概统(第四章)ppt课件
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第4章随机变量的数字特征
北京理工大学《概率论与数理统计》分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在某些实际问题中，不需要全面考查随机变量的变化，只需知道它的随机变量的某些数字特征也就够了.评定某企业的经营能力时，只要知道该企业例如：年平均赢利水平研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平均粒数及平均重量考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小.由上面的例子看到，平均盈利水平、平均粒数、平均环数、数据的波动大小等，都是与随机变量有关的某个数值，能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好就是某些数字特征，因此，只要知道了这些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的平均取值——数学期望4.2随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差4.3 描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数4.1 数学期望一离散型随机变量的数学期望二连续型随机变量的数学期望三常见分布的数学期望四随机变量函数的数学期望五数学期望的性质六、数学期望的应用一离散型随机变量的数学期望引例射击问题设某射击手在同样的条件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k 2 13 15 10 20 30频率n k/n2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/90试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?解：平均命中环数这是以频率为权的加权平均命中环数Y0 1 2 3 4 5命中次数n k2 13 15 10 20 30频率n k /n 2/90 13/90 15/90 10/90 20/90 30/900211321531042053090×+×+×+×+×+×=21315102030012345909090909090=×+×+×+×+×+×50k k n k n =⋅∑ 3.37.==射中靶的总环数射击次数平均射中环数频率随机波动随机波动“平均射中环数”的稳定值?=由频率的稳定性知：当n 很大时：频率n k /n 稳定于概率p k 稳定于50k k n k n =⋅∑50k k k p =⋅∑50k k n k n =⋅∑“平均射中环数”等于射中环数的可能值与其概率之积的累加定义1 设X 是离散型随机变量，它的概率分布是:P {X =x k }=p k , k =1,2,…如果绝对收敛,则称它为X 的数学期望或均值.记为E (X ), 即如果发散，则称X 的数学期望不存在.1k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑1||k k k x p∞=∑注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.注1：随机变量X 的数学期望完全是由它的概率分布确定的，而不应受X 的可能取值的排列次序的影响，因此要求绝对收敛1k k k xp ∞=<+∞∑11111(1)1ln 2234212n n−+−++−→− 1111111(2)1ln 22436852−−+−−+→注2.E (X )是一个实数，而非随机变量，它是一种以概率为权的加权平均，与一般的算术平均值不同，它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值，也称均值.当随机变量X 取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等.假设X 1P80 85 90 1/4 1/4 1/21()800.25850.25+900.586.25E X =×+××=X 2P80 85 901/3 1/3 1/32()85.E X =注3.数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望.乙射手甲射手例1.甲、乙两个射击手，他们射击的分布律如下表所示，问：甲和乙谁的技术更好?击中环数8 9 10概率0.3 0.1 0.6击中环数8 9 10概率0.2 0.5 0.3单从分布列看不出好坏，解：设甲，乙两个射击手击中的环数分别为X 1，X 2E (X 1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3（环）E (X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1（环）例2.1654年职业赌徒德.梅尔向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局.他们约定，谁先赢三局，则得到全部100法郎的赌本.当甲赢了2局，乙赢了1局时，因故要中止赌博.现问这100法郎如何分才算公平？解：假如比赛继续进行下去，直到结束为止. 则需要2局.这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.设：X、Y分别表示甲和乙得到的赌金数. 则分布律分别为：X0 100 P1/4 3/4Y0 100 P3/4 1/4这时，可能的结果为：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙即：甲赢得赌局的概率为3/4，而乙赢的概率为1/4.E(X)=0×1/4+100×3/4=75E(Y)=0×3/4+100×1/4=25即甲、乙应该按照3：1的比例分配全部的赌本.