选择题解题的基本原则是
高考数学选择题的解法
2019高考数学选择题的解法
作者：佚名
数学选择题在当今高考试卷中，不但题目数量多，且占分比例高．高考中数学选择题的主要特点是概括性强，知识覆盖面宽，小巧灵活，有一定的综合性和深度．考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题成为得分的关键．
解选择题，一要会想，二要少算．数学选择题，都是四选一，其中必有一项正确，若不关注选项，小题大做，把选择题做成了解答题，会事倍而功半．这就是说，解选择题的基本原则是：“小题不用大做”．解题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断．一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，就不必采用常规解法；能使用间接解法的，就不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择支，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选择最优解法等等．
数学选择题的求解，一般有两种思路，一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．由于选择提供了备选答案，又不要求写出解题过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中很适用，下面介绍几种常用方法．
1．直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算或推理，
直接求得结论，再与选择支对照，从而作出判断选择的一种方法．
2．筛选法(也叫排除法，淘汰法)：使用筛选法的前提是“答案唯一”，具体做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．。
初一数学选择题答题技巧
选择题的解题技巧选择题是数学试卷中的必有题型．它知识容量大、覆盖面广，构思新颖、灵活巧妙，选择题只需选择正确答案，不必写出解题过程，因此选择题解题的基本原则是：小题小做，小题巧做，切忌小题大做。
在解答时应该突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。
数学选择题的主要解法：直接法、选项代入验证法、排除法、特殊值法、数形结合法。
一、直接法直接从题设的条件出发，运用所学的定义、定理、法则、公式等，或者结合自我积累的解题经验进行严密的推理或正确的运算。
然后将所得结果与四个选择支对照，得出正确答案，这是解选择题的基本方法。
其优点是解题自然，不受选项的影响，缺点是有些计算和推理冗长繁杂，要消耗同学们大量的时间和精力。
例1：绝对值大于2且小于或等于5的所有整数的和是（）A. 7B. －7C. 0D. 5二、选项代入验证法与直接法的思考方向相反，它将选择支中给出的答案逐一代入已知条件中进行验证，与已知相矛盾的为错误选项，符合条件的为正确选项。
优点：正确率高，缺点：略有点繁琐。
例2：若多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项，则k的值是（）A. 1B. －1C.3D.-3三、排除法对于正确答案有且只有一个的选择题，从选项题设的条件出发，运用数学知识推理、演算，把不正确的选项逐个排除，最后剩下一个选项必是正确的。
即使不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。
在排查过程中要抓住问题的本质特征。
1、结论排除法：把题目所给的四个结论逐一代回原题中进行验证，把错误的排除掉，直至找到正确的答案，这样逐一验证所给结论正确性的解答选择题的方法称之为结论排除法。
例3：方程组2x y 3x y 3-=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A. x 1y 2=⎧⎨=⎩ B.x 2y 1=⎧⎨=⎩ C.x 1y 1=⎧⎨=⎩ D.x 2y 3=⎧⎨=⎩2、特殊值排除法：有些一般性结论，要判断其正确性比较难，可在符合条件的允许值范围内，用某几个特殊的值代替题中的字母或某项，然后再做出特殊情况下的判断，类比推出一般性的结论，从而得出正确选项的方法。
2014年中考数学复习专题讲座-方法论与解题技巧
寄语2014年中考芸芸学子——放下执着，战胜心中的不安和恐惧等焦躁情绪，把握机会，勇敢前行！祝中考成功！学有所成！服务社会！服务众生！阿弥陀佛2014年中考数学专题讲座一：选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例1 （2012•白银）方程的解是（）A．x=±1B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：方程的两边同乘（x+1），得x2﹣1=0，即（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解；把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解．则原方程的解为：x=1．故选B．点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．对应训练1．（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）A．7队B．6队C．5队D．4队考点二：特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。
小学数学有效的考试答题技巧大全
小学数学有效的考试答题技巧大全小升初，不光是学习分数漂亮，答题技巧也是需要的，巧妙的答题技巧可以使考试效率大大的提高。
下面是小编为大家整理的关于小学数学有效的考试答题技巧，希望对您有所帮助!小学数学各类题的答题技巧一、选择题的解法：选择题得分关键是考生能否精确、迅速地解答。
数学选择题的求解有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果;二是题干和选择的分支联合考虑或从选择的分支出发探求是否满足题干条件，由于答案在四个中找一个，随机分一定要拿到。
选择题解题的基本原则是："充分利用选择题的特点，小题尽量不要大做"。
二、填空题的解法：填空题答案有着简短、明确、具体的要求，解题基本原则是小题大做别马虎，特别是解的个数和形式是否满足题意，有没有漏解和不满足题目要求的解要认真区别对待。
数学填空题的分值增加许多，其得分情况对考试成绩大有影响，所以答题时要给予足够的精力和时间，填空的解法主要有：直接求解法、特例求解法、数形结合法，解题时灵活应用。
三、解答题的解法：解答题得分的关键是考生能否对所答题目的每个问题有所取舍，一般来说在解答题中总是有一定数量的数学难题(通常在每题的后半部分和最后一、两题中)，如果不能判别出什么是自己能做的题，而在不会做的题上花太多的时间和精力，得分肯定不会高。
解答题解题时要注意：书写规范，各式各样的题型有各自不同的书写要求，答题的形式对了基本分也就得到了。
审题清晰，题读懂了解题才能得到分，要快速在短时间内审清题意，知道题目表达的意思，题目要解决的是什么问题，关键的字词是什么，特殊的情形有没有，不能一知半解，做了一半才发现漏了条件推翻重来，费了精力影响情绪。
附加题一般有2至3问，第一问，其实不难，你要有信心做出来，一般也就是个简单的理论的'应用，不会刁难你，所以，你要作出来。
如果有第三问，那么第二问多半是中继作用，就是利用第一问的结论，然后第三问有要用到它自己。
这一问，比较难一点，但是，如果你时间允许，还是可以做出来的。
中考数学专题讲座
