指数函数2
指数函数(2)
(4)当底数a>1时，第一象限内图像在y=1上方，第二象限 内图像在y=1下方；当底数0<a<1时，恰好相反。
二、
y =3 x
几何角度 图像
代数角度
性质
研究函数时必须考虑的几个方面
• • • • 函数的定义域，值域 函数的奇偶性 函数的单调性 特殊值（点）
……
a>1
图
0<a<1
y
a 1
y ax
（1）1.72.5 与 1.73
（2） 与 同底比较大小 不同底但可化同底
同底指数幂比 大小，构造指数 函数，利用函数 单调性
不同底数幂比大小，利 用指数函数图像与底的关 系比较 （3）(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3 不同底但同指数 （4） 1.70.3 与 0.93 底不同，指数也不同
练习巩固
教材76页练习2
1、(1) 5 2
3 2 3 2
3 1 3 ( ) ； (2) ( ) 2 4
1 2
3 3 ( ) ( ) 4 2
1 3
2 3
3 5 3 x 5 x 2、(1) ∵ 1, y ( ) 比y ( ) 增长得快； 2 4 2 4 1 2 1 x 2 x (2) ∵ 1， y ( ) 比y ( ) 减小的快。 3 3 3 3
指数函数 (2)
河南油田第四中学 讲 课 人 朱 万 侠
一、复习引入
1、指数函数的概念回顾
函数y=ax叫作指数函数，在这 个函数中，自变量x出现在指数位置 上，底数a是一个大于0且不等于1的 常量，函数的定义域是实数集R。
1 x 2.作出函数y =2x与 y ( ) 2 的图象.
指数函数的性质2普通班用
指数函数及其性质
第二课时
指数函数的性质
1.指数函数概念 一般地，函数y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是 自变量，函数的定义域是R 2.指数函数的图象和性质(见下表)
a>1 图 象
0<a<1
性 质
(1)定义域：R (2)值域(0，＋∞) (3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1 (4)在R上是增函数 在R上是减函数
2 m 2 n 例1、(1)若 ( ) ( ) , 则m与n的大小如何? 3 3
(2)求不等式a a
x 1 x
(a 0, 且a 1)中
x的取值范围
例2．求下列函数的定义域与值域
⑴y ⑵
2 1
x
3 x
y2
⑶
y 3
5 x1
1 x 思考1:函数y 2 与 y ( ) 2 x 的图象 2 y 2x 有什么关系？
x x
x
知识探究一：函数 y a (a 1) 的性质
x
思考3:若a>b>1，则函数 y a 与 y 相对位置关系如何？ x ya y bx
x
b 的图象的
x
y
1
0 x
知识探究二：函数 y a (0;a<1，则函数 y a 与 y 的图象的相对位置关系如何？ y bx y
x
b
x
ya
x
1
0
x
作业：
系统集成 P39-40自学检测1-5
课后巩固演练 1-6,8
P41-42
x
1 y 2
x
8 7
fx =
x 2
6
5
第2课时 指数函数及其图象、性质(二) 高一数学
答案:(-∞,0] (0,+∞)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(2)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
-
=
+3x=f(x),所以 f(x)是偶函数.
(2)由 4x-1≠0 得 x≠0,即函数的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},
- +
都有-x∈{x|x≠0},且 f(-x)=
所以函数 f(x)是奇函数.
- -
=
+
-
+
=- - =-f(x),
√
;
(2)f(x)=9x+3x+1.
解:(1)要使函数有意义,应满足 x≥0,故函数的定义域为[0,+∞).
当 x≥0 时,√≥0,所以 0<
√
≤1,故函数的值域为(0,1].
(2)由题意可知函数的定义域为 R.
令 3 =t(t>0),则
x
y=t2+3t=
+
因为 t>0,所以 y= +
(1)当a>1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相同;
(2)当0<a<1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相
反.
