一元一次方程工程问题
第三章 第12课 一元一次方程与实际问题(6)(工程问题)-七年级上册初一数学(人教版)
第三章第12课一元一次方程与实际问题(6)(工程问题)-七年级上册初一数学（人教版）1. 引言一元一次方程是数学中的基础概念之一，对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍七年级上册初一数学课程中的第三章第12课，重点讲解关于一元一次方程与实际问题的工程问题。
2. 工程问题的背景工程问题是实际生活中常见的一类问题，涉及到工程建设和实际情境。
通过建立一元一次方程，可以帮助解决这些工程问题，提供实际问题的解决思路，培养学生的数学建模能力。
3. 工程问题的基本步骤解决工程问题的基本步骤可以概括为以下几个方面：步骤一：理解问题在解决工程问题之前，我们首先要全面理解问题的背景和要求。
要仔细阅读问题，注意关键信息，明确问题的目标和限制条件。
步骤二：建立方程根据问题的要求，我们需要建立与实际情况相对应的一元一次方程。
要根据问题中提供的条件和约束，找到合适的变量，并建立方程模型。
步骤三：解决方程通过化简方程，使用代数运算的方法，解决一元一次方程，求得变量的具体取值。
在解题过程中要注意求解的准确性和合理性，运用适当的数学方法。
步骤四：检验答案解得方程后，要对结果进行检验，确保方程的解符合实际情况和问题要求。
可以将解得的结果代入原方程，看是否满足等式关系。
4. 工程问题示例问题描述某道路施工工地要修建一个长方形的围墙，长方形的周长是70米，宽度是10米。
围墙的高度质量比为1∶3，要求围墙的高度加上宽度的总和不超过50米。
请问这个围墙的高度是多少？解题过程步骤一：理解问题根据问题描述，我们知道该道路施工工地要修建一个长方形的围墙，围墙的周长是70米，宽度是10米。
而围墙的高度质量比为1∶3，要求围墙的高度加上宽度的总和不超过50米。
问题要求我们求解围墙的高度。
步骤二：建立方程首先，我们设围墙的长度为x，那么围墙的宽度就是10米。
根据周长的定义，周长等于围墙的长度加上围墙的宽度的两倍，即：周长 = 2 * (宽度 + 高度)将已知条件带入该方程，可得：70 = 2 * (10 + x)步骤三：解决方程通过化简方程，我们可以求得围墙的高度的表达式：70 = 20 + 2x 2x = 70 - 20 2x = 50 x = 25所以，围墙的高度是25米。
七年级-人教版-数学-上册-第2课时-一元一次方程的应用——工程问题
例2 某项工作，甲单独做需要 4 小时，乙单独做需要 6 小 时，甲先做 30分钟，然后甲、乙合作．甲、乙合作还需要多少 小时才能完成全部工作？
解法1：设甲、乙合作还需要x小时才能完成全部工作．
根据题意，得
1 4
1 2Βιβλιοθήκη x1 6x
1．
解方程，得 x＝2.1．
答：甲、乙合作还需要2.1小时才能完成全部工作．
归纳
工程问题中的等量关系 （1）在工作总量不明确、不具体的情况下，通常把工作总量看 成单位____1__． （2）工作总量＝_工__作__效__率__×__工__作__时__间__． （3）甲、乙合作的工作效率＝_甲__的__工__作__效__率_＋_乙__的__工__作__效__率__． （4）所有人工作量的和等于__总__工__作__量__．
为 8(x＋2) ．
40
40
思考 根据前面的分析，完成表格：
项目
人均效率 人数 时间/h 工作量
第一阶段工作
1
40
第二阶段工作
1 40
x
4
x＋2
8
4x 40
8(x 2) 40
问题 列出方程，对本题进行解答．
解：设安排 x 人先做 4 h． 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程
4x 8(x 2)＝1．
第2课时 一元一次方程的 应用——工程问题
上节课，我们学习了如何运用一元一次方程来解决实际问 题中的配套问题，本节课，我们来探究一元一次方程与实际问 题——工程问题．
在学习新课之前，先完成下面的填空： 工作量＝__工__作__效__率__×__工__作__时__间__； 工作效率＝_工___作__量__÷__工__作__时__间__； 工作时间＝__工__作__量__÷__工__作__效__率__．
初一上册数学一元一次方程应用题 工程问题
初一上册数学一元一次方程应用题工程问题1. 甲乙两人共同完成一项工作需要4天，如果甲单独做需要6天，乙单独做需要多少天？解析：设乙单独做需要x天，则甲的工作效率为1/6，乙的工作效率为1/x。
两人共同的工作效率为1/4。
根据工作效率的加法原则，我们有：1/6 + 1/x = 1/4解这个方程，得到：x = 12答案：乙单独做需要12天。
2. 一个水池，甲单独排水需要8小时，乙单独排水需要12小时，两人同时排水需要多少时间？解析：设两人同时排水需要x小时，则甲的工作效率为1/8，乙的工作效率为1/12。
两人共同的工作效率为1/x。
根据工作效率的加法原则，我们有：1/8 + 1/12 = 1/x解这个方程，得到：x = 24/5答案：两人同时排水需要24/5小时。
3. 一个工程队完成某项工程，如果每天工作10小时，需要4天完成。
如果每天工作8小时，需要多少天？解析：设需要x天完成工程，则工程总量为10小时/天 * 4天 = 40小时。