五、图解法（数形结合法） 数形结合是初中数学的重要思 想，根据已知条件作出图像或画出 图形，从而利用图像或图形的性质 去直观的分析和判断，进而找到正 确的答案。
例1．在△ABC中，∠C＝90°，如果
5 tanA＝ 12 ，那么sinB的值等于
（
）
A.
5 13
12 B. 13
5 C. 12
12 D. 5
， 例1.若 0 x 1 则 小关系是（ ）
1 2 A． x x x
C． x 2 x 1
1 2 x， ，x 的大 x
1 2 x B．x x
x
1 2 D． x x x
解析：由于 0 x 1， 取x=0.5,不难发现答案 应选C.
1.根据如图所示的⑴，⑵，⑶三个图所表示的 规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是 （ ） A． 3n B． 3n(n 1) C．6 n D．6n(n 1)
例1.若
2 3,4 5, 则2
x y
x -2y
的值为 （ Ｂ）
5
（A）
3 5
x2 y
（B）-2
6 （C） 3 5 （D）
5
解析：此题考查逆用同底数幂的除法运算法则，由于
2
y
2 2
x
4 5
，即
2 4 3 x2 y 2 5
2y x
y
，且
2 3，
x
练习：
1.如图， 在菱形ABCD中，AB = 5， ∠BCD = 120°，则对角线AC等于 （ ） A．20 B．15 C．10 D．5
例1．把多项式 2 x 8x 8 分解因 式，结果正确的是（ ） Ｃ
2
高考选择题解法论文
高考选择题解法探讨高考数学选择题试题多、考查面广，不仅要求应试者有正确分辨能力，还要有较快的解题速度，为此，需要研究解答选择题的一些特殊技巧。
总的说来，选择题属小题，解题的基本原则是：“小题不能大做”。
解题的基本策略是：要充分利用题设和选择这两方面所提供的信息作出判断。
一般说来，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择支，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等。
本文将针对解选择题的4种基本方法分别作举例说明。
一、直接法直接从条件出发，运用定义、定理、公式、性质进行推理或演算，得出一个正确的结论，再与所给的选择支核对，选择相同结论的题号，这种判断方法称为直接法。
例1已知函数y=f（x）存在反函数y=g（x），若f（3）=－1，而函数y=g（x－1）的图像在下列各点中必经过（）a．（－2，3）b．（0，3）c．（2，－1）d．（4，－1）解：由题意可知函数y=f(x)的图像经过点(3，－1)，它的反函数y=g(x)的图像经过点（－1，3），由此可得函数y=g（x－1）的图像经过点（0，3），应选b．例2有三个命题：其中正确命题的个数为（ｄ）①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直．a．0b．1c．2d．3解：利用立体几何中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，应选d．二、筛选法从题设出发，通过推理或演算，对于明显错误的结论，通过逐步“筛选”予以剔除，从而获得正确的结论，这种判断方法称为筛选法。
例3若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）a.（1，■]b.（0，■]c.[■，■]d.（■，■]解：因x为三角形中的最小内角，故x∈（0，■），由此可得y=sinx+cosx>1，排除错误支b，c，d，应选a．例4双曲线的两条准线之间的距离是■，实轴长是8，则此双曲线的标准方程是（）（a）■－■=1（b）■－■=1或■－■=1（c）■－■=1（d）■－■=1或■－■=1解：由题意，双曲线的焦点可在轴上也可在轴上，问题有两解，从而可剔除a、c；再由ｂ的结论知，实轴长为6，这与已知条件矛盾，从而可剔除b.应选d.三、特值法解某些选择题时，把特殊值代入原题进行检验，判明真伪；或考虑用特殊图形、特殊位置、特殊情况等，进行判断，从而迅速地作出正确选择的方法。
2024年深圳中考道法答题技巧：选择题
2024年深圳中考道法答题技巧：选择题选择题一般遵循的解题方法是坚持一个原则，做到四个审查、四个不选、五个排除。
（1）一个原则先审题干，后审题肢，肢干相连，以干求肢，是解答选择题的基本原则。
（2）四个审查①审查设问，看试题是正向还是逆向选择；②审查题干，全面理解题意，抓住题干材料的关键词或限制词，明确题干的规定性；③审查题肢，逐一分析、比较，把握它们之间的差异以及内在联系，以提高做题的准确率；④审查题干与题肢的关系，看二者是否相符。
（3）四个不选①题肢观点与教材内容不符的不选；②题肢观点片面化或绝对化的不选；③题肢观点与事实不符的不选；④题肢观点正确但与题干无关的不选。
（4）五个排除①排除观点本身错误的选项；②排除观点本身正确，但与题干无关的选项；③排除观点本身正确，与题干也有关系，但不符合题干规定性的选项；④排除与题干意思相近、变相重复的选项；⑤排除因果关系颠倒的选项。
做好单项选择题，最重要的是做到认真审题，包括审题目、审题干、审题肢。
在复习中对基础知识基本原理和一些易混淆的知识要掌握准确、扎实、到位，另外单项选择题只能选择一个答案，每个选择题的答题时间基本限制在30秒钟之内。
例题一：在十三届全国人大二次会议上，最高人民法院院长周强向大会报告工作时提到，2018年各级人民法院认真落实总体国家安全观，依法严惩煽动颠覆国家政权､煽动分裂国家､间谍等犯罪，坚决维护国家安全。
这( )①有利于维护国家利益，巩固国家政权②体现法律具有强制性，由国家强制力保证实施③要求我们积极行使维护国家安全的基本权利④要求我们增强国家安全意识，筑牢国家安全堤坝A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④【解题思路】依据所学知识可知，维护国家安全是公民的基本义务，而不是基本权利，③是对教材知识的错误理解，排除。
【答案】C。
例题二：当地时间2023年2月6日，土耳其连续发生两次7.8级地震，造成重大人员伤亡和财产损失。
中国政府迅速派遣救援队赴土耳其实施国际救援。
高三历史试卷讲评课(2015-10-9)
论证有力（抓住要点、切中要害）
（4）段落化、标题化、序号化。 （5）字迹清楚工整，杜绝错别字。
一、世界资本主义发展历程 1、萌芽——简单协作时期(14—16世纪) 重大事件：新航路开辟、早期殖民扩张、文艺复兴、宗教改革 2、兴起——工场手工业时期(17—19世纪初期) 重大事件：早期资产阶级革命(英法美三大革命)、欧洲封建国 家改革、启蒙运动 3、发展——蒸汽时代 (19初－1870年） 重大事件：工业革命、资产阶级革命与改革运动(美国内战、 日俄改革、意德统一)、社会主义运动(马克思主义诞生、第一 国际、巴黎公社)、民族解放运动(亚洲革命风暴) 4、成熟——电气化时代前期 (1870年—1917年) 重大事件：第二次工业革命、垄断组织产生、列强掀起瓜分世 界狂潮、资本主义世界市场最终形成、资本主义经济政治发展 不平衡加剧，一战爆发
材料 以下是14-20世纪初的资本主义世界重大历史事件
——摘编自马世力主编的《世界史纲》和斯塔夫里阿诺斯的《全球通史》 1. 上表是14-20世纪初资本主义世界的重大历史事件简表。从表中提取有关资本主义世界
发展状况的历史信息， 2. 自拟论题，并就所拟论题进行阐述。（要求：论题明确，史论结合，12分）
• （1）根据材料和所学知识比较中国古代工匠和近代德国工匠的异同。
• （2）根据材料和所学知识分析德国工匠精神产生的原因，并谈谈你对培育中国现代工 匠精神的认识。
•
41题评分细则