北师大版高中数学必修1课件3指数函数y=2x和y=12x的图像和性质课件
值域大于0。图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0
＜y＜1；x＞0时，y＞1。图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，
说明函数既不是奇函数也不是偶函数。
通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实 数。图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x轴上 方，说明值域大于 0 。图像经过点 (0,1) ，且 y 值分布有以下特 点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1。图像不关于x轴对称，
答案：b＜a＜c (a，b 可利用指数函数的性质比较，而 c 是大于 1 的)。
2．比较 a 与 a 的大小(a＞0 且 a≠0)。
1 3
1 2
答案：分 a＞1 和 0＜a＜1 两种情况讨论： 当 0＜a＜1 时， a ＞ a ； 当 a＞1 时， a ＜ a 。
1 3 1 2 1 3 1 2
例题解析
2x 1 x 1
故函数 y＝10
的值域是{y|y≥1，y≠10}。
变式训练
3、求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 2
1
2 x x2
；(2)y＝ 32 x 1 ；(3)y＝ ax 1 (a＞0，a≠1)。
1
2 x x2
1 9
答案：(1)函数 y＝ 2
自左向右，图像逐渐 自左向右，图像逐 上升 在第一象限内的图 像纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都小于 1 渐下降 在第一象限内的图 像纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 像纵坐标都大于 1
x＞0， ax＞1 x＜0， ax＜1
x＞0， ax＜1ห้องสมุดไป่ตู้x＜0， ax＞1
第18课 指数函数2
知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0，且a≠1) 的图象有两个公共点,则a的取值范围是_(_0_, _12 _) _. 解析 数形结合. 当a>1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意.
当0<a<1时，如图②,由图象可知0<2a<1,0 a 1 . 2
28
思想方法 感悟提高
一部分是：y
(1)x(x0) 3
向左平移 1个单位
y(1)x1(x1); 3
另一部分是：y=3x
(x<0)
向左平移 1个单位
y=3x+1 (x<-1).
26
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数， 在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高 在作函数图象时,首先要研究函数与某 一基本函数的关系,然后通过平移或伸缩来完成.
(1)过定点_(_0_,_1_)____
(2)当x>0时,__y_>_1_; (2)当x>0时,_0_<_y_<_1__;
性质
x<0时,_0_<_y_<_1__
x<0时,_y_>_1__
(3)在(-∞，+∞) (3)在(-∞，+∞)上是
上是 增函数
减函数
5
1．下列各式正确的是( C )
A.40 1 C.(3mn)29mn
20
则f
(x2)
f
( x1 )
2 x2 2 x2
1 1
2 x1 2 x1
1 1
2
2
(1
2 x2
2.2.2指数函数(2)
2.2.2指数函数(2)【自学目标】1.进一步深刻地理解指数函数的定义、图象和性质，能熟练地运用指数函数的定义、图象和性质解决有关指数函数的问题；2.能熟练地解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶等问题，提高综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
【知识描述】1．性质⑴定义域：与的定义域相同。
⑵值域：其值域不仅要考虑的值域，还要考虑还是。
求的值域，先求的值域，再由指数函数的单调性求出的值域。
⑶单调性：单调性不仅要考虑的单调性，还要考虑还是。
若，则与有相同的单调性；若，则与有相反的单调性。
⑷奇偶性：奇偶性情况比较复杂。
若是偶函数，则也是偶函数；若是奇函数，则没有奇偶性。
2．类型的函数的性质可采用换元法：令，注意t 的取值范围，根据与的的性质综合进行讨论。
【预习自测】例1．将六个数按从小到大的顺序排列。
例2．求函数和的单调区间。
)x (f a y =)x (f )x (f 1a >1a 0<<)x (f a y =)x (f )x (f a y =)x (f 1a >1a 0<<1a >)x (f a y =)x (f y =1a 0<<)x (f a y =)x (f y =)x (f y =)x (f ay =)x (f y =)x (f a y =)a (g y x =t a x =)t (g y =x a y =3130322131)35( , )2( , )65( , )23( , )53( , )32(---1x 4x 2)31(y +-=7x 4x 222y ---=例3．求下列函数的定义域和值域。
⑴； ⑵.例4．判断下列函数的奇偶性： （1）（2）； （2）（，）；例5．若，求函数的最大值和最小值。
