函数连续性的定义
《函数的连续》课件
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
连续性与可导性
连续性与可导性在微积分学中，连续性和可导性是两个非常重要的概念。
它们描述了数学函数在定义域内的性质，对于解决实际问题和理解函数的行为有着重要的意义。
本文将探讨连续性和可导性的定义、性质以及它们在数学和应用领域中的应用。
一、连续性连续性是一个函数在定义域内没有突变或间断的性质。
具体地说，一个函数f(x)在某一点a处连续，意味着三个条件同时满足：（1）f(a)存在，即函数在该点有定义；（2）f(x)在a附近存在极限；（3）极限与函数值相等，即lim(x→a) f(x) = f(a)。
进一步地，如果一个函数在定义域的每一点都连续，我们称之为函数在整个定义域内连续。
连续性可以用分段函数、多项式函数和三角函数等多种函数表示，因此在数学和工程领域中有着广泛的应用。
连续性的一个重要性质是“局部保持”，即如果一个函数在某一点连续，则可以在该点的某个邻域内找到一段距离，使得函数在这段距离内保持连续性。
这个性质使得我们可以通过研究函数在某些局部区域上的性质，来理解整个函数的行为。
二、可导性可导性是一个函数在某一点处存在切线斜率的性质。
具体地说，一个函数f(x)在某一点a处可导，意味着极限lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)存在。
这个极限对应着切线的斜率，也称为导数。
如果一个函数在定义域的每一点都可导，我们称之为函数在整个定义域内可导。
可导性比连续性更严格，因为可导性需要除了极限存在之外，还需要极限的存在性与函数值的一致性。
不过，对于大多数常见函数，连续性和可导性是紧密相关的。
事实上，连续性是可导性的一个必要条件，但不是充分条件。
可导性具有许多重要的性质，其中之一是“可导即连续”。
如果一个函数在某一点可导，则在该点也一定是连续的。
这个性质使得我们可以通过判断一个函数在定义域内的可导性来推断它在哪些点上是连续的。
三、连续性与可导性的应用连续性和可导性在数学和应用领域中有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用领域：1. 函数的极限与连续性研究：通过研究函数在某点的极限是否存在以及是否与函数值相等，我们可以得出函数在该点的连续性。
函数的连续性
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值 >>>
作业：
P43 习题1—6 2、（2） 3、（4） 4、 5、
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❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
•间断点的定义
设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义 在此前提 下 如果函数 f(x)有下列三种情形之一
(1)在x0没有定义
(2)虽然在x0有定义 但 lim f(x) 不存在
x x0
(3)虽然在x0有定义且lim f(x)存在 但 lim f(x)f(x0)
x x0
x x0
则函数 f(x)在点x0不连续 而点x0称为函数 f(x)的不连续点
lim
x x0
P(
x)
=
P(x0
)
注: 如果区间包括端点 那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
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❖连续函数
在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的 连续函数 或者说函数在该区间上连续
•连续函数举例 2 函数 y=sin x 在区间(- +)内是连续的
这是因为 函数y=sin x在(- +)内任意一点x处有 定义 并且
lim Dy =0
Dx0
lim [
x x0
f
(x)-
f
(x0)]= 0
函数连续性定义和间断点
x0
x
1 y sin
x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
可去间断点 间断点 第一类间断点 跳跃间断点
无穷间断点
第二类间断点
振荡间断点
(见下图)
左右极限都存在 左右极限至少有 一个不存在
第y 一
2、 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f(0 ) a ,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要 f ( 0 0 ) 使 f ( 0 0 ) f ( 0 ) ,a1 ,
2.跳跃间断点
如果f在 x点0 存在左、右极限，但
lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
则称 x为0 函数 的f 跳跃间断点
例4：讨论函数
f (x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
四、小结
连续函数的和差积商的连续性. 反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性.
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
思考题
设 f ( x) sgn x ， g( x) 1 x2 ，试研 究复合函数 f [g( x)]与g[ f ( x)]的连续性.
高等数学连续的概念
高等数学连续的概念
在高等数学中，连续是一个重要的概念。
连续性是指函数在某一区间上的无间断性和光滑性。
以下是关于连续的几个基本概念和定义：
连续函数：一个函数在某一点上连续，意味着函数在该点的值与其邻近点的值之间没有突变或断裂。
形式化地，函数f(x) 在点a 处连续的定义是：当x 无限接近于a 时，f(x) 也无限接近于f(a)。
连续点：对于函数f(x)，如果f(x) 在点a 处连续，那么a 就是函数f(x) 的一个连续点。
连续区间：在实数轴上，如果一个函数在区间[a, b] 上的每一个点都连续，那么该区间就被称为函数的连续区间。
间断点：对于函数f(x)，如果存在某个点a，使得f(a) 的值与其邻近点的值存在突变或断裂，那么 a 就是函数f(x) 的一个间断点。
连续性定理：在高等数学中，有一些重要的连续性定理，如介值定理、零点定理、极值定理等。
这些定理探讨了函数连续性与函数性质之间的关系。
连续性是数学中一个基本而重要的概念，它在微积分、实分析和其他数学分支中有广泛的应用。
连续性的概念使我们能够研究函数的光滑性、趋势和性质，为数学的推理和分析提供了重要的基础。
第六节 函数的连续性
如果函数 f ( x )在开区间 (a , b)内连续 , 且在 左端点x a处右连续 , 在右端点 x b处左连续 , 则称函数f ( x )在闭区间 [a, b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
6
例3 证明函数y sinx在区间 (,)内连续 .