• 1）异：产生基础：中国工匠以手工劳动为基 础，德国工匠以机器生产为主；来源地位：中 国工匠多来源于奴隶罪犯，地位很低，德国工 匠地位与其他职业平等；培养方式中国工匠通 过心传身授的学徒制方式加以培养，德国工匠 通过双元制职业教育的方式培养．（中国工匠 注重经验总结，德国工匠注重探究，理性思考 ）（每点2分，共6分） 同： 都有精湛的技艺且精益求精；都形成了各 具特色的工匠精神（职业道德）；都受本民族 文化传统的影响；都推动了社会经济和文化的 发展．（任意3点6分）
数学考试答题技巧总结(3篇)
数学考试答题技巧总结做题不总结基本没效果“有的学生做题目，同一类型的题，第一次做会错，第二次做还错，主要原因就是不总结。
”曹安陵老师坦言，不少人觉得数学就是要多做题。
“不能说做题没用，但是如果做的题目不好，做完题不进行有效总结，那么基本没多大效果。
”除了错题之外，做对的题同样可能在下次做错。
因此在复习中，除了对错题进行总结之外，对一些虽然做对了，但是掌握得还不够扎实的题目，也要认真梳理，巩固相关知识点。
答题思维不宜太跳跃据了解，去年江苏省高考数学状元最终得了____分。
让大家感到意外的是，他竟在一道相对容易的题目上丢了____分。
原来，数学状元在解题过程中，有一个关键的步骤没了，按照要求不能得分。
专家提醒，在高考答题中，千万不要表现出思维的跳跃性，在按得分点和步骤给分的高考中，考生跳过的是解题步骤，丢掉的是考试分数。
放弃数学就是放弃高考有不少数学基础相对较差的考生觉得，基础没打好，现在就算恶补也来不及。
对此，曹安陵老师表示，“数学绝对不能放弃，因为即使原先基础比较差的学生，也在利用最后一段时间进行冲刺。
”学生只要肯下工夫，时间还是相对充裕的。
名师简介曹安陵，江苏省数学特级教师，南京市首届学科带头人，高中数学中心组成员，省高考数学命题组成员和阅卷点专家组成员，中学数学学科特级教师工作室负责人。
数学考试答题技巧总结（二）●调理个性品质，进入数学情境高考对个性品质的要求是："克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神"由此可知，个性品质不仅包含了"智商"，也强调"情商"。
所以，应在最后阶段优化考试心理，提高自己应对挑战的能力。
比如考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区等进行针对性自我安慰，从而以最佳竞技状态去克服慌乱急躁、紧张焦虑的情绪，增强信心。
选择,填空题的10种方法
选择，填空题的10种方法抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演运算、谨防疏漏．题型特点：方法一 定义法 ________________________________________________________________________ 所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10，由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8，由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10，所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12.所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A. 答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如[本例]中根据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后根据椭圆定义求出其长轴长，最后就可根据离心率的定义求值．练习：1．(2017·广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A.答案：A2．(2016·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8.答案：(27，8)方法二 特例法________________________________________________________________________ 特例法，包括特例验证法、特例排除法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排除干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2016·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100解析：结合特殊值，利用排除法选择答案．对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110，显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0，显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D.答案：D[增分有招] 应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．练习：1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排除A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排除C. 综上，选B.答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5 D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A. 法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，显然，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A. 答案：A方法三 数形结合法________________________________________________________________________ 数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2017·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3] 解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3，故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解．练习：1．(2017·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C.答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，1) B ．(14，－1) C ．(1,2) D ．(1，－2)解析：如图，因为点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法________________________________________________________________________ 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等．[例4] (2017·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝(22)2－22＝2，因为焦点在y 轴上，故选C.