如果每天工作8小时，我们有： 8小时/天 * x天 = 40小时解这个方程，得到：x = 5答案：需要5天。
4. 一个工厂生产一批产品，甲机器每天生产200个，乙机器每天生产150个。
两台机器同时工作，多少天可以完成生产任务？解析：设需要x天完成生产任务，则两台机器每天共同生产的数量为200个 + 150个 = 350个。
设总生产任务为N个，我们有：350个/天 * x天 = N个解这个方程，得到：x = N / 350答案：需要N / 350天完成生产任务。
（N为具体的生产任务总数）5. 小明骑自行车去图书馆，以每小时15公里的速度行驶，需要40分钟。
如果以每小时20公里的速度行驶，需要多少时间？解析：首先将40分钟转换为小时，即40分钟 = 40/60小时 = 2/3小时。
设以20公里/小时速度行驶需要x小时，我们有：15公里/小时 * 2/3小时 = 20公里/小时 * x小时解这个方程，得到：x = 1/4将x小时转换为分钟，即1/4小时 * 60分钟/小时 = 15分钟答案：需要15分钟。
七年级一元一次方程：工程问题应用题(答案)
《一元一次方程：工程问题》【基本知识】工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1解工程问题时，常将工作总量当作整体“1”．基本关系为：工作效率×工作时间=1（工作总量）等量关系：(图示法)工作总量=工作效率×工作时间全部工作量之和=各队工作量之和，各队合作工作效率=各队工作效率之和工作总量不清楚时看成“1”1．工程问题中的三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间=工作总量工作效率工作时间=工作总量工作时间工作效率2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．一、【求时间】1、一项工程甲做40天完成，乙做50天完成，现在先由甲做，中途甲有事离去，由乙接着做，共用46天完成．问甲、乙各工作了多少天？【分析】由题意知，甲每天完成全部工作量的140，乙每天完成150，【解】设工程总量为1，设甲工作了x天，则乙工作了（46x-）天，根据题意，得4614050x x-+=．解得16x=，则461630-=（天）．故甲工作了16天，乙工作了30天．答：甲工作16天，乙工作30天．2、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？【分析】设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
【解】设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，5365331123)121151(===+⨯+x x 解之得 答：乙还需536天才能完成全部工程。
29、一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？【解】设还需x 天。
3101)3(151121310111511213151101==+++⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 解得或11、一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？【解】设还需要x 天完成，依题意，得111()41101515x +⨯+= 解得x =5 答：还需要5天完成12、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?【解】设再用x 小时可全部完成任务1)121151(124151=+++x 解答：x = 4 答：再用4小时可全部完成任务18、某项工作甲单独做4天可完成，乙单独做8天可完成。
实际问题与一元一次方程—工程问题+同步练习2024-2025学年人教版数学七年级上册
5.3 实际问题与一元一次方程—工程问题一、单选题1．图书馆整理一批图书，由一个人做要60h完成．现计划由一部分人先做2小时后，又增加5人与他们一起再做5h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作2h？设先安排x人做2h，则可列方程为（）A．()55216060xx++=B．28516060x x++=C．()55516060xx++=D．52516060x x++=2．甲、乙两工程队开挖一条水渠各需10天、15天，两队合作2天后，甲有其他任务，剩下的工作由乙队单独做，还需多少天能完成任务？设还需x天，可得方程（）A．11()21101515x+⨯+=B．11015x x+=C．2211015x++=D．2211015x++=3．粉刷一个教室甲单独做6天完成，乙单独做4天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲乙合做了x天，则所列方程为（）．A．1164x x++=B．1164x x++=C．1164x x-+=D．111644x x+++=4．