例3.确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为30%,可得利润8万元,失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行,同期间的利率为5%,问是否做此项投资?解：设X 为此项投资的利润，则存入银行的利息：故应该选择该项投资.(注：投资有风险，投资须谨慎)X 8 −2P0.3 0.7此项投资的平均利润为：E (X )=8×0.3+(−2)×0.7=1(万元)10×0.05=0.5(万元)设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x ).问题：如何寻找一个体现随机变量平均值的量.将X 离散化.二、连续型随机变量的数学期望在数轴上取等分点：…x −2<x −1<x 0<x 1<x 2<…x k +1−x k =∆x ，k =0,±1,….，并设x k 都是f (x )的连续点.则小区间[x i ,x i+1)阴影面积近似为f (x i )∆x i1()i x x f x dx+=∫()i f x x≈∆P {x i <X ≤x i +1}定义一个离散型随机变量X *如下：其数学期望存在，且绝对收敛时，P {X *=x i }=P {x i ≤X <x i +1} ≈f (x i )∆x对于X *，当当分点越来越密，即∆x →0时，可以认为X *=x i 当且仅当x i ≤X <x i +1(*)i i ix P X x =∑(*){*}i i iE X x P X x ==∑()i i ix f x x ≈∆∑0=lim ()i i x ix f x x ∆→∆∑则其分布律为E (X *) →E (X ) *0=lim x EX EX ∆→即有：+()xf x dx∞−∞=∫定义2：设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )，如果绝对收敛，则称的值为X 的数学期望，如果积分发散，则称随机变量X 的数学期望不存在.+()xf x dx ∞−∞∫+||()x f x dx∞−∞∫即+()()E X xf x dx∞−∞=∫+()xf x dx ∞−∞∫记为E (X ).注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量.三、常见分布的数学期望1.0−1分布设随机变量X服从参数为p的0−1分布，求EX.解：X的分布律为X0 1P1−p p则：E(X)=0×P{X=0}+1×P{X=1}=P{X=1}=p概率是数学期望的特例(第五章)2.二项分布X 的分布律为P {X =k }=C n k p k (1−p )n−k ,k =0,1,…,n .解：设随机变量X ~b (n ,p )，求EX .0{}nk EX kP X k ==∑0(1)n k k n k n k kC p p −=−∑1!(1)!()!n k n kk n k p p k n k −=−−∑1(1)(1)1(1)!(1)(1)!()!nk n k k n np p p k n k −−−−=−−−−∑11(1)1(1)n l k l ln ln l np Cp p −=−−−−=−∑1[(1)]n np p p −=+−np=抛掷一枚均匀硬币100次，能期望得到多少次正面3.泊松分布则解：X 的分布律为设随机变量X ~π(λ)，求EX .{},0,1,2,!kP X k e k k λλ−=== 00(){}!k k k e E X kP X k k k λλ−∞∞=====∑∑11(1)!k k ek λλλ−∞−==−∑1!ii k i e i λλλ∞=−−=∑=e e λλλλ−=1!k k e k k λλ−∞==∑泊松分布的参数是λ4.几何分布解：X 的分布律为P {X =k }=q k −1p ,k =1,2,….p+q =1设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，求EX .111(){}k k k E X kP Xk k pq∞∞−=====⋅∑∑11k k p k q∞−=⋅∑1=()kk p q ∞=′∑1=()k k p q ∞=′∑()1q p q′=−211(1)p q p=−重复掷一颗骰子平均掷多少次才能第一次出现6点设X ~U (a , b )，求E (X ).解：X 的概率密度为：X 的数学期望为：数学期望位于区间(a ,b )的中点.5.均匀分布1()0a xb f x b a<<=− 其它()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞−∞+===−∫∫设X 服从指数分布，求E (X ).分部积分法6.指数分布当概率密度表示为：对应的数学期望为θ.,0()0,x e x f x x λλ− >=≤ 0xxedx λλ+∞−=∫()()E X xf x dx +∞−∞=∫1λ=1,0()0,0xe xf x x θθ− > = ≤解：X 的概率密度为：设X ~N (μ,σ2)，求E (X ).解：X 的概率密度为被积函数为奇函数，故此项积分为0.7.正态分布22()21()2x f x eµσπσ−−=()()E X xf x dx +∞−∞=∫22()212x xedxµσπσ−+∞−−∞=∫221()2x t t t edtµσσµπ−=+∞−−∞+∫ 2222122t t tedt edt σµππ+∞+∞−−−∞−∞+∫∫µ=N (0,1)的密度函数积分为1.