答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，根据已知列方程求解．[技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( )A ．640B ．650C ．660D ．780解析：设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，得⎩⎨⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎨⎧ a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780. 答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2B ．0C ．1 D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D. 答案：D方法五 估值法________________________________________________________________________ 估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x 在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；因为sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A.答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较复杂的计算，节省时间，是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要注意估算也要有依据，如[本例]是根据指数函数与对数函数的单调性估计每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较．[技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，π2C.⎣⎡⎦⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎤π6，π2解析：因为函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2. 故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，2π3. 对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝⎛⎭⎫π3，7π6，在⎝⎛⎭⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝⎛⎭⎫－π12，3π4，在⎝⎛⎭⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法________________________________________________________________________ 反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导矛盾；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( ) A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3.显然两者矛盾，所以假设不成立． 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A.答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较方便．其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．如[本例]中导出等式的矛盾，从而说明假设错误，原命题正确．练习：如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝⎛⎭⎫π2－A 1＋⎝⎛⎭⎫π2－B 1＋⎝⎛⎭⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，显然该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.答案：D方法七 换元法________________________________________________________________________ 换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等．[例7] 已知正数x ，y 满足4y －2y x＝1，则x ＋2y 的最小值为________． 解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×y x＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当x 4y ＝y x ，即x ＝2y 时等号成立. 所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．[技法体验]1．(2016·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x ＋a ·9x ，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0 解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x ≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x 2＋⎝⎛⎭⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝⎛⎭⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎡⎭⎫13，＋∞， ∴⎝⎛⎭⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49. 答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为________． 解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1.令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤0，22， ∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎡⎦⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎡⎦⎤0，22上单调递减， ∴t ＝0时，y max ＝1. 答案：1方法八 补集法________________________________________________________________________ 补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立事件，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多．