甲、乙两个工程队共同承接了某村“煤改气”工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成．若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（）A．8天B．5天C．3天D．2天5．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（）A．222214530x-+=B．222213045x++=C．222214530x++=D．2213045x x-+=6．一项工程，甲单独完成需要40天，每天需要支付工费160元；乙单独完成需要60天，每天需要支付工费100元．若由甲、乙共同参与，在不超过45天的时间内完成该工程，则需要支付的总工费最少是（）A．6000元B．6100元C．6240元D．6400元二、填空题7．一项工程甲单独完成要20小时，乙单独做完成12小时．现在先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合做．完成整个工程一共需要多少小时？问一共需要小时．8．一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成要15天．若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，问：还要多少天能完成这项工程的56？若设还需x天才能完成这项工程的56，所列的方程为．9．一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的23；第二天耕了剩下部分的23，还剩下42公顷没耕完，则这片地共有公顷10．某项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，若甲先做3天，然后甲、乙合作完成此项工作，则甲一共做了天，11．举世瞩目的2022北京冬奥会开幕，各行各业都在用实际行动为冬奥的圆满成功贡献力量．某工厂赶制一批冬奥纪念品，如果只由一个车间生产需要40天完成．现计划由部分车间先生产4天，然后再增加两个车间一起生产8天，完成这项工作．假设这些车间的工人人数相同，工作效率也相同，具体应先安排个车间进行生产．12．七年级（1）班要出有关“红心向党迎国庆”的黑板报，小鹏同学单独做需6小时完成，小天同学单独做需4小时完成．现由小鹏同学先干1小时后，再由小鹏、小天同学合作完成该黑板报，设小鹏、小天同学合作了x小时．（1）根据题意可列方程为；（2）x的值为．三、解答题13．整理一批图书，由一个人做要48小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加3人和他们一起做6小时完成这项工作．假设这些人的工作效率相同．(1)具体应先安排多少人工作？(2)若一开始就以增加后的人数工作，则需要多少小时完成？14．一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲停工了2.5小时，因此，经过7.5小时才完工．如果这项工程由甲单独做需要多少小时？15．某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的面积；（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？（3）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少？16．为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨．今年该厂二期工程即将完成产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水．（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元；（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．17．如图，长方形PQMN是由六个正方形A，B，C，D，E，F拼接而成，已知最大的正方形B的边长是21米，最小正方形A的边长是a米．(1)用含a的式子分别表示正方形C，E，F的边长；(2)求a的值；(3)现有一项沿着长方形PQMN的四条边铺设管道的工程．甲、乙两个工程队共同参与这项工程，甲队单独铺设3天后，乙队加入，两队又共同铺设了6天，这项铺设管道的工程全部完成．已知甲队每天比乙队每天少铺设4米，则甲、乙两队每天各铺设多少米？18．某项工程,甲单独做需18天完成,乙单独做需12天完成,甲、乙二人合做6天以后,再由乙继续完成,乙再做几天可以完成全部工程?。
一元一次方程工程问题分类
一元一次方程工程问题分类
一元一次方程是代数中最简单的线性方程，通常形式为ax+b=0，其中a和b是已知常数，x是变量。
在工程问题中，一元一次方程可以用来描述各种与线性关系相关的问题。
以下是一元一次方程工程问题的一些常见分类：
1.成本和收益问题：
•成本问题：企业生产某种产品的成本是固定成本和每单位生产的变动成本的总和。
通过一元一次方程，可以建立
成本与生产数量之间的关系。
