍离散动力系统的概念、性质以及在不同领域中的应用。
1. 离散动力系统的概念离散动力系统是一类由时间和状态变量所描述的动力学系统，其演化在离散的时间步骤中进行。
离散动力系统可以形式化地表示为一个映射函数：\[X_{n+1} = f(X_n)\]其中，\(X_n\) 表示在第 \(n\) 个时间步骤中的系统状态，\(X_{n+1}\) 是在下一个时间步骤中的状态，而 \(f\) 是系统的演化规律。
离散动力系统的演化可以通过迭代得到：\(X_1 = f(X_0), X_2 = f(X_1), \ldots\)。
2. 离散动力系统的性质离散动力系统具有一些重要性质，其中最基本的是：不变性、周期性和混沌性。
2.1 不变性在某些情况下，离散动力系统可能存在不动点，即满足 \(f(X) = X\) 的状态变量 \(X\)。
当系统处于不动点时，其状态不会随时间演化而改变。
2.2 周期性如果系统存在一个周期为 \(T\) 的状态轨迹，即在每隔 \(T\) 个时间步骤后系统进入相同的状态，那么该系统就具有周期性。
2.3 混沌性当离散动力系统状态的演化表现出高度敏感性和不可预测性时，我们称其为混沌现象。
混沌动力系统的特征包括：对初始条件极其敏感、演化规律具有确定性但无法准确预测、状态轨迹呈现出非周期性等。
3. 离散动力系统在自然科学中的应用离散动力系统在自然科学领域中有广泛的应用，包括物理学、生物学、化学等。
3.1 物理学离散动力系统在物理学中的应用涉及到许多领域，如天体力学、流体力学和量子力学等。
例如，天体力学中的三体问题可以通过离散动力系统进行建模和分析，研究天体的轨道演化及稳定性。
3.2 生物学生物学中的许多现象，如种群动力学、神经网络和生物节律等，都可以用离散动力系统来描述和解释。
数学中的动力系统与混沌理论
数学中的动力系统与混沌理论动力系统和混沌理论是数学中的两个重要分支，它们研究的是事物的运动规律和复杂性质。
动力系统研究的是系统随时间变化的演化规律和长期行为，而混沌理论则探讨的是看似随机但有内在规律的现象。
本文将介绍动力系统和混沌理论的基本概念、方法和应用领域。
一、动力系统的基本概念在数学中，动力系统是研究不断变化的物体或系统的数学模型。
它主要关注系统随时间变化的演化规律和长期行为。
动力系统可以分为离散动力系统和连续动力系统两种。
离散动力系统是指系统状态在离散的时间点上进行更新，即系统状态从一个时刻到下一个时刻发生突变。
连续动力系统则是指系统状态在连续的时间上进行变化，系统状态的变化是连续的。
动力系统的基本组成包括状态空间、状态变量和演化规律。
状态空间是描述系统可能状态的集合，状态变量是用来描述系统状态的数学量，演化规律则是描述系统状态变化的数学方程或规律。
二、混沌理论的基本概念混沌理论是研究看似随机但具有内在规律的系统行为的数学理论。
混沌现象具有灵敏依赖初值、迭代产生复杂轨迹和长期不确定性等特点。
混沌系统的基本特征是其演化轨迹对初值极其敏感。
微小的初始条件变化可能会导致系统的发展出现完全不同的轨迹，这就是所谓的“蝴蝶效应”。
混沌系统的轨迹通常表现出复杂、难以预测的特征。
混沌理论的核心概念是“吸引子”。
吸引子是一个系统状态的稳定集合，描述系统演化过程中的长期行为。
吸引子可以是一个点、一条轨道，甚至是一个分形结构。
三、动力系统与混沌理论的应用动力系统和混沌理论在许多科学领域都有广泛应用。
其中，天体力学、流体力学和生物学是应用动力系统和混沌理论较为典型的领域。
天体力学中的三体问题是动力系统研究的经典问题之一。
通过分析天体系统的演化规律，科学家们揭示了行星轨道、陨石带等天文现象的本质。
流体力学中的混沌现象在气象学、水力学等领域有重要应用。
通过研究流体系统的混沌特性，可以更好地理解和预测气候系统的行为，优化水力发电系统的设计等。
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２１ ０ ０年 ５月
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Ｊ ｕ ａ ｏ ｉ ｎ ｌ ｎ ｖ ｒｉ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｉ ｔ Ｔ
文章编 号 ：１７ ９ ５ （０ ０ ２— ３ ６— ５ ６４— ０７ ２ １ ）０ ０ １ ０
定 义 ３ 设 ）∈Ｃ Ｒ） 是ｆ ）的不动 （ ， ｌ 点 ， ｌ ）Ｉ １ 则称 为 － ）的吸引 不动 若 （ ｆ ＜ ， 厂 （
点 ； ｌ ）Ｉ １则 称 是 ）的排 斥不 动 若 ／（ ＞ ，
维离散 混沌 系 统相 比 ，立 方 混 沌 由于三 次 项 的出 现有着更 复杂 的动力学性 质 。