【课堂练习】1．函数的定义域为( ) A ．（－2，+∞） B ．[－1，+∞）C ．（－∞，－1]D ．（－∞，－2]2．函数是（ ）A ．奇函数，且在（－∞，0]上是增函数B ．偶函数，且在（－∞，0]上是减函数C ．奇函数，且在[0，－∞）上是增函数D ．偶函数，且在[0，－∞）上是减函数4x 12y -=124y 1x x ++=+|x |)32(y -=2a a y xx --=0a >1a ≠2x 0≤≤5224y x x +⋅-=271312-=-x y ||x e y -=3．函数的增区间是4．求的值域。
指数函数(2)
1 y 是减函数 2
y1 y2
1 ∴ y 2
在 [1, ) 是减函数
1 同理 y 2
x2 2 x
在 (,1] 是增函数
1 引申：求函数 y 2
x2 2 x
的值域
巩固练习
1、函数y=2
x2－2x＋3
y2 即 1 y1
y2 y1
函数单调递减
∴函数y在 ,1上单调递增，在
1, 上单调递减
解法二(用复合函数的单调性): u 2 2 x 则：y 1 设: u x 2 对任意的 又∵
1 x1 x2
u
x2 2 x
有 u1 u2
1 x 5
y 3
5 x 1
由 5x 1 0 y 1
1 所以，所求函数定义域为: [ , ) 5
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
例3求下列函数的定义域、值域：⑶ 解: ⑶ 所求函数定义域为R
y 2 1
x
由2 0
x
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
2
6.比较
0.60.6 ，0.60.7 ，0.70.6 的大小是＿＿＿
分析：0.60.7＜0.60.6，0.60.6＜0.70.6，
所以：0.70.6＞0.60.6＞0.60.7
巩固练习2
1、指数函数
y a ,y b ,y c ,y d
x x x
x
的图象如下图所示，则底数
a, b, c, d
指 数 函 数
(二)
复习提问 一、指数函数的概念： Nhomakorabea一般地，函数y=a (a>0，a≠1) 叫做指 数函数，其中x是自变量，函数的定 义域是R。
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
主页
.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
2指数与指数函数 - 简单 - 讲义
指数与指数函数知识讲解一、指数运算1.根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn ．2.幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n(ΛN*；N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）． 注：上述性质对r s R ∈、均适用．二、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数．2.函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．f x () =12( = 2x3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log xa y a y x ==与的图象关于直线y x =对称．4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=3函数值的变化特征：典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017春•东河区校级期末）函数y=2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：∵y=2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20=1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．2．（2016秋•黄陵县校级期末）下列函数一定是指数函数的是（）A．y=2x+1B．y=x3C．y=3•2x D．y=3﹣x【解答】解：对于A，y=2x+1=2•5x，不是指数函数；对于B，y=x3是幂函数，不是指数函数；对于C，y=3•2x不是指数函数；对于D，y=3﹣x=(13)x是指数函数．故选：D．3．（2017秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2【解答】解：∵函数f（x）=（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，∴a2﹣2a﹣2=1，且a＞0，a≠1解得a=3．故选：B．4．（2017秋•定州市校级期末）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限【解答】解：∵a＞1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），f（x）=a x+b 的图象可看成把y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选：B．5．（2017秋•历下区校级期末）已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）A．t≤﹣1B．t＜﹣1C．t≤﹣3D．t≥﹣3【解答】解：由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得：t≤﹣1．故选：A．6．（2018•全国模拟）若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（）A．1m ＞1nB．m|m|＞n|n|C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＜1【解答】解：方法一：由2m＞2n得到m＞n．