•收益问题：企业销售产品或提供服务的收益可以通过一元一次方程与销售数量之间的关系来描述。
2.时间和距离问题：
•速度问题：当物体匀速运动时，速度和时间之间的关系可以通过一元一次方程表示。
•距离问题：物体在匀速运动中的距离与时间的关系可以通过一元一次方程建模。
3.混合问题：
•液体混合问题：两种液体以不同的比例混合，混合物中某个成分的比例可以通过一元一次方程来表示。
•材料混合问题：不同原材料的混合，可以通过一元一次方程来表示混合物中某个成分的含量。
4.工程测量问题：
•长度和面积问题：工程中测量长度、面积的问题可以通过一元一次方程来描述，例如两个线段的长度之和为定值。
•容积问题：容器中液体的体积与容器的尺寸之间的关系可以使用一元一次方程表示。
5.资源分配问题：
•资源比例问题：将有限的资源分配到不同的部门或项目，可以通过一元一次方程来表示各部门或项目的资源比例。
这些问题只是一元一次方程在工程领域中的应用的一小部分。
在实际应用中，工程师和科学家经常需要根据具体问题建立一元一次方程，以分析和解决实际工程中遇到的各种线性关系问题。
一元一次方程应用题——工程问题
一元一次方程应用题——工程问题话说有一天，小明和他的好朋友小李在一起聊天，聊到了他们的家乡。
小明说：“哎呀，我家附近要修建一个大型公园，到时候肯定很漂亮！”小李好奇地问：“那你们家离公园多远啊？”小明想了想，说：“大概有五公里吧。
”小李点点头，表示理解。
这时候，小明突然想起了一个问题：“你知道吗，我妈妈最近在做一个工程，就是要修建一个长廊，长度是五公里。
这个长廊要连接我们家和公园，这样我们就可以在家门口散步，然后直接走到公园了。
”小李听了，觉得很神奇，于是问：“那这个长廊是怎么修建的呢？”小明笑着说：“这个问题就简单了，我们可以用一元一次方程来解决！”小明给小李讲了一下一元一次方程的基本概念。
他说：“一元一次方程就是只有一个未知数的方程，我们可以通过解方程的方法找到这个未知数的值。
比如说，我们要解决的问题是：小明家到公园的距离是多少？”小李点点头，表示明白了。
接下来，小明开始给小李讲解如何用一元一次方程来解决这个问题。
他说：“我们要确定两个已知的条件。
一个条件是小明家到公园的距离是五公里；另一个条件是小明妈妈要做的长廊长度也是五公里。
”小李点点头，表示理解。
小明接着说：“那么，我们可以用一元一次方程来表示这个问题。
设小明家到公园的距离为x公里，那么我们可以得到这样一个方程：$x+5=10$ 。
”小李疑惑地看着小明，说：“这个方程看起来有点复杂啊，怎么解呢？”小明笑着说：“别着急，我们一步一步来解。
我们要把5移到等式右边，这样就变成了：$x=10-5$ 。
”小李恍然大悟，说：“原来是这样啊！那我们怎么求出x的值呢？”小明说：“我们可以用减法来求解：$x=5$。
所以，小明家到公园的距离是5公里。
”小李听了，觉得非常简单，于是又问：“那如果我们知道长廊的宽度是10米，那么长廊的面积是多少平方米呢？”小明笑着说：“这个问题也很简单，我们还是可以用一元一次方程来解决。
设长廊的长度为y米，那么我们可以得到这样一个方程：$y\times10=500$ 。
人教版七年级上册实际问题与一元一次方程-工程问题(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与工程问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示工程问题中的工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。
人教版七年级上册实际问题与一元一次方程-工程问题（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版七年级上册数学教材第五章“实际问题与一元一次方程”中的工程问题。教学内容主要包括以下两个方面：
1.工程问题的基本概念：通过实例引出工程问题的特点，使学生理解并掌握工程问题中的工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
2.应用一元一次方程解决工程问题：结合教材例题和练习题，让学生掌握如何将工程问题转化为数学模型，列出相应的一元一次方程，并通过求解方程来解决实际问题。
具体内容包括：
（1）教材例题：某工程队计划完成一项工程，若甲、乙两队合作，需要4天时间；若甲、乙两队分别单独完成，甲队需要6天，乙队需要8天。求甲、乙两队单独完成工程的效率。
（2）课后练习：根据工程问题的特点，设计相关练习题，巩固学生对一元一次方程解决工程问题的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生能够从现实情境中抽象出数学模型，提高数学建模的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解工程问题的基本概念，掌握工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。
（2）学会将工程问题转化为数学模型，列出相应的一元一次方程。
（3）掌握求解一元一次方程的方法，并能将其应用于解决工程问题。
用一元一次方程解决工程问题