注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy 分布的密度函数为但发散故其数学期望不存在.21(),(1)f x x x π=−∞<<+∞+2||||()(1)x x f x dx dx x π+∞+∞−∞−∞=+∫∫四随机变量函数的数学期望设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.例4.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为X (以年计)，规定：X ≤1,一台付款1500元；1<X ≤2，一台付款2000元2<X ≤3，一台付款2500元；X >3，一台付款3000元设X 服从指数分布，且平均寿命为10年，求该商店一台电器的平均收费.解：设该商店一台电器的收费为Y .要求E (Y )X 的分布函数为：1101,()0,0x e x F x x − −>=≤设该商店一台电器的收费为YX ≤1，一台付款1500元1 <X ≤2，一台付款2000元2 <X ≤3，一台付款2500元X >3，一台付款3000元1101,0()0,0x ex F x x − −>=≤P {Y =1500}=P {X ≤1}=F (1)=1−e −0.1=0.0952P {Y =2000}=P {1<X ≤2}=F (2)−F (1)=0.0861P {Y =2500}=P {2<X ≤3}=F (3)−F (2)=0.0779P {Y =3000}=P {X >3}=1−F (3)=0.7408设X 服从指数分布，且平均寿命为10年.Y 的分布律为所以该商店一台电器的平均收费，即Y 的数学期望为Y 1500 2000 2500 3000P0.0952 0.0861 0.0779 0.7408()15000.095220000.086125000.0779 30000.74082732.15E Y =×+×+×+×=使用上述方法必须先求出g(X)的分布，有时这一步骤是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布，而只根据X的分布求E[g(X)]呢？例5.设离散型随机变量X 的概率分布如下表所示,求:Z=X 2的期望.X−11P214141E (Z )= g (0)×0.5+g (-1)×0.25+g (1)×0.25解:=0.5注:这里的.)(2x x g =(1)当X 为离散型随机变量时，分布律为P {X = x k }=p k ，k =1,2,⋯(2)当X 为连续型随机变量时，概率密度函数为f (x ).定理：设Y 是随机变量X 的函数，Y =g (X )(g 是连续函数)若级数绝对收敛，则有若积分绝对收敛，则有1()[()]()kkk E Y E g X g x p∞===∑()[()]()()E Y E g X g x f x dx+∞==∫1()k k k g x p ∞=∑()()g x f x dx+∞−∞∫该公式的重要性在于：当求E [g (X )]时，不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了，这给求随机变量函数的期望带来很大方便.k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X 1(),()[()]()(),∞=+∞−∞== ∑∫离散型连续型例6.设随机变量X~b(n, p)，Y=e aX，求E(Y).解：因为X的分布律为所以有{}(1), 0,1,...,k k n knP X k C p p k n−==−= ()E Y=(1)nak k k n knke C p p−=−∑()(1)nk a k n knkC e p p−=−∑[(1)]a npe p=+−={}nakke P X k==∑例7.设X ~U [0,π]，Y=sinX ，求E (Y ).解：因为X 的概率密度为所以有1,0()0,x f x ππ≤≤ =其他()sin ()E Y xf x dx +∞−∞=∫01sin x dx ππ⋅∫2π=定理：设Z 是随机变量X 和Y 的函数，Z =g (X,Y )(g 是连续函数),Z 是一维随机变量(1)若(X,Y )是二维离散型随机变量，概率分布为(2)若(X,Y )是二维连续型随机变量，概率密度为f (x, y )，则有这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛11()[(,)](,)ijijj i E Z E g X Y g x y p∞∞====∑∑()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则有几个常用的公式()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞==∫∫(,)EX xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫(,)EY yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E Y y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫22()(,)E X x f x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫()(,)E XY xyf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫例8.设二维随机变量(X ,Y )的密度函数为求E (X ),E (Y ),E (X +Y ),E (XY ).