[例8] 某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况，从三个年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一年级的概率为________．解析：记高一年级中抽取的班级为a 1，高二年级中抽取的班级为b 1，b 2，高三年级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一年级”为事件A ，则事件A 为抽取的两个班级来自同一年级．由题意，两个班级来自同一年级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种．所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115.所以两个班级不来自同一年级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，一定要准确把握所求问题的对立事件．如[本例]中，“两个班级不来自同一年级”的对立事件是“两个班级来自同一年级”，而高一年级只有一个班级，所以两个班级来自同一年级的可能性仅限于来自于高二年级，或来自于高三年级，显然所包含基本事件的个数较少．练习：1．(2016·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.① 令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝⎛⎭⎫t －122＋18，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1， 显然函数y ＝h (t )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减， 所以h (1)＜h (t )＜h ⎝⎛⎭⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.② 结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，18. 答案：⎝⎛⎭⎫0，18 方法九 分离参数法________________________________________________________________________ 分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________． 解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，⎝⎛⎭⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化，否则就会导致错解．练习：1．(2016·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C. 答案：C2．(2016·湖南五校调研)方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝⎛⎭⎫122＋x ＝a －2x 有解，即14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x＝a 有解，∵14⎝⎛⎭⎫12x ＋2x≥1，故a 的最小值为1. 答案：1方法十 构造法________________________________________________________________________ 构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点采取相应的解决办法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来研究另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等．[例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m . 设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，根据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .练习：1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：6π[组合练一]一、选择题1．(2017·邢台模拟)集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则下列关系正确的是( )A ．A ⊆∁RB B ．B ⊆∁R AC ．∁R A ⊆∁R BD ．A ∪B ＝R解析：依题意得B ＝{y |0≤y ≤2}，因此B ⊆A ，∁R A ⊆∁R B ，选C. 答案：C2．(2017·河南八市联考)复数z ＝3＋i1＋i ＋3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝3＋i 1＋i ＋3i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＋3i ＝4－2i2＋3i ＝2－i ＋3i ＝2＋2i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A.答案：A3．函数f (x )＝1x＋ln|x |的图象大致为( )解析：因为f (1)＝1，排除A 项；当x >0时，f (x )＝1x ＋ln x ，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，排除D 项，又f (－1)＝－1，所以排除C 项，故选B.答案：B4．已知直线l ，m ，平面α，l ⊄α且m ∥α，则“l ∥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：利用线面平行的判定和性质判断充分性和必要性．若l ⊄α，m ∥α，l ∥m ，则l ∥α，所以充分性成立；反之，若l ∥α，l ⊄α，m ∥α，则l ，m 的位置关系不确定，可能平行、相交或异面，所以必要性不成立，故“l ∥m ”是“l ∥α”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．(2017·湖南东部五校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )＞2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：当x ＜2时，令2e x －1＞2，解得1＜x ＜2；当x ≥2时，令log 3(x 2－1)＞2，解得x ＞10，故选C.答案：C6．(2017·重庆模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.23B.43C.53D.73解析：依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2)、高为1，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43，选B. 答案：B7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程是y ＝32x ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 228－y 221＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，所以b a ＝32，抛物线的准线方程为x ＝－7，所以c ＝7，由a 2＋b 2＝c 2，可得a 2＝4，b 2＝3，故选B.