用一元一次方程解决工程问题一元一次方程是一种常见的数学模型，常被应用于工程问题的解决中。
本文将通过数个实际工程案例，使用一元一次方程来解决相关问题，以帮助读者更好地理解这一数学模型的应用。
假设一种建筑材料每平方米售价为6元，那么一定面积的材料成本可以用以下一元一次方程来表示：成本= 6 ×面积。
如果我们需要计算一块地的铺设材料成本，只要知道了该地的面积，就可以用一元一次方程轻松解决。
比如，如果该地的面积为100平方米，那么铺设材料的成本就是6 × 100 = 600元。
在土木工程中，常常会遇到工程进度问题。
假设某个工程的进度是与投入的人力成正比的，即每增加一个工人，工程的进度就会提前一个单位时间。
我们可以用一元一次方程来表示这种关系：进度= k ×人力，其中k为比例系数。
如果我们知道了工程需要5个工人才能按时完工，那么只要根据一元一次方程解决进度问题，就可以计算出需要多少时间能够完成工程。
在机械工程中，一元一次方程同样具有广泛的应用。
假设某机械的能效系数为0.8，即每消耗1度电产生的效果为0.8单位，我们可以用一元一次方程来表示机械的能效：效果= 0.8 ×电量。
如果我们知道了某个机械需要产生100单位的效果，只要根据一元一次方程计算出所需要的电量，就可以为机械的使用提供有效的借鉴。
此外，一元一次方程也可以用于解决金融工程问题。
假设某银行的存款利率是3%每年，那么存款到期后的本息就可以用一元一次方程来表示：本息=本金× 3% ×存款年限。
如果我们知道某位客户存入了10000元，那么只要根据一元一次方程解决存款问题，就可以计算出存款到期后的本息。
总的来说，一元一次方程在工程问题中有着广泛的应用。
通过对一元一次方程的灵活运用，我们可以更好地解决各类工程问题。
不过需要注意的是，实际工程问题往往更为复杂，只有通过对问题的深入了解和分析，才能选取合适的数学模型来解决问题。
一元一次方程的应用——工程问题专题练习(解析版)
一元一次方程的应用——工程问题专题练习一、选择题1、某工厂计划每天烧煤5吨，实际每天少烧2吨，m 吨煤多烧了20天，则下列方程正确的是（ ）． A. 52m m-=20 B.53m m -=20C. 57m m -=20D. 35m m -=20答案：D解答：由题意得：35m m-=20． 2、整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作的34，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x 人工作，则列方程正确的是（ ）．A.440x +()8240x +=1B.440x +()8240x +=34 C. 440x +()8240x -=1 D.440x +()8240x -=34 答案：B解答：设应先安排x 人工作，根据题意得：一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，工作量为440x，再增加2人和他们一起做8小时的工作量为()8240x +，故可列式440x +()8240x +=34，选B. 3、一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x 天完成这项工程，则可列的方程是（ ） A. 440+4050x+=1 B.440+5040x⨯=1C. 440+50x =1D. 440+40x +50x =1答案：D解答：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分=1， 列出方程式为：404050选D.4、某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后甲，乙合作完成此项工作，若甲一共做了x 天，则所列方程为（ ）． A. 14x ++6x=1 B.4x +16x +=1C. 4x +16x -=1D. 4x +14+16x +=1答案：C解答：解：设甲一共做了x 天，则乙一共做了（x -1）天． 可设工程总量为1，则甲的工作效率为14，乙的工作效率为16． 那么根据题意可得出方程4x +16x -=1， 选C.5、整理一批数据，由一个人做要40小时完成．现在计划由x 人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，则得（ ）．A.440x +()8240x +=1B.440x +()8240x -=1C.()4240x -+840x=1 D.()4240x -+()8240x +=1答案：A解答：由题意得方程为：440x +()8240x +=1．6、一件工作，甲单独做要20小时完成，乙单独做要12小时完成，现在由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，那么剩下的部分需要几个小时完成？若设还要x 小时完成，则依题意可列方程为（ ）． A. 4202012x x--=1 B.42020x -+12x =1C. 420+2012x x-=1 D. 420+20x +12x =1答案：D解答：设还要x 小时完成，由题意得：202012选D.二、填空题7、一条地下管道，甲队单独需要6天完成铺设，乙队单独需要12天完成铺设，若两队合作需要______天完成铺设．