证 x (,),
x 0 x 0
f ( x ) lim f ( x ) f ( x ).
故 f ( x)在（ ， ）上连续 .
12
例5 设f ( x )在（ 0， ）上连续，且满足x (0, ), f ( x ) f ( x ). 证明 f ( x )在 (0, ) 上为常数.
1 当 x 0 时， lim f ( x ) 2, l i m f ( x ) f (0). x 0 x 0 a 1 所以当 a 时 ，f ( x )在 （ ， ） 内 是 连 续 的 ; 2 1 当a 时 ，f ( x )在 （ ， 0） （0， ） 内 连 续 2 23 且x 0 是 第 一 类 跳 跃 型 间 断.点
y sin 1 x
1 解 因 为 f ( x )在x 0 处 没 定 义 , 且limsin 不 存 在 ， x 0 x 所以 x 0 为第二类间断点 .
这种情形称为振荡型间断点.
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第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f [ ( x0 )] f ( u0 ).
大一上学期同济版高数第一章连续性间断点
有 因而
x x < 0 f ( x) = 0 x = 0 x2 x > 0
x→ 0 x→ 0
lim f ( x) = lim f ( x) = 0 = f (0) − +
∴ f ( x) 在(−∞,+∞)内 续 连
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
若其中有一个为 ∞, 称
若其中有一个为振荡 , 称
x0 为振荡间断点 . 振荡间断点
14
例如: 例如 (1)
x , x ≠1 y = f (x) = 1 2 , x =1
x→ 1
y
1
1 2
显然 lim f (x) =1≠ f (1 )
x =1为其可去间断点 .
x −1, x < 0 (2) y = f (x) = 0 , x = 0 x +1, x > 0
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即 这说明 同样可证: 函数 在 在
∆x →0
0
内连续 . 内连续 .
7
( 定义2 定义2 y = f ( x) x∈[a,b]若 f ( x) 在 a,b) 内连续，
且
f ( x) 在 a,b] 上连续， [ 称区间 [a,b] 为 f ( x) 的 续 间 连 区 。
2
函数的增量: 函数的增量
始 到 值 u2 u 设变量u 初 值u1 变 终 u2，－ 1 从
就称为变量 u 在u1 的增量，通常用符号 ∆u 表示，
> 0 u1 < u2 即∆u = u2－u1 < 0 u1 > u2
连续性的概念
据此，函数 的间断点可作如下分类：
1．可去间断点 情况1） 称为
可去间断点（或可去不连续点）；
例 ,
是 的可去间断点。
例 ， 是 的可去间断点。
2．跳跃间断点 情况2） 称为可跳跃间断点；
情况1），2）统称第一类间断点。
例 (取整一般是乡下取整)因为 ，所以 的整数点为跳跃间断点，跳跃度等1.
例如 ， 是 内的连续函数， 在 的每一点都连续，在 左连续性，在 右连续性，因而是 上的连续函数（参见上章§1的例题）。
定义 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数 在间 上按段连续。
例如 是按段连续函数。
例3讨论黎曼函数
的连续性
证明 设 为无理数，任给 ，满足 正数显然只有有限个 (但至少有有一个,如 ),从而使 的有理数 只有有限个(至少有有一个,如 ),设为 ,取
,(显然 )
则对任何 当x为有理数时有 ,当x为无理数时 .于是，对任何 ，总有
这就证明了 在无理点 处连续。
现设 为 内任一有理数，取 ，对任何正数 （无论多么小），在 内总可取无理数 ，使得
所以 在任何有理点处都不连续。
小结：1）函数在一点连续的三个等价定义；2）函数的左右连续性；
3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点；
函数的连续性
一 函数在一点 的连续
先回顾一下函数在 点的极限
设函数 在 的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对 ，当 时，都有 ，则称 在 时，以 为极限。这里 可以有三种情况
1） 无定义，比如上章讲过的特殊极限
2） ห้องสมุดไป่ตู้比如 ，
=
3）
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函数连续性
函数的连续性，描述函数的一种连绵不断变化的状态，即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。
确切说来，函数在某点连续是指：当自变量趋于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图像是连绵不断的曲线。
在函数的连续中主要有两大类：函数在一点的连续性和在区间上的连续性。
函数在一点的极限等于该点的函数值，那么函数在该点是连续的，如果该点是定义在定义域内任意一点，则函数就是连续的。
二者的不同之处：函数在一点的连续性只能保证在该点是连续的，在其定义域内其他点的连续性是无法确定的，而函数在区间上的连续性是指在整个区间上的任意一点都是连续的。
1.函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
2.函数连续必须同时满足三个条件：
（1）函数在x0 处有定义；
（2）x-> x0时，limf(x)存在；
（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。
则初等函数在其定义域内是连续的。