2.2指数函数的图像及性质

第一章 基本初等函数2 指数函数的图像及性质一、学习目标1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质． 二、知识梳理 1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质定义域R ，值域(0，＋∞) 图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x ＞0时，y ＞1； 当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、典型例题知识点一 指数函数的概念 例1 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件．跟踪演练1 若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 {a |a ＜43，且a ≠1}解析 y ＝(4－3a )x 是指数函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＞0，4－3a ≠1，解得a ＜43且a ≠1.故a 的取值范围为{a |a ＜43，且a ≠1}．知识点二 指数函数的图象例2 如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c 答案 B解析 方法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大． 由指数函数图象的升降，知c ＞d ＞1，b ＜a ＜1. ∴b ＜a ＜1＜d ＜c .方法二 作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b ＜a ＜1＜d ＜c .故选B.规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )，由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．跟踪演练2 (1)函数y ＝|2x －2|的图象是( )(2)直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 答案 (1)B (2)0＜a ＜12解析 (1)y ＝2x －2的图象是由y ＝2x 的图象向下平移2个单位长度得到的，故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x －2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的．(2)当a ＞1时，在同一坐标系中作出函数y ＝2a 和y ＝|a x －1|的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a ＜1，作出函数y ＝2a 和y ＝|a x －1|的图象(如图(2))．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个交点，由图象可知0＜2a ＜1，所以0＜a ＜12.知识点三 指数型函数的定义域、值域 例3 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝4-12x ；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12322--x x .解 (1)由x －4≠0，得x ≠4， 故y ＝4-12x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}．又1x －4≠0，即4-12x ≠1， 故y ＝4-12x 的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x ＜1， ∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)．(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12322--x x 的定义域为R . ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝⎛⎭⎫12322--x x ≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12322--x x ＞0， 故函数y ＝⎝⎛⎭⎫12322--x x 的值域为(0,16]． 规律方法 对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)这类函数， (1)定义域是使f (x )有意义的x 的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性求得此函数的值域． 跟踪演练3 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －1，x ∈[－1,2]的值域为________． 答案 (1)A (2)[－89，2]解析 (1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3，∴－89≤⎝⎛⎭⎫13x －1≤2，∴值域为⎣⎡⎦⎤－89，2. 四、课堂练习1．下列各函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x 答案 D解析 由指数函数的定义知a ＞0且a ≠1，故选D. 2．y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象可能是( )答案 C解析 0＜34＜1且过点(0,1)，故选C.3．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞) 答案 B解析 y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B.4．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． 答案 18解析 由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.5．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________． 答案 (0,2]解析 ∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫121-2x ≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y ＞0， ∴函数值域为(0,2]．1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f (0)＝1.2．当a ＞1时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．当0＜a ＜1时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．五、巩固练习 1．y ＝2x－1的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 A解析 不管x 取何值，函数式都有意义，故选A.2．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＋1＜4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0} 答案 B解析 ∵12＜2x ＋1＜4，∴2－1＜2x ＋1＜22，∴－1＜x ＋1＜2，∴－2＜x ＜1.又∵x ∈Z ，∴x ＝0或x ＝－1，即N ＝{0，－1}，∴M ∩N ＝{－1}． 3．函数y ＝2x＋1的图象是( )答案 A解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 4．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( ) A ．(－89，8] B ．[－89，8]C ．(19，9)D ．[19，9]答案 A解析 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1＜y ≤32－1，即－89＜y ≤8.5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 1＜a ＜2解析 由题意可知，0＜2－a ＜1，即1＜a ＜2. 6．函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________． 答案 (5,2)解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)． 7．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解 (1)∵f (x )的图象过点(2，12)，∴a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝(12)x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1， 于是0＜(12)x －1≤(12)－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]． 8．函数y ＝5－|x |的图象是( )答案 D解析 当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x ＝(15)x ，又原函数为偶函数，故选D.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 A解析 依题意，f (a )＝－f (1)＝－21＝－2，∵2x ＞0，∴a ≤0，∴f (a )＝a ＋1＝－2，故a ＝－3， ∴选A.10．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________． 答案 {a |a ≥1，或a ＝0}解析 作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.11．求函数y ＝(12)x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．解 令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝(12)t ，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∵0≤x ≤3，∴当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5. 故1≤t ≤5，∴(12)5≤y ≤(12)1，故所求函数的值域[132，12]．12．函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解 ①若a ＞1，则f (x )是增函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)． ∴f (2)－f (1)＝a 2，即a 2－a ＝a2.解得a ＝32.②若0＜a ＜1，则f (x )是减函数，∴f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)， ∴f (1)－f (2)＝a 2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12综上所述，a ＝12或a ＝32.13．设0≤x ≤2，y ＝421x －3·2x ＋5，试求该函数的最值．解 令t ＝2x,0≤x ≤2， ∴1≤t ≤4.则y ＝22x －1－3·2x ＋5＝12t 2－3t ＋5.又y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,4]，∴y ＝12(t －3)2＋12，t ∈[1,3]上是减函数；t ∈[3,4]上是增函数，∴当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝52.故函数的最大值为52，最小值为12.。