答案：4解答：设合作x天完成铺设，由题意，得：（16+112）·x=1，解得x=4．故答案为：4．8、为配合上海南站的大整修，上海铁路局决定修建一个临时车站——梅陇火车站．施工方第一个月修了全长的35%，第二个月修了360米，这时两个月的总米数距车站总长的34还有40米．这个火车站站长______米．答案：1000解答：设这个火车站站长x米．依题意得：x·35%+360=34x-40解得：x=1000答：这个火车站站长1000米．9、一项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若两人合作3天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做______天．答案：3解答：设乙还需要做x天．由题意得：312+38+8x=1解得：x=3．答：乙还需要做3天．10、某小组几名同学准备到图书馆整理一批图书，若一名同学单独做要40h完成．现在该小组全体同学一起先做8h后，有2名同学因故离开，剩下的同学再做4h，正好完成这项工作．假设每名同学的工作效率相同，问该小组共有多少名同学？若设该小组共有x名同学，根据题意可列方程为______．答案：840x+()4240x-=1解答：每个人的工作效率为1 40，该小组全体同学一起做8h ，完成840x ， 2名同学离开，剩下的同学做4h ，完成()4240x -， 由题意得，840x +()4240x -=1．（形式不唯一） 11、一个蓄水池有甲、乙两个出水口，水池满时，若单独开甲出水口6小时可把水池放空；若单独开乙出水口12小时可把水池放空；若同时开放两个出水口，则______小时即可将水池放空． 答案：4解答：设x 小时放空，由题意，得：（16+112）x =1，解得x =4． 12、有两支同样长的蜡烛，一支能点燃4小时，另一支能点燃3小时，一次遇到停电，同时点燃这两支蜡烛，来电后同时吹灭，发现其中的一支是另一支的一半，停电时间为______小时． 答案：125解答：设长度为1，时间为x ，1-13x =12（1-14x ） x =125． 三、解答题13、某车间加工一批零件，计划每天加工12件，加工了全部零件的23后改进了操作，工效提高到原来的54倍，∴比预定时间提早了一天完成，问这批零件共有多少件？ 答案：180件．解答：设这批零件有x 件，可得：2312x +153124x ⨯=12x -1， 15x -180=10x +4x ， x =180．答：这批零件共有180件．14、某石化工程公司第一工程队承包了铺设一段输油管道的工程，原计划用9天时间完成；实际施工时，每天比原计划平均多铺设50米，结果只用了7天就完成了全部任务．求实际施工时，平均每天铺设多少米？这段输油管道有多长？答案：实际施工时，平均每天铺设225米；这段输油管道有1575米． 解答：设实际施工时，平均每天铺设x 米． 依题意，得9（x -50）=7x ． 解得x =225． 7x =7×225=1575．答：实际施工时，平均每天铺设225米；这段输油管道有1575米．15、有一些相同的房间需要粉刷墙面．一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多粉刷了另外的40平方米墙面．每名一级工比二级工一天多粉刷10平方米墙面，求每名一级工、二级工每天分别刷墙面多少平方米．答案：每名一级工、二级工每天分别刷墙面122平方米，112平方米． 解答：设每一个房间的墙面共有x 平方米，则850104035x x -+-=10， 解得x =52，8503x -=122（平方米）， 10405x +=112（平方米）， 答：每名一级工、二级工每天分别刷墙面122平方米，112平方米．16、某地为了打造风景带，将一段长为360m 的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m ，乙工程队每天整治16m ，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．答案：甲工程队整治了120米的河道，乙工程队整治了240米的河道． 解答：设甲工程队整治了x 米的河道， 则乙工程队整治了（360-x ）米的河道． 根据题意得：24x +36016x -=20， 解得：x =120，∴360-x =240．答：甲工程队整治了120米的河道，乙工程队整治了240米的河道．17、市政府要求地铁2号线工程12个月完工．现由甲、乙两工程队参与施工，已知甲队单独完成需要16个月，每月需费用600万元；乙队单独完成需要24个月，每月需费用400万元．由于前期工程路面较宽，可由甲、乙两队共同施工．随着工程的进行，路面变窄，两队再同时施工，对交通影响较大，为了减小对解放大道的交通秩序的影响，后期只能由一个工程队施工．工程总指挥部结合实际情况现拟定两套工程方案：①先由甲、乙两个工程队合做m 个月后，再由甲队单独施工，保证恰好按时完成． ②先由甲、乙两个工程队合做n 个月后，再由乙队单独施工，也保证恰好按时完成． （1）求两套方案中m 和n 的值．（2）通过计算，并结合施工费用及施工对交通的影响，你认为该工程总指挥部应该选择哪种方案？