解：21(13),02,01,(,)40,x y x y f x y +<<<< =其它()(,)E X xf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4x xdx y dy =⋅+∫∫43=()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞−∞−∞=∫∫212001(13)4xdx y y dy +∫∫58=数学期望的性质注意：X ,Y 相互独立()()(,)E X Y x y f x y dxdy+∞+∞−∞−∞+=+∫∫(,)(,)xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞+∞+∞−∞−∞−∞−∞+∫∫∫∫()()E X E Y +45473824=+=()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫2120011(13)22x xdx y y dy=⋅⋅+∫∫455386=⋅=()()E X E Y ⋅设X =(X 1,…, X n )为离散型随机向量，概率分布为≥ 1nnj j j j n P X =x ,,x =p ,j ,,j .11{()}1Z = g (X 1,…, X n ),若级数绝对收敛，则.<∞∑ nnnj j j j j j g x ,,x p 111()=∑ nnnn j j j jj j E Z =E g X ,,X g x ,,x p 1111()(())()设X =(X 1,…, X n )为连续型随机向量，联合密度函数为 n f x x 1(,,)Z = g (X 1,…, X n ),若积分绝对收敛，则+∞+∞−∞−∞∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d n E Z E g X X 1()=((,,))+∞+∞−∞−∞=∫∫n n ng x x f x x x x 111(,,)(,,)d d五数学期望的性质1.设C 是常数，则E (C )=C 4.设X 、Y 相互独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2.若k 是常数，则E (kX )=kE (X )3.E (X +Y )=E (X )+E (Y )注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立推广(诸X i 相互独立时)推广11[]()nni i i i i i E C X C E X ===∑∑11[]()n ni i i i E X E X ===∏∏性质4 的逆命题不成立，即若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立.反例XY p ij -1 0 1-10181818181818181810p • j838382p i•838382X Y P-1 0 1828284EX EY ==0;E XY ()=0;=E XY EX EY ()但P X Y 1{=-1,=-1}=8≠=P X P Y 23{=-1}{=-1}8××=30+2103-3+5=92X XY Y X XY Y E(3+2-+5)=3E()+2E()-E()+E(5)性质2和3×××EX EY =310+2-3+5性质4例9.设X ～N (10,4)，Y ～U [1,5]，且X 与Y 相互独立，求E (3X ＋2XY －Y ＋5).解：由已知，有E (X )＝10, E (Y )＝3.例10: 设X 1 , X 2…,X n 相互独立且都服从B (1, p ),求Z = X 1 + X 2+…+X n 的数学期望E (Z ).解:注: 由二项分布的可加性易知Z = X 1 + X 2+…+X n ～B (n, p ).EZ = E (X 1 + X 2+…+X n )= E (X 1 ) +E ( X 2)+…+E (X n )= p +p +…+p =n p求二项分布的数学期望的又一种方法.例11.（超几何分布的数学期望）设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件.今从中任取n (假定n ≤N −M )件，记这n 件中所含的次品数为X ，求E (X ).则有所以解: 引入X ＝X 1+X 2+…+X n且易知抽签模型，概率与试验次数无关例10和例11：将X 分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的期望等于期望的和这一性质，此方法具有一定的意义.1,,1,2,,0,i i X i n i ==第件是次品第件不是次品iMP X N{1}==1()ni i EX E X ==∑ni i P X 1{1}==∑1ni M N ==∑nM N =为普查某种疾病，N 个人需验血.有如下两种验血方案：（1）分别化验每个人的血，共需化验N 次；（2）分组化验.每k 个人分为1组，k 个人的血混在一起化验，若结果为阴性，则只需化验一次；若为阳性，则对k 个人的血逐个化验，找出有病者，此时k 个人的血需化验k+1次.设每个人血液化验呈阳性的概率为p ，且每个人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.验血方案的选择例13.六、数学期望的应用解：只需计算方案(2)所需化验次数X 的期望.。
概率论基础第四章ppt
P{ X k}
k
e
k 0,1, 2, , 0
X 的数学期望为 x ab E ( X ) xf ( x)dx dx ba 2 a
b
即数学期望是区间[a, b]的中点. 例4.5已知随机变量 X ~ e( ) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 e x x 0 f ( x) x0 0
概率论
第四章 随机变量的数字特征与特征函数
随机变量的数学期望 随机变量的方差 随机变量的矩与中位数 随机变量间的协方差与相关系数 熵与信息 随机变量的特征函数 小结与练习
二、数学期望的定义 离散型随机变量 Def 设离散型随机变量的概率分布为
P( X xi ) pi
b
例4.11已知随机变量 X ~ N ( , 2 )。求方差 D( X ).