答案：B8．(2017·南昌模拟)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－13，0 B.⎝⎛⎭⎫－13，0 C.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 解析：线段PQ 的中点M (x 0，y 0)的轨迹方程为x 0＋3y 0＋2＝0，由y 0＜x 0＋2，得x 0＞－2，则y 0x 0＝－13(x 0＋2)x 0＝－23x 0－13∈⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)． 答案：D 二、填空题9．(2017·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为________．解析：依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x 不小于40的概率为58.答案：5810．(2017·东北三省四市模拟)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀．”乙说：“我得了优秀．”甲说：“丙说的是真话．”事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．解析：分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙．答案：丙11．(2016·广西模拟)已知在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，所以sin A ＝4(1－cos A )，所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝6417. 答案：641712．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln x x ，0<x <1，对于正数x ，有x ＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2 017＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋f (x )＋f (x ＋1)＋…＋f (x ＋2 017)，则x ＝________.解析：当x >1时，f (x )＝x ln x ，则0<1x<1，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ln 1x 1x ＝－x ln x ，所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，x ＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2 017＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋f (x )＋f (x ＋1)＋…＋f (x ＋2 017)＝f (x )．又f (1)＝0，所以当x ≥1时，x ＝f (x )＝x ln x ，所以ln x ＝1，所以x ＝e>1，符合题意； 当0<x <1时，0<x ＝f (x )＝ln xx <0，矛盾，故x ＝e.答案：e[组合练二]一、选择题1．(2017·赣州摸底)已知复数z ＝1＋3i ，则z 2z －2＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i解析：z 2z －2＝(1＋3i )21＋3i －2＝－2＋23i －1＋3i ＝2，故选A.答案：A2．(2017·衡阳模拟)命题“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”的逆命题是( ) A ．若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab B ．若x ≥a 2＋b 2，则x ＜2ab C ．若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b 2 D ．若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2解析：命题的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”．故选D. 答案：D3．(2017·宜昌模拟)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.答案：A4．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：因为命题p 为假，命题q 为真，所以p ∨q 为真命题． 答案：B5．(2017·山西四校联考)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32解析：∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝ 22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32.答案：D6．(2017·郑州模拟)已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边，若a ＝4，c ＝6，△ABC 的面积为63，则b 为( )A ．13B ．8C ．27D ．2 2解析：因为S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×6×sin B ＝63，所以sin B ＝32，又△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π3，所以b 2＝16＋36－2×4×6×cos π3＝28，故b ＝27，选C.答案：C7．某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了n 人进行调查，得到如图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，则n 的值为( )A ．180B ．270C ．360D ．450解析：依题意，睡前看手机不低于20分钟的频率为1－0.01×10＝0.9，故n ＝2430.9＝270，故选B.答案：B8．(2017·甘肃模拟)如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．4 C.233D. 3解析：依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由△ABF 2是等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，由余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得e ＝c a＝7，故选A.答案：A 二、填空题9．如图，若f (x )＝log 3x ，g (x )＝log 2x ，输入x ＝0.25，则输出的h (x )＝________.解析：当x ＝0.25时，f (x )＝log 314∈(－2，－1)，g (x )＝log 214＝－2，所以f (x )＞g (x )，所以h (x )＝g (x )＝－2.答案：－210．