答案：（1）m =6；n =8． （2）方案一． 解答：（1）1216+24m=1，解得m =6； 16n +1224=1，解得n =8． （2）方案一：施工费为600×12+400×6=9600万元，两队同时施工时间为6个月． 方案二：施工费用为600×8+400×12=9600万元，两队同时施工时间为8个月． 方案一与方案二施工费用相同，但方案一对交通影响较小，故采用方案一． 答：该工程总指挥部应该选择方案一． 18、列方程解应用题．（1）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m 3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m 3）？（2）加工一批零件，张师傅单独加工需要40天完成，李师傅单独加工需要60天完成．现在由于工作需要，张师傅先单独加工了10天，李师傅接着单独加工了30天后，剩下的部分由张、李二位师傅合作完成，这样完成这批零件一共用了多长时间？ 答案：（1）中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m 3，11500m 3． （2）完成这批零件一共用了46天．解答：（1）设美国人均淡水资源占有量为xm3，中国人均淡水资源占有量为15xm3，依题意得：x+15x=13800，解得x=11500，则15x=2300．答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3．（2）设完成这批零件共用x天．根据题意，得：10÷40+30÷60+（1÷40+1÷60）（x-40）=1，解得：x=46．答：完成这批零件一共用了46天．19、某工程由哥哥单独做40天后，再由弟弟单独做28天可以完成，现在兄弟两人合作35天就完成了，如果先由哥哥单独做30天，再由弟弟单独做，那么弟弟要工作多少天才能完成这项工程？答案：42天．解答：设哥哥的工作效率为x，则弟弟的工作效率为135-x．依题意有：40x+28（135-x）=1，解得：x=160∴弟弟的工作效率为113560=184．那么哥哥单独作30天后，弟弟还要作（1-30 60）÷184=42天．20、某中学举行校运会，初二（1）班同学准备用卡纸制成乒乓球拍和小旗作道具．若一张卡纸可以做3个球拍或6面小旗，用21张卡纸，刚好能够让每位同学拿一个球拍和一面小旗．（1）应用多少张卡纸做球拍，多少张卡纸做小旗？（2）若每个人的工作效率都相同，一个人完成道具制作要6个小时，先安排2个人做半小时，再增加几个人做1小时可以刚好完成？答案：（1）14张卡纸做球拍，7张卡纸做小旗．（2）再增加3个人做1小时可以刚好完成．解答：（1）设x张卡纸做球拍，则（21-x）张卡纸做小旗，依题意可得：3x=6（21-x），解得：x=14，21-x=21-14=7，答：14张卡纸做球拍，7张卡纸做小旗．（2）设再增加y个人做1小时可以刚好完成，由题意可得：16×12×2+16×1×（2+y）=1，解得：y=3，答：再增加3个人做1小时可以刚好完成．21、整理一批图书，若由一个人独做需要80个小时完成，假设每人的工作效率相同．（1）若限定32小时完成，一个人先做8小时，再需增加多少人一起做才能在规定的时间内完成？（2）计划由一部分人先做4小时，然后增加3人与他们一起做4小时，正好完成这项工作的34，应该安排多少人先工作？答案：（1）再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成．（2）应安排6人先工作．解答：（1）设再需增加x人帮忙才能在规定的时间内完成，可得：880+32880-（x+1）=1，解得：x=2．答：再需增加2人帮忙才能在规定的时间内完成．（2）设应该安排x人先工作，可得：480x+()4380x+=34，解得：x=6．答：应安排6人先工作．22、某公司有A、B两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷，学校举行期末考试，数学试卷如果用复印机A、B单独复印，分别需要90分钟和60分钟，在考试时为了保密需要，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前用两台复印机同时复印．（1）两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？（2）在复印30分钟后B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟，请你算一下，如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？（3）B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复使用，请你再算算，学校是否能按时发卷考试？答案：（1）两台复印机同时复印，共需要36分钟才能印完． （2）会影响考试发卷． （3）可以按时发卷考试．解答：（1）设共需要x 分钟才能印完，（190 +160）x =1，解得x =36． （2）设由A 机单独完成剩下的任务要y 分钟才能印完（190+160）×30+90y =1，解得y =15＞13．