性 ，并 得到其 临界值 Ａ ＝ ．４ １ … 。 ２ ３ ８９ ７５ 关键词 ：动力学 ；Ｌａ ｕ ｏ 指 数 ；分岔 ；混沌 ｙｐ ｎ ｖ
中图分 类号 ：Ｏ １． ４ ５５ 文献标 志码 ：Ａ
本 文探究 一个 与虫 口模 型 类 似 的一 维 离 散 动
定义 ２ 对 区 间 （ ｂ ，）上 的 函数 厂 ）的不 动 （
一∞， ］ ， ＝肌 一１ 时 ＋ 若Ｊ 厂（ ）＞１则称 为 ） ｌ ， 的排斥周期 点 （ １ 。 性质 ）现考虑 当 Ａ ∈ （
， 为 了分 析立 方 混 沌 的 动 力学 性 质 ，下 面 介 绍 ： １ 则 （） １ 若厂” ）≠０， ＋ ｆ ） 被不动点 （ 则 ＝ ｌ 是 些相关 的预备 知识 ¨ 。 一
一
定义 １ 如果 满足 厂 ）＝ ， 么称 Ｘ （ 那
吸引 （ 或排斥 ） 决 于 ＞ （ ＜） ； 取 或
通讯作者 ：贾 贞 ，教授 ，Ｊｚ ０ １３ ｃ ｎ。 Ｊｚ ＠ ６．ｏ Ｊｚ 引文格式 ：李 勇 ，贾贞 ，王俊 ，等．～个 离散混沌 系统 的动力学 性质 ［ ］ Ｊ ．桂 林理工 大学学 报 ， ００ ０ （ ） １ — ２ ２ １ ，３ ２ ：３ ６ ３ ０
第 ２期
李
勇等 ：一 个 离散混 沌系 统 的动力学 性质
其 中 Ａ为常数 。 由于 方程 含 有 立 方项 ， 并且 由此所 产生 的离散动力 系统蕴 含有 混沌 ， 此模 型 为立 方 称
混沌 Ｊ其迭代 函数为 。
．
（ ）＝Ａ 。 然它是一 ｘ— 显
其进 一步判 断见 以下引理 。 个 奇 函数 ， 定义 域 和值 域 都 为 Ｒ。 （ ）的导数 为 在迭代 下远离 ， 引理 １ 设 ’为 ）的不动点 ， ） 且厂 （ 厂 ）＝Ａ一３ ＾（ ｘ。
３７ １
定 义 ４ 设
是 函数 ）的 ｎ周 期 点 ， 若 ０ ）Ｕ （ ， ０ ＋∞ ） 系统 （ ）的任何 非零初 始值 的轨道 ， １
都 趋 于 ∞。
ｌ ／ （ ） ＜１则称 为 ）的吸引周期点， Ｉ ，
证 明 ： ∈（ Ａ 一∞， ） ， ＝０为排斥 的不动 一１ 时
点， 否则就称 是 不稳定 的不 动点 。 这里 ｆ （ ）为 点 通过 迭代 函数 ． ）经过 ｎ次迭代 的结果 。 厂 （
收稿 日期 ： ０９— ４ ６ ２ ０ ０ —１
基金项 目：广西 自然科学基 金项 目 （ 科基 ０９２４ ；广西教育厅 科研项 目 （０ ８７ Ｓ ３ 桂 ９１４ ） ２００ Ｍ ０ ） ４ 作者简 介 ：李 勇 （ ９ ５ ） １８ 一 ，男 ，硕 士研究生 ，研究 方向 ：混 沌控制 与同步 ， ｘ ｙ＠１３ ｃｍ。 ｇｂ ｌ ６ ． ｏ
一
个 离 散 混 沌 系 统 的 动 力 学 性 质
李 勇，贾 贞，王 俊 ，汪 贺
５ １０ ） ４ ０４ （ 桂林 理工 大学 理学 院 ，广西 桂林
摘
要 ：讨论 了立方混 沌系统在不 同参数 下的动力 学性质 ，并 进行 了严 格 的理 论证 明 。分别用 代数 和
数值 的方法分析 了该 系统 由倍周 期 分 岔通 向混 沌 的过 程 ，同时 借助 Ｌａｕｏ 指 数证 明 了混 沌 的存 在 ｙｐｎｖ
＝Ａ 一 ， ｘ
不动点 是不稳 定 的 ， 时 附 近 的点 随 着 迭代 次 这 数 的增加将 越来越 远离 ； 而超 稳定 不 动点 可 能是 稳定 的 ， 可 能是 不 稳 定 的 ， 可 能是 半 稳定 也 还 的， 即 一侧 的点在 迭代 下趋 于 ， 而另一 侧 的点
为 ） 的不动点。 如果存在 ＞ ， ｌ — ｌ ０当 ＜
时 ， ｉ ） ： 有ｌ ｍｆ （
（ ） 厂 （ ）： ， ２ 若－ ” ０ 则当， （ ）＜０ 时该不动
引理 ２
发 生分岔 。
， 则称 是局 部 稳定 的不 动 点是 吸引 的 ； ） ＞０时该不 动点是排斥 的 。 当ｆ （ 当ｆ （ ， ） ＝一１时 ，系统 轨 迹 Ａ
点 ； ｌ ）ｌ 当 （ ｆ ＝１时 ， 称 ’ 是超 稳定 的不动点 。 显然 ， 吸引不动 点是局 部稳 定 的 ， 这时 ‘附近 的点 随着迭代 次数 的增 加将越 来越 接近 于 ； 排斥
（） １
ｌ 立方 混 沌模 型及 预备 知 识
考虑一维 离散 系统 的差分 方程 ：
力系统—— 立方 混 沌 ¨ 的动 力 学 性 质 ，从 理 论方 点 ， 如果 任 意取定 ∈ （ ，）均 有 ｌ ） ＝ 。ｂ ｉ （ ｍｆ
面论证其 混 沌 的产 生 与存 在 性 ，研 究 了其 不 动点
，
那么称 不动点 在 （ ，）上是稳 定的 。 ｏｂ
及周 期轨 道 的稳 定性 ，并 用 数 值 方 法研 究 了其 倍 周期 分岔通 向混 沌 的过 程 。 与虫 口模 型 等典 型 一