(2017·武汉调研)如图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案，现按同样的规则进行排列，记第n 个图案包含的小正方形的个数为f (n )，则(1)f (5)＝________；(2)f (n )＝________. 解析：观察规律，上、下两个部分是对称的． (1)f (5)＝2(1＋3＋5＋7)＋9＝41.(2)f (n )＝2(1＋3＋5＋…＋2n －3)＋2n －1＝2n 2－2n ＋1. 答案：(1)41 (2)2n 2－2n ＋111．(2017·陕西师大附中模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为________．解析：由96032＝30，设n 抽到的号码为a n ，则a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由750<30n－21≤960，得25.7<n ≤32.7，所以n 的取值为26,27,28,29,30,31,32，共7个，因此做问卷C 的人数为7.答案：712．若函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上存在子区间，使得不等式f ′(x )＞0成立，f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝2x 2－2bx ＋1x .设h (x )＝2x 2－2bx ＋1，则h (2)＞0或h ⎝⎛⎭⎫12＞0，即8－4b ＋1＞0或12－b ＋1＞0，解得b ＜94. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，94 [组合练三]一、选择题1．(2017·东北三省四市模拟)若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z 在复平面内对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(－4，－2)D ．(－4,2)解析：由题意得，z ＝2－4ii＝－4－2i ，∴z ＝－4＋2i ，故其在复平面内对应的点是(－4,2)，选D.答案：D2．函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：∵y ＝e cos x ，x ∈[－π，π]为偶函数，故排除B 、D.又当x ∈[0，π]时u ＝cos x 为减函数，y ＝e u 为增函数，∴y ＝e cos x 在[0，π]内为减函数．故排除A ，选C.答案：C3．“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ， ①当a ＝0时，1＞0恒成立，满足条件；②当a ≠0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(2a )2－4a ＜0，解得0＜a ＜1. 因此要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ，必有0≤a ＜1.故“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的充分不必要条件，故选A. 答案：A4．某物业管理中心计划在小区内配置休闲长椅，针对配置休闲长椅的数量对小区居民进行了调查，调查结果如频率分布直方图所示，该物业管理中心根据频率最高的三组的平均数配置长椅，则至少应配置长椅的数量为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )A ．32条B ．34条C ．35条D ．36条解析：由于34×0.2＋44×0.3＋54×0.275＝34.85，所以至少应配置长椅35条．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则S 9的值是( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∵S 3＝7，S 6＝63，∴S 9－S 6＝448，∴S 9＝448＋S 6＝448＋63＝511，选C.答案：C6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．23＋3π27B ．33＋43π27C ．53＋3π27D ．53＋43π27解析：根据几何体的三视图，得该几何体是底部为正三棱柱，上部为一个球体的组合体，且正三棱柱底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为13× 3＝33，∴该组合体的体积V ＝V 三棱柱＋V 球＝12×2×2×32×5＋43π×⎝⎛⎭⎫333＝53＋4327π.故选D.答案：D7．(2017·开封模拟)过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( )A.10B. 5C.103D.52解析：设B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知a ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1，分别与双曲线的渐近线方程联立解得x B ＝－1 b ＋1，y B ＝b b ＋1，x C ＝1b －1，y C ＝bb －1，又点B 是AC的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3，则c ＝10，故双曲线M 的离心率e ＝ca ＝10.8．(2017·沈阳模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，b ＝－2，则输出的a 的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a ＝(－1)×(－2)＝2＜6；当a ＝2，b ＝－2时，a ＝2×(－2)＝－4＜6；当a ＝－4，b ＝－2时，a ＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时输出的a ＝8，故选B.答案：B 二、填空题9．(2017·泰安模拟)已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于________．解析：因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，所以|c |＝a ·c |a |cosπ3＝22×12＝2. 答案：210．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在某5次综合测试中的成绩(均为整数)，其中一个数字模糊不清，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．解析：由茎叶图可知，x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，设模糊不清的数字为a (0≤a ≤9，a ∈N )，则x 乙＝83＋83＋87＋90＋a ＋995＝88.4＋a5.若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则88.4＋a5≥90，解得a ≥8，所以a ＝8或a ＝9，所以甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为15.。
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选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.