（3）设当B 机恢复使用时，两机又共复印了z 分钟完成任务（190+160）×30+990+（190+160）z =1，解得z =2.49+2.4=11.4＜13． 23、武汉巨人教学楼墙面粉刷装修，有一些相同的教室需要粉刷．一天3名一级工去粉刷8间教室，结果其中有50m 2的墙面未来得及刷．同样的时间内5名二级技工粉刷了10间教室的墙面之外，还多刷了另外的40m 2的墙面．每一级技工比二级技工一天多刷10m 2的墙面． （1）求每间教室需要粉刷的墙面面积．（2）现剩下40间半这样教室需要粉刷，已知每名一级技工，二级技工每天的工资分别是363元、336元，要求在3天内完成，要求在这8个人中雇佣人员，请提出一个最省钱的方法？并求出此时粉刷的墙面的总费用．答案：（1）每间教室需要粉刷的墙面面积为52m 2． （2）选择3名一级技工，3名二级技工粉刷3天． 总费用为：3×（363+336）×3=6291元．解答：（1）设每间教室需要粉刷的墙面面积为xm 2．850104035x x -+-=10， 解出x =52，答：每间教室需要粉刷的墙面面积为52m 2． （2）由（1）可知，当x =52时，8503x - =122． ∴一级技工每天可刷122，二级技工每天可刷112． 现在需要粉刷的墙面面积为40.5×52=2106． ∵363336122112＜， ∴最大限度选择一级技工．若3名一级技工粉刷，三天可以粉刷122×3×3=1098＜2106，则需二级技工：（2106-1098）÷112÷3=3．∴可以选择3名一级技工，3名二级技工粉刷3天．总费用为：3×（363+336）×3=6291元．。
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1
宝箴塞初中“三步六助”助学案
学科：数学 年级：七年级 课题：
工程问题
课 型 新授 课 时 1 主 备 蒲雄生
学 习 笔 记
审 核 助学教师 使用学生
第一步：问题引领——教师“备助”设疑，激情引入
1、一批零件，甲每小时能加工80个，则
⑴甲3小时可加工个零件，
x小时可加工个零件。
⑵加工a个零件，甲需小时完成。
2、一项工程甲独做需6天完成，则
⑴甲独做一天可完成这项工程的
⑵若乙独做比甲快2天完成，则乙独做一天可完成
这项工程的
做一做
工程问题中的数量关系：
1）工作效率=
工作总量
完成工作总量的时间
———————————
2）工作总量=工作效率×工作时间
3）工作时间=
工作总量
—————
工作效率
4）各队合作工作效率=各队工作效率之和
5）全部工作量之和=各队工作量之和
第二步：互动探究——“自助、求助、互助”，整合资源，探索技能
一、
例1:甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零
件，再经过5天，两人共生产这种零件940个，问乙每天生产
这种零件多少个？
例2、一件工作，甲单独做20个小时完成，乙单独做12小时完成，现
在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做。剩下的部分需要几
小时完成？
例3 挖一条长为1210米长的水渠，由甲施工队独做需要11天完成，乙
施工队独做需要20天完成，现在甲、乙两施工队从两头同时施工，挖完
这条水渠估计需几天？
例4 修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独
承包要120天完成
(1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
(2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任
务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？
2
例5
例6、 已知开管注水缸，10分钟可满，拨开底塞，满缸水20 分钟流完，
缸内的水流完后，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞住，又过了
2倍的时间才注满水缸，求管塞同开的时间是几分钟？
，例7、一个水槽有甲、乙两个水管。甲水管是进水管，
在5小时之内
可以把空水槽装满。乙水管是出水管，满槽的水在6小时内
可以
流完。现水槽内没水，如果先开甲
水管1小时，再把
乙水管也打开，再经过几小时
5
水槽里的水恰好等于水槽容
量的
？
18
第三步：反馈拓展——教师“补助”点评、总结，提升知识与情感。学
生“再助”查漏补缺，复习巩固.
课后作业
1.
一收割机队每天收割小麦12公顷,收割完一片麦地
的后,该收割机改进操作,效率提高到原来的
倍,因此比预定时间提早1天完成.问这片麦地有多少
公顷?
4
动动脑筋
某装潢公司接到一项业务，如果由甲组需10天完成，由乙组做需15天完成.为了
早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后甲组因另有任务，余下部分由乙组单独
做，问还需几天才能完成？
6012014甲、乙两输油管向油轮注油，甲管独注需
小时，乙管独注需小时，问两管同时注油
多少小时可注满油轮的？
3