当m＞n＞0时，由不等式同向可乘性知m2＞n2，即m|m|＞n|n|；当m＞0＞n时，m|m|＞0＞n|n|；当n＜m＜0时，﹣n＞﹣m＞0，由不等式同向可乘性知n2＞m2，故﹣n2＞﹣m2，m|m|＞n|n|．方法二：由2m＞2n得到m＞n，当m=1.5，n=1时，A不成立，C不成立，D不成立，故选：B．7．（2018•凯里市校级二模）已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b【解答】解：a=0.52.1∈（0，1），b=20.5＞1，c=0.22.1，∵y=x2.1为增函数，∴0.52.1＞0.22.1，∴a＞c，∴b＞a＞c．故选：B．8．（2017秋•天心区校级期末）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（）A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100C．y=50×2x D．y=10x+100【解答】解：对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选：C．二．填空题（共3小题）9．（2016•南昌县自主招生）函数y=√1−(12)x的定义域是[0，+∞）．【解答】解：由函数y=√1−(12)x可得，1﹣(12)x≥0，即(12)x≤(12)0，解得x≥0，故函数y=√1−(12)x的定义域是[0，+∞），故答案为[0，+∞）．10．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是0．【解答】解：∵9x+3x﹣2=0即（3x）2+3x﹣2=0∴（3x+2）（3x﹣1）=0⇒3x=﹣2（舍），3x=1．解得x=0 故答案为011．（2014秋•嘉定区期末）若函数f （x ）=（a ﹣1）x 是指数函数，则实数a 的取值范围是 （1，2）∪（2，+∞） ．【解答】解：∵函数f （x ）=（a ﹣1）x 是指数函数， ∴{a −1＞0a −1≠1，解得a ＞1且a ≠2；∴实数a 的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）． 故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．三．解答题（共3小题）12．已知指数函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（﹣2，94），求函数的解析式．【解答】解：设指数函数为y=a x （a ＞0且a ≠1） 将（﹣2，94），代入得94=a ﹣2解得a=23，所以y=(23)x ， 函数的解析式：f （x ）=(23)x．13．若指数函数的图象经过点（23，4），求该函数的解析式及f （﹣12）的值．【解答】解：设指数函数y=f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1），且函数的图象经过点（23，4），∴a 23=4，解得a=8；∴该函数的解析式为y=f （x ）=8x ，∴f （﹣12）=8−12=√8=√24．14．比较a=（13）0.2与b=213的大小．【解答】解：∵a=(13)0.2＜(13)0=1，b=213＞20=1，∴a ＜b ．。
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指数函数及其性质的应用(10.15)
1.函数11x y a -=+ (a>0且a ≠1)的图象一定经过点( )
A.（0，1）
B. （1，0）
C. （1，2）
D. （1， 1）
2.设5.1344.029.01)2
1(,8,4-===y y y ，则 （ ） A ．y 3＞y 1＞y 2 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 1＞y 2＞y 3
D ．y 1＞y 3＞y 2 3.若121x +<，则x 的取值范围是（ ）
A ．(1,1)- B. (1,)-+∞ C. (0,1)(1,)⋃+∞ D. (,1)-∞-
4.已知a b
11()()ππ
>，则,a b 的大小关系是（ ） A. 10a b >>> B. a b < C. a b > D 10b a >>>
5.下列结论正确的是（ ）
A 对于x R ∈，恒有32x x >
B x y -=是增函数
C 对于1,,a x R >∈一定有x x a a ->
D 2x y =的图象关于y 轴对称
6.指数函数x y b a =在[],2b 上的最大值和最小值的和为6，则a =（ ）
A ．2
B -3
C 2或-3
D 12
- 7.设集合{}{}
2S 3,,1,x y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T ⋂是（ ）
A ．()0,+∞
B ()1,-+∞ C.∅ D. R
7.设323420.5,x x --<则x 的取值范围是_______________.
8.函数4x y =与函数4x y -=的图象关于_______对称.
9.已知函数13x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
在[]2,1--上的最小值是m ，最大值是n ，则m n +的值是__________.
10.已知集合2113,9x x M x x R -+⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则当x M ∈时，函数2x
y =的值域是_______________________.
11.已知[](x)9234,1,2,x x f x =-+∈-求(x)f 的最大值和最小值.
12.求函数261712x x y -+⎛⎫= ⎪
⎝⎭的定义域、值域、单调区间.
13.已知函数21(x)(x R).21
x x f -=∈+ （1）求证：(x)f 是R 上的增函数；
（2）判断(x)f 的奇偶性.
.。