三、中考典例剖析
考点一：直接法
从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.
例1 （2012•白银）方程的解是（）
A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0
特例法
例2 （2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且a c
b d
<，给出下列四个不等式：
①
a c
a b c d
<
++
；②
c a
c d a b
<
++
；③
d b
c d a b
<
++
；④
b d
a b c d
<
++。
其中不等式正确的是（）
直观选择法
例5（2012•贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（）
A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
动手操作法
例7 （2012•西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（）
特征分析法
例6 （2012•威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（）
A．B．
C．D．
四、中考真题演练
1．（2012•衡阳）一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为（）
A．30πcm2B．25πcm2C．50πcm2D．100πcm2 2．（2012•福州）⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm，如果O1O2=7cm，则这两圆的位置关系是（）
A．内含B．相交C．外切D．外离5．（2012•黄石）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（）A．x=1，y=3 B．x=3，y=2 C．x=4，y=1 D．x=2，y=3
6．（2012•长春）有一道题目：已知一次函数y=2x+b，其中b＜0，…，与这段描述相符的函数图象可能是（）
A．B．
C．D．
7．（2012•荆门）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（）
A．2 B．3C．4D．5 8．（2012•河池）若a＞b＞0，则下列不等式不一定成立的是（）
A．ac＞bc B．a+c＞b+c C．D．a b＞b2
9．（2012•南通）已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于（）
A．64 B．48 C．32 D．16 10．（2012•六盘水）下列计算正确的是（）
A．B．（a+b）2=a2+b2C．（﹣2a）3=﹣6a3D．﹣（x﹣2）=2﹣x 11．（2012•郴州）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）12．（2012•莆田）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平
均数均为166cm，且方差分别为=1.5，=2.5，=2.9，=3.3，则这四队女
演员的身高最整齐的是（）
A．甲队B．乙队C．丙队D．丁队13．（2012•怀化）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8，则下列说法正确的是（）
A．甲秧苗出苗更整齐B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐D．无法确定
15．（2012•钦州）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB，在把以AB的中点O为顶点的平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（）
A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形17．（2012•大庆）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为（）
A．（1，）B．（﹣1，）C．（O，2）D．（2，0）18．（2012•长春）在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组成中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
19．（2012•凉山州）已知，则的值是（）
A．B．C．D．20．（2012•南充）下列几何体中，俯视图相同的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
中考考点精讲
考点一：动态探索型：13．（2012•扬州）已知2a﹣3b2=5，则10﹣2a+3b2的值是．故答案为：5．
14．（2012•黔西南州）已知﹣2x m﹣1y3和x n y m+n是同类项，则（n﹣m）2012=．
故答案为：1．
15．（2012•常州）已知x=y+4，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25的值为．
故答案是：﹣9．
17．（2012•黄冈）已知实数x满足x+=3，则x2+的值为．
故答案为：7．
18．（2012•鄂州）在锐角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．
考点：轴对称-最短路线问题。
810360
专题：探究型。
分析：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
解答：解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=4×=4．
故答案为：4．
点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
三、解答题
16．（2012•丽水）已知A=2x+y，B=2x﹣y，计算A2﹣B2．
20．（2012•攀枝花）先化简，再求值：，其中x满足方程：
x2+x﹣6=0．
例1 （2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
考点二：结论探究型：
此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目．例3 （2012•盐城）如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）。