解: X 的概率密度为 f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
xR
易知数学期望为 E ( X ) 所以，随机变量X 的方差为
D( X ) ( x )
t x 2 1 e 2 ( x )2 2 2
k! X 的数学期望为 k e k 1 E( X ) k e e e k! k 0 k 1 ( k 1)! 即 E( X ) 例4.4已知随机变量 X ~ U (a, b) 。求数学期望 E ( X ). 解: X 的概率密度为 1 a xb f ( x) b a 0 其它
k!
k e
k!
k! k! k 0 k e k (k 1) 2e e 2 k! k 2 而已知 E( X ) 所以，X 的方差为 D( X ) E ( X 2 ) -[ E ( X )]2
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2 2a
所以 f(s,t)4
1 a2
s2t2
e4a22
2
1对概念的理解:
描述随机变量X波动大小的量( B )
(A)数学期望EX
(B)方差DX
(C)X的分布函数F(x) (D)X的密度函数f(x)
设 X~N(μ,σ2),在下列哪种情况下的概率密度曲
线比较平缓(D )
(A) 较小 (B) 较大 (C) 较小 (D) 较大
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机 X和 Y 变 相量 互 ,那 独么 立
D (X Y ) D (X ) D (Y ).
若随机X变 和Y 量 不相互独立
D(XY)?
D (X Y ) E { (X Y ) E (X Y ) } 2
D ( X ) D ( Y ) 2 E { [ X E ( X ) ] [ Y E ( Y ) ] } .
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2随机变量函数的数学期望
(1)离散型随机变量函数的数学期望
若 Y=g(X), 且 P { X x k } p k ,k 1 ,2 , ,
则有
E(g(X)) g(xk)pk.
k1
(2)连续型随机变量函数的数学期望
若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
由方差性质知
P { Y ( a 0 b 0 X ) 0 } 1 ,或 P { Y a 0 b 0 X } 1 .
例4.4.3 设X和Y 是相互独立的随,都 机服 变从 量
正态分N布(0,2),又 aXbY,aXbY (1) 求 与的相关系数 (2) 问， 是否相关？是否独立？ (3) 当， 相互独立,求时(,)的联合密度函数
概率统计简明教程(同济版)课件第4章
例
随机变量的实例
X 的可能取值为 [0,+)
某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.
Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,M
在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X.
X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。 随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两 类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分 别进行讲述。
x -1
1 , 6
0
1 , 2
x 2
1 3
x 3 x
x
当 x 1时， F x P X x 0. X x是不可能事件，
1 当 1 x 2 时， X x就是 X 1, F x 6 . X x就是X 1或X 2, 当 2 x 3 时，
8 9 10 C10 0.98 0.12 C10 0.99 0.1 C10 0.910
0.9298
泊松分布
Poisson distribution
定义
若随机变量 X 的分布律为:
P( X k )
k
k!
e , k 0,1,2...
其中 >0, 则称X服从参数为的泊松分布
已知 X 的分布律为
X
P
1
1 2
0
1 3
1
1 12
2
1 12
求X的分布函数，
并画出它的图形。
第二节
重点
离散型随机变量
理解离散型随机变量及分布律的概念
会用分布律或分布函数的概念和性质计 算有关事件的概率
随机变量的类型
离散型 随机变量的所有取值是有限个或可数个 非离散型 随机变量的取值不能一一列举 连续型随机变量
概率统计(新课本)第四章
第四章
随机变量的数字特征
例6 设(X,Y)的联合密度函数为
求 (1) E ( X ) 解:
π π ⎧ ⎪cos x cos y 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ f ( x, y ) = ⎨ 2 2 ⎪ 0 其它 ⎩
+∞
(2 ) E (Y )
+∞
2
(3) E ( XY )
π
−1
(1) E ( X ) = ∫−∞ ∫−∞ xf ( x , y ) d x d y
第四章
随机变量的数字特征
引
言
分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际 应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的 某些特征. 例如： 某某人怎么样？ “帅”就一个字。 又如: 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否 高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是 否小.
第四章
2
+∞
2
2. 通用公式： D( X ) = E( X 2 ) − E 2 ( X )
证明： DX = E ( X − EX ) = E X 2 − ( 2EX ) ⋅ X + ( EX )2
2
(
)
= EX − ( 2EX ) ⋅ EX + ( EX )
2
2 2 2
2
2
= EX − 2 ( EX ) + ( EX ) = EX 2 − ( EX )
解：设 a 为准备出口的货源数量，这个数量可只介 于 2000 与 4000 之间， Y 表示国家的收益 用 （万元）
3a, a ≤ X ≤ 4000 ⎧ 则, Y = g ( X ) = ⎨ ⎩3 X − ( a − X ) = 4 X − a, 2000 ≤ X < a
数学建模-第四章-概率统计模型PPT参考课件
8
数
学 4.1.2 风险型决策问题
建
模
1．最大可能准则
由概率论知识，一个事件的概率就是该事
件在一次试验中发生的可能性大小，概率越 大，事件发生的可能性就越大。基于这种思 想，在风险决策中我们选择一种发生概率最 大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自 然状态的决策方法，这就是最大可能准则。 这个准则的实质是将风险型决策问题转化为 确定型决策问题的一种决策方法。
建 解 悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的
模 最大效益值为
m i nj {a1 j } min{50,10,5} 5
m i nj {a2 j } min{30,25,0} 0
m i nj {a3 j } min{10,10,10} 10
所以最大效益的最大值为
ma
x
i
m
29
数
学 建
4.2 报纸零售商最优购报问题
模
报纸零售商售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
数学建模
（Mathematical Modeling)
1
数 学 建 模
概率统计模型
2
数
学
建
概率统计模型
模
决策模型
报纸零售商最优购报问题
经济轧钢模型
线性回归模型
排队论模型
建模举例
重点:概率统计模型的建立和求解 难点:概率统计模型的基本原理及数值计算
3
数
学 建
4.1 决策模型
模
决策问题是人们在政治、经济、技术和
9
数
பைடு நூலகம்
概率论与数理统计 第4章
dx 令t
t2 2
x
，得
E( X )
1 2
( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x
，得
E( X )
1 2
( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则 性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量， 则有 性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有 为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以 于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值 解 引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值
1-91
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例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻， 则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
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已知
1-91
统计学第四章概率基础简明教程PPT课件
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC) P( BC) P( ABC) 30% 3 10% 0 0 0 80%
三、古典概型
（一）古典概型中的概率 设事件 A 中所含样本点个数为 N(A) ，以 N(S) 记样本空间S中样本点总数，则有
第四章 概率基础
• 第一节 概率含义和古典概型
• 第二节 概率的基本运算 • 第三节 概率分布 • 第四节 常见的概率分布
第一节 概率含义和古典概型
一、随机事件
（一）概念 1.定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事 件”, 简称“事件”.记作A、B、C等 任何事件均可表示为样本空间的某个子集. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件. 例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B=“两次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{x:1000<x<T(小时）}。
P（A）应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
二、随机事件的概率
（一）概率的统计定义（频率与概率） 1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每 一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数 P(A)满足条件：(1) P(A) ≥0；(2) P(S)＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
概率论与数理统计ppt课件
注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
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事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
概率论与数理统计第四版ppt精选课件
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第一章 概率论的基本概念
§3 频 率 与 概 率
(一) 频率的定义和性质 定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
(2) B2 = (A1∪A3)( A2∪A4)
第一章 概率论的基本概念
§2 样本空间随机事件
例3 在S4 中（测试灯泡寿命的试验）
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品”
事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品”
则 A与B是互为对立事件； A与C是互不相容事件；
这时，样本空间由坐标平面第一象限 内一定区域内一切点构成 .
也可以按某种标准把支出分为高、 中、低三档. 这时，样本点有（高,高）, （高,中），…，(低,低）等9种，样本空 间就由这9个样本点构成 .
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第一章 概率论的基本概念
二 随机事件
§2 样本空间随机事件
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等；
第一章 概率论的基本概念
§1 随机试验
§1 、 随 机 试 验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛，它包 括各种各样的科学实验，也包括对 事物的某一特征的观察。
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其典型的例子有 E1：抛一枚硬币两次，观察正面H（Heads）、